Отображения, неустойчивые

Возьмите композицию линейного отображения, неустойчивое слоение которого W двумерно, с сохраняющим объем диффеоморфизмом, который сохраняет слои W, но изменяет собственные значения в некоторой периодической точке. [c.752]

Как мы уже видели в задаче об ускорении Ферми ( 3.4), граница стохастичности ) отделяет сплошную стохастическую компоненту при малых скоростях частицы от области со стохастическими слоями вблизи сепаратрис резонансов при больших скоростях (см. рис. 4.1, 1.14, и 3.15). Эта граница отличается от границы устойчивости 5, ниже которой все неподвижные точки соответствующего отображения неустойчивы. Оказывается, что откуда следует, что неустойчивость неподвижных точек достаточна, но не необходима для глобальной стохастичности, т. е. это условие является слишком сильным. Мы же ищем более эффективный критерий, которой был бы и необходимым, и достаточным. К сожалению, чисто аналитического метода получения такого критерия не существует. Поэтому приходится прибегать к различным правдоподобным рассуждениям, подкрепленным численными экспериментами. В этой главе мы рассмотрим пять методов, описанных качественно в п. 4.1а, каждый из которых дает свой вклад в понимание рассматриваемой проблемы. В качестве модели для иллюстрации этих методов мы используем стандартное отображение, свойства которого обсуждаются в п. 4.16. [c.246]

Отображения, неустойчивые в неподвижной точке 234 [c.375]

Орбитно устойчивому или орбитно неустойчивому периодическому движению отвечает соответственно устойчивая или неустойчивая неподвижная точка. Для того чтобы убедиться в справедливости всех этих утверждений, а также выяснить другие свойства точечного отображения, вновь рассмотрим случай двумерного фазового пространства, т. е. рассмотрим автономную динамическую систему второго порядка, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями [c.71]

Точки 0" , . .., — седловые неподвижные точки. Точка O " — неустойчивая неподвижная точка. Поведение фазовых точек в их окрестностях совершенно такое же, как и в соответствующих случаях особых точек дифференциальных уравнений. Полная аналогия качественных видов малых окрестностей простых особых точек дифференциальных уравнений и простых неподвижных точек точечного отображения может быть объяснена возможностью аппроксимации в этой окрестности точечного отображения Г-отображением сдвига некоторого дифференциального уравнения [41]. При этой аппроксимации в линейном приближении точечные отображения Т иТ. в окрестности их общей неподвижной точки совпадают и между корнями X/ и 2/ характеристических уравнений особой и неподвижной точек при соответствующей их нумерации имеют место соотношения [c.249]

Характер неподвижной точки отображения Т секущей S определяет поведение фазовых траекторий в окрестности периодического движения Г. Именно, точке O соответствует устойчивое периодическое движение Г" точке О " — неустойчивое периодическое движение Г ", точке ОР ч (р, q Ф 0) — седловое Через седловое [c.249]

Мы рассмотрели фазовые траектории, расположенные вне выделенных окрестностей, и обнаружили, что их поведение описывается конечным числом гладких точечных отображений. Рассмотрим теперь фазовые траектории, расположенные внутри этих выделенных окрестностей. В окрестностях устойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории асимптотически приближаются к соответствующему состоянию равновесия или периодическому движению. Внутри окрестностей неустойчивых состояний равновесия или периодических движений все фазовые траектории выходят из этих окрестностей. В окрестностях седловых состояний равновесия или периодических движений все траектории, кроме траекторий, принадлежащих интегральным многообразиям, проходящим через состояние равновесия или периодическое [c.276]

Теорема 7.2. Исследование фазовых траекторий динамической системы, о которой шла речь в теореме 7.1, сводится к рассмотрению кусочно-гладкого точечного отображения поверхностей без контакта а, неустойчивых состояний равновесия и периодических движений в поверхности без контакта а]" устойчивых состояний равновесия и периодических движений (рис. 7.28). [c.280]

