Стохастичность граница

Сразу же возникает вопрос действительно ли существует некоторая граница, отделяющая островки устойчивости от области неустойчивости Из общих соображений можно заключить, что траектория не может быть и устойчивой, и неустойчивой в одно и то же время. Поэтому поставленный вопрос вырождается в следующий не могут ли малые островки устойчивости сильно повлиять на общую картину движения во всем фазовом пространстве и ликвидировать стохастичность Строгой теории преобразования (1.9) не существует. Трудности в ее построении как раз и связаны с тем, что островки устойчивости имеют конечную ме- [c.78]

В 2.3 уже рассматривались биллиарды со стенками отрицательной кривизны. Если границы биллиарда имеют как отрицательную, так и положительную кривизну, то характер динамики частицы должен определяться соотношением времен, которые частица проводит в окрестности рассеиваю-щих и фокусирующих областей. Эти соображения были высказаны Хопфом [40] и рассмотрены более детально в работе Бунимовича [160]. Последующие исследования показали, что стохастичность может возникать также в биллиардах, которые содержат только фокусирующие дуги п прямолинейные отрезки [161, 162]. Примеры таких биллиардов приведены на рис. Д1.1 ) [c.244]

Таким образом, для границы стохастичности можно принять [c.253]

Условия (Д3.15), (Д3.16) определяют границу стохастичности в рассматриваемом диссипативном случае. [c.253]

При доказательстве теоремы KAM [308] возмущение е приходится, вообще говоря, полагать чрезвычайно слабым. Чириков [67 ] нашел, что критическую величину возмущения можно оценить из условия перекрытия целых резонансов, изображенных на рис. 3.2, б. Численные эксперименты показали, что этот критерий дает разумную оценку для величины возмущения, при которой разрушаются последние инвариантные кривые, проходящие между этими резонансами. Используя аналитические и численные результаты с учетом дробных резонансов q — 2 и q = 3, Чириков [70 ] усовершенствовал критерий перекрытия и получил весьма точные предсказания для границы стохастичности. Критерий перекрытия резонансов и связанные с ним другие критерии перехода к стохастичности для некоторого класса типичных возмущений будут подробно рассмотрены в гл. 4. [c.195]

Рис. 3.15. Положение границы стохастичности (черные кружки) и границы устойчивости 5 (светлые кружки) в зависимости от М для отображения (3.4,6) (по численным данным работы [274]).

Как сейчас известно (см. [70], 5.1 и гл. 4 ниже), граница стохастичности и(, да 2из при уИ > 1, что не противоречит численным данным на рис. 3.15. По поводу отклонений при М 10 см. [70, 6.2] и конец п. 4.26.— Прим. ред. [c.231]

Сепаратрисное отображение играет чрезвычайно важную роль в понимании хаотического поведения систем, близких к интегрируемым. Как мы видели выше, резонансы в таких системах всегда окружены сепаратрисами, а сепаратрисное отображение описывает движение в их окрестности, причем это движение является хаотическим при ш 0. Ввиду такой универсальности сепаратрисное отображение интенсивно изучалось [70] с целью определения границы стохастичности которая характеризует ширину стохастического слоя вокруг сепаратрисы, а также для выяснения статистических свойств хаотического движения внутри этого слоя. Результаты этих исследований представлены в гл. 4 и 5. Далее в гл. 6 будет показано, что движение в окрестности сепаратрисы лежит в основе анализа диффузии Арнольда, которая, вообще говоря, всегда имеет место в системах с тремя и более степенями свободы. [c.243]

Более естественное определение перехода к стохастичности вытекает из следующего наблюдения, характерного для различных систем с двумя степенями свободы в фазовом пространстве существует резкая граница между областями с узкими стохастиче- [c.245]

Как мы уже видели в задаче об ускорении Ферми ( 3.4), граница стохастичности ) отделяет сплошную стохастическую компоненту при малых скоростях частицы от области со стохастическими слоями вблизи сепаратрис резонансов при больших скоростях (см. рис. 4.1, 1.14, и 3.15). Эта граница отличается от границы устойчивости 5, ниже которой все неподвижные точки соответствующего отображения неустойчивы. Оказывается, что откуда следует, что неустойчивость неподвижных точек достаточна, но не необходима для глобальной стохастичности, т. е. это условие является слишком сильным. Мы же ищем более эффективный критерий, которой был бы и необходимым, и достаточным. К сожалению, чисто аналитического метода получения такого критерия не существует. Поэтому приходится прибегать к различным правдоподобным рассуждениям, подкрепленным численными экспериментами. В этой главе мы рассмотрим пять методов, описанных качественно в п. 4.1а, каждый из которых дает свой вклад в понимание рассматриваемой проблемы. В качестве модели для иллюстрации этих методов мы используем стандартное отображение, свойства которого обсуждаются в п. 4.16. [c.246]

