Граничные элементы и аппроксимация

Метод граничных элементов (МГЭ) для решения ГИУ (1.1) и, вместе с тем, для решения исходной краевой задачи есть процесс приближенного решения ГИУ (1.1) на основе аппроксимации граничных функций с помощью пространств граничных элементов и аппроксимации плотностей объемных интегралов с помощью пространств объемных элементов (см. 2 главы 7). [c.222]

ГРАНИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И АППРОКСИМАЦИЯ [c.143]

Значения компонентов матриц [Я ], [G ] и [D , ] зависят, как это следует из (4.97), от геометрии тела,расположения узлов, аппроксимации Т я q в пределах каждого граничного элемента и Т" в пределах внутренних элементов в объеме тела, а также от величины [c.187]

Само по себе граничное интегральное уравнение является формулировкой поставленной задачи, ведущей к точному ее решению, и погрешности вследствие дискретизации и численных аппроксимаций возникают только на границах и рядом с ними из-за невозможности выполнить численное интегрирование в замкнутой форме. Если процедура численного интегрирования сделана достаточно сложной (при использовании, например, криволинейных граничных элементов и непрерывно изменяющихся распределений функций на границе), то привносимые таким образом погрешности могут быть действительно очень малыми. Конечно же, численное интегрирование всегда представляет собой более устойчивый и точный процесс, чем численное дифференцирование, и ни прямой, ни непрямой МГЭ не требуют никакого дифференцирования численных величин. [c.19]

Метод разрывных смещений основан на представлении, что непрерывно распределенные вдоль трещины разрывы смещений можно заменить дискретной аппроксимацией. При этом процедура напоминает способ решения задачи о полуплоскости с распределенными на границе усилиями (ср. рис. 3.6), изложенный выше в 3.2. А именно, разбиваем трещину на N (граничных) элементов и в пределах каждого элемента разрывы смещений полагаем постоянными. Зная аналитическое решение для одного постоянного разрыва смещений и суммируя влияния всех N элементов, находим численное решение задачи. [c.83]

Нами рассматривались варианты метода граничных элементов с полиномами нулевой и второй степеней, т. е. кусочно-постоянная и квадратичная аппроксимации на каждом граничном элементе. При квадратичной аппроксимации уравнения метода граничных элементов и особенно их коэффициенты более сложные, чем соответствующие уравнения для кусочно-постоянной аппроксимации. Точность получаемых результатов, как будет показано, с увеличением степени интерполяционного полинома растет незначительно. Поэтому при решении поставленных задач использовалась кусочно-постоянная аппроксимация. При этом уравнения (7.18) упрощаются исчезает суммирование по д, а узлы интерполяции, которые располагаются на серединах граничных эЗ ементов, можно нумеровать теми же индексами, что и элементы. Тогда система уравнений метода граничных элементов запишется в виде [c.165]

Особенность, которая возникает при вычислении Gnn, устраняем аналогично двумерной задаче. По (4.81) строим матричное уравнение (4.86) с Ns неизвестными, но теперь в (4.87) Ti и Г3 следует заменить соответственно на 5 и S , а в (4.88) и (4.89) Г - на S -В случае аппроксимации Т N) и q (N) при N Sn полиномами удобно в каждом граничном элементе ввести локальную систему координат, определенным образом связанную с координатами л ,, [c.184]

Положительные стороны МГЭ по сравнению с МКЭ, связанные с понижением размерности задачи, определяют целесообразность его применения к решению пространственных задач термоупругости, особенно в случае постоянных упругих характеристик материала тела. Представим поверхность тела S совокупностью A/ s двумерных граничных элементов. Эти элементы, как и в случае решения пространственных задач теплопроводности (см. 4.5), целесообразно выбрать в виде треугольников или четырехугольников (плоских или криволинейных) с аппроксимацией в пределах каждого элемента распределений компонентов перемещений Ui (N) и вектора напряжений Pi (N) постоянными значениями или же зависимостями от координат точки N в виде полиномов. Если в пределах т-го граничного элемента с площадью S,n считать Ui (N) (i Om и pt (М) = = pi)m при N S, , то после отождествления точки Мд с узловой точкой граничного элемента интегральное уравнение (1.108) нетрудно свести к матричному уравнению вида (6.46), в котором теперь и и р — матрицы 3Ns X 1 (вектор-столбцы) с компонентами соответственно ( - )+,= ( Om и P3(m-l)+i = (Pi)r , причем i = 1, 2, 3 и m = 1,2,.,., Ns — матрица SN X 1 (вектор-столбец) с компонентами [c.253]

