Криволинейные граничные элементы

При Л = m в подынтегральных выражениях возникают особенности, что требует специальных приемов интегрирования в окрестности узловой точки п-го граничного элемента, когда г N, N ) О, N Г . Для прямолинейного элемента несобственные интегралы нетрудно вычислить аналитически. Криволинейный граничный элемент в окрестности узловой точки Г можно приближенно представить прямолинейным участком Г, г, для которого интегралы находят аналитически, а на остальной части элемента, где особенности в подынтегральных выражениях отсутствуют, проводится интегрирование численно. Так как (6.46) справедливо и для частного случая перемещения тела как жесткого целого, для каждой строки матрицы [Н] сумма компонентов должна быть равна нулю. Поэтому диагональные компоненты этой матрицы можно также найти из равенства [c.235]

Само по себе граничное интегральное уравнение является формулировкой поставленной задачи, ведущей к точному ее решению, и погрешности вследствие дискретизации и численных аппроксимаций возникают только на границах и рядом с ними из-за невозможности выполнить численное интегрирование в замкнутой форме. Если процедура численного интегрирования сделана достаточно сложной (при использовании, например, криволинейных граничных элементов и непрерывно изменяющихся распределений функций на границе), то привносимые таким образом погрешности могут быть действительно очень малыми. Конечно же, численное интегрирование всегда представляет собой более устойчивый и точный процесс, чем численное дифференцирование, и ни прямой, ни непрямой МГЭ не требуют никакого дифференцирования численных величин. [c.19]

Криволинейные граничные элементы [c.227]

Рис. 8.15. Криволинейные граничные элементы.

Если же граничный элемент криволинейный, то в окрестности узловой точки Mq Гг его можно приближенно представить прямолинейным участком длиной ГЬ для которого точка Мо также является средней, записав [c.180]

Для прямолинейного граничного элемента интеграл в (4.83) равен нулю, так как в этом случае направления Vi (N ) и п Щ при N Г, ортогональны, т. е. дг-, N) dn N) 0. Криволинейный элемент в окрестности точки Мо также можно представить прямолинейным участком длиной и этот участок исключить при вычислении интеграла в (4.83) [c.181]

Аналогичным образом находят G ri для кольцевого граничного элемента с криволинейной образующей, которая в окрестности точки Мп представляется небольшим прямолинейным участком длиной г . [c.186]

Положительные стороны МГЭ по сравнению с МКЭ, связанные с понижением размерности задачи, определяют целесообразность его применения к решению пространственных задач термоупругости, особенно в случае постоянных упругих характеристик материала тела. Представим поверхность тела S совокупностью A/ s двумерных граничных элементов. Эти элементы, как и в случае решения пространственных задач теплопроводности (см. 4.5), целесообразно выбрать в виде треугольников или четырехугольников (плоских или криволинейных) с аппроксимацией в пределах каждого элемента распределений компонентов перемещений Ui (N) и вектора напряжений Pi (N) постоянными значениями или же зависимостями от координат точки N в виде полиномов. Если в пределах т-го граничного элемента с площадью S,n считать Ui (N) (i Om и pt (М) = = pi)m при N S, , то после отождествления точки Мд с узловой точкой граничного элемента интегральное уравнение (1.108) нетрудно свести к матричному уравнению вида (6.46), в котором теперь и и р — матрицы 3Ns X 1 (вектор-столбцы) с компонентами соответственно ( - )+,= ( Om и P3(m-l)+i = (Pi)r , причем i = 1, 2, 3 и m = 1,2,.,., Ns — матрица SN X 1 (вектор-столбец) с компонентами [c.253]

Для простых дифференциальных уравнений и простых схем дискретизации, особенно тех, в которых распределения потенциала и интенсивностей источников по линейным граничным элементам и треугольным внутренним ячейкам считаются однородными, все указанные выше интегралы можно вычислить аналитически. Их, безусловно, можно найти и приближенно с любой степенью точности методами численного интегрирования, как это приходится делать при вычислении интегралов от гораздо более сложных сингулярных решений с учетом их изменения по элементам с криволинейными границами. Используемые при этом численные квадратуры, изопараметрические элементы и т. п. будут подробно рассмотрены ниже. [c.77]