Третий метод определения границы стохастичности базируется на анализе линейной устойчивости движения вблизи центра резонанса (его периодической траектории). Идея метода состоит в следующем. Поскольку потеря линейной устойчивости для резонансов с наиболее низкой гармоникой ( = 1) является слишком жестким условием, более эффективным критерием может служить линейная устойчивость для тех резонансов на высоких гармониках к, которые расположены вблизи некоторой инвариантной поверхности. Эта гипотеза была численно проверена и подтверждена Грином [164, 165]. Более конкретно, гипотеза Грина состоит в том, что существование инвариантной кривой с иррациональным числом вра- [c.247]

Это расхождение (и даже его знак) может быть связано и с точностью численного определения границы стохастичности при относительно коротком времени счета в [17, 18] (см. [70], (4.49) и рис. 5.3).— Прим. ред. [c.248]

Если система имеет более чем две степени свободы, то резкой границы стохастичности уже не существует. Это связано с тем, что все стохастические слои резонансных сепаратрис в фазовом пространстве связаны между собой. Возникающая при этом диффузия Арнольда является, вообще говоря, очень медленной по сравнению с диффузией в областях глобальной стохастичности. Поэтому в практическом отношении понятие границы стохастичности остается содержательным и для многомерных систем. [c.249]

Для вычисления границы стохастичности используем в качестве модели стандартное отображение (3.1.22). Это позволит нам аналогично Чирикову и Грину исследовать переход к стохастичности в терминах параметра стохастичности К- Мы уже видели в п. 3.16, что стандартное отображение локально аппроксимирует более общие нелинейные отображения. Покажем прежде всего, что это распространяется и на отображение Улама, и на сепаратрисное отображение. [c.249]

Граница стохастичности. Численно легко получить сотни тысяч итераций стандартного отображения (4.1.3) и, таким образом, исследовать его динамику для различных значений К и начальных [c.253]

На рис. 4.4 показаны четыре траектории стандартного отображения для К = 0,97, чуть ниже границы стохастичности. Две из них лежат на инвариантных кривых, изолирующих стохастические слои целого к = 1) и полуцелого к — 2) резонансов. Однако резонанс с к = 4 уже поглощен стохастическим слоем целого резонанса. [c.255]

Подставляя в это выражение (4.2.21) и требуя, чтобы на границе стохастичности как для первичных, так и для вторичных резонансов /Са = К, получаем полуширину стохастического слоя [c.261]

Этот критерий означает, что ширина целого резонанса плюс ширина его стохастического слоя плюс ширина полуцелого резонанса равна расстоянию между центрами двух целых резонансов. Для получения критического значения К, определяющего границу глобальной стохастичности, нужно решить уравнение (4.2.29) с из (4.2.23). В результате находим АГ = 1,2. С помощью дополнительных эвристических соображений ) Чириков [70 ] получил К 1,06. Подробное численное исследование стандартного отображения [70] дало в качестве верхней границы близкое значение К яг 0,99. В 4.4 будет показано, что более тонкий критерий стохастичности приводит к значению К 0,9716. [c.262]

Помимо этого, точное положение границы стохастичности зависит от расположения крайнего целого резонанса относительно критического Пс, где К (ис) — 1. Подробное обсуждение этого вопроса см. в работе [70, 6.2].— Прим. ред. [c.263]

К сожалению, эта красивая картина одновременного перекрытия резонансов на всех уровнях несправедлива даже качественно, поскольку при перекрытии системы резонансов их центры остаются еще долго неразрушенными. Для стандартного отображения, например, граница стохастичности соответствует /С = Я" , 1, а разрушение центра целых резонансов происходит только при /С = К й = 4. Формально, это связано с тем, что уравнение (4.3.20) не имеет решения при х 2, а при X = я оно несправедливо.— Прим. ред. [c.266]

Рассмотрим развитый Грином [164, 165] метод, который позволяет найти точную границу перехода к глобальной стохастичности. Этот метод постулирует соответствие между двумя следующими свойствами системы (рис. 4.7) 1) разрушение инвариантной кривой с иррациональным числом вращения а и 2) потеря устойчивости периодических точек, число вращения которых r/s -у а при s -> оо (г, s — взаимно простые числа). [c.269]

Грин вычислил значения / для подходящих дробей золотого сечения при К = 0,9716 и УС = 0,9. Для сравнения эти результаты сведены в табл. 4.1, из которой ясно виден переход от значений /< 1 при К = 0,9 к асимптотическому значению / л 1 при К = 0,9716. Обратим также внимание на резкое изменение асимптотического значения Я (для больших 5) от ничтожно малого в устойчивом случае до / = 0,25 на границе стохастичности. [c.275]

Для отображения Улама численно найденная граница стохастичности на рис. 3.15 согласуется с условием (4.7.2). Если же соседние резонансы значительно отличаются по ширине, то оценки, полученные для стандартного отображения, неприменимы. В случае [c.288]

