Бифуркация Хопфа

А. Пуанкаре в своей диссертации, в работах по теории равновесия вращающейся жидкости и по небесной механике заложил неформальные основы теории бифуркаций, включая, например, теорию нереальных деформаций и технику нормальных форм. Формальные основы теории бифуркаций заложены А. А. Андроновым и его учениками [1]—[9], исходившими в своих исследованиях из прикладных задач. В частности, ими подробно изучена бифуркация рождения цикла при потере устойчивости положением равновесия, по недоразумению называемая зачастую бифуркацией Хопфа. К сожалению, ранние работы А. А. Андронова [1], [4], [5], [6] недостаточно широко известны на Западе. [c.207]

При любых значениях В, больших критического В .), в системе возникает так называемый предельный цикл . Это означает, что из любой исходной точки пространства X, Y система перейдет на одну и ту же замкнутую траекторию. Поэтому важным обстоятельством является тот факт, что в противоположность идущим в колебательном режиме химическим реакциям типа Лотки - Вольтерры, частота колебания этих реакций является однозначной функцией макроскопических переменных, таких, как концентрация компонентов системы и ее температуры. Течение химической реакции становится когерентным во времени. Таким образом, химическая реакция становится химическими часами. Это явление в литературе часто называют бифуркацией Хопфа. [c.136]

В статье [345] на основе метода возмущений в варианте множественных масштабов предпринят анализ показателей нелинейных колебаний и внутреннего резонанса слоистых пластин. Предполагается наличие вырожденных форм колебаний тонкой прямоугольной пластины. Рассмотрены граничные условия шарнирного, подвижного и неподвижного закрепления кромки пластины. Найденные решения сопоставляются с результатами численного интегрирования. Выявлены показатели потери устойчивости, возникновения бифуркаций Хопфа и специфического перехода к хаотическому движению. [c.21]

Бифуркация Хопфа. В нелинейных системах изменение параметра может привести к существенной перестройке фазового портрета — в окрестности особой точки может возникнуть предельный цикл. [c.172]

Превращение устойчивого фокуса при прохождении через нуль в неустойчивый фокус, окруженный предельным циклом, называют бифуркацией Хопфа. Самая впечатляющая особенность этого перехода — перестройка фазового портрета — возникает при сколь угодно малом изменении управляющего параметра е. Возможно, аналогичный механизм лежит в основе такого метода воздействия на биологическую систему человека, как иглоукалывание. [c.173]

Превращение устойчивого фокуса в предельный цикл при прохождении и через нуль (рис. 7.2, д) называется бифуркацией Хопфа. Возможна также и обратная бифуркация Хопфа (рис. 7.2, е). На рис. 7.2, а—е показаны все типичные бифуркации в двумерных потоках ). [c.416]

В трехмерных потоках имеется аналог бифуркации Хопфа, когда предельный цикл становится неустойчивым и переходит в предельный тор . [c.416]

Первоначальная картина возникновения турбулентности, предложенная Ландау, была основана на представлении об иерархии неустойчивостей. При увеличении некоторого параметра, например числа Рейнольдса или числа Рэлея, нелинейные колебания жидкости теряют устойчивость и появляются все новые и новые независимые частоты движения СО1, со2, СО3. . . . При этом должно наблюдаться квазипериодическое движение с одной, двумя, тремя и т. д. основными частотами. Таким образом, мы приходим к последовательности бифуркаций Хопфа, т. е. к движению по поверхности некоторого тора возрастающей размерности. Движение выглядит все более и более сложным, однако непрерывный спектр и хаотическое движение возникают лишь при бесконечном числе бифуркаций. Модель Ландау представлена схематически в табл. 7.2. [c.479]

Хотя в экспериментах и наблюдается до четырех [158] независимых частот, резкий переход к непрерывному спектру не согласуется с моделью Ландау ). Помимо этого, теоретически было показано (см. работу [112]), что последовательность бифуркаций Хопфа, как и само квазипериодическое движение, не являются типичными. Судя по рассмотренным выше примерам резкого ) возникновения непрерывного спектра, связанного с образованием странного аттрактора, можно ожидать, что именно такой механизм [c.479]