Как известно, устойчивым (неустойчивым) неподвижным точкам отображения, простым и кратным, соответствуют устойчивые (неустойчивые) периодические установившиеся движения соответствуюш,ей динамической системы. Поэтому изучение точечного отображения предполагает, в пер- [c.284]

На рис. 7.31 представлен график взаимно однозначного точечного отображения, заключенный между горизонтальными асимптотами х = / (—оо) и je = / (+оо). При этом любая точка х прямой преобразуется внутрь отрезка (/ (—оо), / (+оо)), на котором имеется три неподвижные точки X, х1 и xt. Неподвижные точки х и х% устойчивые, а неподвижная точка х% — неустойчивая. Всякая точка полупрямой (—оо, xf) при последовательных применениях отображения асимптотически приближается к точке х, а всякая точка полупрямой (х , -foo) — к точке х,. Таким образом, вся прямая разбивается неустойчивой неподвижной точкой на две области притяжения Я (х ) и П (Ха) устойчивых неподвижных точек л и [c.285]

Отображение (7.44) преобразует отрезок [О, 1] на себя, имеет бесконечное число различных кратных неподвижных точек, однако, как можно обнаружить, все эти неподвижные точки неустойчивые. Действительно, согласно [c.290]

Из изложенного следует, что поведение последовательностей точечного отображения (7.44) весьма сложно и разнообразно. Описать его, опираясь на какие-то отдельные траектории, нельзя, поскольку все эти последовательности неустойчивые, Однако для всей совокупности последовательностей возможно статистическое описание. Проиллюстрируем эту возможность для графика точечного отображения, изображенного на рис. 7.38. Для того чтобы естественно прийти к статистическому описанию, допустим, что начальная точка не задана точно, а задано некоторое распределение вероятностей ее положения с помощью 10 [c.291]

Неподвижные точки отображений (32,8) отвечают 2" -циклам ). Поскольку все эти отображения имеют тот же вид, что и (32,5), то можно сразу заключить, что 2" -циклы (т = 1, 2, 3,. ..) становятся неустойчивыми при Xm = Ai=3/4. Соответствующие же критические значения Лт исходного параметра X получаются путем решения цепочки уравнений [c.174]

Диаграммой точечного отображения называется зависимость ординат точек пересечения фазовых траекторий с полуосью yi от ординат уо исходного положения точки (рис. 57, в). По этой диаграмме можно судить о числе предельных циклов и их устойчивости, если дополнительно провести на ней прямую yi = j/q. Число предельных циклов равно числу точек пересечения прямой г/1 = г/о с кривой у = У уо). Точки пересечения позволяют также выделить из фазовых траекторий предельные циклы. Для устойчивых предельных циклов производная dyi/dyo меньше единицы, а для неустойчивых — больше единицы (рис. 57, г). [c.203]

М 1°. Заменой времени добиваемся равенства Я,= 1 докажем, что а — топологический инвариант. Рассмотрим преобразование монодромии Д гомоклинической траектории седла у. Для этого выберем произвольную точку Рву Q y) достаточно близко к седлу на его устойчивом двумерном многообразии (неустойчивом одномерном многообразии W "). Требования близости формулируются ниже. Многообразие W делит окрестность седла на две части. Ту часть, в которую траектория у входит при t- —оо, обозначим U. Возьмем две трансверсаль-ные гладкие двумерные площадки ГЭР и T 9Q (рис. 48а). Обозначим через Г+ пересечение [/+ПГ. Если площадка Г+. достаточно мала, то определено отображение соответствия Ai точка РбГ+ переходит в конец дуги фазовой кривой рассматри [c.133]

