Моды неустойчивые

До сих пор в нашем рассмотрении мы пользовались соображениями геометрооптической оптики. Чтобы получить более близкую к действительности картину мод неустойчивого резонатора, необходимо использовать волновое приближение (например, можно снова использовать дифракционный интеграл Кирхгофа). Мы не будем здесь рассматривать подробно этот вопрос, а лишь приведем и обсудим некоторые важные результаты. [c.225]

Их число совпадает с подсчитанным в 3.3 числом обходов, на котором формируется основная мода неустойчивого резонатора [13]. [c.125]

Этот тезис имеет весьма простое обоснование [69]. В 2.5 было показано, что низшие моды неустойчивых резонаторов со слегка сглаженными краями зеркал удовлетворительно описываются оптико-геометрическим приближением. Наиболее общее уравнение данного приближения имеет вид (2.40) отметим, что его можно использовать не только для сим [c.187]

При n>4 ротационные моды неустойчивости не реализуются, а микроразрушение контролируется трансляционной неустойчивостью. Это находит свое отражение в том, что при /г>4 отсутствуют усталостные бороздки и ямочный [c.371]

Собственные частоты основной моды неустойчивого резонатора легко получить из уравнения (2.23) и формулы (2.35) [c.132]

Поэтому, исходя из данной картины явления, можно сделать вывод, что с практической точки зрения интерес представляют резонаторы, в которых ограничиваюш,ая апертура имеет частично или полностью сглаженный край. В работе [100] было показано, что апертура с частично сглаженным краем близка по своим свойствам к гауссовой, причем разница становится чрезвычайно малой при вполне умеренных значениях степени сглаживания. Поэтому в первом приближении вполне уместно апертуры с частично сглаженным краем рассматривать как гауссовые, а отличия учитывать в виде малых аберраций, влияние которых на структуру мод следует учитывать во втором порядке малости. Именно такой подход реализован в настоянием параграфе. Читателям, которых интересует более тонкая структура мод неустойчивого резонатора, можно порекомендовать книгу [10]. В ней оптика неустойчивого резонатора рассмотрена весьма подробно. [c.234]

Ясно, что эта проблема находится вне компетенции линейной теории устойчивости. Действительно, в надкритической области линейная теория позволяет сопоставить возмущения лишь по скорости их нарастания отсюда возникает возможность выбрать возмущение, скорость роста которого максимальна. Однако нет никаких оснований, вообще говоря, ожидать, что именно эта мода неустойчивости определит форму и масштаб конечного состояния. В надкритической области, наряду с этим возмущением, нарастают также и возмущения, принадлежащие целому интервалу волновых чисел их нелинейное взаимодействие существенно определяет как эволюцию начального возмущения, так, следовательно, и предельное состояние. Таким образом, проблема отбора является существенно нелинейной. [c.146]

Описанное замыкание монотонных уровней, разумеется, не означает, что при больших значениях числа Пекле единственно возможным режимом является колебательная конвекция. Подчеркнем, что речь шла только о плоских вертикальных движениях. Возможны, вообще говоря, также и другие моды неустойчивости. Так, в 12, при обсуждении устойчивости равновесия в слое с непроницаемыми границами, были рассмотрены, наряду с плоскими, пространственные вертикальные движения, периодические вдоль горизонтальной координаты у. Обобщение на случай просачивания, проведенное в работе Р], показало, что критические числа Рэлея для таких возмущений монотонно возрастают с увеличением числа Пекле, причем замыкание соседних стационарных уровней отсутствует. [c.279]

Рис. 140. Нейтральные кривые и фазовые скорости нейтральных возмущений для четной (а) и нечетной (б) мод неустойчивости. Фазовая

Интересно заметить, что фазовая скорость основной (четной) моды неустойчивости при изменении параметров вдоль нейтральной кривой меняет знак. Длинноволновые нейтральные возмущения имеют отрицательную фазовую скорость, т. е. сносятся вниз. Существует точка на нейтральной кривой к = 2,65), которой соответствует нейтральное стоячее возмущение с равной нулю фазовой скоростью. При к > 2,65 фазовая скорость [c.350]

Рис. 141. Структура вторичных движений в слу чае четной а) и нечетной (б) мод неустойчивости. Возмущение нормировано так, чтобы максимальное значение функции тока составляло 0,1 от максимального значения функции тока невозмущенного движения.

