Энергия деформации в классической теории

ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ [c.25]

Энергия деформации в классической теории [c.25]

В классической теории упругости рассеяние ш предполагается равным нулю, свободная энергия предполагается функцией только деформаций и температуры (параметров состояния) и деформации считаются малыми, т. е. вектор перемещения и(х, t) = =х—X удовлетворяет условиям [c.199]

Фононы представляют собой кванты поля звуковых волн в макроскопическом теле. Теоретически они вводятся совершенно так же, как фотоны при квантовании электромагнитного поля. Выше указывалось, что электромагнитное поле в полости может быть разложено в ряд Фурье по плоским волнам. При этом гамильтониан электромагнитного поля разлагается на сумму членов, каждый из которых соответствует одному гармоническому осциллятору. Квантами энергии этих гармонических осцилляторов и являются фотоны. Аналогично гамильтониан твердого тела, которое построено из атомов, образующих кристаллическую решетку, может быть аппроксимирован суммой членов, каждый из которых представляет гармонический осциллятор, соответствующий нормальному колебанию системы атомов ). В классической теории нормальное колебание есть волна деформации плоскостей решетки, т. е. звуковая волна. В квантовой теории нормальные колебания порождают кванты, называемые фо-нонами. [c.283]

Хотя компоненты деформации yij в (15.43) и предполагаются бесконечно малыми, эти соотношения могут и не привести к линейной теории, поскольку уц могут нелинейно зависеть от градиентов перемещений и,, Функция энергии деформации для классической линейной теории упругости получается из (15.43) при предположении, что, кроме Уц, и вращения (Лц (а значит, и ищ) бесконечно малы. При этом уц = ец, где ец — тензор бесконечно малых деформаций, определенный формулой (4.18а), и [c.247]

Райс показал, что поскольку плотность энергии деформации есть квадратичная функция деформации, то J = g. Таким образом, взяв J по контуру, лежащему вне любой нелинейной области, можно получить g во многих задачах, не проводя моделирования сложного нелинейного поведения. Более того, в то время как классическая теория разрушения предполагает, что трещина распространяется линейно, использование /-интеграла не связано с таким ограничением. Эта особенность очень полезна при анализе композитов, в которых направление роста трещины может изменяться. [c.231]

Связь между деформациями и перемещениями в классической линейной теории упругости задается соотношениями (3.4). Как уже отмечалось, в положении равновесия ЬЭ — О, т. е. полная потенциальная энергия принимает стационарное значение. Для выяснения характера соответствующей стационарной точки необходимо исследовать вторую вариацию полной потенциальной энергии 6 5. Учитывая, что в соответствии с (3.15) вторая вариация Ь П = О, [c.78]

Согласно классической теории фазовое превращение начинается с образования зародышей критического размера. При определении размеров такого зародыша исходят из равенства химических потенциалов атомов в зародыше jn и исходной фазе )Лц. Вследствие энергетических затрат на образование межфазной поверхности и упругую энергию, вызванную изменением формы и объема испытавшей превращение области, химический потенциал компонентов в зародыше повышен. Анализируя кристаллизацию, упругой деформацией можно пренебречь и при определении величины зародыша -критических размеров учесть только затраты на образование межфазной поверхности. [c.37]

В классической линейной теории упругости принята такая постановка задачи материал подчиняется закону Гука, а компоненты деформаций связаны с перемещениями линейными зависимостями (1.17). В этом случае задача сводится к линейным дифференциальным уравнениям, всегда имеющим единственное решение. Это решение описывает устойчивое (в рамках линейной теории упругости) положение равновесия, т. е. соответствует минимуму полной потенциальной энергии. [c.24]

Развитие механики разрушения связано с естественной необходимостью иметь представление о характере и возможностях начавшегося разрушения. А это достижимо лишь тогда, когда исследователь не только знает распределение внутренних напряжений, но и умеет определить допустимое напряжение (называемое критическим), при котором начинается разрушение, а также длину (и, быть может, траекторию) треш,ины, соответствующую приложенным внешним нагрузкам. К сожалению, эти сведения не содержатся в уравнениях классической теории упругости, они дают ответ только на вопрос о распределении возникаюш,их напряжений и деформаций. Интуиция подсказывает нам, что, по-видимому, существует определенная зависимость между нагрузкой п длиной трещины. Для того чтобы установить эту зависимость, приходится привлекать некоторые дополнительные соображения. Одно из таких простых и несомненных соображений предполагает, что разрушение требует определенных затрат энергии и связано с использованием закона сохранения энергии. [c.80]

