МЕТОД РАЗРЫВНЫХ СМЕЩЕНИЙ

Таким образом, система уравнений (8.101) позволяет найти нагрузки на границе тела, как бы погруженного в неограниченную упругую область, которые устраняют (компенсируют) взаимодействие тела с условно введенной окружающе средой. Поэтому изложенный вариант МГЭ называют методом компенсирующих (или фиктивных) нагрузок. Вместо нагрузок на границе тела иногда удобнее задавать смещения (метод разрывных смещений). [c.274]

МЕТОД РАЗРЫВНЫХ СМЕЩЕНИЙ [c.83]

Метод разрывных смещений основан на представлении, что непрерывно распределенные вдоль трещины разрывы смещений можно заменить дискретной аппроксимацией. При этом процедура напоминает способ решения задачи о полуплоскости с распределенными на границе усилиями (ср. рис. 3.6), изложенный выше в 3.2. А именно, разбиваем трещину на N (граничных) элементов и в пределах каждого элемента разрывы смещений полагаем постоянными. Зная аналитическое решение для одного постоянного разрыва смещений и суммируя влияния всех N элементов, находим численное решение задачи. [c.83]

Метод разрывных смещений [c.84]

Результаты предыдущего раздела можно использовать для развития численной процедуры, позволяющей решать краевые задачи теории упругости. Эта процедура, метод разрывных смещений, в общем виде будет описана в 5.4. В данном же разделе в качестве иллюстрации метода рассмотрим простой пример задачу о бесконечном теле с трещиной, испытывающей внутреннее давление. Эта задача определяется следующими условиями [c.87]

Точное распределение разрывов смещений вдоль трещины определяется согласно (5.3.2). На рис. 5.3 изображены две численные аппроксимации точного решения. Эти результаты представлены в безразмерной форме, пригодной для любых значений Ь и G. Первая аппроксимация (рис. 5.3 (а)) найдена при разделении длины трещины на 10 одинаковых граничных элементов, а вторая (рис. 5.3 (Ь)) — делением на 20 граничных элементов. По способу построения, разрывы Dy постоянны вдоль каждого элемента. На практике, однако, удобно представлять, что они относятся к дискретным точкам х i = 1,. .., N). Тогда можно соединить их плавной кривой, аппроксимирующей точное решение. Проделав мысленно эту операцию, из рис. 5.3 можно заключить, что метод разрывных смещений завышает значения относительных смещений поверхностей трещины, но результаты приближаются к точному решению по мере увеличения N. [c.89]

Эти формулы теперь можно использовать при вычислении общих коэффициентов влияния в методе разрывных смещений. [c.95]

Коэффициенты влияния в методе разрывных смещений получаются из предыдущих результатов с помощью рассмотрения бесконечного тела, включающего N отрезков, произвольным образом ориентированных относительно глобальной системы координат х, у. Каждый из этих отрезков имеет свою локальную систему координат, и каждый из них представляет элементарный разрыв смещения. Влияния касательной и нормальной компонент разрыва смещения /-го элемента (т. е. D[ и Dli) на смещения и напряжения произвольной точки х, у) тела можно вычислить исходя из (5.5.4) и (5.5.5). Влияние этих величин на касательные и нормальные смещения и напряжения средней точки i-ro элемента задаются граничными коэффициентами влияния В [,. .. в (5.4.4) и АН,. .. в (5.4.3). Процедура вычисления этих коэффициентов в точности совпадает с процедурой метода фиктивных нагрузок, описанной выше в 4.6, поэтому здесь она детально не обсуждается. [c.95]

Численная процедура метода разрывных смещений во всех отношениях подобна описанной ранее процедуре метода фиктивных нагрузок. В данном случае границу рассматриваемой области разбиваем на N элементов и каждому элементу сопоставляем компоненты разрыва смещения и D . Затем строим и решаем систему алгебраических уравнений для нахождения таких разрывов смещений, которые обеспечивают заданные граничные смещения или напряжения. Смещения и напряжения в произвольной точке тела можно затем вычислить, суммируя влияния в этой точке разрывов смещений во всех N граничных элементах. [c.96]

С другой стороны, внешние задачи (о полостях в бесконечных телах) при использовании метода разрывных смещений требуют несколько иного подхода. Как объяснено в 5.4, внутренняя задача связана с соответствующей внешней задачей, а решения для них отыскиваются одновременно. Поэтому необходимо задать условия, предотвращающие смещение внутренней области контура как жесткого целого, даже если нас интересует только внешняя задача. Если в рассматриваемой задаче есть две линии симметрии, то внутренняя область фиксируется относительно этих линий автоматически. Таким образом, (фиктивные) компоненты разрывов смещений определяются однозначно вдоль всего замкнутого контура, а смещения и напряжения для внешней области можно представить линейной комбинацией компонент разрывов смещений. Если же рассматриваемая задача не симметрична, тогда смещение внутренней области как жесткого целого предупреждается путем фиксирования смещений определенных точек внутри замкнутого контура, как показано на рис. 5.7. Это достигается введением в этих точках дополнительных граничных элементов и заданием смещений на их отрицательных сторонах, [c.98]

