Характеристики бифуркаций

Характеристики бифуркаций. Бифуркации удобно классифицировать по следующим характеристикам бифуркационных поверхностей [c.95]

Представленная в табличной форме (табл. 5.4), ЕКД характеризует поведение сплавов не только в условиях проведения испытаний, которые являются лабораторными с заданными (тестовыми) условиями опыта. Она является характеристикой свойства материала сопротивляться внешней циклической нагрузке при многообразии условий внешнего воздействия, поскольку реализация одного и того же кинетического процесса между двумя соседними точками бифуркации характеризуется одинаковыми величинами КИН при достижении одинаковых величин скорости роста усталостной трещины. Корректное определение величины эквивалентного КИН для условий многофакторного воздействия приводит к представленной выше в табличной форме ЕКД. Вместе с тем сама ЕКД может быть использована в качестве эталона, к которому могут быть приведены получаемые в испытаниях кинетические кривые. В случае постоянного влияния параметра воздействия [c.253]

Параметры ортотропии упругих свойств рассматриваемой композиции (АД1 + 15% У8А) при 7 =300°С, определяемые по соответствующим характеристикам ее элементов [31], имеют значения модуль упругости вдоль волокон = 6,377 10 МПа, поперек волокон 2 = =4,709-10 МПа, коэффициенты Пуассона V)2=0,22, л>21 = 0,3. На рис. 51 приведена зависимость <7( 0) для ортотропной оболочки с константами Ер=Еч, Eq=E, Vp0=V2i, V0P=V12, Ео—Ер (окружное армирование). Абсолютное значение критической нагрузки, соответствующее возможной бифуркации с образованием двух волн [c.87]

Бифуркации смены устойчивости периодич. д в и ж е н и й. Важной характеристикой Б. смены устойчивости периодич. движений (табл. 2) являются значения мультипликаторов в кри-тич. момент, к-рые представляют собой коэф. усиления (затухания) малых возмущений на фоне рассматривае- [c.211]

При таком подходе к понятию времени облегчается решение многих эволюционных задач. Мы используем эти представления для решения задачи прогнозирования долговременных характеристик прочности при работе в условиях ползучести. В предыдущем параграфе было показано, Что при циклическом нагружении прогнозирование долговечности материала требует знания параметров точки бифуркации (пороговой скорости движения трещины В и коэффициента интенсивности напряжений А), [c.203]

В методе интегральных спектральных представлений детерминистические операции на первом этапе, по существу, отсутствуют. После подстановки в исходные уравнения стохастических интегралов Фурье, представляющих случайные функции, необходимо выполнить операцию осреднения, в результате которой происходит переход к вероятностным характеристикам изучаемых полей. Нагрузка на оболочку выступает здесь как детерминированный параметр критическое значение этого параметра определяет точку бифуркации решения нелинейной задачи относительно статистических характеристик поля перемещений. [c.220]

Общие замечания. При наличии в конструкции вязкоупругих элементов ее деформативные характеристики, а также прогибы независимо от характера приложенной нагрузки являются функциями времени. Анализ изменения во времени свойств вязко-упругой конструкции в случае статического нагружения приводит к понятиям мгновенной и длительной устойчивости [83, 135]. Очевидно, что в этом случае к совокупности требований, предъявляемых к проекту относительно величин предельных нагрузок и массы конструкции, добавляется требование к величине времени эксплуатации конструкции /э. Поскольку классическое определение критической нагрузки потери устойчивости вязкоупругой конструкции как нагрузки бифуркации в условиях статического нагружения наталкивается на известные противоречия, то понятие потери устойчивости такой конструкции следует обобщить, рассматривая потерю устойчивости как протяженный во времени процесс выпучивания конструкции. Естественной характеристикой такого процесса является критическое время потери устойчивости конструкции /кр, которое в принципе можно определить из условия достижения прогибом конструкции гОг некоторого критического значения ш [c.237]

