Тензор бесконечно малых деформаций

При изучении течения сплошного тела в переменных Эйлера часто используют тензор бесконечно малых деформаций за время d . В этом случае бесконечно малый вектор перемещения [c.73]

Соответствующий тензор бесконечно малых деформаций получим на основании формулы (3.68) [c.73]

При изучении движений сплошной среды в переменных Эйлера используется тензор бесконечно малых деформаций среды за время di, когда вводится вектор относительных перемещений точки и за время At, равный [c.9]

Соответствующий этому вектору тензор бесконечно малых деформаций получается ио формуле (1.37) (за состояние отсчета берется состояние среды в момент времени I) [c.9]

Тензор бесконечно малых деформаций. В рассматриваемой точке тела деформация является бесконечно малой, если начальное и конечное состояния сопутствующей системы координат в этой точке разнятся бесконечно мало, так что длины векторов базиса и углы между ними за время деформации изменились на бесконечно малые величины. Следовательно, компоненты деформации = [c.85]

Главные компоненты тензора бесконечно малых деформаций, или главные деформации 8t 3 63 являются корнями кубического уравнения (1.82), если заменить в нем /j на /j (Те) [c.87]

Выразить физические компоненты тензора бесконечно малых деформаций через физические компоненты Uj-, а, г вектора перемещения. [c.88]

Вторые ковариантные производные тензора бесконечно малых деформаций найдем по формуле (1.137). Учитывая равенство нулю смешанных компонент [c.90]

Интенсивность деформаций и интенсивность деформаций сдвига. Как и любой симметричный тензор второго ранга, тензор бесконечно малых деформаций Tt. можно разложить на шаровой тензор Ре и девиатор D = Ре. Л- De, или в матричной форме в прямоугольной декартовой системе координат [c.91]

Интенсивность деформаций — скалярная величина, характеризующая деформацию в точке. С точностью до постоянного множителя 2/т/3 она равна интенсивности r (Те) тензора бесконечно малых деформаций. Получим, заменяя в (1.100) на е [c.91]

Поясните геометрический смысл компонент тензора бесконечно малых деформаций. [c.92]

Что такое плоское деформированное состояние Запишите для него матрицы тензоров бесконечно малых деформаций, скоростей деформаций и на- [c.133]

В кинематике сплошных сред, наряду с принятыми в кинематике дискретной системы точек понятиями перемещений, скоростей и ускорений, появляется характерное для сплошной среды представление о бесконечно малой деформации среды, определяемой тензором деформаций. Если рассматривается непрерывное движение текучей среды, то основное значение приобретает тензор скоростей деформаций, равный отношению тензора бесконечно малых деформаций к бесконечно малому промежутку времени, в течение которого деформация осуществилась. Как с динамической, так и с термодинамической стороны модель сплошной среды отличается от дискретной системы материальных точек тем, что вместо физических величин, сосредоточенных в отдельных ее точках, приходится иметь-дело с непрерывными распределениями этих величин в пространстве — скалярными, векторными и тензорными полями. Так, распределение массы в сплошной среде определяется заданием в каждой ее точке плотности среды, объемное силовое действие — плотностью распределения объемных сил, а действие поверхностных сил — напряжениями, определяемыми отношением главного вектора поверхностных сил, приложенных к ориентированной в пространстве бесконечно малой площадке, к величине этой площадки. Характеристикой внутреннего напряженного состояния среды в данной точке служит тензор напряжений, знание которого позволяет определять напряжения, приложенные к любой произвольно ориентированной площадке. Перенос тепла или вещества задается соответствующими им векторами потоков. [c.9]

Чтобы получить уравнения равновесия конечного элемента оболочки в классической линейной постановке, необходимо в исходном равенстве (29) вместо тензора конечных деформаций (14) использовать тензор бесконечно малых деформаций [c.287]

В случае классической линейной теории потери устойчивости оболочек поиск нагрузок бифуркации существенно упрощается вместо тензора конечных деформаций (14) в уравнениях устойчивости используется тензор бесконечно малых деформаций (38). В этом случае для конечного элемента оболочки вместо уравнения (41) получаем матричное уравнение устойчивости [c.289]

