Условие положительной определенности квадратичной формы

Условия положительной определенности квадратичной формы б И о при бГ = О представим в виде условий на определитель [c.25]

Условия существования минимума функции П (q) в точке q = Ь совпадают с условиями положительной определенности квадратичной формы, имеющей матрицу [c.40]

Таким образом, условия (7.20) являются необходимыми и достаточными условиями положительной определенности квадратичной формы (7.19). [c.35]

Согласно критерию Сильвестра, условия положительной определенности квадратичной формы имеют вид [c.418]

Условие положительной определенности квадратичной формы 65 [c.544]

Заметим, что равенство (18.19) имеет смысл лишь при условии положительной определенности квадратичной формы ( p/ Re по определению). Это условие, однако, ни из каких общефизических соображений не вытекает. Отсюда следует, что решения вида (18.19) (представляющие собой, как мы сейчас увидим, плазменные колебания обычного типа) возможны не при любом виде функций W (k) и k). [c.170]

Это условие дополняет рассматривавшиеся ранее условия устойчивости термодинамических систем, добавляя к ним определенные требования, предъявляемые к коэффициентам переноса. Действительно, рассмотренное нами в теории флуктуаций условие максимума энтропии в точке = О (равновесное состояние), или, что то же, условие положительной определенности квадратичной формы Д5 = приводило к определенным требованиям к уравнениям состояния (например, для системы типа газа это давало известные неравенства ск у>0, др/ду) <Щ. Условие 5 > О — это требование положительной определенности другой квадратичной формы, 5 = - к1 к 1, которое налагает определенные требования уже на коэффициенты переноса (в простейшем случае это даст нам требования типа положительности коэффициентов теплопроводности, х > О, диффузии Р > О, и т.д.). [c.201]

Напомним, что условие положительной определенности квадратичной формы [c.239]

Величины Су, 1,7= 1, 2, 3, являются компонентами симметричного тензора малых деформаций е,-, (, а функционал (2.4) определяет потенциальную энергию малых деформаций (классическая теория упругости). Потенциальная энергия деформаций элементарной частицы должна быть положительной, иначе в процессе деформации работа сил по изменению формы частицы будет отрицательной, т.е. будет происходить выделение, а не затрата энергии. Условия положительной определенности квадратичной формы (2.3), представленной в виде [c.235]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Если выполняется достаточное условие устойчивости равновесия, то функция П, определенная равенством (11.173), будет положительно определенной квадратичной формой обобщенных координат. [c.230]

Для положительной определенности квадратичной формы упругой энергии необходимо и достаточно условие X > О, х > 0. Что касается технических постоянных, модуль Е должен быть положителен. Положительны также модули К а G отсюда следует такое ограничение возможных значений коэффициента Пуассона [c.243]

Оптимальный технологический режим нанесения рассчитывался из условия существования экстремума выражения (1), т. е. равенства нулю частных производных величины пористости по каждому из режимных параметров. Наличие минимума функции (а нас интересует именно минимальная пористость) проверялось по достаточным условиям существования экстремума функции многих переменных непрерывности вторых частных производных и положительной определенности квадратичной формы второго дифференциала [3]. [c.89]

Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные диагональные миноры в определителе А были положительны, начиная с третьего Дд > 0 А4 > 0 Д5 > 0. Если Аз < 0 А4 > 0 Д < О, то это необходимые и достаточные условия отрицательной определенности [41. [c.26]

Теорема об асимптотической устойчивости линейных систем. Пусть для какой-нибудь положительно определенной квадратичной формы и (х, t) с коэффициентами — непрерывными ограниченными функциями времени — нашлась квадратичная положительно определенная форма w (х, t), удовлетворяющая условию [c.302]

При мягком нагружении жесткость нагружающей системы равна нулю Rij = 0), а условие устойчивости процесса закритической деформации (9.29) с учетом того, что структурные деформации еаа, и Sap для слоистых КОМПОЗИТОВ равны макроскопическим, сводится к требованию положительной определенности квадратичной формы для матрицы эффективных касательных модулей при плоском напряженном состоянии [c.258]

Значки А употребляются здесь для точного обозначения вариаций, ка1 конечных разностей. Полагая в (1.2) равной нулю последовательно одну из разностей, можно получить частные условия устойчивости равновесия, которые устанавливают определенное соответствие знаков изменения сопряженных величин. Условие (1.2) удобно представить в другой форме. Примем за независимые переменные энтропию и объем, обозначим их виртуальные изменения как б5 и Ьи. Выразим вариации температуры и давления через 6з, 6у, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков. Подстановка в (1.2) дает положительно определенную квадратичную форму [c.15]

Если д 1) — решение уравнений Лагранжа с лагранжианом 5 = З - -"V с начальными условиями (при = 0) (0) = = до, (7(0) = Уо, то д —Ь) есть решение тех же уравнений с начальными условиями (/(0) = до, (/(О) = —Уо- Для завершения доказательства остается использовать теорему единственности решений уравнений Лагранжа с положительно определенной квадратичной формой Э. [c.131]

Действительно, Т = (1/2)4 2Й( )4 - положительно-определенная квадратичная форма относительно <1, а U(q)-U(qQ)>0 при q qo и достаточно малом Я по условию теоремы. Кроме того, мы знаем, что e(q,q) является первым интегралом уравнений Лагранжа (см. 4.5). Поэтому производная V в силу уравнений Лагранжа равна нулю [c.441]

Необходимое условие минимума совпадает с (6.3), а достаточное условие заключается в положительной определенности квадратичной формы А У -Ю-А У или положительной определенности матрицы Гессе в У. [c.153]