Аналогичным образом строим расчетные зависимости при использовании граничных элементов более высокого порядка, когда учитывается изменение (N) и (N) в пределах каждого элемента 7. Поскольку pi ф) выражается через первые производные от Ui, при использовании для аппроксимации полиномов рекомендуется рЧ (N) аппроксимировать полиномом степени на единицу меньше, чем (Л/). Например, если поверхность рассматриваемого тела содержит ребра и угловые точки, то целесообразно представить ее совокупностью треугольных элементов с линейной аппроксимацией компонентов перемещений и постоянными значениями компонентов вектора напряжения в пределах каждого элемента. [c.256]

Размер L на рис. 7.5 может быть произвольным. На этом же рисунке показана сетка конечных элементов с линейной аппроксимацией параметров в пределах каждого элемента, точками на контуре пластинки отмечены узлы граничных элементов также с линейной аппроксимацией Vi и Pi. Расчет проведен при D — 1 с , v = 0,32 [c.272]

ЛИШЬ К разбиениям поверхности, ограничивающей область. Так и происходит поэтому в любой однородной области требуется дискретизировать только поверхность, а не всю область (отсюда и название — метод граничных элементов ), так что область становится одним большим сложным элементом в смысле метода конечных элементов. Тогда переменные, описываюш,ие решение, будут изменяться непрерывно в этой области и все аппроксимации геометрии и т. д. будут иметь место только на ее внешних границах. [c.14]

Для реальных задач построить аналитическое решение зачастую не удается. Даже когда определяющие дифференциальные уравнения в частных производных линейны, область R может оказаться неоднородной, геометрия—нерегулярной, а граничные условия — трудно описываемыми простыми математическими функциями. В таких случаях, используя численные методы, при помощи вычислительных машин можно найти приближенное решение. Численные методы решения краевых задач можно разделить на два отчетливых класса класс, который требует использования аппроксимаций во всей области R, и класс, который требует использования аппроксимаций только на границе С. В первый класс входят методы конечных разностей и конечных элементов, во второй — методы граничных элементов. [c.10]

Рис. 1.1. Конечно-элементная и гранично-элементная аппроксимации (а) конечные элементы (Ь) граничные элементы.

I л ( с 6, г/ = О для того, чтобы смещение Uy на этом участке было постоянным и равным — о Для численного решения этой задачи рассмотрим дискретную аппроксимацию непрерывно распределенных напряжений, которые существуют в действительности. Подобная дискретная аппроксимация представлена с помощью N граничных элементов одинаковых размеров, расположенных на участке л с Ь, у = 0. [c.41]

В безразмерной форме.) На рис. 3.9 показаны две численные аппроксимации аналитического решения для напряжения ty (х) под штампом. Результаты представлены в безразмерной форме, пригодной для произвольных G и Ь. Первая аппроксимация (рис. 3.9 (а)) была найдена путем разбиения штампа по ширине 2Ь на 10 граничных элементов вторая (рис. 3.9 (Ь)) была найдена путем разбиения на 20 элементов. Следовательно, эти аппроксимации включали решение системы соответственно 10 и 20 линейных уравнений. В обоих случаях численные результаты находятся в хорошем согласии с аналитическим решением, за исключением точек непосредственно у края штампа, где теоретически напряжение бесконечно. Однако на практике бесконечные напряжения не реализуются и численные решения, показанные на рисунке, можно считать хорошими приближениями к тем усилиям под штампом, которые возникают в реальности. [c.44]

