Стохастический слой

Таким образом, случай малой поперечной нейтронной диффузии С указанными характеристиками в тороиде вполне вероятен и может рассматриваться как своего рода ядерная аналогия диффузии Арнольда [201] поперек стохастического слоя. [c.326]

Из формулы (3.15) вытекает, в частности, трансверсальность пересечения сепаратрис А+, А и, как следствие, наличие стохастического слоя вблизи А+ и А . Б. В. Чириков [186] еще раньше установил наличие этого слоя с помощью численных расчетов и его увеличение с возрастанием е. При дальнейшем увеличении е этот слой сливается с другими стохастическими слоями такого же происхождения. Однако, основной результат В. Ф. Лазуткина заключается в получении асимптотической формулы (3.15), пока единственной в задачах подобного рода. Она получена с помощью продолжения отображения (3.13) в комплексную плоскость изменения переменных х, у. Было бы полезным перенести технику В. Ф. Лазуткина на аналитические гамильтоновы системы, у которых при нулевом значении возмущающего параметра отсутствуют гиперболические периодические решения (системы такого вида обсуждались в гл. IV). [c.276]

На рис. 25 этот результат иллюстрируется численными расчетами для значений Г, а и Л, равных единице. Отмечены положения выделенных частиц жидкости через промежутки времени, равные 2тг. Рис. 25, а соответствует невозмущенной задаче. Явления расщепления сепаратрис и образования стохастических слоев хорошо видны на рис. 25, б, в (им отвечают соответственно значения е = = 0,1 и е = 0,5). На рис. 25, г показана отдельная траектория для значения е = О, 5. [c.279]

Для интегрируемых систем, а также для движений неинтегрируемых систем, лежащих на инвариантных торах (а не в стохастическом слое) переменная X является (по теореме Лиувилля-Арнольда) некоторой квази-периодической функцией. В общем случае с п рационально независимыми частотами (п — число степеней свободы). Для хаотических движений спектр является сплошным, в самом же движении могут наблюдаться регулярные отрезки и сильно выраженные хаотические пульсации. [c.93]

Замечание 1. Отсутствие явных аналитических выражений для асимптотических решений также является препятствием к исследованию возмущенной системы. Отметим, что Н. И. Мерцалов в работе [126] сделал утверждение об интегрируемости уравнений волчка Горячева-Чаплыгина при с = (М, 7) 0. Как показывают компьютерные эксперименты, представленные на рис. 49, это утверждение является ошибочным, и вблизи неустойчивых многообразий при с О возникает стохастический слой, приводящий к неинтегрируемости. [c.134]

Рис. 49. Возмущение случая Горячева-Чаплыгина при фиксированной энергии (Н = 1.5) и увеличении константы площадей (приведено сечение плоскостью д = тг/2, серым цветом закрашены области невозможности движения). На рисунках видно, что вблизи сепаратрис возникает стохастический слой, который сначала увеличивается затем уменьшается вместе с областью возможного движения. Любопытно, что при дальнейшем увеличении с, ОВД уменьшается вместе со стохастическим слоем до полного исчезновения.

При с 7 О исследование движения является существенно сложным и не может быть выполнено аналитическим образом. На рис. 71 приведена серия фазовых портретов, которые иллюстрируют эффект расхождения стохастических слоев (при уменьшении энергии h) вблизи решения Гесса, которое приобретает устойчивость. [c.244]

Пятая глава является одной из наиболее важных с принципиальной точки зрения. В ней приводится теория образования стохастического слоя и дается общая картина рождения хаоса в динамических гамильтоновых системах. [c.7]

ТЕОРИЯ ОБРАЗОВАНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО СЛОЯ [c.87]

Вопросы, излагаемые в этой главе, играют исключительную роль в общей теории стохастичности гамильтоновых систем. Если бы мы пользовались терминами квантовой теории, то можно было бы задать вопрос о том, что же является квантом стохастичности Как должна выглядеть та минимальная ячейка фазового пространства, которая несет в себе зародыш стохастичности Для гамильтоновых систем, совершающих финитное движение, ответы на эти вопросы известны. Квантом стохастичности является стохастический слой (рис. 5.1), образующийся в окрестности сепаратрис под действием произвольного ( ) сколь угодно малого нетривиального возмущения (ком. 1). [c.87]

Условие стохастичности. Ширина стохастического слоя [c.87]

