Решение волновое нелинейных

Будем считать, что волны с частотами Зш, 4со и т. д. имеют скорости, сильно отличающиеся от yj. Далее будет показано, что различие в фазовых скоростях приводит к ограничению длины, на которой происходит эффективное взаимодействие волн. В слабо нелинейной среде в отсутствие длительного взаимодействия накоплением энергии на частотах Зш, 4(о и т. д. можно пренебречь. Амплитуды этих волн не могут достигать значительной величины. Поэтому решение волнового уравнения (12.3.1) можно искать в виде суммы только двух взаимодействующих волн с частотами ю и 2со. Их амплитуды и фазы будут медленно меняться с расстоянием г. [c.382]

При любой частоте со волоконный световод может иметь конечное число направляемых мод, пространственные распределения полей Ё(г,со) которых являются решениями волнового уравнения (2.1.18) при соответствующих граничных условиях. Кроме того, световод может иметь континуум (счетное число) ненаправляемых излучатель-ных мод. Излучательные моды не играют важной роли в обсуждении нелинейных эффектов, поскольку предполагается, что световод имеет совершенную (идеальную) цилиндрическую геометрию, хотя излучательные моды важны в задачах, рассматривающих передачу энергии между связанными и излучательными модами [4], В этом разделе кратко обсуждаются направляемые моды волоконных световодов [4, 5]. [c.36]

Теоретическое описание нелинейных волновых явлений в этих условиях основывается обычно на совместном решении волновых уравнений и динамических уравнений для нелинейного отклика. Относительно просто последние выглядят для апериодического отклика. Если нелинейная добавка к показателю преломления связана с инерционными эффектами (например, высокочастотным эффектом Керра для анизотропно поляризующихся молекул), то динамическое уравнение для нелинейной добавки А/г имеет вид [c.74]

До сих пор мы рассматривали распространение пространственно неограниченных плоских волн. В настоящем разделе мы исследуем для случая линейно поляризованного света (с одной частотой) влияние описанных в разд. 4.11 нелинейностей на свет, напряженность поля которого изменяется в направлении, поперечном по отношению к направлению распространения. Для теоретического рассмотрения этой проблемы необходимо исходить из общего нелинейного волнового уравнения (1.32-1) и искать решения Е. ,х,у,г), удовлетворяющие этому уравнению и заданным граничным условиям. Однако решение такого нелинейного дифференциального уравнения в частных производных связано со значительными трудностями (см. разд. 1.321) решение обычно проводится при помощи численных методов (см., например, [c.194]

Решение. Считая нелинейные эффекты слабыми, в первом приближении пренебрежем в уравнении (2.2) его правой частью. Решением линейного волнового уравнения в виде бегущей в положительном направлении оси X волны будет [c.126]

В предыдущей статье [3] была рассмотрена нелинейная теория установившегося течения жидкости большой глубины вдоль слабо модулированной волнообразной стенки. При этом использовалась теория Уизема [6, 7], описывающая дисперсию плавно изменяющихся цугов волн большой амплитуды. Метод основан на предположении, что локально цуг волн хорошо аппроксимируется идеально периодическим решением полных нелинейных уравнений движения и последующим вычислением среднего лагранжиана через волновые параметры. Дисперсионное уравнение, описывающее медленные изменения этих параметров, получается затем применением принципа Гамильтона. [c.215]

Рассматриваемые здесь вариационные задачи заключаются в определении формы тел, обладающих минимальным волновым сопротивлением в плоскопараллельном или осесимметричном сверхзвуковом потоке газа, и контуров сопел, реализующих максимальную силу тяги при некоторых ограничениях. Силы, действующие на тела при течениях невязкого газа, определяются давлением на стенки. Величина давления находится из рещения граничных задач для нелинейных уравнений газовой динамики. Такие задачи в настоящее время решаются численно. Нахождение решения вариационных задач со связями в виде уравнений с частными производными приводит к сложным численным процессам. О таком прямом подходе к оптимизации формы тел будет сказано в послесловии к этой главе. Здесь будет рассмотрен подход, который в плоскопараллельном и осесимметричном случаях допускает точную одномерную постановку ряда вариационных задач и их простое решение. [c.45]

Прежде всего подчеркнем, что нелинейная теория волновых течений энергично развивается в последние годы благодаря широкому использованию численных методов [29, 30, 43]. При использовании аналитических методов решения обычно представляются в виде бесконечных рядов, доказательство сходимости которых требует большой вычислительной работы [36]. Важные тенденции в поведении волн конечной амплитуды могут быть выявлены с помощью различных приближенных методов. В частности, если в описании гравитационных волн ограничиться третьими степенями амплитуды, то уравнение поверхности жидкости бесконечной глубины имеет вид [c.142]