Переход от стабильного разрушения к нестабильному связан со сменой микромеханизма разрушения, т. е. отвечает точке бифуркации. Применение положений линейной механики разрушения фактически обусловливает необходимость определения свойств материала именно в точках бифуркаций. При таком подходе фундаментальные характеристики трещиностойкости материалов могут быть получены, если учесть влияние скорости движения трещины на критическое значение /(, = отвечающее переходу к [c.10]

До сих пор мы рассматривали внешние воздействия, входящие в уравнения движения аддитивно (внешние силы). При параметрических внешних воздействиях на нелинейные осцилляторы наблюдаются не менее интересные эффекты. Возможные наборы бифуркаций и хаотических режимов для таких осцилляторов описаны в 4 главы 7 (в основном по материалам работ [60, 62—67]). Здесь мы остановимся на результатах других работ и обратим особое внимание на качественные стороны поведения системы и спектральные характеристики колебаний. Уравнение физического маятника с колеблющейся осью подвеса имеет вид [c.276]

Превращения одной дислокационной субструктуры в другую носят характер фазовых переходов. Для многих из них параметром системы является скалярная плотность дислокаций. При достижении критического значения этой величины начинает развиваться новая субструктура. Это значение соответствует точке бифуркации. Старая субструктура еще некоторое время развивается, но ее объемная доля после точки бифуркации убывает. С критической плотностью дислокаций связано появление новой характеристики распределения дислокаций, которая является параметром перехода [56]. [c.83]

При Q О величииа Ki О, что соответствует решению задачи о равномерном отсосе без вращения. Величина Ki иа некоторой кривой Ki = 0) непрерывным образом изменяет знак. В режимах, отвечающих этой кривой, жидкость вращается, хотя диски неподвижны. Бифуркация такого самовращения, которое обсуждалось в разд. 4.3, происходит в точке пересечения линий Q = 0 и iii = 0. За меру интенсивности вращения в этом случае удобно принять величину Q (величина К = 0, следовательно, не может служить характеристикой вращения). [c.241]

Рассмотрим структуры разбиения фазового пространства и последовательность бифуркаций, переводящих одну структуру в другую для значений параметров вдоль бифуркационной прямой о — Яа 1 — г/1 = О хх, г/i — координаты верхней угловой точки характеристики). [c.414]

Задача выделения классов характеристик, по отношению к которым пространство параметров Я системы (1) будет грубым, сводится к задаче изучения бифуркаций, возможных в системе при изменении характеристик. Если при замене одной характеристики другой не исчезают какие-либо возможные бифуркации и не появляются новые, то система будет грубой в указанном выше смысле по отношению к этим характеристикам. В общем случае эта задача очень трудна и не существует регулярных методов для ее решения. Бифуркации, возможные в системе, в неодинаковой степени доступны для исследования. Простейшие из них характеризуются значениями некоторых величин, отнесенных к точке фазового пространства (таковы бифуркации сложных состояний равновесия или бифуркации, связанные с оценкой числа предельных циклов, появляющихся из состояния равновесия типа фокус пли от петли сепаратрисы), другие требуют сведений о глобальном поведении траекторий и не могут быть получены регулярными методами (сюда относятся весьма сложные вопросы [c.432]

Теперь остается установить для характеристик рассматриваемого класса возможность бифуркаций, связанных с появлением предельного цикла из петли сепаратрисы в верхнем полуцилиндре. [c.446]

Для этих характеристик легко найти уравнения кривых, на которых происходят бифуркации. Папример, легко обнаружить, что при характеристике (7) бифуркационная кривая в плоскости ("(, к) проходит через начало координат и точку (1, 2У2/(я + Я)), в которой происходит смыкание с вертикальным куском границы. [c.448]

