Бифуркация общая теория

Н. Н. Семенов [98] и Я- Б. Зельдович [74] исследовали важные практические приложения теории бифуркаций общего положения, включая также семейства бифуркаций, то есть то, что теперь называется несовершенными бифуркациями [151]. [c.207]

В последнее время возникла так называемая теория катастроф, тесно связанная с общей теорией неустойчивости динамических систем. Эта теория применяется, например, для исследования разрушения кристаллов в ней существенную роль играют бифуркации 2). [c.472]

В уравнении (14) содержатся три параметра Fo, Uq и со. Один из них (Fo) считается фиксированным, второй выполняет роль числа Рейнольдса, а третий — собственного значения. Коэффициенты при нечетных степенях А в разложении для Uq и со, согласно общей теории бифуркации автоколебаний, равны нулю. Подставляя разложения в уравнение (14) и приравнивая нулю коэффициенты при степенях амплитуды, получим (2 /q + 4) = (l + Oq) Og = [c.78]

Теория бифуркаций и теория возмущений (не только гамильтоновых, но и общих динамических систем) рассмотрены в учебнике Арнольд В. И. [c.281]

Потерю устойчивости неравновесного состояния можно проанализировать, обратившись к общей теории устойчивости нелинейных дифференциальных уравнений. При этом используются основные соотношения, характеризующие потерю устойчивости, а также неоднозначность решений, а также симметрия, включая бифуркации или ветвления новых решений дифференциальных уравнений. Прежде всего, проиллюстрируем эти общие свойства на простом нелинейном дифференциальном уравнении, а затем покажем, как они используются для описания систем, далеких от равновесия. [c.405]

Общая теория бифуркации [c.407]

Эта глава, которая является вводной, содержит изложение основных понятий и положений, необходимых для изучения нелинейных колебаний. Прежде всего следует сказать несколько слов о колебательных явлениях вообще и о нелинейных колебаниях в частности. Общие закономерности, которыми обладают колебательные процессы в системах различной физической природы, составляют предмет науки, получившей название теории колебаний. Под колебательным явлением принято понимать либо то, что связано с фактом установившегося движения в рассматриваемой системе, либо то, что связано с процессом перехода от одного установившегося движения к другому. Установившееся движение характеризуется повторяемостью и определенной устойчивостью (смысл последнего понятия будет уточнен ниже). Переходные процессы характеризуются тем установившимся движением, к которому они приближаются. Множество переходных процессов данного установившегося движения образует его область притяжения. Смена установившихся движений, которая происходит в результате изменения какого-нибудь физического параметра рассматривае.мой системы при его переходе через некоторое значение, называется бифуркацией. Если при этом смена установившихся движений происходит достаточно быстро, т. е. скачкообразно, то говорят о жестком возникновении нового режима. В противном случае возникновение нового режима называют мягким . Колебательные явления, возникающие в так называемых нелинейных системах, называются нелинейными колебаниями. Однако, прежде чем определить, что такое нелинейная система, рассмотрим более общий класс систем, называемых динамическими системами. [c.7]

Задачей качественной теории многомерных динамических систем является совместное изучение структур разбиения фазового пространства и пространства параметров. Эта общая трактовка предмета исследования качественной теории, как математической основы теории нелинейных колебаний, включает в себя изучение установившихся движений и их бифуркаций, выяснение областей притяжения установившихся движений, а также глобальной картины их взаиморасположения и перехода друг в друга при изменении параметров [1—3, 36, 41]. [c.237]

Существенное значение для нелокальной теории бифуркаций имеет дифференциальная динамика [181], [198] и символическая динамика (в качестве общей ссылки укажем книгу В. М. Алексеева [14 1]). [c.209]

Анализ разрушения следует проводить с позиций физики прочности, механики разрушения и металловедения в сочетании с положениями теории подобия. Многообещающим представляется также анализ процесса разрушения с позиций синергетики —- нового научного направления, устанавливающего законы, общие для живой и неживой природы. С позиций синергетики общие закономерности в такой области, как разрушение материалов, можно установить путем определения точек бифуркаций, отвечающих неравновесным фазовым переходам, связанным в данном случае со сменой микромеханизма разрушения, тот переход носит дискретный характер, а параметры, отвечающие этому переходу, являются фундаментальными, подлежащими определению в опыте. [c.10]