Точное распределение разрывов смещений вдоль трещины определяется согласно (5.3.2). На рис. 5.3 изображены две численные аппроксимации точного решения. Эти результаты представлены в безразмерной форме, пригодной для любых значений Ь и G. Первая аппроксимация (рис. 5.3 (а)) найдена при разделении длины трещины на 10 одинаковых граничных элементов, а вторая (рис. 5.3 (Ь)) — делением на 20 граничных элементов. По способу построения, разрывы Dy постоянны вдоль каждого элемента. На практике, однако, удобно представлять, что они относятся к дискретным точкам х i = 1,. .., N). Тогда можно соединить их плавной кривой, аппроксимирующей точное решение. Проделав мысленно эту операцию, из рис. 5.3 можно заключить, что метод разрывных смещений завышает значения относительных смещений поверхностей трещины, но результаты приближаются к точному решению по мере увеличения N. [c.89]

Обсуждение этих более сложных и точных аппроксимаций можно найти в работах [18, 28, 35, 42]. Подобные концепции ставят гранично-элементный анализ в один ряд с современными работами по конечно-элементному анализу. Преимущество прямого метода граничных интегралов состоит в том, что пока что он проявил себя как более подходящий для развития этого направления по сравнению с непрямыми методами граничных элементов. [c.136]

Различия в вариантах МГЭ проявляются прежде всего в приемах вывода соответствующих граничных интегральных уравнений и отчасти в способах обработки результатов их решения. Техника же разбиения границ, аппроксимаций, подсчета коэффициентов, решения уравнений, коль скоро они получены, расчетов для внутренних точек остается одной и той же. Поэтому структура и многие элементы программ, реализующих любой вариант, одинаковы и развитие вычислительной стороны осуществляется для метода граничных элементов в целом. Это отчетливо показано в данной книге, и авторы настойчиво добиваются, чтобы читатель ощутил единый модульный характер вычислительных программ и значительную общность модулей. Сравнивая достоинства вариантов, можно все же отметить, что прямой метод, включая и вариант разрывных смещений в прямой его трактовке, очень привлекателен для механиков и инженеров своей главной чертой — тем, что в нем неизвестные функции являются физически осязаемыми величинами. Это немаловажное достоинство становится особенно ценным в случаях, когда достаточно знать лишь значения усилий и смещений на границе, когда необходимо учесть дополнительные соотношения в угловых и других особых точках, а также в контактных задачах, подобных рассмотренным в 8.2, 8.4, при произвольных условиях, связывающих усилия с взаимными смещениями в соприкасающихся точках границ. С другой стороны, в непрямых вариантах несколько сокращаются вычисления на заключительном этапе — при нахождении напряжений, деформаций и смещений во внутренних точках области по найденному решению ГИУ. [c.274]

Этим требованиям удовлетворяет предложенный в работе [ 75 ] сингулярный элемент с аппроксимацией поля перемещений исходя из собственных функций для установившегося распространения трещины. В указанной работе выведен соответствующий вариационный принцип, позволяющий получить несимметричные конечно элементные уравнения движения, и предложена процедура перестроения сетки конечных элементов при распространении трещины. Достоинства введенного авторами элемента заключаются в том, что на берегах трещины точно удовлетворяются свободные граничные условия, в результате же решения системы уравнений движения определяются коэффициент интенсивности напряжений, а также его первая и вторая производные по времени (что представляет интерес при решении задач, в которых скорость распространения трещины непостоянна на каждом шаге по времени и определяется.из некоторого критерия). Кроме того, поскольку элемент основан на аппроксимации по достаточно большому числу собственных функций, он нечувствителен к изменению геометрических размеров. [c.77]