Отметим некоторые преимущества смешанной вариационной формулировки задачи (1.82), (1.83) по сравнению с классическим методом перемещений. При решении задач прикладной теории упругости и строительной механики методом конечных элементов сходимость решений в ряде случаев определяется реакцией элемента на смещения как жесткого целого и геометрической изотропией (когда не отдается предпочтение какому-либо направлению) аппроксимации деформаций. Плохая сходимость решений, в первую очередь, характерна для криволинейных элементов оболочечного типа, поскольку аппроксимация перемещений полиномами низкой степени является грубой для описания смещений как жесткого целого. Такие элементы могут накапливать ложную деформацию и вносить существенные погрешности в решение задач. При учете деформаций поперечных сдвигов и обжатия в многослойных оболочечных элементах учет смещения как жесткого целого становится особенно важным, поскольку при уменьшении параметра тонкостенности (A/i ) указанные деформации стремятся к нулю, а коэффициенты их вклада в общую потенциальную энергию стремятся к бесконечности. Таким образом, погрешности в вычислении деформаций усиливаются и могут дать значительную ложную энергию, превосходящую энергию изгиба или энергию мембранных деформаций. Независимая аппроксимация полей деформаций в пределах конечного элемента при использовании смешанного метода позволяет обеспечить минимальную энергию ложных деформаций и требуемый ранг матрицы жесткости. [c.23]

Отметим, что член сдвиговой деформации в уравнении (101) не зависит от а ввиду постоянства в интервале —a x L — a. Таким образом, сдвиговая деформация не влияет на скорость высвобождения знергии. Для тонких балок L/h>20) прогиб Ь проявляет незначительное отклонение от балочной теории для таких длин трещины, что a/L<. Расхождение между классической балочной теорией и выражением (103) для скорости высвобождения энергии деформирования сильно зависит от значения параметра X. Поэтому величина может играть важную роль. [c.263]

В пределах ограничений классической теории малых перемещений тонких пластинок максимальная потенциальная энергия деформации изгиба F, потенциальная энергия U, обусловленная работой сил, действующих в срединной плоскости при изгибе, и максимальная кинетическая энергия Г пластинки, испытывающей синусоидальные изгибные колебания с прогибом 6)= (л) os (л0- -+ е), определяются выражениями [c.33]

Удельная энергия деформации. Из (6.9) видно, что Е (х, 1) представляет собой потенциальную энергию, рассчитанную на единицу объема (в точке X в момент времени ). Ее называют удельной энергией деформации классической теории). [c.27]

В выражении потенциальной энергии (3) отброшены члены порядка малости R и выше (считается, что отношение b/R имеет нулевой порядок малости),а также члены, содержаш,ие и . К потенциальной энергии следует добавить потенциальную энергию деформаций упругого шара Е[и], соответствуюш,ую классической теории упругости малых деформаций [1]. Будем предполагать, что наинизшая частота собственных колебаний шара много больше угловых скоростей [c.387]

Удельная потенциальная энергия деформации является положительно определенной величиной (см. п. 2.3.3). Это свойство используется, например, для доказательства единственности решения линейной задачи теории упругости. Кроме того, на этом основаны теоремы о минимуме потенциальной энергии и соответственно дополнительной энергии. В классической линейной теории упругости удельная потенциальная энергия деформации U (ец) является квадратичной функцией компонент деформаций (и благодаря этому достаточно хорошо аппроксимируется). [c.54]

Статические проблемы механики разрушения. Основоположником механики разрушения по праву можно считать А. Гриффитса. Основы механики хрупкого разрушения тела с треш,иной изложены им в работе [480], опубликованной в 1920 г. в трудах Лондонского королевского общества. Однако эта работа осталась незамеченной и долгое время идеи, высказанные в ней, не находили поддержки среди специалистов в области прочности материалов. Отчасти это было связано с тем, что его теория была разработана для идеально хрупкого разрушения материалов. Но как показывает опыт, при разрушении большинства конструкционных материалов, используемых в инженерной практике, наблюдаются пластические деформации в окрестности фронта трещины. При этом значительная часть энергии разрушения расходуется на пластическое деформирование материала. Только после работы Дж. Ирвина [492, 493] механика разрушения тел, содержащих трещины, стала интенсивно развиваться, а ее методы стали применять- Ся при расчетах на прочность различных инженерных конструкций. Ниже кратко изложены основные идеи А. Гриффитса и Дж. Ирвина, которые составляют предмет классической линейной механики разрушения. [c.10]