Условия симметрии в методе разрывных смещений учитываются тем же способом, который описан в 4.8 для метода фиктивных нагрузок. А именно, мы вводим линию симметрии относительно [c.99]

В качестве иллюстраций метода разрывных смещений представим численные решения двух задач, рассмотренных в 4.9 методом фиктивных нагрузок задачи о круглом диске, сжимаемом по диа-4 [c.99]

На рис. 5.9 представлены результаты сравнения приближенных и точных значений напряжений а х и о у в точках вдоль оси у диска. В обоих случаях — при N = 25 и N — 50 — численные результаты находятся в хорошем согласии с аналитическим решением. Выясняется, что метод разрывных смещений дает более точные результаты вдоль оси у диска, чем метод фиктивных нагрузок (см. рис. 4.15). Напряжения, вычисленные вдоль оси х диска, сравниваются с аналитическим решением в табл. 5.1, Численные результаты получены примерно с такой же точностью, как ранее в методе фиктивных нагрузок (ср. табл. 4.1). [c.101]

С ПОМОЩЬЮ метода разрывных смещений можно также вычислить тангенциальные напряжения Gqq вдоль границы отверстия. В следующем параграфе устанавливается, что для этого приходится использовать коэффициенты влияния, содержащие касательные производные смещений вдоль границы. Если граничные смещения уже найдены, то для вычисления их производных можно воспользоваться формулами численного дифференцирования и найти, таким образом, тангенциальное напряжение (Т( = (Tge. Результаты подобного расчета для рассматриваемой задачи даны на рис. 5.10. [c.103]

В методе разрывных смещений ситуация несколько иная. В этом случае основное решение, используемое для построения численного метода, характеризуется тем, что все компоненты напряжения непрерывны в центре отрезка, на котором имеет место постоянный разрыв смещения (см. (5.2.11)). Следовательно, если мы наложим несколько таких решений, как изображено на рис. 5.4 и 5.5, то на каждом граничном элементе все напряжения будут непрерывны. [c.103]

Тангенциальные напряжения вдоль границы отверстия в прямом методе граничных интегралов можно подсчитать так же, как описано в 5.10 для метода разрывных смещений. Изменения тангенциального напряжения в характерном i-м элементе, согласно (5.10.7), даются выражением [c.123]

Значения величин и Ып, найденные для задачи о круглом отверстии прямым методом граничных интегралов, почти такие же, какие получены методом разрывных смещений. Следовательно, и тангенциальные напряжения, определяемые по формуле (6.6.1), в обоих случаях близки (ср. рис. 5.10). [c.124]

Равенства (6.-7.3) и (6.7.8) иллюстрируют то высказанное выше положение, что решение задачи линейной теории упругости полностью определяется значениями смещений и напряжений (усилий) на границах рассматриваемой области. Для нахождения этих величин мы теперь имеем три разных численных способа метод фиктивных нагрузок (гл. 4), метод разрывных смещений (гл. 5) и прямой метод граничных интегралов (гл. 6). Хотя формулы (6.7.3) и (6.7.8) можно использовать во всех трех способах, они не требуются для методов фиктивных нагрузок и разрывных смещений. Для этих двух методов, как мы видели, смещения и напряжения в точках внутри области R можно выразить как линейные комбинации фиктивных величин (либо напряжений, либо разрывов смещений) на границе С этой области. Действительно, получение результатов для внутренних точек с помощью подобных непрямых методов вдвое дешевле по сравнению с их получением непосредственно по (6.7.3) и (6.7.8). [c.129]

В 5.3 мы использовали метод разрывных смещений при отыскании численного приближения к аналитическому решению в задаче о раскрытии трещины под действием внутреннего давления. Из рис. 5.3 видно, что достаточно хорошее решение можно получить, если разделить трещину на 10 или 20 элементов. Однако [c.154]

Можно построить более точный и экономичный способ решения задач о полуплоскости, если воспользоваться специальными сингулярными решениями, которые автоматически удовлетворяют заданным на поверхности граничным условиям. Для наших целей особенно пригодны два таких решения для однородной изотропной линейно-упругой полуплоскости, свободной от усилий на границе одно — для линии сосредоточенной силы, а другое — для разрыва смещений в полуплоскости. Эти решения можно непосредственно использовать для создания новых программных модулей в методе фиктивных нагрузок, прямом методе граничных интегралов и методе разрывных смещений. При использовании этих программных модулей граничные условия в напряжениях точно удовлетворяются на всей поверхности полуплоскости, и потому граничные элементы нужно располагать только на внутренних контурах (например, на границах отверстий или выработок в полуплоскости). [c.161]

Для иллюстрации предшествующих результатов с использованием метода разрывных смещений рассмотрена задача об однородном [c.167]

Рассмотрим вначале численную процедуру метода фиктивных нагрузок. Процедура метода разрывных смещений во всех отношениях аналогична ей и здесь не обсуждается. [c.170]