Третья модель перехода к турбулентности, предложенная Фейгенбаумом, связана с последовательностью бифуркаций удвоения периода [122]. Переход начинается с бифуркации Хопфа из устойчивого фокуса в предельный цикл с частотой /i. При дальнейшем [c.481]

Другой пример бифуркации — появление в физических системах предельных циклов. В этом случае по мере изменения некоторого управляющего параметра пара комплексно-сопряженных собственных значений 5,, 2 = + 7 переходит из левой части плоскости (7 < О, устойчивая спираль) в правую часть (7 > О, неустойчивая спираль) и возникает периодическое движение, называемое предельным циклом. Такой тип качественного изменения динамики системы, показанный на рис. 1.16, называется бифуркацией Хопфа. [c.30]

Рис. .16. Бифуркационные диаграммы а — бифуркация типа вил для уравнения Дуффинга (1.2.19), отвечающая переходу из состояния с одним устойчивым положением равновесия в состояние с двумя устойчивыми равновесными точками б — бифуркация Хопфа, отвечающая переходу от устойчивой спирали к колебаниям на предельном цикле.

КОЙ, ограничивает колебания и возникает предельный цикл. (Эта смена устойчивого состояния известна математикам как бифуркация Хопфа (гл. 1). Механики называют такие колебания флаттером.) [c.102]

Бифуркация Хопфа ) Рождение предельного цикла из состояния равновесия при изменении некоторого названия. Свое название эта бифуркация получила в честь математика, сформулировавшего точные условия ее существования у динамической системы. [c.268]

Напомним, что Яг—критическая кривая модели Ь. Согласно ранее выполненным исследованиям (см., например, [161, 167]) в рассматриваемом случае имеет место подкритическая бифуркация Хопфа, которая сопровождается рождением неустойчивых замкнутых орбит при Я<Рг (рис. 45,6). Поэтому можно было ожидать, что в окрестности Я = Яг орбиты системы будут притягиваться к трехмерному подпространству и в конечном итоге намотаются на аттрактор Лоренца. Именно с такой ситуацией в случае больших а мы имеем дело в упомянутой работе [162], в которой исследовалась динамическая система восьмого порядка, также включающая модель Ь как частный случай. На рис. 47 приведены результаты численного интегрирования системы (6), (7) для а = 6 и Я = 20 (Яг= 15) ). По оси абсцисс отложено безразмерное время. Поведение всех компонент лг-системы качественно воспроизводится кривой Ш1 = Ш1(т) з -системе соответствует кривая Ш2 = Шг(т). Как видно из рисунка, за время т 5 орбиты системы действительно притягиваются к трехмерному фазовому пространству модели Ь и в таком состоянии система пребывает в течение т ж 22. Заметим, что величины да,, Шд и Оз достигают при этом значений порядка 10". Затем сравнительно быстро в течение Ат 3 формируется автоколебательный режим, в котором все компоненты совершают периодические колебания с периодами Г = 2,4 либо Т /2=1,2. Аналогичное поведение на- [c.147]

Бифуркация из фокуса в предельный цикл (бифуркация Хопфа) [c.65]

Наиболее известным примером бифуркации является бифуркация Хопфа. В этом случае два комплексно-сопряженных собственных значения [c.65]

Простое комплексное собственное значение пересекает мнимую ось. Бифуркация Хопфа [c.271]

Это важный результат он показывает, что частота колебаний зависит от амплитуды. Таким образом, при бифуркации Хопфа не только возникает новое значение г, т. е. предельный цикл ненулевого радиуса, но и происходит сдвиг частот. Полученный нами результат допускает весьма изящное обобщение, если от уравнения [c.273]

Бифуркация Хопфа (продолжение) [c.274]

Аналогичные пути к хаосу обнаружены не только в жидкостях, но и в других системах. Например, в лазерах порог генерации соответствует бифуркации Хопфа, а распад лазерных импульсов в ультракороткие импульсы — бифуркации предельного цикла в тор. При других условиях периодическое движение по предельному циклу может сменяться хаотическим режимом или, точнее, периодическими колебаниями, модулированным хаотическим движением. Исследование сценариев для широких классов систем и разработка методов построения общей картины — важная задача будущего. [c.309]

Из последних работ no бифуркации Хопфа назовем следующие [c.396]