Классическим аттракторам соответствуют классические геометрические объекты в фазовом пространстве равновесному состоянию — точка, периодическому движению или предельному циклу — замкнутая кривая, а квазипериодическому движению соответствует поверхность в трехмерном фазовом пространстве. Как мы увидим в последующих главах, странный аттрактор связан с новым (по отношению к классической геометрии) геометрическим объектом, называемым фрактальным множеством. В трехмерном фазовом пространстве фрактальное множество странного аттрактора выглядит как набор бесконечного числа слоев или параллельных плоскостей, причем расстояние между некоторыми из них приближается к бесконечно малому. Для описания этого нового аттрактора нелинейной динамики требуются новые математические идеи и язык, а для его обнаружения и количественной характеристики — новые методы эксперимента. Связь между бифуркациями и хаосом обсуждается в недавно изданной книге [193]. [c.32]

Точнее было бы сказать, что точку бифуркации нельзя вообще отыскать, изучая характеристики лишь самих сжатых сфероидов и игнорируя смежные конфигурации. — Прим. ред. [c.27]

На рис. 16.10 приведены результаты расчета на выпучивание и устойчивость сжатой квадратной пластины из сплава Д16Т, основные механические характеристики которой = 0,75-10 МПа, От = 200 МПа, 8т = 2,67-10 , х = 0,32. По оси ординат отложена безразмерная сжимающая нагрузка q = q/qt, где — касательно-модульная нагрузка бифуркации, а по оси абсцисс — безразмерный прогиб f = f/h. Кружочки отвечают пределам устойчивости. [c.360]

Анализ вольтамперных характеристик на различных стадиях формовки и соответствующие соотношения затрачиваемой мощности в анодном и катодном полупериодах позволили объяснить с позиций синергетики переход системы металл покрытие электролит в мягкий режим МДО с блуждающим в автоколебательном реясиме пятном разрядов в характерных точках бифуркации, при переходе через которые система формирует новые диссипативные структуры со спонтанным изменением свойств среды. [c.168]

Глобальные бифуркации систем с глобальной секущей на торе. Исследование потоков на торе с глобальной секущей сводится к исследованию диффеоморфизмов окружности (являющихся отображениями последования). Здесь основной характеристикой, определяющей топологическую структуру, является число вращения Пуанкаре. Оно же характеризует глобальные - бифуркации, осуществляющиеся при изменении параметра. [c.104]

Принцип однозначного соответствия является характеристикой устойчивости и неизменчивостн действия ведущего механизма эволюции открытой системы между двумя соседними точками бифуркации. Процесс эволюции и последствия его д( й-ствия в системе могут быть охарактеризованы однозначными признаками. С точки зрения разрушения металла неизменному механизму роста трещины однозначно соответствует неизменный вид или тип морфологии рельефа разрушения. При одном и том же механизме разрушения или процессе эволюции не могут быть разные параметры рельефа излома. [c.121]

Рис. 9. графики решений уравнений баланса комек-тов при лннейных параметрах виешнего колебательного контура л — на валу привода ро> тора б — на золотнике Щ ( Oi)—линия скоростной взаимосвязи уравнений Luf, — значение опрокидывающего момента приводного асинхронного двигателя LJ, L" — регулировочные характеристики привода распределителя, за вычетом моментов сопротивлений собственному вращению Ml — приведенный момент сопротивлений вращению распределителя, полученный проектированием через поверхность Si линии скоростной взаимосвязи на фронтальную плоскость А и В — зоны возможных амплитудных срывов Ai, В, — зоны возможных частотных срывов а, Ь, с, d, е — точки бифуркаций [c.188]

При линейных параметрах колебательного контура склонность системы возбуждения к потере устойчивости проявляется лишь с выходом нагрузки на пусковую ветвь механической характеристики двигателя ротора. Тогда ввиду отклонений характеристики Lj от монотонности на ней образуются точки бифуркаций. Такие ситуации возможны при эксплуатации виброис-пытательиой техники, возбуждаемой роторными гидропульсаторами. В системах с нелинейными параметрами (рис. 10) образование точек бифуркаций вызывается зигзагообразной складкой поверхности в резонансной зоне объекта и при режимах не сходящих [c.188]