Сейчас мы установим справедливость (5.34) для одного частного вида интерполируемых граничных условий, рассмотренного Скоттом при этом мы будем в основном придерживаться его метода. Пусть область / разбита на треугольные элементы и стороны элементов прямолинейны внутри / , а примыкающие к границе элементы могут иметь одну криволинейную сторону. В этом разделе предполагается, что (криволинейная) граница для любого граничного элемента Г/ может быть параметризована как [c.143]

При расчете областей, имеющих криволинейные границы, для удовлетворительного геометрического представления этих границ необходимо использовать большое количество граничных элементов с прямыми сторонами (гранями), Еслн используются криволинейные элементы, то число необходимых элементов может быть заметно сокращено, и в результате уменьшится общее число переменных в системе. Для трехмерных задач, которым присуще большое число переменных, такое сокращение может быть очень полезным. [c.214]

Учитывая, что сила резания, действующая на лезвие, является, как правило, переменной во времени по величине и направлению, а температурное поле нестационарно, аналитический расчет напряженного состояния лезвия в общем виде представляют собой очень сложную и до сих пор нерешенную задачу. Для несвободного косоугольного резания криволинейным лезвием ее решают численным методом (методом конечных или граничных элементов) или экспериментально с использованием поляризационно - оптического метода и метода лазерной интерферометрии [15]. [c.87]

При использовании МКЭ продвижение трещины можно моделировать либо путем последовательного раскрепления узлов, лежащих вдоль траектории трещины [148, 177, 178, 219], либо, как указывалось в подразделе 4.1.3, последовательным назначением в элементах у вершины трещины вдоль ее траектории модуля упругости, близкого к нулю, Eip = E E. Второй способ моделирования для трещин с криволинейной траекторией более рационален, поскольку позволяет достаточно просто учитывать различные граничные условия в элементах полости трещины (частичное контактирование берегов трещины, обусловленное взаимодействием остаточных и эксплуатационных полей напряжений) в зависимости от знака нормальных к траектории трещины напряжений о п = ст у в этих элементах (знак штрих [c.243]

Одна из возможных схем, реализующих метод последовательных приближений, предложена в работе [236]. Поверхность тела разбивается криволинейной сеткой на малые элементы (рис. 14.1). Точки пересечения линий разбиения называются основными точками, а точки, взятые в центрах тяжести элементов называются опорными. На первом шаге из граничного условия находится значение функции как в основных, так и в опорных точках. Далее [c.104]

На практике область Q часто имеет криволинейную границу, и ее не удается точно разбить на треугольные или четырехугольные элементы. При этом обычно используются достаточно грубые приближения для граничных слагаемых, и тогда в целом погрешность формулы (6.13) имеет порядок О (1/п). [c.184]

Граничные условия линеаризованного уравнения на криволинейных участках контура пластины, свободных от контурных нагрузок или закрепленных неподвижно относительно поперечного прогиба, не отличаются от граничных условий линейной теории поперечного изгиба пластин, подробное обоснование которых можно найти, например, в работе [12. В тех случаях, когда внешние контурные нагрузки приложены к незакрепленному относительно поперечных перемещений криволинейному краю пластины, силовые граничные условия формулируются из условия равновесия краевого элемента пластины подобно тому, как это сделано выше для прямолинейного края. [c.149]

В конце гл. 6 мы упомянули, что прямой метод граничных интегралов легко совершенствуется с помощью численных аппроксимаций, включающих элементы высшего порядка . Как иллюстрацию формулировки метода с элементами высшего порядка рассмотрим случай, в котором предполагается, что фактические смещения и усилия между узловыми точками N прямолинейных сегментов на контуре С изменяются линейно. Преимущество в использовании прямолинейных граничных сегментов (отрезков) состоит в том, что для них все интегралы можно вычислить аналитически [35]. Если допускается криволинейность сегментов, интегрирование в общем случае должно выполняться численно [28]. [c.138]

Используются криволинейные тонкостенные Осесимметричные кольцевые элементы. Принимается, что перемещения можно представить в виде степенных рядов относительно координат. Коэффициенты этих рядов находятся из любой подходящей системы уравнений для тонкостенных оболочек, т. е. из уравнений равновесия и соотношений силы — перемещения. При удовлетворении в узлах этим уравнениям и всем граничным условиям для сил и перемещений можно получить достаточное количество уравнений для нахождения всех коэффициентов в степенных рядах для перемещений. После этого могут быть найдены все перемещения и напряжения. Сведение нагрузок от давления к узловым силам не применяется. [c.106]