Монотонная гидродинамическая мода неустойчивости. Перейдем теперь к результатам решения задачи устойчивости в полной постановке (спектральная задача (1.24)-(1.26)). Монотонная неустойчивость, имеющая место в пределе Рг О, естественно, продолжается в область конечных значений Рг, причем ее характеристики, вообще говоря, зависят от числа Прандтля. Численный расчет этой моды неустойчивости проведен в работах Р.Н. Рудакова [15, 32] с помощью метода Галеркина. Использовались [c.27]

Монотонная мода неустойчивости исследовалась позже в ряде работ назовем из них [33, 34, 31]. Данные этих работ хорошо согласуются с результатами Р.Н. Рудакова [32]. Приведем для справок критические пара- [c.29]

Волновая мода неустойчивости. Как показывают расчеты [36], кроме обсужденной выше монотонной гидродинамической моды неустойчивости, существует также колебательная (волновая) мода. Эта мода, в отличие от монотонной, существенно связана с неизотермичностью течения. [c.30]

За появлением волновой моды неустойчивости легко проследить, анализируя изменение структуры спектров декрементов с увеличением числа Прандтля. При малых и умеренных Рг в спектре имеются затухающие колебательные моды. При достаточно больших Рг колебательные возмущения оказываются нарастающими в некотором интервале чисел Грасгофа. Ситуация иллюстрируется рис. 6, на котором изображена нижняя часть спектра при значениях параметров Рг = 15, А = 0,5. Имеются три нейтральные точки. Одна из них (верхняя) дает монотонную неустойчивость (смесь ветвей 1 6 и До)- Две другие выделяют область значений Сг, внутри которой общая вещественная часть декрементов пары VQ отрицательна, т.е. нарастают два возмущения колебательного типа. [c.30]

Предельный случай больших чисел Прандтля. Поведение волновой моды неустойчивости в предельном случае Рг может быть исследовано при помощи асимптотического метода, основанного на введении малого параметра е = 1 />/Рг. [c.34]

Минимизация функции Gi(k) приводит к значениям = 590 и = = 1,25 фазовая скорость и = 0,068. Итак, при Рг имеет место следующая асимптотика минимального критического числа Грасгофа для волновой моды неустойчивости [c.35]

Интересно, что в области больших Рг и Ка появляется еще одна монотонная мода неустойчивости, впервые, как уже указывалось, обнаруженная в [30, 32]. В отличие от гидродинамической моды, она связана с тепловыми возмущениями. Соответствующие границы устойчивости изображены на рис. 39 штрихпунктирными линиями. Эта мода имеется уже при Рг = 20, однако наиболее опасной во всей области изменения д еще являет-J [c.72]

Интересно поведение границы устойчивости при промежуточном значении Рг = 5,6. Немонотонный характер зависимости Сг (5) здесь связан с переходом по мере увеличения 5 от волновой моды неустойчивости к гидродинамической. Таким образом, наличие кривизны границ приводит к уменьшению порогового числа Прандтля Рг, при котором появляется волновая мода (напомним, что для плоского слоя Рг = 11,56). Скорости волновых возмущений близки к максимальной скорости основного восходящего течения и возрастают с увеличением кривизны. [c.82]

На рис. 51 показано влияние параметра сопротивления на характеристики гидродинамической моды неустойчивости. Заметим, что при а = О (нулевое сопротивление поперечному перетеканию) задача не сводится к соответствующей задаче без перегородки в силу условия прилипания. [c.88]

Критическое число Грасгофа при а= О равно = 1680, т.е. более чем втрое превосходит значение в отсутствие перегородки. Этот эффект можно объяснить следующим образом. Гидродинамическая мода неустойчивости связана с возникновением на границе раздела потоков стационарных вихрей, наклоненных к вертикали на некоторый угол (см. рис. 5). Условие исчезновения касательной компоненты скорости, на проницаемой перегородке делает невозможным развитие возмущений такой формы, что и приводит к повышению границы устойчивости. Как видно из рис. 51, с ростом параметра сопротивления критическое число Грасгофа растет по закону, близкому к линейному. При этом растет длина волны критических возмущений. [c.88]