В заключение следует указать, что поскольку для следующих закону Гука анизотропных тел самого произвольного типа удельная энергия деформации является однородной квадратичной формой от компонентов деформации, для них остается справедливым ряд положений, доказанных ранее для линейно упругих изотропных тел. В частности, остается справедливой формула (12.6) и вытекающая из нее теорема Клапейрона (13.4), а также обобщение этой теоремы (13.3). Остается справедливой и теорема взаимности работ (что было показано в 15) и сохраняются в силе рассуждения при доказательстве теоремы единственности. Рассмотрение задач теории упругости анизотропных тел (в классической постановке) производится аналогично случаю изотропных тел, только при выражении напряжений через деформации приходится пользоваться не формулами (6.2) или (6.6), а более сложными линейными зависимостями (19.2), причем в последних (оставаясь в рамках допущений классической теории упругости) надо положить В дальнейшем заниматься [c.227]

При получении частных форм определяющих функционалов для различных материалов естественно прежде всего попытаться использовать разложения функционала свободной энергии ), подобно тому как в 15 использовались разложения функции энергии деформации. Хотя экспериментальных данных, подтверждающих возможность использования таких разложений для конкретных нелинейных материалов, недостаточно, линеаризации определяющих функционалов, полученные таким образом, согласуются с классическими теориями линейной термо-вязко-упругости и термоупругости. Для наших настоящих целей достаточно рассмотреть один типичный пример возможной формы этих функционалов. [c.392]

Величины Су, 1,7= 1, 2, 3, являются компонентами симметричного тензора малых деформаций е,-, (, а функционал (2.4) определяет потенциальную энергию малых деформаций (классическая теория упругости). Потенциальная энергия деформаций элементарной частицы должна быть положительной, иначе в процессе деформации работа сил по изменению формы частицы будет отрицательной, т.е. будет происходить выделение, а не затрата энергии. Условия положительной определенности квадратичной формы (2.3), представленной в виде [c.235]

Импульсное нагружение представляет собой кратковременное термосиловое воздействие с высокой концентрацией энергии. В слоистой конструкции будут возникать и распространяться волны напряжений, претерпевая многочисленные преломления и отражения от границ слоев. Соответствующий точный анализ напряженно-деформированного состояния слоистой оболочки при учете внутренней картины волновых явлений возможен при использовании динамических уравнений теории упругости. Однако реализация такого подхода чрезвычайно затруднительна. Используемые здесь линейные уравнения (9.1), основанные на гипотезе прямых нормалей для несущих слоев, правильно описывают распространение волн деформаций срединной поверхности, но искажают фазовую скорость изгибных волн, которая при уменьшении длины волны будет неограниченно возрастать. В действительности с большой скоростью движутся короткие волны малой амплитуды, которые из-за демпфирования в оболочке можно не учитывать. Волны, несущие основную энергию изгиба, имеют достаточно большую длину, движутся с конечной скоростью и вполне правильно описываются классическими уравнениями. Поэтому даже на основе линейной теории оказывается возможным выявить в первом приближении основные закономерности нестационарного поведения трехслойной оболочки при импульсном нагружении [286]. [c.491]

Сохраняя только конечное число членов в представлении (15.42)., можно получпть различные приближенные теории гиперупругости. Например, кладя в основу предположение, что деформации у1 малы , можно получить функцию энергии деформации для классической теории упругости при малых деформациях, если сохранить [c.246]