Операторным методом и методом предельного перехода получены точные и приближенные уравнения обобщенной теплопроводности для анизотропных и изотропных пластинок и стержней, изотропных оболочек с внутренними источниками тепла. Выведены уравнения связанной и несвязанной термоупругости анизотропных и изотропных пластинок [19—21], несвязанной термоупругости изотропных стержней и оболочек. Для изотропных пластинок с криволинейным краем сформулированы условия теплообмена на подкрепленном крае и условия неидеального теплового контакта. Сформулированы термомеханические граничные условия для определения обобщенных динамических температурных напряжений на стыке пластинок и подкрепляющих стержней, пластинок и стержневых включений, пластинок и круговых включений. Граничные условия дают, в частности, возможность изучать динамические температурные напряжения в окрестности металлических неоднородностей стеклянных элементов конструкций электроннолучевых приборов. [c.56]

Точность метода зависит от размера ячейки и в большей степени от формы границ и граничных условий. Естественно, чем больше элементов в цепи (чем меньше размер ячейки для данной задачи), тем точнее аппроксимация непрерывной задачи. На границах, однако, ситуация более критична по двум причинам. Мы уже знакомы с первой причиной границы цепи действуют как отображающие поверхности, которые можно использовать при наличии симметрии, но для открытых систем это серьезный возмущающий фактор. Изменяя значение сопротивлений, можно сконструировать специальные сетки с квази-бесконечными границами [99J, Вторая причина связана с дискретным характером метода. Легко смоделировать прямолинейные границы, однако в случае криволинейных границ, не проходящих точно через узлы, возникают проблемы. В результате распределение потенциала плоского конденсатора может быть моделировано с относительной погрешностью лучше чем 0,1%, но погрешность для цилиндрического конденсатора может достигать 4% [100]. (Конечно, цилиндрический конденсатор можно моделировать с очень высокой точностью, используя цепь для цилиндрических координат, описанную ниже.) Можно аппроксимировать криволинейные границы, опуская некоторые узлы и используя только те, которые очень близки к границе, но тогда возникает дополнительная ошибка из-за проникновения поля через промежутки, созданные опущенными узлами. Более удачный подход заключается в использовании многоэлементной резисторной сетки и аппроксимации искривленных границ плоскими поверхностями, соединяющими узлы, наиболее близко расположенные к контуру электрода. Очевидно, что ошибки максимальны в окрестности резких краев и электродов с малым радиусом кривизны. Если требуется очень высокая точность для моделирования электродов, не совпадающих с узлами, можно ввести специально подобранные шунтирующие сопротивления [101]. Пространственный заряд также можно учесть, инжектируя токи в резисторные узлы. [c.136]

В качестве плоского элемента рассматриваем сектор кольца (рис. 12.12) постоянной толщины, нагруженный равномерным давлением <7ш. В данной постановке существенно важно правильно сформулировать граничные условия. Приближенно принимаем защемление пластины по всему контуру. Для прямолинейных участков контура это следует из условия симметрии участков конструкций относительно радиальных ребер. Для криволинейных границ условие защемления выполняется тем лучше, чем меньше жесткость пластины по сравнению с жесткостью элемента, с которым пластина сопрягается. [c.202]

Если бы эквивалентные граничные условия (0.16), (0.18) применялись только к тем ключевым задачам, для которых они получены, то, очевидно, они имели бы в лучшем случае методическую ценность. Как уже упоминалось, их значение как конструктивного аппарата определяется возможностями экстраполяции на криволинейные и пространственно ограниченные поверхности (более подробно, см. 4.1). Такая экстраполяция содержит некоторый элемент-эвристики и в значительной степени базируется на физической интуиции исследователя. Вопрос о законности такой экстраполяции должен решаться в каждом конкретном случае отдельно. [c.23]