Итак, всегда, т. е. при любых е и V, в окрестности сепаратрисы образуется область перемешивающихся траекторий — стохастический слой. Безразмерная ширина стохастического слоя имеет степенную малость 8v/(l)o при условии (1.12) не слишком больших частот внешней силы и экспоненциальную малость при условии (1.17) высокочастотного возмущения. [c.90]

Стохастическое разрушение сепаратрисы и образование в ее окрестности стохастического слоя приводят к одному важному следствию. При исследовании нелинейного резонанса ( 1.3) было показано, что под действием возмущения образуется сепаратриса (см. рис. 1.8, 1.9). Если учесть отброшенные нерезонансные члены, то они должны разрушить сепаратрису нелинейного резонанса. Поскольку частота нерезонансных членов велика по сравнению с частотой фазовых колебаний, то ширина стохастического слоя будет экспоненциально мала. Таким образом, нелинейный резонанс всегда одет узким стохастическим слоем. [c.92]

Все, что говорилось выше, было основано на анализе в первом порядке по возмущению. В следующем порядке, очевидно,, внутри каждого островка устойчивости возникнут новые сепаратрисы, порожденные нелинейными резонансами следующего порядка по возмущению. Эти сепаратрисы снова оденутся стохастическими слоями, сохранив внутри островки устойчивости более высокого порядка малости, и т. д. [c.95]

Перекрытие резонансов означает объединение их стохастических слоев и разъясняет причину, по которой критерий перекрытия резонансов соответствует критерию стохастичности. [c.96]

Границы стохастических слоев должны иметь очень сложную нерегулярную структуру. Эта структура влияет на форму инвариантных торов в окрестности границы. Поскольку разрушенные торы расположены в фазовом пространстве всюду плотно (как множество рациональных чисел), то инвариантные торы всегда будут испытывать на себе влияние близко лежащих к ним стохастических слоев. Это должно привести к тому, что, вообще, неразрушенные инвариантные торы должны иметь столь сложную форму, что она не может быть представлена в виде аналитических добавок к невозмущенной форме тора. В этом и раскрывается смысл теоремы Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов движения при сколь угодно малых возмущениях. Те аналитические интегралы движения, которые находятся в первом порядке теории возмущений, например, при нелинейном резонансе, являются всего лишь грубым (но практически вполне удовлетворительным) приближением. [c.96]

В заключение этого параграфа приведем два примера, являющиеся хорошей иллюстрацией образования большой области стохастичности при слиянии различных стохастических слоев в ре< зультате перекрытия резонансов. [c.97]

Выражение (Д4.20) определяет границу стохастического слоя при К 1 [c.263]

В основу анализа гамильтоновой динамики положена резонансная теория возмущений ( 2.4), опирающаяся на ясные физические представления и позволяющая количественно исследовать такие сложные задачи, как, например, стохастический слой вокруг сепаратрисы нелинейного резонанса. Основная идея здесь заключается в том, что переход с ростом возмущения от регулярного движения к хаосу происходит через изменение топологии инвариант- [c.6]

Существует значительное различие между стохастичностью в системах с двумя и большим числом степеней свободы. Используя топологические соображения, Арнольд [12] показал ), что для систем с более чем двумя степенями свободы стохастические слои связаны между собой и образуют в фазовом пространстве плотную паутину . Для начальных условий на этой паутине стохастическое движение идет вдоль слоев, приводя к глобальной диффузии, не ограниченной инвариантными поверхностями. Этот механизм принято называть диффузией Арнольда. Она может быть быстрой или медленной в зависимости от толщины стохастических слоев. Такая диффузия существует (в принципе) для сколь угодно малых возмущений интегрируемых систем. Еще один интересный эффект в многомерных системах связан с медленной модуляцией одного из периодических движений ). В этом случае стохастическое движение вдоль паутины может значительно усиливаться за счет так называемой модуляционной диффузии. Этот механизм противоречит интуитивному представлению о том, что медленная модуляция должна приводить к адиабатическому поведению ). В многомерных системах резонансы могут значительно влиять на диффузию также [c.18]

Области стохастичности. Известно, что стохастические траектории занимают конечную область энергетической поверхности в фазовом пространстве, а их последовательные пересечения заполняют конечную площадь поверхности сечения. Пример двух стохастических траекторий приведен на рис. 1.10. В случае д траектория заполняет кольцеобразный стохастический слой, заключенный между двумя инвариантными кривыми, подобными тем, что изображены в случае а. В этой области существуют также и регулярные траектории, но соответствующие им островки устойчивости, окружающие неподвижные точки (см. 3.3), либо обходятся стохастической траекторией, либо их размер слишком мал и их просто не удается разглядеть. В случае е показан стохастический слой вблизи островков случая в, заполненный одной стохастической траекторией. [c.62]

Рис. 5. Невозмущённая сепаратриса (штриховая линия) и гото-клиничесная траектория в её окрестности на секущей 6- 0. Пунктирной линией обозначены границы стохастического слоя.

Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 26. Здесь приняты следующие значения для диагональных элементов матриц А и В ai = 1/3, яг = 1/2, яз = 1 61 = 3, Ьг = 2, Ьз = 1- Видно, что условие (4.2) заведомо выполнено. На рис. 26, а изображены траектории в интегрируемом случае Стеклова, когда i = 3, сг = = 8, Сз = 1. Затем параметр i начинает увеличиваться. Рис. 26, б отвечает значению i = 5, а рис. 25 в — значению j = 10. Хорошо видно, что картина интегрируемого поведения фазовых траекторий начинает разрушаться как раз вблизи сепаратрис. По мере удаления от интегрируемой задачи стохастический слой около расщепленных сепаратрис начинает расплываться . На рис. 26, г изображена картина пересечения сепаратрис при следующих значениях параметров bi = 0,1, Ьг = Ьз = 0 i = 3, сг = 8, сз = 1. Ясно видно, что гетероклинная сеть пересекающихся сепаратрис повторяется с периодом тт. Это — следствие инвариантности задачи при подстановке m -m, р -р (ср. с п. 1). Результаты расчетов показывают, в частности, что условие (4.2) не является достаточным для интегрируемости уравнений Кирхгофа. [c.283]

В окрестности сепаратрис образуется стохастический слой, и в результате в процессе отображения частица может попадать ив области внутри одной сепаратрисы в область внутри соседней сепаратрисы и т.д., т.е. свободно переи .. аться по оси I на рис.8. При 1>>1 зто и соответствует диффузионному процессу, рассмотренному выше, когда значение I в среднем увеличивается при переходе от одного маятника к другому. Закон такого диффузионного роста даётся соотношением (26). [c.18]

Классы Аппельрота определяют наиболее простые движения как в приведенном, так и в абсолютном фазовом пространстве. Остальные движения волчка Ковалевской имеют квазипериодический характер и зависят от соответствующей области бифуркационной диаграммы. При возмущении случая Ковалевской вблизи неустойчивых решений и их сепаратрис возникает стохастический слой (рис. 63). К сожалению, приведенные в этом параграфе (асимптотические) решения по разным соображениями не позволили пока продвинуться в аналитическом исследовании неинтегрируемости возмущенного волчка Ковалевской (вариационными методами при с = О доказательство неинтегрируемости получено в [22]). [c.123]

Рис. 58. Фазовый портрет (сечение плоскостью д = тг/2) для случая Гесса при условиях I = diag(l, 0.625, 0.375), г = (3,0,4), = 1.995 при постоянных интегралов h = 50.0, с = 5.0. Хорошо видны два стохастических слоя, разделенные сдвоенной сепаратрисой Гесса — точки из одного слоя не проникают в другой. На рис. Ь) виден также возникающий при этих условиях меандровый тор (см. рис. 59).

Как показано на рис. 63, при увеличении а это решение теряет устойчивость и бифурцирует — из одного устойчивого периодического решения рождается два устойчивых и одно неустойчивое. Вблизи неустойчивого решения, сохраняющего общие черты динамики, приведенной на рис. 43, образуется стохастический слой, который, расширяясь при увеличении а, определяет общую хаотизацию фазового потока. Более полные компьютерные исследования остаются за рамками этой книги. Любопытно, что очень незначительное отклонение от динамический симметрии (т. е. от случая Ковалевской) порядка процента, приводит к ощутимой хаотизации портрета. Это иллюстрирует своего рода неустойчивость интегрируемости этого случая, т.к. соблюсти условия точной динамической симметрии технологически очень сложно. Кстати, Н. И. Мерцалов в своих натурных экспериментах имел лишь очень небольшую точность как в изготовлении самого волчка, так и в задании начальных данных. Поэтому, естественно, его фотографии ничего не были способны прояснить [69]. [c.150]

Весь ход приведенных выше вычислений показывает, что усложнение зависимости возмущения от времени может лшпь увеличивать ширину стохастического слоя. Особая роль в разрушении принадлежит наличию точек гиперболического типа на фазовой плоскости, через которые проходит сепаратриса. Именно в окрестности этих точек происходит очень длительная остановка частицы. Поэтому период колебаний становится столь большим (частота стремится к нулю), что даже малые возглущения могут сильно возмутить траекторию. Рассмотрим, как приведенные соображения реализуются формально. Для разнообразия оценим область разрушения сепаратрисы из условия перекрытия резонансов [83, 14]. [c.90]