Если такая поляризационно-неустойчивая среда помещена в ОР. то флуктуации поляризации могут нарастать во времени. В стационарном режиме прошедшее через ОР излучение оказывается в одном из двух симметричных состояний, отличающихся знаком угла поворота эллипса поляризации относительно исходного направления и направлением вращения вектора напряжённости поля. Линейной поляризации падающего на ОР излучения (/axt е = 0, ф = 0) соответствуют два возможных набора устойчивых значений параметров П1. ni и Фп1 (г = I, 2), причём ещ = —e , и фщ = = —фп4. Это соответствует поляризац. О. б. Полный анализ О. б. с учётом изменения поляризация излучения весьма громоздок, поскольку он сводится к анализу зависимости интенсивности / и двух параметров поляризации (вд, ф ) прошедшего излучения от соответствующих характеристик падающего. Однако указать область параметров оптич. системы, при к-рых возможна О, б. или мультистабильность, а также качественно понять, как проявляется О. б., можно из анализа вида бифуркац. поверхности — поверхности в пространстве параметров падающего излучения, на к-рой меняется число стационарных состояний поля в нелинейном ОР. Она определяется из ур-ния [c.429]

Для анализа устойчивости 1фисталлической решетки и характеристик прочности межатомной связи металлических кристаллов рассмотрим подходы к оценке максимальной (идеальной) прочности с использованием термодинамических и упругих констант кристаллов. С позиции принципов синергетики критические параметры, контролирующие устойчивость системы вблизи точек бифуркаций, инвариантны к виду подводимой энергии. В связи с этим за энергетический критерий устойчивости кристаллической решетки можно принять энергию, необходимую для нагрева кристалла до температуры плавления и его плавления [266]. Она определяется работой, которую надо произвести над кристаллической решеткой при заданных температуре и давлении, чтобы перевести ее в состояние, подобное состоянию металла при температуре плавления. Эта аналогия вытекает из инвариантности энергии, контролирующей бифуркационную неустойчивость систем, к условиям подвода энергии. [c.147]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

В большинстве практически важных случаев для описания докритического равновесного положения оболочки можно использовать линейные уравнения изгиба. При этом характеристики основного напряженно-деформированного состояния пропорциональны параметру нагрузок. Если же в уравнениях устойчивости сохраняются члены, которыми учитывается влияние перемещений и деформаций перед потерей устойчивости, то зависимость коэффициентов этих уравненй от параметра нагрузок в общем случае остается нелинейной. Эта зависимость становится линейной лишь тогда, когда пренебрегается как нелинейностью основного равновесного состояния, так и влиянием докритических деформаций. В этом случае решение задачи устойчивости сводится к определению собственных чисел и собственных элементов линейной однородной краевой задачи для системы дифферециальных уравнений с частными производными. Упрощенные уравнения такого типа позволяют выявить точки бифуркации и нашли широкое применение [c.61]

Переход от стадии Г к стадии II связан с изменением типа движения берегов трещины, т. е. с изменением макромеханизма разрушения, обусловленного возникновением локальной нестабильности разрушения. При реализации автомодельного перехода через эту границу пороговое значение К ю. отвечающее этому переходу, является фундаментальной характеристикой трещиностойкости материала в точке бифуркации, отвечающей переходу от стадии I к стадии II. Эта точка характеризуется достижением условий, при которых тип движения берегов трещины связан с нормальным отрывом. [c.115]

К той же теме относится работа Гинсберга. Но здесь в отличие от предыдущих статей используются соотношения геометрически нелинейной теории. Подробно анализируется влияние нелинейных эффектов. Отыскиваются точки бифуркации на амплитудно-частотных характеристиках, которые, соответствуют появлению неосесимметричной формы движения при осесимметричной основной деформации. [c.6]

Спектральные плотности 5(м) являются простейшими и достаточно информативными количественными характеристиками стохастических движений динамических систем. Измеряя их экспериментально или вычисляя с помощью ЭВМ, можпо довольно четко выделять момент начала хаотизации, а также происходящие бифуркации при плавном изменении параметров. Так, в случае периодического движения спектр состоит из ряда эквидистантных линий нк частотах м, 2м, Зм,. . . (см., например, рис. 8.4, а, где изображены экспериментальные спектры скорости при тепловой конвекции в слое воды, полученйые в работе [c.223]