В середине 70-х гг. методом граничных элементов широко пользовался Круз с сотрудниками [62—66]. В этом подходе поверхность трехмерного тела, включая поверхность трещины, моделируется двумерными (поверхностными) элементами, внутри которых интерполируются перемещения и усилия. Эти поверхностные (граничные) элементы могут иметь произвольную форму, например они могут быть двумерными изопараметриче-скими криволинейными. Далее, плоские элементы, одна из сторон которых совпадает с отрезком фронта трещины, могут принадлежать к такому типу изопараметрических элементов, которые содержат описания перемещений в функции г (где г — нормальное радиальное расстояние от фронта трещины) [64, 65, 67, 68]. Пользуясь методом граничных элементов, который приводит к уравнению типа (4.14), перемещения и усилия рассчитывают для узлов, находящихся на границе твердого тела и, следовательно, на поверхности трещины. Коэффициент К определяют экстраполяцией, пользуясь величинами перемещений узлов, находящихся вблизи фронта трещины [67, 68]. В работе [68] приведено впечатляющее исследование полуэллип-тического поверхностного дефекта в пластине, подвергнутой такому нагружению, что нормальные напряжения в зоне трещины могут быть представлены полиномами вплоть до четвертого порядка по толщине пластины, т. е. по направлению t, причем эти напряжения аппроксимируются в пластине без трещины. В этой работе представлены результаты для различных отношений глубины трещины к толщине пластины ajt отмечено, что точность расчетов составляет порядка 5%. В [67, 68] была использована методика подконструкций, благодаря которой вблизи поверхности трещины применялась более мелкая сетка из работы [c.207]

Использование МГЭ для определения стационарного трехмерного температурного поля связано с представлением поверхности тела совокупностью Ns двумерных граничных элементов. Эти элементы целесообразно выбирать в виде треугольников или четырехугольников (плоских или криволинейных) с аппроксимацией распределений Т N) и q (N) при N S в пределах каждого элемента с номером п постоянными значениями а q,i или же зависимостями от координат в виде полиномов. Если в пределах л-го граничного элемента с площадью Sn считать Т N) = Т . я q (N) q при N то (4.77) нетрудно свести к матричному уравнению вида (4.81) с компонентами квадратных матриц [Я] и [G] размерностью NsXNs. [c.184]

Остановимся очепь коротко па варпапте метода граничных элементов, носящем название метод разрывных смещений- . Этот метод успешно используется при решении плоских задач о телах произвольной формы с произвольными криволинейными трещинами. В основе метода лежат известные апалитическиз выра кеппя, позволяющие по заданному разрыву касательных и) и нормальных (v) смещений между берегами прямолинейного [c.97]

КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. ТЕСТОВЫЙ ЙРИМЕР. При, моделировании процесса прокатки с применением описанной выше методики были использованы криволинейные элементы. Это связано с тем, что, как правидо, краевые задачи, возникающие при описании процессов обработки металлов давлением, характеризуются сложной формой области течения металла.. Используя симплекс-элементы, для удовлетворительного представления области необходимо использовать значительное количество граничных элементов, что в свою очередь ведет к излишнему увеличению порядка системы уравнений.. Альтернативой является применение элементов с криволинейными границами, хорошо описывающих геометрию области даже при сравните.льно небольшом числе элементов (см. гл. VI). [c.289]

Прежде чем перейти к криволинейным элементам, вероятно, будет полезно кратко остановиться на том, как техника, развитая в данной главе, используется при вычислении элементов хматрицы итоговой системы уравнений типа (8.2), (4.19), (4,20) и т.д. дяя каждого граничного элемента. [c.218]

Задачи, связанные с неограниченными областями, содержащими трещины, даже криволинейные или пересекающиеся, достаточно легко решаются с помощью метода разрывных смещений. Граничные элементы при этом не образуют замкнутый контур, но все же при решении задачи мы должны зличать положительную и отрицательную стороны каждого из них. Это необходимо для интерпретации значений смещений uf и w, вычисленных для каждого элемента. Более того, вычислительная программа TWODD приведенная в приложении В, требует, чтобы любые заданные смещения относились к отрицательной стороне элемента. (Это требование — следствие принятого ранее правила обхода контура для случая, когда элементы расположены вдоль замкнутого контура.) Поэтому, если мы хотим задать смещения [c.97]

Конечные и граничные элементы могут иметь различную форму и размеры, а поверхности, ограничивающие эти элементы, могут быть криволинейными. Хотя криволинейные неплоские граничные элементы определяют главные черты метода граничных элементов, удобнее все-таки использовать элементы стандартного вида, т. е. такие, поверхности которых совпадают с координатными плоскостями локальной системы координат. Математически это означает, что следует установить отображение между локальными координатами г (, в которых элемент имеет простой вид, и глобальными где конечный элемент представляет собой более сложную фигуру. Этозначит, что локальные координаты T)j. должны быть функциями глобальных (t] (лг , х , х ), и наоборот Xi (tij, rig, г)з)). Для того чтобы эти отображения были взаимно однозначны, необходимо и достаточно, чтобы якобиан преобразования был отличен от нуля , [c.145]