Понятие гиперболичности служит матем. выражением и конкретизацией свойства локальной неустойчивости траекторий. Обычно предполагается, что фазовым пространством системы служит нек-рое риманово многообразие (см. Риманово пространство) X, а динамика задаётся гладким отображением Т = Т Х- Х (случай каскада) или гладким векторным полем на X (случай потока). Наличие римановой структуры позволяет измерять длины кривых и объёмы подмножеств, принадлежащих X, а также длины векторов в касательных пространствах к X. Гиперболичность — это свойство отд. траекторий 0(х) = Т х , формулируемое в терминах касательных отображений (решений ур-ний в вариациях — в случае потока), отвечающих ДС Г . Его смысл в том, что при каждом г имеется три типа поведения точек, бесконечно близких к точке Т х при своём дальнейшем движении под действием ДС точки первого типа с экспоненциальной скоростью сближаются с траекторией точки х, точки второго типа с экспоненциальной скоростью удаляются от неё, а точки третьего (нейтрального) типа ведут себя промежуточным образом. Этим трём типам поведения отвечает представление касательного пространства к А" в точке Т х в виде прямой суммы подпространств, переходящих друг в друга вдоль траектории под действием касательных отображений. В случае каскада точек нейтрального типа может не быть совсем, а в случае потока они всегда есть — из таких точек состоит сама траектория 0(х). При изменении направления времени точки первого и второго типа меняются ролями, а точки третьего типа сохраняются. [c.631]

Подытожим сказанное. При F < F исходная прямолинейная форма равновесия является единственной и притом устойчивой формой равновесия. При F > F r исходная прямая форма равновесия является неустойчивой, а устойчивой становится другая, изогнутая форма равновесия. Вернее — одна из двух, являющихся зеркальным отображением одна другой. При F = = Ff-r устойчивыми являются как прямая, так и бесконечно мало изогнутая (смежная) формы равновесия. Итак, критическая сила — это наибольшее значение силы, при котором наряду с исходной формой равновесия имеет место хотя бы одна смежная, весьма близкая к ней другая форма равновесия. Иногда в этом случае говорят о безразличном равновесии. [c.276]

Если арка достаточно полога, т. е. Ho/R достаточно мало, то, прежде чем будет достигнуто значение (9.11), может возникнуть эффект так называемого прощелкивания исходное положение арки мгновенно сменится на свое зеркальное отображение (пунктир на рис. 19). Иногда такое явление называют неустойчивостью в большом . Соответствующая точка определяется из условия достижения максимума на кривой зависимости нагрузка — характерный прогиб . Естественно, что такая зависимость может быть [c.68]

Родившемуся С. а. при фиксированном Я. > вв отвечает неск. интервалов на оси х участки между этими интервалами содержат притягивающиеся к аттрактору траектории, а также 2" -периодические (относительно отображения /), неустойчивые предельные циклы, начиная с нек-рого тд и меньше. При увеличении параметра Я. скорость разбегания траекторий на С. а. увеличивается, и он разбухает , последовательно поглощая неустойчивые предельные циклы периодов 2 , . .. При этом число отрезков, отвечающих аттрактору, уменьшается, а их длины увеличиваются. Возникает как бы обратный каскад последоват. упрощений аттрактора. Рис. 6 иллюстрирует этот процесс для [c.700]

На рис. 7.42 приведена диаграмма отображения Т в случае, когда а == /.<,. Здесь имеется два цикла, каждьи 1 ип которых состоит из трех трехкратных неподвижных точек. Один цикл нз устойчивых неподвижных точек и другой —неустойчивых. [c.297]

Для неподвижных точек достаточно гладкого в их окрестности точечного отображения справедливы следующие утверждения. В окрестности неустойчивой (устойчивой) узловой неподвижной точки существует заполняющее ее множество несамопересекающихся гладких выходящих [c.359]

Выбор рассматриваемого ниже отображения естествен в силу следующих соображений. В значительной части интервала изменения переменной х отображение должно быть растягивающим , df x %)/dx >l-, это дает возможность возникновения неустойчивостей. Отображение должно также возврапдать траектории, выходящие за границы некоторого интервала, обратно в него противное означало бы неограниченное возрастание амплитуд пульсаций скорости, что невозможно. Обоим этим требованиям вместе могут удовлетворять лищь немонотонные функции f x k), т. е. не взаимнооднозначные отображения (32,1) значение х,+, однозначно определяется предшествующим значением Xj, но не наоборот. Простейший вид такой функции — функция с одним максимумом в окрестности максимума положим [c.172]

