Конечноэлементные аппроксимации

В первой задаче вьшолнен расчет собственных колебаний сложной разветвленной трубопроводной системы (рис. 3.14) при различных схемах конечноэлементной аппроксимации, включающих в себя соответственно 37 узлов и 36 элементов и 78 узлов и 77 элементов. Рассчитывались первые 6 частот и форм собственных колебаний, две из которых вместе с расчетной схемой МКЭ приведены на том же рисунке. При этом оценивалось влияние подробностей сетки МКЭ и поперечного сдвига в трубопроводе на результаты расчета, которые сведены в табл. 3.6. Из таблицы следует, что учет сдвигов оказывается существенным для элементов с меньшими относительными размерами (сетка 2) и приводит к снижению, как это должно быть, более высоких частот собственных колебаний. Использование принципа вложенных сеток позволяет заключить о достаточной точности первой из двух схем конечноэлементной аппроксимации. Исследования выполнены для следующих характеристик трубопровода. Температура протекающей в нем жидкости 270° С, коэффициент Пуассона для материала труб -0,3, модуль Юнга при температуре 300° С - 1,91 10 МПА, при 20° С -2,1 10 МПА. Наружный диаметр тройника В на участке АВ - 0,46 м при толщине стенки 0,04 м, а на участке BF - соответственно 0,328 м и 0,024 м. Наружный диаметр тройника С - 0,475 м, толщина стенки 0,048 м. Наружный диаметр трубопроводной ветки BF — 0,325 м, толщина стенки — 0,019 м, на остальных участках трубы имеют наружный диаметр 0,426 м и толщину стенки 0,024 м. Остальные размеры и характеристики жесткостей опор приведены на рис. 3.14. Решение этой задачи и других [48, 49] по- [c.109]

Рис. 3.15. Влияние конечноэлементной аппроксимации на собственные формы частот консольной оболочки (ы/ = OJ J(jj - безразмерная частота, ш - по теории тонких оболочек)

Рис. 3.32. Функция для конечноэлементной аппроксимации

Приводятся необходимые сведения из линейной алгебры, теории отображений, теории сплайнов, описывается аппарат конечноэлементных аппроксимаций. [c.6]

Кусочно-постоянная аппроксимация. Простейшим видом конечноэлементной аппроксимации является кусочно-постоянная аппроксимация. Базисные функции или функции формы конечных элементов в этом случае не зависят от формы элементов и размерности пространства, в которое вложены конечные элементы. Они определяются выражением [c.146]

Функции перемещений, удовлетворяющие условиям непрерывности между элементами, лежащими в одной плоскости, в общем случае будут давать разрывные перемещения, если происходит сдвиг плоскостей элементов. Таким образом, конечноэлементная аппроксимация, использованная в настоящей главе, всегда основана на несогласованных функциях перемещений и ее сходимость можно подтвердить только экспериментально. [c.257]

Чтобы неравенства вида (5.6) можно было использовать для получения оценок порядка сходимости конкретных конечноэлементных аппроксимаций, часто бывает необходимо отобразить MIf (To) на (Т) и обратить это отображение. Поэтому мы будем считать отображение F настолько гладким, чтобы нз V Жг (Т), следовало бы, что voF жV (Jo)y где сложный (нли составной) оператор и о F определен как [c.118]

Пгм(х) будет интерполировать м(х) на Т. Интерполяция в этом контексте означает согласование всех узловых параметров, которыми определяется, конечноэлементная аппроксимация. Для функций, заданных на стандартном элементе, можно определить отображение П на /Си как [c.123]

Построение конечноэлементной аппроксимации для задач с интерполированными граничными условиями — как это только что было — это одно из основных нарушений вариационных принципов (Стренг, 1972), на которые приходится, постоянно идти при решении практических задач. Другие нарушения таковы (I) искажение положения границы (И) использование численного интегрирования для вычисления скалярных произведений и (III) применение несогласованных элементов. Несогласованные элементы будут детально рассмотрены в разд. 7.2. Если применяется любой из этих приемов, то приближенное решение не лежит более в Кы а не удовлетворяет условию [c.126]

Теорема 5.6. Если конечноэлементная аппроксимация удовлетворяет условию [c.149]

НЫХ элементов, которые обеспечивали бы сходимость конечноэлементной аппроксимации для данной задачи. В действительности кусочное тестирование является проверкой непротиворечивости несогласованного конечноэлементного метода,, используемого для решения конкретной задачи. [c.181]

Ле Ру [1, 2] рассматривает конечноэлементную аппроксимацию аналогичной двумерной задачи. В это.м случае ядро интеграль- [c.275]

Конечноэлементная аппроксимация с помощью треугольников типа (1). Оценка ошибки и —u ili.n [c.289]