Численные процедуры, объясненные в предыдущем разделе, можно применять к неоднородным телам произвольной конфигурации Однако, если две подобласти разделены прямой линией, к решению задачи можно подойти иначе. В этом случае можно построить специальные вычислительные программные модули, точно удовлетворяющие условиям непрерывности на поверхности контакта без использования каких-либо граничных элементов на этой поверхности. Ниже такой подход будет проиллюстрирован на примере метода разрывных смещений. Программный модуль основан на аналитическом решении для задачи о постоянном разрыве смещений на произвольно ориентированном отрезке в упругой полуплоскости, которая связана с другой упругой полуплоскостью вдоль прямолинейной границы. Соответствующие программные модули для метода фиктивных нагрузок и прямого метода граничных интегралов можно построить на основе решения для линии сосредоточенной силы внутри одной из двух связанных полуплоскостей [21]. [c.180]

В качестве иллюстрации метода разрывных смещений для связанных полуплоскостей рассмотрим задачу о прямолинейной трещине под внутренним давлением длиной 2Ь трещина расположена на глубине -—у = Ь от поверхности контакта и параллельно ему, как показано на рис. 7.21. Если упругие постоянные этих полуплоскостей одинаковы, задача симметрична относительно линии -—у = й и распределение (нормальных) разрывов смещений вдоль трещины дается формулой (5.3.2). При произвольных значениях упругих постоянных линия —у = й не является линией симметрии, и разрыв смещений в любой точке вдоль трещины будет иметь как нормальную (у), так и касательную (д ) составляющие. Во всех случаях энергия деформации, связанная с трещиной, дается выражением [c.185]

Остановимся очепь коротко па варпапте метода граничных элементов, носящем название метод разрывных смещений- . Этот метод успешно используется при решении плоских задач о телах произвольной формы с произвольными криволинейными трещинами. В основе метода лежат известные апалитическиз выра кеппя, позволяющие по заданному разрыву касательных и) и нормальных (v) смещений между берегами прямолинейного [c.97]

Многие практические задачи механики твердого тела касаются тел, содержащих узкие щелеподобные вырезы или трещины. Трещина имеет две поверхности, или два берега, фактически совпадающие друг с другом. Метод фиктивных нагрузок непригоден для решения таких задач, поскольку влияние элементов, принадлежащих одной поверхности, неотличимо от влияния элементов другой поверхности. Однако для решения задач этого типа можно построить другой метод граничных элементов. Этот метод называется методом разрывных смещений и основан на аналитическом решении задачи о бесконечной плоскости л , у, смещения в которой те олт постоянный по величине разрыв в пределах конечного отрезка. В соответствии с терминологией 4.10 можно рассматривать это решение как специальный модуль гранично-элементной вычислительной программы. [c.83]

Задачи, связанные с неограниченными областями, содержащими трещины, даже криволинейные или пересекающиеся, достаточно легко решаются с помощью метода разрывных смещений. Граничные элементы при этом не образуют замкнутый контур, но все же при решении задачи мы должны зличать положительную и отрицательную стороны каждого из них. Это необходимо для интерпретации значений смещений uf и w, вычисленных для каждого элемента. Более того, вычислительная программа TWODD приведенная в приложении В, требует, чтобы любые заданные смещения относились к отрицательной стороне элемента. (Это требование — следствие принятого ранее правила обхода контура для случая, когда элементы расположены вдоль замкнутого контура.) Поэтому, если мы хотим задать смещения [c.97]

Эта задача (см. рис. 4.14) решена численио с помощью вычислительной программы метода разрывных смещений (TWODD), приведенной в приложении В. Вновь были рассмотрены две чис- [c.100]

В табл. 5.2 для сравнения приведены результаты вычисленных радиальных и тангенциальных смещений границы отверэтия с аналитическим решением (4.9.2), полученные для случая v = = 0,1, p G = 10 . Как и в 4.9, р — значение растягивающего напряжения (Т на бесконечности. Сравнение данных табл. 5.2 с результатами табл. 4.2 обнаруживает, что метод разрывных смещений вновь достигает приблизительно того же уровня точности, который характерен для метода фиктивных нагрузок. [c.102]

Для обоих упомянутых выше решений имеются аналитические выражения. Решение для сосредоточенной силы в полуплоскости дано Меланом [32], а решение для постоянного разрыва смещений вдоль произвольно ориентированного отрезка дано Краучем [13]. Далее мы представим решение Крауча и используем его при рассмотрении некоторых краевых задач для упругой полуплоскости с помощью метода разрывных смещений. Коэффициенты влияния полуплоскости для метода фиктивных нагрузок и прямого метода граничных интегралов можно получить из решения Мелана, но здесь мы эту тему обсуждать не будем. [c.161]

Читатель теперь в состоянии понять, что эти алгоритмы можно достаточно легко ввести в программу фиктивных нагрузок TWOFS (или в программу метода разрывных смещений TWODD). Если пожелать сохранить в (7.5.7) только ненулевые коэффици- [c.173]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...