Большинство мартенситных превращений отличается от только что описанных тем, что в поликристаллических образцах не образуются пластины с параллельными гранями, а в монокристаллах не наблюдается превращение с одной поверхностью раздела. Рассмотрим образование отдельной линзовидной пластины. Изменение формы и объема должно быть скомпенсировано упругой или пластической деформацией окружающей матрицы, и кинетика образования пла стины зависит от того, достигают ли напряжения в матрице ее предела текучести прежде, чем прекращается рост пластины. При постоянной форме упругая энергия в матрице пропорциональна, как это обычно принимается в классической теории зарождения, превратившемуся объему, так что при наличии достаточной движущей силы свободная энергия по мере роста пластины непрерывно уменьшается. Рано или поздно рост в направлении, параллельном габитусной плоскости, прекращается, и дальнейшее увеличение объема пластины может привести к тому, что рост упругой энергии будет происходить быстрее, чем уменьшение свободной энергии. При некотором размере пластины свободная энергия может достигнуть минимума пластина этого размера при данном значении движущей силы будет находиться в обратимом равновесии с матрицей. Если при уменьшении температуры движущая сила увеличивается, пластина подрастает до установления нового равновесия если движущая сила уменьшается, пластина уменьшается в размере. Более того, можно заставить пластину расти илц сокращаться, прикладывая соответствующие внешние напряжения, так что химический и механический эффекты взаимозаменяемы. [c.327]

В классической теории пьезоэлектричества (гл. 4) в кристаллах с центральной симметрией нет прямой связи между механическим перемещением и электрической поляризацией. Однако если в число параметров энергии деформированного и поляризующегося кристалла ввести градиент поляризации наряду с обычными параметрами деформации и поляризации, то такая связь появится даже в материалах с самой высокой симметрией (например, с центральной или изотропной). Эта идея была высказана Миндлином [Mindlin, 1968], ее обоснование было дано в динамике решеток кристаллов ионного типа при описании в так называемом длинноволновом приближении. [c.433]

В классической теории упругости пренебрегают микроскопической атомной структурой твердого тела и рассматривают его как непрерывную среду. Произвольная деформация твердого тела описывается непрерывным полем смепцений и (г), определяющим вектор смещения элемента твердого тела, который в равновесии занимал положение г. Фундаментальное допущение теории состоит в том, что вклад в плотность энергии твердого тела в точке г зависит лишь от значения и (г) непосредственно вблизи точки г или, точнее, лишь от величины первых производных функции и(г) в этой точке. [c.71]

Соотношения (19.71) и (19.72) выписаны только как пример одной из возможных упрощенных форм определяющих уравнений для нелинейных термоупругих тел. Отбрасывая или сохраняя те или иные члены в степенном разложении (19.62), можно получить ряд других форм функции свободной энергии, приводящих к нелинейным определяющим уравнениям для напряжений и энтропии. Вопрос о том, какая из форм больше подходит для заданного материала, может быть решен лишь на основе экспериментов. При отбрасывании нелинейных членов уравнения (19.71) и (19.72) сводятся к классическим уравнениям линейной изотропной термоупругости. Полагая а, = О, получаем уравнения для нелинейного относительно девиаторных деформаций материала, описанного Диллоном [1962]. Случай, когда либо аз, либо а , либо Яд ф О, соответствует материалу с умеренно нелинейными дилатационными свойствами. При чисто дилатационных деформациях выражение для совпадает с выражением, используемым в классической теории. [c.404]

Ставски 1152] сформулировал другую уточненную теорию, в которой наряду с деформацией сдвига по толш ине учитываются соответствующие нормальные напряжения. Основные уравнения, аналогичные по форме уравнениям классической теории трехслойных пластин, получены на основании принципа минимума дополнительной энергии. К сожалению, в этой работе рассмотрены только задачи статики с симметрично расположенными изотропными слоями. [c.193]

Поскольку классическая теория деформаций, напряжений и уравнений движения Коши—Навье—Пуассона, а также эйлерово и лагранжево представления движения сплошной среды сохраняются в основах МСС и в наше время и в будущем, в гл. I учебника приводится статистическое физическое обоснование П0НЯТ41Я материального континуума п функции поля в нем, причем на наиболее далекой от непрерывной сплошной среды статистической механической системе материальных точек. Излагаемые позже в гл. II и III основы МСС аксиоматические понятия скорости движения, плотностей массы и энергии, энтропии и количества тепла в гл. I возникают как статистические понятия, получают естественную статистическую трактовку. Этот результат служит еще одним основанием для применения методов МСС к весьма сложным системам тел. [c.4]

Функция энергии деформации. Если мы ые будем пользоваться обоими ограничениями классической теории — ограничением малых деформаций и ограничением закона Гука, то мы уже не будем в состоянии дать картину напряжен 11ого состояния в модулях деформации, выраженный в их простейшем виде [c.165]