Здесь р, Р, V — плотность, давление и скорость жидкости. Для баротропной жидкости, когда Р = Л(р), ур-ния Эйлера можно линеаризовать на фоне тривиального решения р = Ро, о = 0 в предположении потенциальности поля скоростей V = уф. Полагая р = Ро + бр, 5р <й Ро, получае.м из (1) волновое уравнение для звуковых волн. Однако при рассмотрении вихревых движений жидкости, когда её можно считать не-сжи.маемой, р = ро, у = 0, ур-ния Эйлера (1) становятся существенно нелинейными. Их линеаризация на фоне решения Сд = 0 приводит к тривиальному ур-нию дь д1 — 0. [c.314]

Решения Н. у. м. ф. во мн. случаях обнаруживают тенденцию к стохастизации. В этом случае они требуют статистич. описания, что составляет предмет теории турбулентности. Турбулентность часто развивается как результат неустойчивости фонового состояния. Бели уровень нелинейности решения остаётся малым, то говорят о слабой турбулентности, в противном случае — о сильной турбулентности. Сильная турбулентность может сопровождаться волновыми коллапсами, целиком или частично состоять из взаимодействующих солитонов. [c.314]

В гл. 2 развит математический аппарат, необходимый для теоретического понимания нелинейных явлений в волоконных световодах. Начинается теоретическое описание уравнениями Максвелла далее при обсуждении мод световода и получении основного уравнения для распространения амплитуды огибающей импульса используется волновое уравнение в нелинейной среде с дисперсией. При выводе уравнения отмечаются производимые приближения. Затем обсуждаются численные методы, используемые при решении основного уравнения распространения особенно выделяется фурье-метод с разделением по физическим факторам. [c.28]

Нелинейная длина определена в уравнении (3.1.5). Из дисперсионного соотношения (5.1.7) видно, что устойчивость стационарного состояния существенно зависит от того, в области положительной (нормальной) или отрицательной дисперсии световода распространяется излучение. В случае положительной дисперсии групповых скоростей (Р2 > 0) волновое число К действительно при всех значениях Q и стационарное состояние устойчиво относительно малых возмущений. С другой стороны, в случае отрицательной дисперсии групповых скоростей (Р2 < 0) К становится мнимым при Q < и возмущение fl(z, Т) экспоненциально нарастает по г. В результате непрерывное решение (5.1.2) является неустойчивым в случае Р2 < 0. Данный вид неустойчивости называется модуляционной неустойчивостью, так как при этом возникает спонтанная модуляция стационарного состояния. Похожие виды неустойчивости встречаются во многих других нелинейных системах. Их часто называют неустойчивостями, вызванными самовоздействием [32, 33]. [c.106]

Гауссов пучок (2.2.15), рассмотренный в предыдущем разделе, является решением волнового уравнения (2.1.2) для однородной среды (/ j = 0). Во многих случаях приходится сталкиваться со средой, показатель преломления которой изменяется по квадратичному закону (2.1.4), причем / j 0. Например, показатель преломления и (г) градиентных волокон (см. ниже рис. 2.5) приблизительно описывается распределением (2.1.4). Другим важным примером является распространение гауссова пучка в среде с керровской нелинейностью [11]. В последнем случае к квадратичному распределению показателя преломления приводит распределение интенсивности самого лазерного пучка. Распространение волны в таких средах можно описывать двумя различными методами. При модовом описа- [c.38]

Это обстоятельство позволяет сделать некоторые общие для всей нелинейной оптики заключения. Например, если при Р<" > = О решение волнового уравнения имеет вид плоской волны, то при р( ь) ф Q решение можно представить в виде квазиплоской волны, амплитуда и фаза которой мало меняются на расстояниях порядка длины волны. Еще большие возможности для общего описания нелинейно-оптических эффектов возникают в случае, когда эти эффекты малы не только в локальном, но и в интегральном по всей нелинейной среде смысле. В данном параграфе рассматривается именно такая ситуация. [c.18]