Другими универсальными характеристиками перехода Фей-генбаума являются отношение интенсивностей появляющихся субгармоник при ге-й и (ге+ 1)-й бифуркациях удвоения периода и изменение формы сплошного спектра при обратных бифуркациях. В работе [446] Фейгенбаум получил, что при ге оо Sn+i 2k) = Sn(k), Sn+i(2k+i)=r S (k + i/2), где у = 2 = = 4aVV2(l + а ) 6,57, (А)—интенсивность к-ш гармоники основной частоты (й = 2я/Г вдали от п-ш бифуркации удвоения. Полученные соотношения означают, что огибающая спектра рожденных при (ге+1)-й бифуркации субгармоник (вдали от точки бифуркации) должна лежать ниже огибающей спектра рожденных при п-й бифуркации субгармоник на 20 Ig "К 16,35 дБ. Однако, как показано в [593], Фейгенбаум ошибся при вычислении величины Y. В действительности у = У2р = 4,5785. .., что соответствует разности между огибающими спектров в 13,214... дБ. Этот результат неоднократно подтвержден как в физических, так и в численных экспериментах (см., например, [535, 658]). Форма сплошного спектра после перехода к хаосу подчиняется аналогичным закономерностям. В работе [680] получено, что спектральная плотность при (ге+1)-й обратной бифуркации (Sn+iia)) связана со спектральной плотностью при п-й бифуркации 8 а)) соотношением [c.245]

Как при мягкой, так и при жесткой упругой характеристике хаотические колебания существуют цри достаточно большой амплитуде внешней силы в интервале частот м, где соответствующая амплитудно-частотная характеристика неоднозначна (область бистабильности). Как показали численные эксперименты, эти колебания возникают путем последовательности бифур,-каций удвоения периода. Области таких бифуркаций и хаотических колебаний для /с = 1 — 4 а = 0,4 В = 0,115 Во —О получены в [517] с помощью АВМ. Критическое значение час- [c.267]

Количественные характеристики обнаруженных в упомянутых экспериментах бифуркаций меняются, в частности, в зависимости от размеров цилиндров и от начальных данных. Так, в первом из экспериментов, описанных Ди Прима и Суинни, / 1 = 22,54 мм / 2 = 25,40 мм = / 2—/ 1 = 2,86 мм // 1=0,14 высота цилиндров к = 2Ы Й2 = 0. Число Рейнольдса Ке = й Й1/у при котором происходит переход к хаосу, здесь оказалось равным Не = Кес = = 2501. Вихри Тэйлора появились в этом эксперименте при Ке = = Не/Кес = 0,051 (в количестве й/г/2я=17) при / = 0,064 на них появились изгибные волны (четыре на окружность, с безразмерной частотой /] = 2Я/1/Й1 = 1,30, причем в спектре иг 1) были видны шесть ее гармоник) при = 0,54 появилась вторая (малая) частота /2 с ростом / она убывала до нуля при = 0,78, [c.146]

При качественном исследовании динамических систем можно использовать переход от исходной модели к упрощенной или кусочно-интегрируемой, аппроксимируя характеристики в уравнениях движения. При этом возникает важный вопрос о допустимых отклонениях аппроксимирующих функций от реальных характеристик при сохранении необходимой близости между исходной и аппроксимирующей системой. Понятие необходимой близости не однозначно и определяется целями исследования. Естественным требованием при создании удобной модели за счет изменения аппроксимации будет при этом требование сохранения при изменении характеристик качественной структуры раз-бения пространства параметров и фазового пространства исследуемой системы. Таким образом, возникает задача выяснить, в какой мере возможно изменять характеристики системы, не изменяя существенно общую картину зависимости поведения траекторий от параметров, и выяснить, что может происходить с пространством параметров системы при изменении характеристик, В общей постановке задача сводится к вопросу о сохранении или потере бифуркаций при переходе к аппроксимирующей системе. Возникающие здесь трудности связаны с тем, что не все бифуркации могут быть прослежены регулярными методами, и, кроме [c.431]