Общие замечания. При исследовании динамических систем, соответствующих физическим задачам, нельзя ограничиться только одним понятием грубой динамической системы. При этом не только потому, что при некоторых идеализациях имеет смысл рассматривать негрубые системы, например консервативные, а прежде всего потому, что при изменении параметров, входящих в динамическую систему, мы можем перейти от одной грубой системы к другой, качественно отличной грубой системе. Такой переход всегда совершается через негрубую динамическую систему. Отсюда естественно вытекает задача рассмотрения негрубых динамических систем и их классификации. С этим вопросом тесно связана теория зависимости качественной картины разбиения на траектории от параметра, которую мы будем называть теорией бифуркаций динамических систем. [c.155]

Теория бифуркации для рассматриваемого случая в общем виде дана в 10 этой главы. [c.679]

С более общих позиций можно считать, что и теория динамических систем, и синергетика занимаются изучением временной эволюции систем. В частности, математики, работающие в теории бифуркаций, отмечают, что в центре внимания синергетики (по крайней мере в ее современном виде) находятся качественные изменения в динамическом (или статическом) поведении системы, в частности при бифуркациях. Наконец, синергетику можно рассматривать как часть общего системного анализа, поскольку и в синергетике, и в системном анализе основной интерес представляют общие принципы, лежащие в основе функционирования системы. [c.361]

В приложениях 1-8 затрагиваются некоторые качественные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решения которых зависит исследование динамических систем. Обсуждению подлежат такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса (ср. с [196-198]) вопросы существования так называемых монотонных предельных циклов, наличия замкнутых траекторий, стягиваемых в точку по двумерным поверхностям, наличия замкнутых траекторий, не стягиваемых в точку по фазовому цилиндру качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения для динамических систем на плоскости проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно [c.6]

В приложениях 1-8 затрагиваются некоторые качественные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решения которых зависит исследование динамических систем. Обсуждению подлежат такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса (ср. с [196-198]) вопросы существования так называемых монотонных предельных циклов, наличия замкнутых траекторий, стягиваемых в точку по двумерным поверхностям, наличия замкнутых траекторий, не стягиваемых в точку по фазовому цилиндру качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения для динамических систем на плоскости проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования длиннопериодических и устойчивых по Пуассону траекторий. В заключение предлагается некоторая простая методика интегрирования некоторых классов неконсервативных систем через элементарные трансцендентные (в смысле теории функций комплексного переменного) функции. [c.174]

Бифуркация новых решений точно в точке, где одно из решений теряет устойчивость, не простое совпадение. Это общее свойство нелинейных уравнений. (Можно объяснить общее соотношение между бифуркацией и устойчивостью решений нелинейных уравнений, используя теорию топологической степени, однако это выходит за рамки нашего рассмотрения.) [c.406]

Следовательно, синергетика логически связана с теорией нелинейных колебаний и волн, которая ыожет служить общей теорией структур в неравновесных средах. В связи с этим и методы, используемые при изучении нелинейных колебаний и волн, могут применяться и для описания структур в неравновесных средах. Примеры применения теории нелинейных колебаний при математическом моделировании диссипативных систем в окрестностях точки бифуркации даны в [13, 14]. [c.253]

Для исследования свойств и бифуркаций такого квазифокуса построим в его окрестности на линии сшивания х = О функцию последования (точечное отображение), как и в случае настоящего сшитого фокуса (см. 4, п. 1). Будем строить эту функцию последования из двух функций соответствия между положительной и отрицательной полуосью у одной — по траекториям системы (8) и другой — по траекториям системы (9). Будем строить эти функции соответствия, используя общие интегралы систем (8) и (9), в окрестности точки 0(0, 0). Так как точка 0(0, 0) является неособой точкой для систем (8) и (9), и (по условию) каждая из этих систем определена в некоторой полной окрестности точки 0(0, 0), то в силу общих теорем (см. гл. 1) в окрестности этой точки (локально) существуют интегралы этих систем вида [c.374]

Специальные случаи. Описанные ниже специальные иц. тегралы возникают при применении теоремы 5.1 к стандартны уравнениям теории бифуркаций общих динамических систем В этих специальных случаях число нулей вариации обычно ока зывается равным минимально возможному по соображениям размерности (своеобразная неколеблемость соответствующей Линейного дифференциального уравнения Пикара—Фукса). [c.116]

Современная наука весьма часто бывает перегружена ворохом специальной терминологии и обозначений. Я стремился свести терминологию до минимума и в случае необходимости объяснять смысл новых терминов. Теоремы и методы изложены так, чтобы их можно было применять к конкретным задачам, т. е. приведены конструктивные доказательства, а не чистые теоремы существования. Стремясь использовать понятия общей теории динамических систем, я пытался следовать конструктивному подходу. В большинстве частей книги мне удалось осуществить свои намерения. Трудности возникли лишь в связи с квазипериодическими процессами. Я включил эти тонкие проблемы (например, бифуркацию торов) и мой подход к их решению не только пото.му, что они находятся на передовом рубеже современных математических исследований, но и потому, что с ними приходится то и дело сталкиваться при рассмотрении как естественных, так и искусственных систем. Главы, посвященные рассмотрению этих сложных проблем, так же, как и другие трудные главы, отмечены звездочкой. При первом чтении их можно опустить. [c.17]