Рис. 55. Нейтральные кривые гидродинамических мод неустойчивости (Рг =0) с) Ке = 6000,6) Ке= 12314,6) Ке = 15 ООО. Области неустойчивости заштрихованы

Обсудим теперь результаты решения задачи для произвольных чисел Прандтля. Отметим прежде всего, что тепловые факторы практически не влияют на количественные характеристики гидродинамической моды неустойчивости. С увеличением числа Прандтля положение ветвей 1 и 2 на рис. 54 меняется слабо. [c.94]

Рис. 63. Нейтральные кривые тепловых мод неустойчивости для Ке = - 50

На рис. 70 представлены результаты, демонстрирующие сильную стабилизацию гидродинамической моды неустойчивости с ростом числа Пекле. Как и в случае чисто гидродинамического предела, фазовая скорость критических возмущений мала — порядка разности максимальных скоростей в восходящем и нисходящем потоках. [c.106]

Осн. мода неустойчивого О. р. образована двумя сферич. волнами, распространяющимися между зерка- i лами навстречу друг другу, В случае телескопич. неустойчивого О. р. (рис. 9) одна из волн может быть плоской. Центр сферич, волны лежит на расстоянии X = R I2 за выпуклым зеркалом с радиусом кривизны Л4. Вогнутое зеркало должно обладать при этом радиусом кривизны (= Ла -Ь 2 R < 0). При до- i статочно больших поперечных размерах 1-го зеркала, пучок излучения кольцевой формы выводится в сторону выпуклого зеркала с волновым фронтом, близким к плоскому. [c.457]

Для того чтобы найти моды неустойчивого резонатора, начнем вычисление с использования геометрооптического приближения, как это впервые было сделано Сигменом [16]. Сначала напомним два основных результата, которые были получены для собственных решений устойчивого резонатора [см. (4.95)] [c.220]

Можно подводить итоги. Наличие шероховатостей края глубиной порядка Ао обеспечивает снятие вырождения низшю мод неустойчивых резонаторов во всех случаях. Снятие вырождения по потерям сопровождается тем, что распределение поля и потери низшей моды начинают с высокой степенью точности описываться формулами оптико-геометрического приближения. [c.130]

Отметам еще, что все наше последующее рассмотрение будет по-преж-нему относиться к основной моде неустойчивого резонатора. Вопрос об имеющих большие потери модах высшего порядка более обсуждать не будем в следующем параграфе станет очевидным, что эта моды не могут участвовать в процессе генерации, и их анализ представляет лишь чисто академический интерес. [c.161]

Рис. 4.17. Зависимость потерь основной моды неустойчивого резонатора от оптической силы ТЛ АЭ, расчитанная в геометро-оптическом приближении

Они обладают тем иреимуш,еством, что выходное излучение такого резонатора в геометро-оптическом приближении имеет плоский фазовый фронт и, следовательно, минимальную расходимость. Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим сферическую волпу радиуса К, которая в геометро-оптическом приближении описывает моду неустойчивого резонатора ( 2.3). После обхода резонатора, согласно правилу AB D , радиус кривизны фазового фронта, без учета дей- [c.245]

В заключение этого параграфа отметим еще работу Курц-вега Р], в которой исследовалась устойчивость равновесия в бесконечном горизонтальном цилиндре прямоугольного сечения. Рассматривались плоские возмущения для случая, когда горизонтальные границы полости поддерживаются при постоянной температуре,- а вертикальные — теплоизолированы внешнее поле направлено вертикально. В работе определены критические числа Рэлея в зависимости от поля для нескольких нижних мод неустойчивости. [c.207]