В работах [228, 229] излагаются основные концепции, лежащие в основе формулировок и методов решения плоских контактных задач статической теории упругости. Описаны две методики решения плоских контактных задач, одна из которых применима при отсутствии сил трения, а другая — при их наличии. Рассматривается контакт двух тел, причем каждое из них независимо. Учет условий контакта позволяет связать две системы уравнений в одну. Для нахождения зоны контакта нагрузка прикладывается малыми приращениями, после каждого из которых зоны сцепления и проскальзывания определяются итерационным способом. В созданном программном обеспечении использовались простейшие кусочно-постоянные граничные элементы. Предложенный алгоритм демонстрировался на ряде конкретных задач. Однако рассмотрение контакта только двух тел и использование граничных элементов низкого порядка аппроксимации вводит существенные ограничения на класс и точность рассматриваемых прикладных задач, на воз можность расчета НДС различных реальных конструкций. [c.13]

Поставленная задача решалась МГЭ с использованием трех видов аппроксимации неизвестных граничных усилий и перемещений в пределах граничного элемента. Они обозначены следующим образом усилия и перемещения постоянны в пределах ГЭ (МГЭ-1) усилия и пе- [c.74]

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде (точно или приближенно) фундаментальные решения (или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений 1 исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения (ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно (более раннее) название МГЭ — метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [c.3]

Точность метода зависит от размера ячейки и в большей степени от формы границ и граничных условий. Естественно, чем больше элементов в цепи (чем меньше размер ячейки для данной задачи), тем точнее аппроксимация непрерывной задачи. На границах, однако, ситуация более критична по двум причинам. Мы уже знакомы с первой причиной границы цепи действуют как отображающие поверхности, которые можно использовать при наличии симметрии, но для открытых систем это серьезный возмущающий фактор. Изменяя значение сопротивлений, можно сконструировать специальные сетки с квази-бесконечными границами [99J, Вторая причина связана с дискретным характером метода. Легко смоделировать прямолинейные границы, однако в случае криволинейных границ, не проходящих точно через узлы, возникают проблемы. В результате распределение потенциала плоского конденсатора может быть моделировано с относительной погрешностью лучше чем 0,1%, но погрешность для цилиндрического конденсатора может достигать 4% [100]. (Конечно, цилиндрический конденсатор можно моделировать с очень высокой точностью, используя цепь для цилиндрических координат, описанную ниже.) Можно аппроксимировать криволинейные границы, опуская некоторые узлы и используя только те, которые очень близки к границе, но тогда возникает дополнительная ошибка из-за проникновения поля через промежутки, созданные опущенными узлами. Более удачный подход заключается в использовании многоэлементной резисторной сетки и аппроксимации искривленных границ плоскими поверхностями, соединяющими узлы, наиболее близко расположенные к контуру электрода. Очевидно, что ошибки максимальны в окрестности резких краев и электродов с малым радиусом кривизны. Если требуется очень высокая точность для моделирования электродов, не совпадающих с узлами, можно ввести специально подобранные шунтирующие сопротивления [101]. Пространственный заряд также можно учесть, инжектируя токи в резисторные узлы. [c.136]

В шестой главе разработаны методы численного решения динамических контактных задач с односторонними ограничениями для упругих тел с трещинами. Построены конечномерные аппроксимации основных уравнений и конечномерные пространства метода граничных элементов для функций в пространствах преобразований Лапласа и коэффициентов Фурье. Рассмотрены вопросы ]аппроксимации компонент напряженно-деформированного состояния по времени. Исследованы вопросы, связанные с вычислением коэффициентов Фурье, прямого н обратного преобразований Лапласа. [c.7]

При формировании системы линейных алгебраических уравнений метода граничных элементов (6.23) требуется представлять глобальные координаты как функции локальных. Наиболее удобно для этого использовать такие же базисные функции, как и для аппроксимации функций, т. е. функции ср ,, определяемые формулами (6.34) — (6.52). Тогда глобальные координаты можно представить в виде [c.148]

Ограничимся этими краткими сведениями о конечных и граничных элементах, а также о методах аппроксимации функций на них. Более подробно эти вопросы изложены в специальной литературе [29, 42, 124, 194, 374, 439 и др.]. [c.148]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