Выше была изложена созданная к настоящему времени локальная теория состояний равновесия и периодических движений, а также попутно и отчасти неподвижных точек преобразования. При этом полностью рассмотрены все основные типы равновесий и периодических движений и их основные бифуркации. Это рассмотрение носит в некотором смысле законченный и завершенный характер. Точнее, можно думать, что рассмотрение более сложных случаев не даст ничего принципиально нового для общего понимания и общего качественного изучения динамических систем. Это естественно в предположении, что речь идет об изучении классов динамических систем, в котором только этим бифуркациям соответствуют в пространстве параметров разделяющие его бифуркационные поверхности. Вместе с тем эта надежда уже ни в коей мере не оправдывается для специальных классов динамических систем и в первую очередь для так называемых консервативных систем, где понятие общности совсем друп е, Когсерва-тивные системы требуют своего, во многом специфического исследования. Эта специфичность проявляется не всегда, многие вопросы и, в частности те, которым в значительной мере будет посвящен дальнейший текст, в полной мере относятся и к консервативному случаю. [c.267]

В зависимости от назначения проектируемой конструкции в качестве предельной нагрузки Р может рассматриваться верхняя Р в или нижняя Р н критическая нагрузка потери устойчивости, а также нагрузка первичной бифуркации Р . Нагрузки и Р н могут быть определены численно, в результате построения диаграммы нагрузка—прогиб на основе рещений уравнений равновесия в приращениях (в частном случае осесимметричного деформирования конструкции — методом последовательных нагружений). Нагрузка Р б определяется также численно, из рещения задачи на собственные значения для линеаризованных уравнений бифуркационной теории потери устойчивости. В общем виде соответствующие уравнения с необходи.мыми пояснениями к их выводу приведены в приложении, поэтому на обсуждении этих вопросов останавливаться не будем. [c.245]

В лекциях Р. Фейнмана [353] есть очень образное описание возникновения турбулентности с ростом числа Рейнольдса. Нарисованная там картина и ее возросшая сложность по сравнению с более ранними описаниями как нельзя лучше соответствует параллельно и независимо идущему процессу усложнения представлений теории бифуркаций. Последующее изложение имеет целью прояснить все возможные метаморфозы фазового портрета, которые могли бы отвечать переходу ламинарного течения в турбулентное и вообще устойчивого равновесного состояпия в хаос. Ото изложение не носит исчерпывающего характера, оно лишь в общих чертах описывает картину. После описания дерева возможных бифуркаций более подробно рассматриваются серии бифуркаций. Затем описываются бифуркации в двух конкретных и достаточно детально изученных динамических системах — системе Лоренца и нелинейном параметрически возбуждаемом осцилляторе и ротаторе. Эти примеры позволяют достаточно подробно проследить пути возникновения порядка и хаоса. [c.163]

При отделении от состояния равновесия О" ° устойчивого периодического движенин или устойчивых состояний равповесия происходит мягкий переход от прежнего установившегося движения (состояния равновесия) к новым установившимся движениям (устойчивому периодическому движению или одному из устойчивых состояний равповесия). Напротив, при слиянии с состоянием равповесия О" неустойчивого периодического движепия, неустойчивого равповесия или равновесий переход к новому установившемуся движению носит жесткий характер. К какому именно новому установившемуся движению происходит жесткий переход, локальная теория бифуркаций не указывает. Это может быть равновесие, периодическое, хаотическое или стохастическое автоколебание. Это может быть и уход в бесконечность. Отметим, что общими являются только бифуркации 1 и 3, бифуркация 2 является общей только при часто встречающейся симметрии динамической системы. Подчеркнем, что все эти бифуркации были уже рассмотрены в гл. 5. Теперь они собраны вместе и представлены на дереве возможных бифуркаций, изображенном на рис. 7.1. Они соответствуют переходам через бифуркационные границы УУо н [c.164]