В последних двух главах рассматривается концентрация поля в некоторых ограниченных областях пространства, в которых имеют место определенные комбинации длин волн и неоднородностей среды это приводит к эффекту, который можно назвать своего рода удержанием излучения. В частности, в гл. 7 мы рассмотрим пассивные и активные резонаторы, используемые в лазерных устройствах и предназначенные для удержания излучения вблизи оси оптических резонаторов и интерферометров Фабри — Перо. При этом мы будем проводить изучение главным образом на основе теории дифракции. В гл. 8 для исследования удержания излучения в поперечном направлении вблизи оси диэлектрического световода задача решается аналитически с использованием модовых решений волнового уравнения. Это позволяет рассмотреть единым образом самые современные вопросы, связанные с такими нелинейными оптическими явлениями, как фазовая самомодуляция и солитоны. [c.9]

Поскольку вакуум не обладает дисперсией, отраженная волна второй гармоники распространяется в том же направлении, что и отраженная волна основной частоты. В то время как волна нелинейной поляризации распространяется в том же направлении, что и основная проходящая волна, однородная волна с частотой гармоники будет распространяться, вообще говоря, в ином направлении. Волновые векторы обеих волн параллельны либо в предельном случае точного фазового согласования е(со) = е(2со), либо в случае нормального падения. Решение волнового уравнения (2.4) требует дальнейшего рассмотрения этих предельных случаев, что и будет выполнено в 4. Важный вопрос о рассогласовании фазовых скоростей в направлении, нормальном к направлению распространения, в работе [6] остался невыясненным. Этот вопрос будет здесь рассмотрен рассогласо- [c.338]

В главе 7 при всестороннем обсуждении решений волнового уравнения (1.1) мы обращаемся к двух- и трехмерным задачам. Пожалуй, в книге, посвященной распространению волн, необычно так долго откладывать этот вопрос и начинать со столь тщательного обсуждения нелинейных эффектов. Это следствие упорядочения, произведенного по числу измерешш, а не по сложности понятий или доступности математического аппарата. В главе 7 освещаются свойства решений уравнения (1.1), позволяющие судить о природе рассматриваемого волнового движения и дающие возможность обобщения на другие волновые системы. Главным примером служит геометрическая оптика, которая обобщается на линейные волны в неоднородной среде и является основой для аналогичных построений, связанных с распространением разрывов в нелинейных задачах. Мы даже не пытаемся дать хотя бы [c.14]

Функции t Vi g выбираются так, чтобы выполнялись начальные или граничные ус.гговия. Мы отложим рассмотрение конкретных примеров, поскольку для плоских волн поддаются решению полные нелинейные уравнения и некоторые линеаризованные результаты можно рассматривать как приближение этих точных решений. Двух- и трехмерные решения волнового уравнения будут рассматриваться в гл. 7. [c.160]

Результаты численного решения системы нелинейных уравнений (2.2.9) с граничными условиями (2.2.6) и (2.2.7) методом наименьших квадратов аппроксимированы [57—60] от числа Re или от отношения Re/Ga, а также от величины, учитывающей взаимодействие газа с волновой поверхностью пленки жидкости в режиме нисходящего прямотока и представленной в виде безразмерной величины Fi = Tq/H о ( gsmфl — А). [c.40]

Решение нелинейного уравнения (1.3.5) с граничными условиями (1.3.6) подробно глзедставлено в [1]. В частности, получена полная информация о течении волновой пленки (распределение скоростей, изолиний функции тока) и ее характеристиках (амплитуда, длина волны, фазовая скорость и т.д.). [c.19]

В течение последних 20 лет известные успехи были достигнуты в численном моделировании волн конечной амплитуды (нелинейная теория). Линейная теория способна ответить только на вопрос о границе устойчивого и неустойчивого состояний и не может предсказать реальную форму волн и их эволюцию во времени. Экспоненциальный рост амплитуды волн при возникновении неустойчивости, предсказываемый линейной теорией, сам по себе предполагает, что эта теория выходит за пределы своих возможностей, как только такой рост начинается. В реальном процессе восстанавливающие силы (поверхностного натяжения, инерции, массовые) быстро нарастают с увеличением амплитуды волн, которая всегда остается конечной в гравитационных пленках. На основании численных исследований в рамках нелинейной теории были получены некоторые практически полезные результаты [43], однако они, как правило, не могут быть представлены в виде прость(х аналитических соотношений основные тенденции, следующие из численных решений, описываются обычно качественно. В частности, важный качественный вывод делается Холпановым и Шкадовым [43] в отношении влияния трения со стороны газового потока (т " ) на форму волновой поверхности жидкой пленки. Оказывается, начиная с некоторого значения т" (при заданном расходе жидкости Fq), увеличение касательного напряжения приводит к уменьшению амплитуды волн, чего никак нельзя было бы предположить на основе анализа в рамках линейной теории Кельвина—Гельмгольца. [c.171]