Использование МГЭ для определения стационарного трехмерного температурного поля связано с представлением поверхности тела совокупностью Ns двумерных граничных элементов. Эти элементы целесообразно выбирать в виде треугольников или четырехугольников (плоских или криволинейных) с аппроксимацией распределений Т N) и q (N) при N S в пределах каждого элемента с номером п постоянными значениями а q,i или же зависимостями от координат в виде полиномов. Если в пределах л-го граничного элемента с площадью Sn считать Т N) = Т . я q (N) q при N то (4.77) нетрудно свести к матричному уравнению вида (4.81) с компонентами квадратных матриц [Я] и [G] размерностью NsXNs. [c.184]

Для построения расчетных схем, основанных на МКЭ, могут быть пспользованы различные функционалы для разрывных полей перемещений, напряжений и т. д. (см. гл. 3 б и гл. 4 6), а в более сложных случаях — комплекс полных и частных функционалов для многоконтактных задач [4.1]. Особый интерес представляют функционалы граничных условий, которые могут быть использованы как в варианте МКЭ, основанном на методе Ритца, так и в варианте, основанном на аппроксимации функционала. Первый представляет интерес для энергетических оценок погрешности он может быть реализован при достаточно простых законах распределения упругих констант и нагрузок в области, таких, что все уравнения (геометрические, физические, статические) внутри конечного элемента могут быть выполнены за счет выбора аппроксимирующих функций это возможно, например, для однородного анизотропного тела при отсутствии объемных сил. Задача о стационарном значении функционала граничных условий служит для приближенного выполнения граничных условий и условий контакта между элементами. [c.172]

Гибридный метод конечных элементов основан на использовании независимых аппроксимаций внутри элемента и на его границе. Как правило, неизвестные функции внутри элемента и на его границах берутся различной природа, т.е. если внутри элемента аппрокси-мирупюя усилия и моменты, то на граница - перемещения, и наоборот. Математически, зти граничные неизвестные являются функциями Лагранжа и служат для стыковки внутренних неизвестных. Особенность ностроения гибридной модели состоит в том, что внутренние степени свободы исключаются и после некоторых матричных операций подучается о(№ная матрица жесткости относительно уэловых перемещений. [c.205]

В гл. 3 мы привели простейшую схему численного решения задач о потенциальных течениях, использующую кусочно-постоян-ные распределения р, р и м по граничным элементам. Хотя такой простой подход позволил нам продемонстрировать все принципиальные особенности техники построения решения, более эффективным оказывается алгоритм, в котором указанные выше величины изменяются по крайней мере линейно в пределах каждого граничного элемента. Кроме того, в некоторы адачах теории упругости (таких, как задача об изгибе балки) кусочно-постоянная аппроксимация не обеспечивает правильного распределения касательного напряжения в поперечном сечении балки, и поэтому в гл. 4 было необходимо использовать кусочно-линейные функции t и U. [c.147]

Для простоты представления р и и их значения будут считаться постоянными на любом временном шаге Ат, а Q x, т) будет заменяться своими средними значениями на каждом шаге. Значения и ы на произвольном граничном элементе могут быть представлены в виде р х, т) = N(a )p и и х, т) = N(a )u, где N(x) — изопарамет-рические базисные функции, арии — векторы узловых значений р R и. Естественно, что на элементах Ат вдоль оси времени также можно было бы ввести некоторые базисные функции. Однако, насколько нам известно, этого еще никто не делат, хотя работа Смита [15], касающаяся аппроксимаций Паде и Нёрсетта экспоненциальных функций, нашла бы здесь свое применение [26]. [c.257]

По происхождению и смыслу название метод граничных интегральных уравнений , конечно, шире, чем метод граничных элементов , поскольку предусматривает возможность решения уравнения любым из множества известных способов, а не только с помощью деления границы на элементы с аппроксимацией функций на них постоянными, полиномами или другими приближенными выражениями. Можно, например, использовать последовательные приближения, замену ядра уравнения иа близкое вырожденное ядро, разложения искомых функций в ряды и другие способы [1, 2]. Однако практически любой способ решения требует численного иитегрироваиия, которое, как правило, выполняется с делением границы иа элементы. Это, в частности, очень сближает два главных способа, используемых для решения ГИУ, — метод последовательных приближений и МГЭ в каноническом виде , т. е. решение ГИУ, сведением к алгебраиче- [c.265]