В последнее время для расчета КИН часто применяется метод весовых функций, т. е. функций Грина. В широком смысле функции Грина — это оператор, который по решению задачи, соответствующему одним граничным условиям, позволяет строить решение при других граничных условиях. В узком Смысле в качестве функций Грина часто используются функции точечного источника. Основные направления метода весовых функций намечены в работах X. Ф. Бюкнера [290] и Дж. Райса [398]. Указанный метод позволяет рассчитать КИН в двумерных и трехмерных телах со сквозными, эллиптическими и полу-эллиптическими трещинами [17—19, 210, 411], но его применение затруднено в случае криволинейных трещин, а также при нагружении элемента конструкции, отвечающем смешанным — кинематическим и силовым — граничным условиям. [c.196]

Сравнение полученных результатов с точным решением показывает, что использование сложных конечных элементов значительно повышает точность расчетов при одном и том же числе степенен свободы (числе узлов). Так, в вариантах задачи (д) и (е) по 8 узлов, по 16 степеней свободы, по 3 граничных условия и одному условию нагружения, однако для случая (е) мы имеем только один восьмиузловой изопараметрический элемент по сравнению с шестью треугольными регулярными для случая (В) и соответственно меньшее количество входной информации по связям в конечных элементах. Вместе с тем точность результатов для случая (е) на 50 % выше. Особенно это важно, если конструкция имеет криволинейную поверхность, так как при разбиении на конечные элементы с прямолинейными сторонами обычно требуется большое число элементов для моделирования геометрических характеристик конструкции без существенного улучшения в описании полей напряжений и перемещений. Поэтому представление конструкции с помощью криволинейных элементов позволяет сохранить требуемую точность решения, уменьшить затраты па описание геометрии. [c.51]

При разбивке трассы гибкого элемента конвейера на расчет ные участки граничные точки участков ставятся на их стыках но длины проекций прямолинейных участков включают в себя длины проекций примыкающих криволинейных участков (напри мер, 3 включает проекцию криволинейного участка, примыка ющего к точке 2). [c.72]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

В случае пластины с криволинейной кромкой система коордипат вводится по нормали и но касательной к границе. Соответствуюгцие внутренние усилия на этой границе выражаются через прежние координатные из условий равновесия элемента, и для них выписываются граничные условия по типу рассмо-треппых. [c.127]

Статические соотвошения. Выделим из некоторого условно однородного слоя бесконечно малый элемент и отнесем его к ортогональной системе криволинейных координат а, Р, 7 (рис. 1.2). Система координат обычно выбирается з соответствии с формой тела таким образом, чтобы поверхности, ограничивающие тело, являлись координатными поверхностями. Большинство встречающихся в расчетной практике конструктивных форм позволяет добиться этого, используя ортогональные системы координат. В случаях, когда сделать это не удается, можно ввести более общую неортогональную систему координат или, сохраняя ортогональную систему, допустить возможность несовпадения одной или нескольких граничных поверхностей с координатными поверхностями. На практике обычно реализуется второй путь, поскольку упрощение записи граничных условий, связанное с введением неортогональных координат, редко компенсирует значительное усложнение записи исход- [c.302]

Одним из особых преимуществ метода конечных элементов, давно выделенным специалистами, является возможность геометрического представления конструкции, т. е. задание используемой при расчете сетки разбиения существенно нерегулярным способом. Мы уже столкнулись с идеей введения в плоских задачах треугольных элементов, а в гл. 5 и далее будут выведены соотношения между перемещениями и силами для этих элементов. Универсальность задания сетки разбиения с помощью треугольных элементов совершенно очевидна. Весьма существенны, хотя и менее явно выражены, преимущества от представления сетки разбиения криволинейными элементами. В разд. 8.8 рассматривается частный случай, когда граничные кривые определяются полиномиальными выражениями. Этот случай задания сетки называется изопараметринеским. [c.89]

Следовательно, конечноэлементная аппроксимация с такой интерполяцией граничных условий остается оптимальной до тех пор, пока ошибка возмущения будет более высокого порядка (по Л), чем ошибка аппроксимации. Скотт (1975) и Чернука, Купер, Линдберг и Олсон (1972) предложили для треугольных элементов с криволинейными границами квадратурные формулы, сохраняющие порядок для кусочных квадратичных аппроксимаций. Такие аппроксимации изучались также Бергером (1973) с целью получения оценки ошибки в терминах нормы пространства 2 г(/ Ь он также проводил численную проверку порядков (1972). В противоположность интерполяции граничных данных по конечному числу значений можно строить аппроксимацию, точно воспроизводя их вдоль всей границы, если использовать смешанные функциональные интерполянты (Гордон и Уиксом, 1974). Некоторые сведения О смешанных функциях будут изложены в разд. 7.3, [c.146]