Учет через силу Бассэ влияния иредьгсторпи движения на поведение дисперсных частиц сллыю осложняет решение задач волновой динамики газовзвесей. Облегчающим обстоятельством является то, что при больших числах Rei2 относительного обтекания частиц (например, в ударных волнах) преобладающее значение имеют нелинейные инерционные аффекты, в то время как влияние нестационарных ( наследственных ) эффектов в газовой фазе весьма мало. Поэтому при решении задач волновой динамики газовзвесей нестационарными эффектами силового и теплового взаимодействия фаз часто пренебрегают. Характерным примером задачи, где необходимо и, в обозримом виде, возможно учесть эти эффекты, является задача о распространении слабых монохроматических волн во взвесях. В этом случае искомые функции, в том числе и Vz представляются комплексными экспонентами координат и времени (подробнее см. ниже [c.157]

ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ (плазменные волны) — эл.-магн. волны, самосогласованные с коллективным движением зарнж. частиц плазмы. Специфика плазмы, в частности её отличие от нейтрального газа, связана с волновыми процессами. Существует много типов В. в п., определяемых её состоянием, зависящим от наличия или отсутствия внеш. магн. полей и от конфигурации плазмы и полей. Классификация В. в п. производится прежде всего по величине амплитуды. При больших амплитудах волновые движения паз. нелинейными волнами они могут быть регулярными, напр, солитоны, либо хаотическими, напр, бесстолкновителъные ударные волны. Общее решение задачи о нелинейных волнах огсутст- вует. Задачу о волнах малой амплитуды удаётся ре-ДХо шить до конца в общем виде, линеаризовав ур-ния, [c.328]

Даже если линеаризация Н. у. м. ф. возможна, с точки зрения физики исключительно важны существенно нелинейные решения, качественно отличающиеся от решений линейных ур-ний. Такими могут быть стационарные решения солитонного типа, локали-эованные в одном или неск. измерениях (см. Солитон), или решения типа волновых коллапсов, описывающие са. юпро-извольную концентрацию энергии в небольших областях пространства (см. также Самофокусировка света). Существенно нелинейными являются и стационарные решения ур-ний гидродинамики. Весьма важен вопрос об устойчивости существенно нелинейных решений, в т. ч. гидродинамич. течений и солитонов, к-рый решается либо при помощи линеаризации Н. у. на фоне изучаемых решений, либо при помощи вариац. оценок. [c.314]

При взаимодействии с плазмой моноэнергетич. пучка вначале возбуждается очень узкий пакет волн с маис, инкрементом при кд = (о /и и с полушириной волнового пакета ДАр = (иб/Я )) / Ао- При возрастании амплитуды волн в т раз ширина спектра уменьшается в т раз, т. е. волновой пакет сильно сужается, и возбуждаемую волну можно считать монохроматической. С дальнейшим ростом амплитуды волны происходит захват частиц пучка в потенциальную яму волны. При осцилляциях в потенциальной яме сгустки, на к-рые разбивается электронный пучок, попеременно смещаются в область тормозящих фаз волны и отдают энергию, а затем — в область ускоряющих фаз и получают энергию от волны, так что в среднем обмен энергией между электронами пучка и волной уже не происходит. Решение на ЭВМ систе.мы ур-ний, описываюгцих возбуждение монохроматич. волны на нелинейной стадии, представляет собой монохроматич. волну с осциллирующей во времени и в пространстве амплитудой. [c.184]

Выбор достаточно узких волновых пакетов приводит к большому разбросу по импульсам, что, в свою очередь, влечёт за собой быстрое расплывание пакетов (квадратичный по времени закон расплывания ). Т. о., волновой пакет можно сопоставить с частицей только для очень коротких временных промежутков. Поиск нерасплываю-щихся волновых пакетов или частицеподобных решений приводит к рассмотрению нелинейных обобщений ур-ний динамики (см. Солитон). [c.637]

Известно, что одномерным нелинейным волновым уравнением, энисывающим распространение волн в слабодиснергирующей среде о слабой нелинейностью, является уравнение Кортвега —де-Ври-ш [117]. Одно из решений этого уравнения описывает периодическую волну (в данном случае концентрационную) [c.13]