Отчетливое понимание тех перспектив, которые открывает сокращение геометрической размерности задачи на единицу, и предвидение того, что будущее расчетных методов неизбежно связано с использованием ГИУ, ясно прослеживается и в конце 30-х—начале 40-х годов. Очень показательны в этом отношении исследования Н. И. Мусхелишвили, который, написав серию великолепных статей по созданию и исследованию ГИУ для плоской задачи теории упругости, завершил ее в 1937 г. работой [13], специально посвященной численному решению задач с помощью полученных им уравнений, и тут же вдохновил своих учеников А. Я- Горгидзе и А. К. Рухадзе осуществить такое решение. Их вышедшая в 1940 г. статья [14] содержит все компоненты того метода, который ныне именуется методом граничных элементов . Используется разбиение границы на элементы, аппроксимация функций в пределах этих граничных элементов, сведение к алгебраической системе, решение последней с нахождением неизвестных значений функций на элементах границы, вычисление напряжений в точках тела. Этим способом в работе решены две задачи — тестовая для круглого диска и иллюстративная для лемнискаты. Убедительно показано, что ГИУ могут служить не только целям теоретического анализа, но и универсальным средством решения разнообразных прикладных задач. [c.267]

В методе граничных элементов уравнение (3.111) решается численно путем Приведения его к системе линейных алгебраических уравнений. Это становится возможным за счет дискретизации границы и аппроксимации функций на границе по значениям в уэтовых точках. Если в простейшем случае принять, что неизвестные Uf, tj являются константами в Пределах элемента, то получаем [c.72]

Перейдем к численному решению ГИУ (2.3), (2.4) в рамках МГЭ. Предположим, что этапы (МГЭ 1) и (МГЭ 2) процесса решения уже осуществлены. Через XftW обозначим пространство граничных элементов, соответствующее кусочно-постоянной аппроксимации функций на Г. Пусть пространства т 1, имеют тот же смысл, что и в 2 главы 7. Напомним, что для построения пространств при /п 1 используется триангулирующий атлас границы Г. [c.225]

В программе реализуется вариант метода гранично-временных элементов, описанный в работе [186] и в гл. 9 данной книги. Аппроксимация гранично-временного интегрального уравнения для второй основной задачи осуществляется на основе метода колло-кации в сочетании с согласованной аппроксимацией границы тела, граничных перемещений и поверхностных сил [186]. Граница тела аппроксимируется совокупностью восьмиузловых четырехугольных и шестиузловых треугольных (вырожденных четырехугольных) элементов. [c.254]

Метод граничных элементов можно трактовать как приближенный, способ решения граничных интегральных уравнений, включающий аппроксимацию функций, принадлежащих некоторому функциональному пространству, дискретной конечнозлементной моделью. Эта модель включает в себя конечное множество значений рассматриваемой, функции в области ее определения и аппроксимацию этой функции финитными базисными функциями, определенными на малых подобластях, называемых граничными элементами. В этом смысле метод,, граничных элементов тесно связан с методом конечных элементов, в котором-также функции, принадлежащие соответствующим функциональным пространствам, аппроксимируются конечномерной моделью. Ниже будем говорить о конечноэлементной аппроксимации и конечных элементах, имея в виду, что граничные элементы являются их частным случаем. [c.143]

Важной особенностью этих методов является то, что первоначально при локальной аппроксимации функции на конечных элементах их можно расбматривать независимо друг от друга. Это значит, что можно аппроксимировать функцию на конечном элементе с помощью ее значений в узлах независимо от того, какое место займет рассматриваемый элемент в связанной модели и какое поведение функции на других конечных элементах. Следовательно, имеется возможнее ь создания каталога различных конечных (граничных) элементов с [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...