U) Рассмотреть одномерный аналог этой задачи и его конечноэлементную аппроксимацию с [c.295]

Задача минимизации на пространстве W )- р (Q), 2 р, и ее конечноэлементная аппроксимация с помощью п-симплексов типа [ ) [c.305]

Вернемся теперь к задаче минимизации (5.3.2) и ее конечноэлементной аппроксимации, описанной в начале этого раздела. Для простоты будем предполагать, что множество 52 многоугольно. Применение теоремы 5.3.4 позволяет доказать следующий результат. [c.316]

Вернемся теперь к конечноэлементной аппроксимации задачи [c.343]

Как указывалось во введении к этой главе, общее обсуждение методов, аналогичных данному и связанных с ним (методов напряжений, смешанных, гибридных методов) для задач второго и четвертого порядков будет дано в разделе Дополнительная библиография и комментарии . Здесь мы обсудим только частный случаи смешанной конечноэлементной аппроксимации бигармонической задачи, рассмотренной в этой главе. [c.393]

Рис. 5.2. Схема конечноэлементной аппроксимации и распределение температурных полей в патрубковой зоне реактора в режиме расхолаживания

Рис. 5.6. Аварийное расхолаживание корпуса реактора (срабатывание САОЗ) а - геометрия и фрагмент конечноэлементной аппроксимации б — изменение температуры охлаждающей жидкости во время срабатьшания САОЗ

Некоторые методы решения задач термовязкоупругости рассматривались в [39, 49, 11, 99], где можно найти и дополнительную библио-трафию. Наиболее при решении связанных динамических зада.4 термовязкоупругости представляется применение численных методов, основанных на конечно-разностной и конечноэлементной аппроксимации системы основных соотношений. [c.188]

Метод граничных элементов можно трактовать как приближенный, способ решения граничных интегральных уравнений, включающий аппроксимацию функций, принадлежащих некоторому функциональному пространству, дискретной конечнозлементной моделью. Эта модель включает в себя конечное множество значений рассматриваемой, функции в области ее определения и аппроксимацию этой функции финитными базисными функциями, определенными на малых подобластях, называемых граничными элементами. В этом смысле метод,, граничных элементов тесно связан с методом конечных элементов, в котором-также функции, принадлежащие соответствующим функциональным пространствам, аппроксимируются конечномерной моделью. Ниже будем говорить о конечноэлементной аппроксимации и конечных элементах, имея в виду, что граничные элементы являются их частным случаем. [c.143]

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных примеров конечных элементов и базисных функций на них или функций формы для элементов заметим, что конечноэлементная аппроксимация должна удовлетворять условиям линейной независимости и плотности в соответствующем функциональном пространстве. Проверка этих условий иногда представляет непростую задачу. Поэтому здесь эти вопросы рассматривать не будем, а ограничимся указанием собтветству-ющей литературы [159, 173, 372]. [c.146]

Условие регулярности содержит предположения о свойствах преобразования, переводящего произвольный элемент в стандартный элемент. При объединении этих предположений с леммой Брамбла — Гильберта можно получить оценки типа (5.4), т. е. определить порядок сходимости конечноэлементной аппроксимации. Поэтому основное значение леммы Брамбла — Гильберта состоит в получении оценок для ошибок интерполяции. Лемма одинаково хорошо может использоваться при оценке ошибок для любой формы аппроксимации, представимой как проекция на пространство кусочных полиномов. Чтобы применить лемму, сначала необходимо сделать некоторые предположения относительно типов функций, лежащих в основе конечноэлементной аппроксима-дии. [c.122]

Лемма 5.4. Если и есть решение уравнения (5.8) с граничным условием и — g на dR и U Kn выбрано так, что 0 х, у) ( х, у) dR) есть фиксированная аппроксимация функции g, то конечноэлементная аппроксимация U = Uo + О [c.125]

Теорема 5.3 (Файервезер, 1972, стр. 45). Пусть и есть решение уравнения (5.8) с граничным условием ы = на дЯ и ш Ж г Я) — любое гладкое продолжение g в Я- Тогда конечноэлементная аппроксимация вида V — Шх + W, где [c.126]

Упражнение 16. Покажите, что исключение внутренних параметров из таких конечноэлементных аппроксимаций, как лагранжевы (или эрмитовы) кубические элементы, или исключение нормальных производных в серединах сторон 21-па-раметрической аппроксимации полиномами пятой степени со сшнвкой в О уменьшает показатель степени у Л в (5.18) на единицу. [c.131]

Результаты, аналогичные теореме 5.5, были получены Фиксом (1972) при изучении влияния квадратурных формул на лагранжеву и эрмитову конечноэлементные аппроксимации на многоугольной области. Квадратурные формулы исследовались также Хеболдом и Варгой (1972), но только для прямоугольных областей и в предположении, что билинейная форма ап проинтегрирована точно. [c.140]