Сейчас мы располагаем достаточной информацией, чтобы создать картину появления стохастичности в фазовом пространстве гамильтоновых систем. Действительно, в произвольном возглущении можно выделить в первом порядке резонансные и нерезонансные члены. Резонансные члены порождают сепаратрисы нелинейного резонанса и связанную с ней систему эллиптических и гиперболических особых точек. В окрестности каждой из сепаратрис образуется стохастический слой некоторой ширины. Стохастические слои [c.94]

Уравнение (3.2) аналогично тому, что получается из гамильтониана (1.1). Отличие связано с фазовым слагаемым kt%/ko в воз-В1ущении, которое, однако, никакой существенной роли не играет [84]. Поэтому в зависимости от величины v/oo мы получаем различные по ширине стохастические слои в окрестности сепаратрисы. Если устремить [c.97]

Сепаратрисе в нерезонапсном приближении соответствуют значения Но — С = . В работе [192] было показано, что при Л1алых значениях Л учет нерезонансных членов в системе (7.14) приводит к образованию узкого стохастического слоя в окрестности сепаратрисы. Однако ситуация изменяется при Л 1, т. е. яри сильной связи поля с атомами. В этом случае все фазовое [c.240]

Каждый нелинейный резонанс имеет сепаратрису, которая разрушается (стохастически) любым возмущением, в том числе н отброшенными нерезонансными членами (см. 5.1, 5.3). Это означает также, что резонансные торы (им соответствуют точки на рис. Д2.1) при их разрушении одеваются стохастическим слоем. Ширина слоя в том случае, когда возмущением являются нерезопапсные члепы, равна (си. формулу (5.1.18)) [c.248]

Приведенная выше информация достаточна для того, чтобы рассмотреть вопрос об образовании стохастического слоя в окрестности сепаратрисы. Причиной его появления является возмущение /(г). Путь здесь тот же, что и в 5.1, 5.2. Резонансы между возм еннем и основным движе- [c.262]

Если начальное состояние луча таково, что его действие I лежит в области Щ4.21), то это значит, что его движение в пространстве вдоль г носит диффузионный характер. Диффузия луча приводит к тому, что он достигает области вблизи невозмущенной сепаратрисы и высвечивается из волноводной области. Таким образом, действие неоднородности как возмущения приводит к уменьшению эффективной ширины волноводного канала. В область стохастического слоя попадают моды колебаний поля с боль-птими номерами. Поэтому излучение поля из стохастического слоя означает также процесс фильтрации высоких мод в волноводном канале [c.263]

Для слабо возмущенных систем с двумя степенями свободы тонкие стохастические слои отделены друг от друга инвариантными поверхностями, а стохастические колебания переменных действия внутри слоя оказываются экспоненциально малыми (по возмущению). С увеличением возмущения возможен переход, при котором изолирующие инвариантные поверхности разрушаются и стохастические слои сливаются, приводя к глобальному стохастическому движению. Фазовое пространство можно разделить при этом на три области. Одна из них содержит в основном стохастические траектории. Она связана ) со второй областью, значительную часть которой составляет по-прежнему стохастическая компонента движения, но внутри ее уже имеются большие острова регулярного движения. Третья область содержит главным образом регулярные траектории и отделена от первых двух инвариантными поверхностями. Классический пример, иллюстрирующий переход от почти регулярного к существенно стохастическому движению, был предложен Хеноном и Хейлесом [188] для моделирования динамики в задаче трех тел-). Численные эксперименты и связанные с ними эвристические теории, развитые за последние двадцать лет, прояснили основные процессы и позволили определить величину возмущения, при которой происходит такой переход. Эти результаты иллюстрируются в гл. 3 на примере ускорения Ферми, первоначально предложенного для объяснения происхождения космических лучей. Рассматривается модель, в которой упругий шарик колеблется между неподвижной и вибрирующей стенками. Далее, в гл. 4, определяются условия перехода от локализованной стохастичности к глобальной. При этом используются различные подходы к задаче (см., например, [70, 1651). [c.16]

В оригинале — resonan e layer (резонансный слой). В переводе используется более распространенный в отечественной и зарубежной литературе термин стохастический слой.— Прим. перев. [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...