Только рассмотрение решетки с кооперативными смещениями позволило ввести понятие об атом-вакансионных состояниях, в условиях которых дислокация рождается как солитонное решение нелинейного волнового уравнения. Была вскрыта общая природа возникновения любых- деформационных дефектов точечных, дислокаций, протяженных дефектных фаз (типа клубков дислокаций). Все они возникают в областях неравновесных атом-вакансионных состояний. Тип дефекта определяется характером решения нелинейного волнового уравнения, описывающего решетку с кооперативными смещениями. В зависимости от степени и условий деформаций можно полу хить любые деформационные дефекты, которые могут взаимно превращаться. С другой стороны, движение любых деформационных дефектов может осуществлять произвольную пластическую деформацию, поэтому в теории пластического течения кристаллов необходимо рассматривать движение дефектов всех типов, включая планарные и протяженные дефектные фазы. [c.23]

Мосеепков Б. И. Асимптотика волновых решений эллиптических уравнений с переменными коэффициентами.— В сб. Аналитические методы исследования решений нелинейных дифференциальных уравнений Изд-во Ин-та математики АН УССР, 1975, с. 93—100. [c.253]

При изучении сложных нелинейных процессов, поддающихся исследованию ана дитическими методами с большим трудом, ЭВМ позволяют провести большие чис ленные эксперименты с целью проверки или выдвижения гипотез о качественной или количественной стороне нелинейного явления. Обнаруженная эвристическим путем на ЭВМ закономерность может служить источником новых аналитических разработок и исследований. Такое применение ЭВМ привлекало внимание многих ученых уже с самого начала появления ЭВМ. Так, одна из первых ЭВМ была использована Ферми и Уламом [32] с целью исследования распределения энергии по частотам в нелинейных волновых процессах. Ими было обнаружено аномальное, сохраняющееся длительное время, распределение энергии по первым основным частотам. Полное аналитическое исследование этого факта отсутствует и в настоящее время. С помощью ЭВМ был об-наружен и целый ряд других очень интересных и необычных эффектов в нелинейных процессах. Упомянем в этой связи образование странных аттракторов — сложных предельных многообразий нелинейных динамических систем, к которым приближа ются со временем траектории динамической системы [33], открытие так называемого Т-слоя в плазме, неожиданно образуюпдегося при разлете плазменного шнура. Такой Т-слой характеризуется аномально высокой температурой [34]. С помощью ЭВМ в последнее десятилетие было сделано удивительное открытие о количественной уни версальности поведения широкого класса нелинейных систем уравнений, зависящих от параметра, в процессе ветвления решений при изменении параметра, когда число решений может неограниченно расти с удвоением периода. Оказалось, что две посто янные а = 4.6692. .. и Л = 2.5029. .. характеризуют переход к хаотическому поведе нию решений очень широкого класса нелинейных систем уравнений [35]. Аккуратное аналитическое обоснование этого факта еще ждет своих исследователей. [c.24]

Как видно из рис. 24, формулы [18] в случае Я-поляризации справедливы для S = 0,95 лишь при и < 0,05, а для s = 0,25 — в области и < 0,5. Такая неравномерность объясняется следуюш,им чем больше радиус проводов, тем при меньших и начинают проявляться волновые свойства решетки, т. е. при меньших и элементы решетки становятся соизмеримы с длиной волны. Формулы [18] получены с помош,ью метода малых возмущений, т. е. в предположении, что зависимость дифрагированных полей от и имеет линейный характер. В области длин волн, соизмеримых с препятствиями (s = 0,85, и = 0,1), такие зависимости имеют существенно нелинейный характер, и формулы [18] теряют достоверность. В принципе весь численный анализ можно провести при непосредственном решении интегральных уравнений путем обычной замены интеграла суммой и линейной аппроксимации функции тока с помощью N чисел на всем контуре цилиндра. При этом получаем систему уравнений N-to порядка, которая эффективно решается на ЭВМ. Если в случае Я-поляризации интегральное уравнение заменить системой 20-го порядка (20 точек разбиения), то в интервале О < и < 1 для s = 2all = 0,25 0,50 и 0,75 численные результаты будут хорошо совпадать (с точностью не хуже, чем 0,005) с результатами, полученными из систем [25]. На рис. 24 кружочками показаны результаты для случая s = 0,95. При этом интервал интегрирования разбивался с учетом вероятностного распределения плотности тока. [c.66]

Смотреть страницы где упоминается термин Решение волновое нелинейных : [c.324] [c.297] [c.110] [c.196] [c.303] [c.489] [c.45] [c.92] [c.20] [c.324] [c.326] [c.671] [c.305] [c.239] [c.572] [c.169] [c.84] [c.105] [c.76] [c.121]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...