Можно представить себе, что к рассмотренному участку функции отображения примыкают участки, приводящие к хаотиза-ции траекторий им отвечает в пространстве состояний множество локально неустойчивых траекторий. Это множество, однако, само по себе не является аттрактором и с течением времени точ- [c.183]

Таким путем определяются области устойчивости для уравнения Матье результаты приведены на диаграмме Айнса — Стретта (рис. 7.8), где областям устойчивости соответствуют затптрихованные поля, а областям неустойчивости — белые поля. Диаграмма дана только для е > 0 для е < О она получается зеркальным отображением относительно оси б. Отдельные области смыкаются между собой в точках б п /А и е = О, где п — целое число. [c.249]

Модели образования структуры Вселенной, основанные на теории гравитационной неустойчивости, в общих чертах неплохо описывают образование С. г. и их положение как элементов крупномасштабной структуры. Более подробное изучение этого процесса методами численного моделирования затруднено из-за больпюго объёма вычислений. Приближённое описание на базе теории особенностей градиентных отображений (си. [c.545]

Пусть х —однокомпонентная величина (it= 1) и х—неподвижная точка отображения (10), л=/(х). Точка х асимптотически устойчива, если в ней (df/dx)x=x < U и неустойчива, если знак неравенства противоположный. Тем самым асиптотическая У. неподвижной точки л эквивалентна сходимости итерационного процесса (10) решения ур-ния х-/ х)=0. [c.256]

Таким образом, рассмотренная система служит примером распределенной системы, движения которой полностью определяются решениями системы обыкновенных дифференциальных уравнений небольшой размерности. В какой мере этот частный вывод может быть распространен па другие распределенные системы Определенный и исчерпывающий ответ на этот вопрос в настоящее время дать трудно качественно (ио крайней мере в рамках квазилинейной теории) ситуация зависит от числа степеней неустойчивости и степеней свободы с малым затуханием. В рассмотренной задаче одна степень неустойчивости (один положительный показатель Ляпунова). Затухания по остальным степеням свободы быстро растут. Как будет показано в дальнейшем. именно с этим обстоятелт.ством связана возмол ность построения одномерной модели в виде точечного отображения прямой в прямую, адекватно передающего особенности временного [c.36]

Таким образом, отображение Т области С в С, изображенное на рис. 2.3 и определяемое формулами (1.1), глобально сжимающее и локально неустойчивое. Рассмотрим его подроблее. 06- [c.46]

График отображения (1.2) показан на рис. 2.6. Это отображение (1.2) растягивающее всякий малый отрезок длины А 5 оно преобразует ]в отрезок длины 2Аг1). Последовательные преобразования 1]), ф, г1),. .. образуют периодическую последовательность, если 1]) = 2яА /(2 — 1), где к и и —целые числа. Таких значений ф счетное множество и их лебегова мера равна нулю. Последовательность 1]), 1]), ф,. .. с значением ф, не принадлежащим этому множеству, всюду плотно покрывает окружность О ф < 2я. Таким образом, отображение Т на инвариантном множестве / экспоненциально неустойчивое, растягивающее, и последовательные преобразования любой его точки в общем случае всюду плотно [c.47]

Отображение (1.1) — это простой пример взаимно однозначного глобально сжимающего и локально неустойчивого отображения. Его последовательные итерации образуют в общем случае хаотическую последовательность. Предельное множество этих последовательностей образует некоторое инвариаптное множество Л С какой бы точностью ни была задана начальная точка х, у, ф, ое достаточно далекие последовательные образы пе могут быть найдены, так как с последовательными преобразованиями происходит неограниченное и быстрое экспоненциальное нарастание ошибки. В этом смысле достаточно далекие преобразования непредсказуемы. Так, при первоначальной точности порядка 10 уже начиная с 20-го преобразования ошибка, вообще, порядка единицы. [c.48]

Смотреть страницы где упоминается термин Отображения, неустойчивые : [c.175] [c.286] [c.287] [c.351] [c.351] [c.361] [c.170] [c.182] [c.85] [c.162] [c.54] [c.63] [c.197] [c.399] [c.94] [c.92] [c.24] [c.26] [c.47] [c.68] [c.72]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...