Чтобы полнее развить этот подход, важно начать с точного описания деформации, для чего в некоторых примерах используется тензор конечных деформаций. Однако чтобы сохранить связь с обычным подходом, в других примерах используется тензор бесконечно малых деформаций. Задачи этой главы выявляют различие между этими двумя подходами и показывают, при каких условиях можно с достаточной точностью использовать более простое описание через тензор малых деформаций. [c.26]

Тензор бесконечно малых деформаций. Компоненты этого (симметричного) тензора [c.26]

Показать, что если а,у — бесконечно малые такого порядка, что их произведениями можно пренебречь, то компоненты тензора бесконечно малых деформаций задаются следующим образом [c.27]

Компоненты тензора бесконечно малой деформации по определению равны [c.140]

Определим тензор бесконечно малой деформации в виде [c.123]

Тензоры бесконечно малых деформаций [c.120]

Так называемая теория малых деформаций в механике сплошных сред имеет своим основным условием требование малости градиентов перемещения по сравнению с единицей. Основной мерой деформации служит разность [йх) — (йХ) , которую можно выразить через градиенты перемещения, подставляя (3.40) и (3.41) в (3.36) и (3.38) соответственно. Если градиенты перемещения малы, то тензоры конечных деформаций в (3.36) и (3.38) сводятся к тензорам бесконечно малых деформаций, а результирующие соотношения представляют малые деформации. [c.120]

Поскольку разложение (1.23) относится к бесконечно малым перемещениям, то и о тензоре обычно говорят как о тензоре бесконечно малых деформаций или просто — тензоре малых деформаций (иногда — линейном тензоре деформаций). [c.59]

Здесь а , а — базисные векторы выбранной фиксированной пространственной системы координат. Выделим в и.., тензор бесконечно малых деформаций [c.81]

Этот важнейший вывод из теоремы Гельмгольца, конечно, относится к бесконечно малым деформациям и мог быть сделан уже после введения понятия о тензоре бесконечно малых деформаций ( 2). Более ого, поскольку этот тензор по структуре и физическому смыслу сходен с тензором скоростей деформаций, то и физическая интерпретация компонент тензора скоростей деформаций может быть получена путем процедуры, аналогичной относительно компонент U.J ( 2), Диагональные компоненты тензора представляют собой скорости относительных удлинений по координатным осям, а недиагональные — половину скоростей угловой деформации в соответствующих координатных плоскостях, так что в криволинейных координатах имеем [c.187]

Только что проведенные рассуждения без труда распространяются на Од в самом деле, они остаются пригодными во всех отношениях, если Тд заменяется на 0 - , р на р и если интерпретируется как тензор бесконечно малых деформаций. В частности, скорость изменения работы диссипации принимает вид [c.87]

Тензоры деформаций и скоростей деформаций являются разными тензорами, но e.jAt являются компонентами тензора бесконечно малых деформаций, соответствующего перемещению за время At, т. е. [c.97]

Величины ij и ац соответственно называются компонентами тензора бесконечно малой деформации и тензора поворота. Ясно, что [c.18]

Хотя компоненты деформации yij в (15.43) и предполагаются бесконечно малыми, эти соотношения могут и не привести к линейной теории, поскольку уц могут нелинейно зависеть от градиентов перемещений и,, Функция энергии деформации для классической линейной теории упругости получается из (15.43) при предположении, что, кроме Уц, и вращения (Лц (а значит, и ищ) бесконечно малы. При этом уц = ец, где ец — тензор бесконечно малых деформаций, определенный формулой (4.18а), и [c.247]