Для главного условия на криволинейной границе (например, и = 0) можно также взять любые стандартные. элементы и потребовать, чтобы они интерполировали условия в граничных узлах. В этом случае пробные функции не будут удовлетворять главному условию на всей границе, каждая пробная функция может обращаться в нуль вдоль некоторой кривой, близкой к Г, но для разных функций эти нулевые кривые будут различны. В результате теория Ритца неприменима пробные функции не принадлежат Же ни на точной области О, ни на приближенной О . Кроме того, функция , минимизирующая l(v), йе будет ближайшей пробной функцией к и. Тем не менее можно оценить ошибку, принимая во внимание, что каждая [c.131]

Теоретически можно выпрямить почти любую граничную кривую, но практически это, конечно, неосуществимо. Кусочно полиномиальные функции являются наилучшими границами элементарных областей по тем же причинам, по каким они наилучшим образом приближают перемещения с ними удобно работать на ЭВМ. В самом деле, выбор координат можно описать тем же классом полиномов, из которого берутся пробные функции это метод изопараметрических преобразований. Идея эта превосходна. Выбор координат приводит к тем же трудностям, что и для пробных функций преобразование должно быть непрерывным при пересечении границ элементов, так что элементы, соседние на исходной плоскости х, у, остаются соседними на плоскости г . Если прео бразование х( ,г ), г/( ,г ) построено стандартным образом из узловых параметров и мы убеждены в непрерывности по и г (как для стандартных прямоугольных или треугольных элементов), то изопараметрические преобразования приведут к успеху даже для элементов, границы которых — полиномы степени к—1 по х и у. Этот прием ставит новые вопросы теории приближений, так как полиномы по I и т). не будут более полиномами по х и у. Тем не менее изопараметрические преобразования не понижают порядка точности если преобразования равномерно гладкие (разд. 3.3), то полная степень в -й производной достигается. В этом смысле изопараметрический прием представляется наилучшим для уравнений второго порядка и криволинейных границ. С главным краевым условием и — g можно работать просто и эффективно без потерь в основном порядке точности. [c.132]

В этом примере криволинейная сторона была параболой. В общем изопараметрическом случае как с треугольниками, так и с прямоугольниками отображения хЦ, т)), у 1, т)) задаются тем же типом полиномиальных элементов, что и для перемещений, а все стороны могут быть полиномами степени k— I. Ограничения те же, что и на сами элементы, т. е. когда неизвестные содержат несколько производных в узле, это означает, что соответствующие производные граничных кривых должны быть непрерывны в узлах. Случай Лагранжа поэтому будет простейшим для изо-, параметрических преобразований,, так как неизвестны только значения функции, а единственное ограничение — непрерывность между элементами, необходимая в любом случае. В самом деле, все особенно просто, если, как в сирендиповом прямоугольном элементе на рис. 3.8, нет внутренних узлов. Отображение между границами тогда полностью определяет преобразование координат, которое в противном случае очень чувствительно к передвижению внутренних узлов. [c.189]

Остается еще возможность работать на криволинейной области й в заданных координатах х, у и интерполировать в граничных узлах. Вероятно, интегрирование следует проводить численно, особенно на криволинейных элементах у границы, хотя эксперименты в [К14] обрабатывались точным алгебраическими операциями. В этом методе краевые значения меняются от одной пробной функции к другой, кроме, разумеется, значений-в самих узлах. Разности между пробными функциями малы, но на Г отличны от нуля. Поэтому законы Ритца нарушаются я возникают теоретические вопросы [c.235]

Для пространства метода конечных элементов степени k—1 и выбора и = Vi интеграл по Q имеет порядок /г2( ->). К счастью, интеграл по Г имеет даже более высокий порядок, скорость сходимости не уменьшается от присутствия граничных интегралов. Это очевидно для границы Г, образованной прямыми сужение пробных функций на Г дает полный полином степени k—1 от граничной переменной s, а интеграл по Г имеет порядок Нитше получил такой же результат для" криволинейной границы [6]. [c.238]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...