Следовательно, конечноэлементная аппроксимация с такой интерполяцией граничных условий остается оптимальной до тех пор, пока ошибка возмущения будет более высокого порядка (по Л), чем ошибка аппроксимации. Скотт (1975) и Чернука, Купер, Линдберг и Олсон (1972) предложили для треугольных элементов с криволинейными границами квадратурные формулы, сохраняющие порядок для кусочных квадратичных аппроксимаций. Такие аппроксимации изучались также Бергером (1973) с целью получения оценки ошибки в терминах нормы пространства 2 г(/ Ь он также проводил численную проверку порядков (1972). В противоположность интерполяции граничных данных по конечному числу значений можно строить аппроксимацию, точно воспроизводя их вдоль всей границы, если использовать смешанные функциональные интерполянты (Гордон и Уиксом, 1974). Некоторые сведения О смешанных функциях будут изложены в разд. 7.3, [c.146]

Этот порядок аппроксимации может оказаться существенно ниже того, который получился бы только на основании результатов разд. 5.3, и происходит это из-за плохой аппроксимации вблизи границы иногда это понижение интерпретируют, как эффект приграничного слоя. Можно воспользоваться принципом максимума, чтобы показать, что при наличии негладкой границы возмущения будут меньше внутри Я. Некоторые результаты такого рода могут быть распространены на тот случай, когда Ян ф Я. Свойства сходимости конечноэлементных аппроксимаций вовне области изучались Нитше и Шатцем (1974), а также Брамблом и Томе (1974). [c.148]

Первый результат относится к интерполяционным свойствам базисных функций, используемых в конечноэлементной аппроксимации, и называется условием полноты. Если в общем случае полином степени к интерполируется точно и решение и задачи второго порядка, заданной на двум ной области R, является достаточно гладким, так что ы е )(/ ), то для аппроксимации Галеркина U Кы справедлива оценка [c.153]

Один из методов получения конечноэлементных аппроксимаций, точно удовлетворяющих граничным условиям Дирихле, состоит в том, что в решение задачи включается некоторый смешанный функциональный интерполянт, построенный поза-данным граничным значениям (Гордон, 1971). В простейшем случае — это билинейный смешанный интерполянт на квадрате. [c.187]

Интересно, что это интегральное уравнение может быть задано в вариацнонной формулировке, что, кроме всего прочего, позволяет использовать конечноэлементные аппроксимации, как показано у Неде лека, Планшара [1]. Прежде всего нам необходимо ввести новое пространство Соболева [c.273]

Ж. Неделек и Ж. Планп1ар строят далее общую конечноэлементную аппроксимацию приведенной выше задали. Задав подпространство пространства (Г), они получают вначале абстрактную оценку оншбки Пусть —аппроксимация функции и , а дискретное решеиие д, таково, что [c.274]

Что касается конечноэлементной аппроксимации общей задачи Стокса, то нужно ясно понимать, что основная трудность состоит в правильном учете условия несжимаемости с11уи = 0. Первый подход состоит в использовании стандартных пространств конечных элементов Уд, в которых предполагается, что условие (11у Уд = =0 выполняется точно. Однако этот процесс часто приводит к усложнению элементов. Методы этого типа обстоятельно изучены Фортеном [1, 2]. [c.278]

Другие работы, относящиеся к конечноэлементной аппроксимации задачи Стокса,—Фалк [3, 5], Фалк, Кинг [ ] полное описание дано у Темама [2]. Заметим также, что Крузей и Ле [c.278]

Следуя недавней работе Р. Гловински и А. Марокко, мы рассматриваем затем конечноэлементную аппроксимацию этой задачи (для я = 2), ис1юльзуя опять треугольники типа (1). Далее мы доказываем следующие результаты о сходимости (теоремы 5.3.2 и 5.3.5) [c.284]

В нашем доказательстве существования решения задачи минимизации (5.3.2) (см. теорему 5.3.1) используется простейшая конечноэлементная аппроксимация этой задачи. Перейдем к описанию этой аппроксимации Рассмотрим триангуляции < , составленные из п-симплексов таким образом, что все вершины, расположенные на границе Г множества 2 = и К, прннад- [c.306]

Такие задачи с односторонними ограничениями встречаются, в частности, в теории упругости, где они известны как задачи Синьорини (см. упр. 1.2.5). Конечноэлементная аппроксимация таких задач изучается у Скарпини, Вивальди [1]. [c.319]

Укажем теперь некоторые другие аспекты конечноэлементной аппроксимации задачи о пластине и более общо задач четвертого порядка. Раннахером [1] получены оценки ошибки в норме -[о, .q. Эффект численного интегрирования анализируется у Бернаду, Дюкателя [1]. [c.368]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...