Приведенные в обзоре результаты показывают, что, несмотря на некоторую специфику неголономных систем, исследование устойчивости и бифуркаций стационарных движений данных систем вполне успешно может быть проведено на основе модифицированной теории Рауса-Сальвадори и Пуанкаре-Четаева, если эти системы допускают первые интегралы, заданные в явной или в неявной формах, и теории Ляпунова-Малкина и Андронова-Хопфа, если эти системы являются системами общего вида, т. е. не допускают первых интегралов, отличных от интеграла энергии, но обладают диссипативными (см. замечания 4.3 и 4.4) свойствами. [c.462]

Н. Г. Четаев (1926) исследовал вопрос о существовании непрерывной последовательности устойчивых фигур равновесия однородной в каждый момент времени вращающейся жидкой массы, находящейся под действием сил ньютоновского притяжения, сил лучистого сжатия к центру тяжести с постоянной скоростью и постоянного давления на свободной поверхности. Для выделения устойчивой последовательности фигур равновесия автор использовал теорему Лагранжа об устойчивости равновесия, которую доказал применительно к рассматриваемой системе. Несколько позднее Четаев (1931), пользуясь теоремой Ляпунова об устойчивости фигур равновесия, доказал, что если существует не бесконечно малый нижний предел для массы отдельных тел, на которые под влиянием сил ньютоновского притяжения и центробежной может распасться некоторая масса однородной несжимаемой жидкости, то для этой массы существует по крайней мере одна устойчивая фигура равновесия. Далее автор доказал две важные общие теоремы о числе реальных ветвей кривой ] авновесия механической системы, проходящих через точку бифуркации и о смене устойчивости. Частные случаи указанных теорем были установлены [c.32]

Во второй главе затрагиваются некоторые вопросы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решений которых зависит исследование как (чисто) диссипативных динамических систем, так и систем с переменной диссипацией, рассматриваемых ниже и возникающих в динамике твердого тела, взаимодействующего со средой. Рассматриваются такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса наличия замкнутых траекторий, в том числе, таких, которые охватывают фазовый цилиндр качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования семейств дпинноперио-дических и устойчивых по Пуассону траекторий. Исследуются также возможности перенесения теории двумерных топографических систем Пуанкаре и систем сравнения на многомер-ныйслучай(см. также[168,250, 251, 266, 291, 300]). [c.69]

Однако вопрос об установлении факта появления двукратного предельного цикла (он появляется из уплотнения траекторий) ), об установлении отсутствия такого появления является одной из напбодее сложных задач теории бифуркаций, для решения которой в настоящее время нет сколько-нибудь общих методов (пли приемов). Если не доказано (методом Дюлака, использованием топографической системы или еще каким-либо частным приемом) отсутствия предельных циклов, то мы, вообще говоря, не имеем никаких оснований для того, чтобы утверждать отсутствие любого числа двукратных предельных циклов, а следовательно, и любого четного числа предельных циклов. Мы не можем также (без дополнительных специальных сведений о правых частях) ни утверждать, что при изменении параметра X не появляются двукратные предельные циклы, ни утверждать их появление. Правда, иногда косвенным рассуждением появление двукратных циклов удается показать (см. гл. 16). [c.188]

Методы качественного исследования динамической системы, правые части которой содержат параметры, использующие теорию бифуркаций, опираются на следующее общее, эвристически не вызывающее сомнений утверждение. [c.240]

O, Ф(то(1(12я) —координаты на торе [7]. Если число вращения иррационально, то движение условно-периодично и каждая траектория обматывает тор всюду плотно. Если число вращения рационально, то на торе существуют циклы если циклы невырождены, то их четное число (половина — устойчивые, половина—неустойчивые), и остальные траектории притягиваются к ним при /- - сж. Число вращения ц(е) в системе общего положения представляет собой непрерывную кусочно-постоянную на открытом всюду плотном множестве функцию от е (вроде кан-торовой лестницы, но только суммарная относительная мера интервалов постоянства на отрезке [О, ео] стремится к нулю прн со- О). Существование интервалов постоянства связано с наличием на торе невырожденных циклов при малом изменении е такие циклы не исчезают и, следовательно, число вращения не изменяется. При е- 0 в системе общего положения на торе происходит бесконечная последовательность бифуркаций рождения и исчезновения циклов. Все эти явления не улавливаются формальной процедурой теории возмущений. [c.164]

Нагрузки равноактивной бифуркации относительно легко получаются для пластинки прямоугольного очертания и при произвольном однородном исходном состоянии, а также в некоторых специальных случаях. В общем случае используются приближенные методы. По критерию равноактивной бифуркации эти нагрузки отвечают началу выпучивания пластинки, что в общем подтверждается данными экспериментов . Замечено, что лучшее соответствие получается при использовании деформационной теории. [c.202]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...