Различие между четной и нечетной модами неустойчивости отчетливо видно из рис. 141, на котором изображены линии тока суммарного (возмущенного) движения, соответствующего этим модам. Как и в случае кон- ,3 вективного движения между плоскостями, нагретыми до разной температуры, неустойчивость развивается в виде системы вихрей на границе раздела встречных конвективных потоков. В отличие, однако, от течения с кубическим профилем, этих границ раздела теперь две— в правой и левой половинах канала. Соответственно этому развиваются две цепочки вихрей, могущие отличаться своим взаимным расположением. Нижней моде неустойчивости соответствуют две цепочки вихрей, расположенных в шахматном порядке. На верхней моде эти цепочки расположены зеркально-симметрично относительно середины канала. Шахматное расположение отвечает более плотной упаковке вихрей, и потому оказывается более предпочтительным — ему соответствует меньшее критическое число. [c.350]

Интересно отметить, что с ростом Р происходит не только понижение критического числа 0 , но и значительная деформация нейтральной кривой. При Р = 5,7 на кривой появляется точка возврата, и при Р > 5,7 кривая состоит из двух ветвей, соединяющихся друг с другом через замкнутую петлю. Две ветви нейтральной кривой описывают, в сущности, две моды неустойчивости, проявляющиеся при разных значениях волнового числа. Коротковолновая ветвь отвечает гидродинамической моде, мало чувствительной к изменению числа Прандтля. Длинноволновая ветвь соответствует возмущениям типа нарастающих тепловых волн, фазовая скорость которых соизмерима со скоростью основ ного потока. [c.389]

Итак, конвективное течение между вертикальными плоскостями, нагретыми до разной температуры, обнаруживает неустойчивость относительно монотонных и колебательных возмущений (рис. 8). При значениях числа Прандтля Рг < Рг = 11,562 неустойчивость вызывается монотонными возмущениями гидродинамической (невязкой) природы. При Рг > Рг появляется еще одна мода неустойчивости, связанная с распространением в потоках нарастающих температурных волн. При Рг > 12,45 волновая мода становится более опасной - ей соответствуют меньпше критические числа Грасгофа О. [c.34]

Наличие двух мод неустойчивости конвективного течения впервые было обнаружено в уже цитированной работе [2 ] Для определения границ устойчивости в этой работе использовались первые приближения метода Галеркина, содержавшие в разложениях амплитуд возмущений функции тока и температуры по две базисные функции. Это приближение описывает гидродинамическую моду с погрешностью не более 20%. Качественно правильно описывается и поведение волновой моды (включая асимптотику 1/ Л Р7при Рг Количественные результаты для волновой [c.34]

Итак, при увеличении угла наклона к горизонтали происходиг смена механизма неустойчивости течения — от конвективного (стратификационного) к гидродинамическому. Этот переход происходит непрерывно вдоль единой кривой Gr (a). Важно подчеркнуть, что при малых числах Прандтля переход к гидродинамической моде неустойчивости наступает уже при малых отклонениях слоя от горизонтальной ориентации. Предельная кривая Рг = О семейства, изображенного на рис. 22, соответствует полному отсутствию стратификационного фактора. Эта кривая, естественно, симметрична относительно оси Gr и получается из решения уравнения Орра — Зоммерфельда с профилем скорости (6.1). Повышение устойчивости при увеличении а на кривой Рг = О целиком обусловлено уменьшением скорости основного течения по мере увеличения наклона слоя к вертикали. [c.50]

В предельном случае больших чисел Прандтля, как показано в работах [27, 28], имеется волновая мода неустойчивости, связанная с растущими температурными волнами. Расчет границы волновой неустойчивости для стратифицированного слоя воды проведен в работе Харта [3]. Серия исследований устойчивости течения в слое с продольным градиентом температуры выполнена в Институте теплофизики СО АН СССР (см. обзор [29]) A.A. Предтеченский, А.Г. Кирдяшкин и B. . Бердников [30], а также А.Г. Кирдяшкин и A.A. Предтеченский [31] провели расчеты в широкой области изменения числа Прандтля и параметра стратификации и обнаружили, наряду с гидродинамической и волновой модами, также и с5тационар-ную тепловую моду. Позже количественные данные о характеристиках устойчивости были пересмотрены и уточнены [32] в связи с обнаруженной вычислительной ошибкой. Расчет волновой моды для Рг = 7,5 проведен в [33], однако эта работа была подвергнута критике в [34]. Расчеты для Рг = 0,71 6,7 и 1000 выполнены в [35]. Наиболее обстоятельное исследование границ устойчивости для всех трех мод проведено в работе Берг-хольца [34]. Полученные им результаты подтверждают данные, относящиеся к гидродинамической моде [22] и к двум тепловым модам [32]. [c.70]