Таблица 4.2. Граница стохастичности для стандартного отображения

Указанное обстоятельство позволяет получать миллионы итераций отображения без значительной диффузии инвариантных кривых ). Тем не менее эта диффузия налагает некоторые ограничения на точность определения границы стохастичности. [c.335]

Здесь следует сделать ряд существенных оговорок. Их появление связано с определенной нестрогостью нашего анализа. Прежде всего заметим, что граница стохастичности К i, пли [c.64]

Приведенные качественные соображения разъясняют парадокс ФПУ. Термализация струны (или цепочки осцилляторов) может произойти лишь при достаточно интенсивном возбуждении мод с не слишком малыми номерами к. Численные эксперименты Израилева н Чирикова [114, 1151 подтвердили проведенный ими качественный анализ. Аналогачная граница стохастичности возникает и в двумерной цепочке [116J. [c.127]

Вывод -отображения. Классичемшй предел. Квантовые поправки и -формы. Экспоненциальная расходимость квантовых поправок. Квантовая граница стохастичности. Область квазиклассичности и условие ее существования [c.171]

Как и в случае отображения Ферми, можно ожидать, что величина хюв определяет важную границу перехода к сплошной стохастичности при иОС ХЮв. [c.242]

Четвертый метод, предложенный Эсканде и Довейлом [17, 18], также основан на анализе резонансов высоких гармоник в окрестности некоторой инвариантной кривой. Однако в отличие от метода Грина это достигается путем последовательной ренормализации гамильтониана с сохранением его формы. Этот метод пе столь эффективен, как предыдущий, и в типичном случае приводит к значению границы стохастичности па 3-4-10 % ниже фактического согласно численным данным ). Полученные этим методом результаты относятся к более общему случаю двух резонансов произвольной величины. При этом последняя инвариантная кривая не связана, вообще говоря, с золотым сечением. Метод и полученные с его помощью результаты обсуждаются в 4.5. [c.248]

Ускорение Ферми. Задача об ускорении Ферми приводится к стандартному отображению с К = 2лМ1и [см. (4.1.5)]. Для исходного нелинейного отображения численно было найдено, что граница стохастичности находится при ы = 2,8 л/М (см. рис. 3.15). Подстановка гг , = дает К 0,8. Отличие от значения К 1,0 для стандартного отображения можно легко объяснить тем, что для этих двух случаев определение границы разное. Из рис. 1.14 видно, что щ 28 = 2,8 /М. Но полученное таким путем значение является верхней границей стохастического движения [c.262]

Эсканде и Довейл сравнили свои теоретические предсказания для границы стохастичности с результатами численного моделирования системы (4.5.3). Для Х/ в интервале 1—5 и к в интервале [c.286]

Хотя описанный метод ренормализации и дает достаточно точное значение границы стохастичности, он является приближенным. Основная погрешность связана с тем, что на каждом шаге ренормализации учитываются только два из бесконечного числа вторичных резонансов. Это ясно видно из сравнения системы (4.5.27) с бесконечным числом резонансов и (4.5.28) с двумя резонансами. В этом крайнем случае влияние дополнительных резонансов приводит к заметному снижению критического значения с 5 = 0,74 до 5 = = 0,63. Другие источники ошибок, такие, как разложение только до квадратичных членов в (4.5.15) или учет только некоторых значений Qn, менее существенны. [c.286]

Это утверждение спорно, поскольку о характеризует центр резонанса, тогда как граница стохастичности определяется окрестностью сепаратрисы. Приближенное совпадение критического ЛГ с Со = 6 остается необъясненным и справедливо, возможно, только для стандартного отображения. Во всяком случае, при перекрытии двух резонансов ( 4.5) ( о = к/Х и изменяется в широких пределах (см. рис. 4.12).— Прим. ред. [c.288]

Ошибки округления. При исследовании гамильтоновых отображений с их сложной структурой хаотического и регулярного движения широко используется численное моделирование, причем число итераций отображения достигает многих миллионов. Возникает вопрос в какой степени численное моделирование с конечной точностью арифметических операций, ошибками округления и прочим шумом соответствует реальной динамике системы Существенное влияние этих ошибок на такие характеристики движения, как распределение в фазовом пространстве, мера стохастической компоненты и другие, легко определить, изменяя точность счета. Фактически такие проверки составляют неотъемлемую часть любого численного эксперимента. Так, например, Грин [165] исследовал влияние ошибок округления на определение границы стохастичности и нашел, что оно пренебрежимо мало (см. п. 4.4а). Бенеттин и др. [17] показали, что для систем Аносова численные ошибки несущественны при вычислении временных средних, например, показателей Ляпунова. Однако системы Аносова структурно устойчивы, и вопрос о влиянии численных ошибок на другие системы остается пока открытым ). [c.308]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...