Те, кого запутала нечеткость и неупорядоченносгь представлений традиционной термодинамики — т. е. фактически почти все, — иногда неправильно понимают эту теорему, считая, что она дает термодинамическое доказательство существования функции запасенной энергии , т. е. того, что все упругие материалы являются гиперупругими. Ничего подобного. Во-первых, существование функции запасенной энергии представляет собой чисто механическое условие, относящееся ко всем полям деформации, а не только к тем, которые соответствуют определенным температурным и калорическим условиям. Во-вторых, чтобы вывести (24) и (25), нам пришлось принять допущения термодинамического характера, а теория упругости представляет собой чисто механическую теорию, в которой температура или плотность калории даже и не упоминаются а fortiori с помощью термодинамики мы не можем ничего доказать относите,чьно теории упругости. В-третьих, функции, о которых доказано, что они ведут себя как запасенная энергия, являются различными в различных процессах для одного и того же термоупругого материала, тогда как функция запасенной энергии гиперупругого материала определена однозначно с точностью до аддитивной постоянной. Таким образом, эта теорема ставит в соответствие данному термоупругому материалу не один гиперупругий материал, а бесконечное множество. В-четвертых, и это наиболее важно, нет никаких причин предполагать, что деформация общего вида будет изотермической, либо изокалорической, так что, если бы эта классическая теория и была применима к теории упругости, мы не знали бы в общем случае, когда ее можно применять. [c.448]

Вместе с этим нелинейная теория оболочек может рассматриваться как широкое развитие классической задачи Плато, и в этом ее большое естественнонаучное значение. Действительно, задача Плато относится к поверхностям с вполне определенным законом деформирования плотность потенциальной энергии деформации пропорциональна изменению площади элемента. Между тем в теории оболочек рассматриваются поверхности, у которых плотность потенциальной энергии деформации есть некоторая скалярная функция тензора деформации, что в значительной степепи осложняет проблему, придавая ей вместе с этим и больший естественнонаучный интерес, и большое практическое значение. Имеется громадное количество работ, в которых исследуются конкретные задачи нелинейной теории оболочек. Однако нет ни одной задачи этой теории, когда бы ее решение можно было получить в сколь-нибудь замкнутой форме. Поэтому здесь используется широкий комплекс приближенных методов с применением ЭВМ. Это делает особо актуальным строгое математическое исследование рассматриваемого класса нелинейных задач. Отметим также, что практически интересные механические явления не позволяют для своего анализа использовать почти линейные постаповкп, они связаны с большими глубокими нелинейностями. [c.6]

Пусть движение упругого тела таково, что Выполнены соответ ствующие условия (малость деформаций и величин u,j) и приме нимы соотношения классической теории упругости малых дефор маций, в частности функционал потенциальной энергии упруги деформаций представляется интегралом (2.4). Вариационный прин-цип Д Аламбера—Лагранжа для упругого тела представляется в вид [c.236]

Из выражения вариации силового функционала следует, что функции К(г, 0. бК(г, t) принадлежат функциональному пространству X, совпадающему с областью определения силового функционала и вложенному в пространство ЬгСП). Свойства этого пространства зависят от выбранной модели, описывающей потенциальные силовые поля. Например, для классической теории упругости малых деформаций (функционал Е[и], определяемый формулой (9.2.4)) область определения силового функционала есть пространство Соболева Уг(П). В случае теории упругости малых, но конечных деформаций (формула (9.2.3)) функционал потенциальной энергии деформаций определен на пространстве Соболева У4(П), состоящем из векторных функций, имеющих суммируемые первые производные в четвертой степени. [c.277]

Понятия о напряжении и деформации были установлены Кошп около 1822 г. Вместе с теорией потенциала, теорией функций комплексного переменного, вариационным исчислением и законом сохранения энергии эти понятия составили фундамент, на котором в течение XIX в. были построены начала математической теории упругости и классической гидромеханики силами, главным образом, Навье, Пуассона, Грина, Стокса, Кирхгофа, Гельмгольца, Сен-Венана, Буссинеска, Максвелла, Кельвина, Рэлея, Лява, Лэмба и других2). В 1882 г. Отто Мор опубликовал свою первую статью о графическом представлении напряженного состояния, указав в дальнейшем, что его графический метод приложим также и в анализе распределения моментов инерции в твердых телах. [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...