По мере увеличения числа Прандтля и параметра стратификации на смену гидродинамической моде неустойчивости приходят тепловые моды. Наличие устойчивой стратификации повышает упругие свойства конвективной системы, что, естественно, приводит к уменьшению предельных значений числа Прандтля Рг, соответствующих появлению волновой неустойчивости. Согласно расчетам [34] при значениях параметра стратификации д = 1,5 2 и 2,5 волновая мода становится опаснее гидподинамической соответственно при Рг = 10,4 7,2 и 3,5. Границы волновой неустойчивости в зависимости от параметра стратификации изображены на рис. 39 штриховыми линиями. При малых и умеренных числах Прандтля волновая неустойчивость сменяет гидродинамическую по достижении некоторого предельного значения параметра стратификации д. Если Рг > 12,45, неустойчивость связана с волновой модой, по крайней мере в области малых и умеренных д. Асимптотика волновой моды при Рг рассматривалась в уже цитированной работе Гилла и Киркхэма [28]. При больших Рг справедлива, как и в отсутствие стратификации (см. 4), формула Сг, = 8/у/ т, где теперь коэффициент 5" является возрастающей функцией продольного градиента. При д = 0 2 и 4 соответственно 5 = 590 625 и 2,1 10 при д > 5 справедлива формула 5 = 30,0д . [c.72]

Во всех цитированных работах показано, что, как и ожидалось, граница гидродинамической моды неустойчивости слабо зависит от числа Прандтля и близка к соответствующей границе в случае изотермических стенок. Граница волновой неустойчивости по данным работы А.Т. Лип-чина и Н.И. Лобова [60] приведена на рис. 50 (использовался метод дифференциальной прогонки). Как видно, переход к теплоизолированному случаю приводит к существенному уменьшению порогового числа Прандтля, при котором появляется волновая мода (Рг = 0,89). Кроме того, зависимость Сг (Рг) оказывается немонотонной. При Рг 3,6 имеется глубокий минимум, причем в этой области волновые возмущения более опасны, чем гидродинамические (для которых 500). При Рг расчеты дают общую с изотермическим случаем асимптотику (критиче- [c.85]

Рассмотрим теперь другой тип комбинированного течения, а именно будем считать, что вьшужденное течение создается за счет движения границ слоя в себе по вертикали с одинаковыми по величине и противоположными по направлению скоростями. Получающееся при этом течение есть суперпозиция конвекции, создаваемой поперечной разностью температур, и сдвигового течения Куэтта, обусловленного увлечением жидкости дви-жуцдимися границами. Качественное отличие от задачи предьщущего параграфа состоит в том, что теперь вынужденная компонента течения (поток Куэтта) сама по себе является устойчивой. Можно поэтому ожидать, что добавление устойчивой компоненты приведет к стабилизации конвективного течения. Этот эффект в общем действительно проявляется на гидродинамической моде неустойчивости. Что же касается тепловой моды, то здесь ситуация оказывается значительно более сложной. В зависимости от соотношения параметров возможна как стабилизация, так и дестабилизация течения более того, при определенных условиях появляется и становится наиболее опасным новый тип неустойчивости, связанный с развитием монотонных (стоячих) тепловых возмущений. [c.97]

Перейдем теперь к обсуждению тепловых мод неустойчивости. Относительно просто обстоит дело в случае попутного движения границ (Re > 0). Как и в слое с неподвижными границами, волновая неустойчивость появляется при числах Прандтля, превышающих значеше Рг = 11,56. Нейтральные кривые имеют характерную петлеобразную форму и их эволюция по мере увеличения Рг вполне аналогична обсужденной в 4 (рис. 7). Движение границ приводит к сильной стабилизащш. Минимальное критическое число Грасгофа монотонно растет с увеличешем числа Рейнольдса, и при больших Re наступает линейная асимптотика Gr Re. [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...