Так, с ростом Re может быть достигнуто новое критическое значение Re2 r, при котором пара мультипликаторов примет значения ехр ( /а) (где афО, я, я/2, 2я/3, чтобы исключить резонансы). Тогда произойдет вторая нормальная бифуркация Хопфа периодическое течение Uo(x)-fUi(x, t) станет неустойчивым относительно какого-то из возмущений вида fi(x, t)y где fi — периодическая по времени функция с периодом 2я/а, а собственное значение X имеет мнимую часть 1о2. При небольших Re—R2 r это возмущение будет возрастать со временем до конечного предела — квазипериодического движения с двумя периодами 2n/Oi и 2л/о2 и двумя степенями свободы (фазами колебаний). Таким образом, из замкнутой траектории образуется траектория на двумерном торе (рис. 2.10 6). Если затем произойдет следующая нормальная бифуркация Хопфа, то образуется траектория на трехмерном торе, и т. д. [c.99]

Следовательно, при V > г о возникает бифуркация Хопфа с устойчивым предельньтм циклом. Из анализа экспериментальных данных, приведенных [c.190]

Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркации Хопфа и их приложения Пер. с англ., 16 л., 1 р. 50к. [c.247]

Рюэль и Тэкенс [355 ] предложили другой механизм возникновения турбулентности, согласно которому сначала происходят две последовательные бифуркации Хопфа, как и в модели Ландау, однако затем нелинейность разрушает трехчастотное движение и образуется странный аттрактор (табл. 7.2). По первоначальной гипотезе требовалась размерность потока не менее четырех. Предположение о неустойчивости трехчастотного аттрактора в типичном случае было позднее доказано, а лшнимальная размерность сокращена до трех [317] ). [c.480]

Некоторые экспериментальные данные, по-видимому, подтверждают модель Рюэля—Тэкенса. Так, в спектрах мощности появляется сначала одна, затем вторая и, возможно, третья независимая частота. На пороге появления третьей частоты внезапно возникает широкополосный шум, который свидетельствует о переходе к хаотическому движению. Экспериментально исследовались как вихри Тейлора в жидкости между вращающимися цилиндрами [125], так и конвекция Рэлея—Бенара [5]. На рис. 7.32 из популярной статьи Суинни и Голуба [396] показаны спектры скорости жидкости для течения Куэтта (слева) и для конвекции Рэлея—Бенара (справа). В обоих случаях перед переходом к непрерывному спектру наблюдается сначала одна, а затем две независимые частоты и /з. Однако это зависит, вообще говоря, от начальных условий и иногда частоты/i и /а оказываются синхронизованными ). В другом эксперименте по течению Куэтта [158] наблюдались по крайней мере четыре независимые частоты. Это указывает на то, что переход к турбулентности происходит не всегда после двух бифуркаций Хопфа, как в модели Рюэля—Тэкенса. [c.481]

Квазипериодический путь к хаосу. Хотя удвоение периода — самый знаменитый путь к хаотическим колебаниям, обнаружено и изучено еше несколько схем. В одной из них, предложенной Ньюха-узом и др. [150], авторы рассматривают систему, которая, прежде чем перейти в хаотическое состояние, испытывает последовательные динамические неустойчивости. Пусть, например, система сначала находится в стационарном состоянии, но после изменения какого-нибудь параметра становится динамически неустойчивой (например, аэродинамические колебания — флаттер). С раскачкой движений вступают в действие нелинейности, и движение выходит на предельный цикл. Такие переходы математики называют бифуркациями Хопфа (см., например, [1]). Если при дальнейших изменениях параметра в системе происходят две или более бифуркации Хопфа, так что одновременно присутствуют три связанных предельных цикла, то становится возможным хаотическое движение. [c.66]

Одним из важных путей к хаосу в многомерных динамических системах, подобных термогидродинамическим, является возникновение колебаний на двух предельных циклах бифуркация Хопфа), которое приводит к квазипериодическому движению. Этот процесс обсуждался в гл. 2. Динамика такого движошя моделируется течением на торе, и возникающие сечения Пуанкаре имеют вид замкнутых круговых дуг. Несмотря на важность квазипериодических колебаний для хаотической динамики, онн мало исследованы в других системах, кроме гидродинамических. Именно по этой причине мы решили изучить квазипериодические колебания в такой нелинейной структуре, как изогнутый стержень. [c.148]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...