Однако следует представлять себе, что при рассмотрений деформаций произвольной величины концепция линейной связи между напряжениями и деформациями уже не может однозначно определяться из физических соображений. Это происходит потому, что деформации можно измерить бесконечным числом способов, которые являются равно обоснованными и среди которых не существует средств априорного выбора на основе соображений механики сплошной среды. Мы можем использовать тензоры U, С или либо ввести другие меры деформации. При этом линейная связь между напряжением и, скажем, С соответствует нелинейной связи между напряжением и, скажем, С" . Таким образом, линейное соотношение можно найти лишь после того, как мы знаем результаты измерения деформаций, для которых устанавливается это соотношение. Однозначная концепция линейности существует только в предельном случае бесконечно малых деформаций, поскольку в этом случае линейность соотношения между т и одной из величин, определяющих деформацию, означает также линейность связи между т и любой из них ). [c.216]

Выразим коэффициент относительного объемного расширения через компоненты тензора деформаций (52). Для этого, по определению бесконечно малой деформации, представим числитель в правой части (61) как [c.344]

Теперь сосредоточим внимание без существенной потери общности на бесконечно малых деформациях неугынеыно-упругнх тел с трещинами, подвернутых неравномерному нагреву. В этом случае тензор бесконечно малых деформаций е,/ можно разложить на составляющие [c.136]

Показать, что багу = Рг/ +Показать также, что если начальное деформированное состояние можно достаточно точно описать тензором бесконечно малой деформации еу, то его изменение при дальнейшей деформации будет 2беу = [c.29]

Введенный в рассмотрение тензор скоростей дает возможность получить еще одну характеристику сплошной среды — тензор бесконечно малой деформации. Так как вектор скорости V в эйлеровых координатах имеет компоненты Ук = с1хк/сН, к = 1,2,3, то компоненты вектора перемещения за время при переходе от одной актуальной (в момент времени t) конфигурации сплошной среды к последующей (в момент времени t + А ) будут 11к УкА1. [c.55]

В пределах интервала dt при данном t(xu Х2, лсз) будет лагранжевой ортогональной системой координат в репере i. Тензор бесконечно малых деформаций среды за время dt обозначим Vijdt= e ih причем Vij называется тензором скоростей деформаций среды в эйлеровом пространстве. [c.85]

Если как градиент перемещения, так и само перемещение малы, то разница между материальными и пространственными координатами частицы среды очень мала. Поэтому компоненты материального градиента ди дХ и компоненты пространственного градиента ди 1дх1 почти равны и эйлеров и лагранжев тензоры бесконечно малых деформаций можно принять равными. Таким образом, если и перемещения, и их градиенты достаточно малы, то [c.120]

Отсюда ясно кинематическое истолкование компонент ejj, с точностью до множителя Ai совпадаюших с компонентами Bij тензора бесконечно малых деформаций. Величины дри характеризуют скашивание прямых углов между отрезками среды, первоначально расположенными вдоль координатных осей х, у, z. Компоненты ejj приг= =/ равны половине скорости скашивания первоначально прямых углов, образованных отрезками среды, в данный момент времени параллельными соответствующим координатным осям. Из (7.17) видно, что член grad Ф в формуле (7.15) для [c.102]

В пределах интервала й1 (при данном 1) Х, Х2, л з будет лагран-жевой ортогональной системой координат в репере Тензор бесконечно малых деформаций среды за время сИ мы обозначим [c.78]

Деля только что введенные элементы бесконечно малых деформаций на сИ, получим тензор скоростей деформаций 5 и его компоненты диагональные ёк — скорости относительного удлинения координатных отрезков и ёы — скорости скошения координатных углов, или скорости сдвига в соответствующих координатных плоскостях. [c.344]

Выше мы видели, что однородное напряжение и однородная бесконечно малая деформация описываются тензорами второго ранга, каждый из которых определяется девятью компонентами деформации ezj и девятью компонентами напряжения Oij. Если de opj iatj,UH бесконечно мала и однородна, то каждая компонента тензора деформации линейно связана со всеми компонентами тензора напряжений и, наоборот, каждая компонента тензора напряжения линейно связана со всеми компонентами тензора деформаций. В этом заключается сущность закона Гука для анизотропных твердых тел. Математический закон Гука для монокристаллов запишется либо как [c.125]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...