Выбор этой задачи обусловился тем, что в исходной системе возможен широкий набор бифуркаций (осуществляются все типы бифуркаций первой степени негрубости) и удалось строго установить структуру разбиения пространства параметров как для исходной системы (что до сих пор не было сделано), так и для аппроксимирующих систем. Здесь возникают различия в структуре разбиения пространства параметров и фазового пространства, позволяющие оценить влияние аппроксимаций на структуры разбиения и обнаружить, в частности, важную роль, которую играет седловая величина (см. гл. 9). Сохранение количественной близости характеристик не оказалось обязательным для сохранения качественной структуры разбиения фазового пространства и пространства параметров системы. Использование седловой величины при качественном исследовании сшитых систем опирается на возможность перенесения утверждений, касающихся условий устойчивости петли сепаратрисы (см. гл. 9) и рождения от нее предельных циклов, на неаналитические системы (см. гл. 17), содержащие петлю, в состав которой входит аналитическое седло. [c.433]

Критерий Дюлака (см. гл. 6) позволяет сделать исчерпывающие высказывания о бифуркациях, связанных с предельными циклами. Так как величина Рц, + Оу= — к не меняет знака в рассматриваемой области пространства параметров, то не существует предельных циклов, охшатывающих состояние равновесия, и не может быть более одного предельного цикла, охватывающего фазовый цилиндр. Бифуркации, связанные с появлением предельного цикла из сгущения траекторий (связанные с рождением двойного предельного цикла), для рассматриваемого класса характеристик невозможны. [c.445]

Сохранение структуры разбиения плоскости параметров в этих точках требует более жестких условий для класса характеристик, не изменяющих структуру разбиения плоскости параметров. Такой точкой, например, для рассматриваемой плоскости параметров о, V при характеристиках рис. 243, а, б будет точка А, в которой смыкаются пять областей. Пеизменность качественной структуры разбиения плоскости параметров системы (9) при характеристиках рис. 243, а, б обуславливается тем, что величина Рц, + Qy с точностью до величин порядка для фокуса и для седла имеет одинаковое значение при обеих аппроксимациях, и при изменении знака а не только появляется цикл из особой точки, но и происходит изменение характера бифуркаций для петли сепаратрисы. Это условие не будет соблюдено, еслп перейти к релейным характеристикам. [c.455]

На примере плазменного шара еще раз можно проследить за всеми основными характеристиками и составными элементами самоорганизации. Для того чтобы в системе началась самоорганизация, она должна быть подведена к границе устойчивости. Неустойчивость в данном случае — разбиение разряда на шнуры — начинается лишь с намека (хинта) на появление будущего шнура. На каждый такой хинт достаточно лишь одного бита информации. По мере увеличения внешнего параметра неравновесности, в данном случае силы тока, происходит реальное образование шнуров. Исходная сферическая симметрия нарушается можно сказать, что происходит самопроизвольное, или спонтанное, нарушение симметрии. Далее, по мере разогрева газа в шнурах в игру вступает конвекция, т.е. следующая бифуркация с появлением нового параметра порядка — газодинамической скорости. Появление "кошачьих лапок" на торцах каждой "змейки" — это еще одна бифуркация со своим механизмом неустойчивости. А в целом образуется сложная нелинейная физическая система с хаотическим типом движения. Для того чтобы это движение поддерживалось длительное время, система должна быть открытой через плазменный шар нужно непрерывно пропускать электрический ток от внешнего источника. Более того, этот источник энергии должен поставлять энергию в достаточно упорядоченном виде по терминологии Бриллюэна в систему должна "впрыскиваться" негэнтропия, т.е. энтропия с обратным знаком. [c.326]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...