Ограничимся случаем, когда Т и V — положительно определенные квадратичные формы (это не выполняется, например, для системы, изображенной на рис. 2.2а). Необходимым и достаточным условием положительной определенности является выполнение неравенства А, В > 0 а,Ь>0]АВ-Н > 0 аЬ - > 0. [c.41]

Заметим, что если 9 2 — положительно определенная квадратичная форма старших производных, то условие 2) (10.35) выполнено автоматически, однако в наших задачах это условие выполняется не всегда. [c.84]

Они представляют собой полином второй степени относительно Старшие члены этого полинома 2Qp представляют собой положительно определенную квадратичную форму относительно Т Поэтому весь полином в пространстве Г - будет иметь минимум, который находится из условия [c.261]

Положительная определенность квадратичных форм (2.2)-(2.5) накладывает известные условия на матрицу феноменологических коэффициентов [c.36]

Выберем теперь f >> О так, чтобы выполнялось условие — 4ЯА <С 0. Тогда числитель первой дроби в фигурных скобках представляет отрицательно определенную квадратичную форму относительно os 0 и sin О и принимает, следовательно, только отрицательные. значения. Знаменатели обеих дробей в квадратных скобках принимают только положительные значения и ограничены сверху и снизу положительными числами. Числитель второй дроби стремится к нулю при а - 0иу- 0. В силу [c.149]

Возможен случай, когда все главные миноры отличны от нуля, но условия положительной или отрицательной определенности квадратичной формы не выполняются, в этом случае в исследуемой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. В случае обращения в нуль главных миноров матрицы А, вопрос о наличии экстремума в исследуемой точке решается более сложно с использованием производных более высокого порядка. [c.17]

Это выражение является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Из физического смысла понятия кинетической энергии следует, что функция Т равна нулю лишь тогда, когда все qj одновременно равны нулю, и положительна, если хотя бы одна из tjy отлична от нуля. Квадратичная форма, удовлетворяющая этим условиям, называется положительно определенной, а матрица, составленная из ее коэффициентов, [c.213]

Можно представить кинетическую энергию даже при наличии нестационарных связей как квадратичную форму т + 1 обобщенной скорости. Дополнительная (т- -1)-я координата равна времени. Эта форма всегда положительно определенная. Из теории квадратичных форм известно, что необходимыми и достаточными условиями положительной определенности квадратичной формы является сохранение положительного знака дискриминанта формы и положительных знаков всех его главных миноров. Одним из этих -миноров является определитель ц1л1. Таким, образом, приходим к предыдущему заключению. [c.144]

Нетрудно показать, что если упругое тело подчиняется закону Гука, причем F можно считать положительно определенной квадратичной формой от гц для всех изотермических процессов с Т = То = onst, то условие (9.8) превращается в условие минимума полной свободной энергии в состоянии равновесия. В самом деле, пусть [c.391]

Если в этой формуле определитель матрицы отличен от нуля — начальная скорость неколлинеарна начальному радиусу-вектору,, то, применив обратную матрицу (это не обязательно делать в явном виде), увидим, что os o и sinto суть линейные функции х нус коэффициентами, зависящими от начальных условий. Следовательно, тождество os o/.+sin a)t= 1 даст нам уравнение траектории, которая получится эллипсом (сумма квадратов линейных форм есть положительно определенная квадратичная форма). Легко понять, что центр этого эллипса находится в начале координат. [c.17]

Следуя работе Треффтца [18], рассмотрим способ определения наинизшей критической нагрузки, при превышении которой тело теряет устойчивость впервые при монотонном нагружении. Как мы видели, исходная конфигурация устойчива до тех пор, пока для всех допустимых виртуальных перемещений выполняется условие 6 П > 0. Этот критерий будет представлен другим образом. Введем соответственно подобранный функционал N, который является положительно определенной квадратичной формой относительно бм и их производных ), и будем отыскивать среди допустимых виртуальных перемещений, удовлетворяющих условию [c.98]

Подчеркнем, что полученные условия устойчивости" являются условиями устойчивости как движения около центра масс, так и движения самого центра масс. Однако допустимые возмущения в движении центра масс, то есть возмущения, при которых движение еще не теряет устойчивости, весьма малы. Оценку допустимых возмущений движения около центра масс и движения самого центра масс можно провести по функции Ляпунова (4.4.7). В самом деле, L = Lo= onst, а так как Ь является суммой положительно определенных квадратичных форм, то каждая такая форма по величине меньше, чем L (причем членами выше второго порядка малости, входящими в , можно при оценке пренебречь). При оценке можно также ограничиться приближенным значением силовой функции и, чтобьг не привлекать в оценку членов высшего порядка малости. [c.167]

Пусть Но — положительно определенная квадратичная форма с постоянными коэффициентами Яо = у,у)/2 = Yl iiУiУз/ Тогда выражение (8.16) равно у,у)6, где <5 = с1е1 ЦяцЦ. Для периодического решения имеем у ф О, значит, в этом случае второе условие (8.15) заведомо выполнено. [c.226]

Из физического смысла следует, что удельная энергия деформации представляет собой положительно определенную квадратичную форму uie mu независимых величин ец. Это условие налагает на упругие постоянные некоторые ограничения. В случае изотропной среды эти ограничения сводятся к следующему [c.29]

Условия симметрии Eijki = Еш можно установить непосредственно из (2.Ш). Кроме того, немедленно получается формула Клапейрона U = /20ki ki- Так как удельная потенциальная энергия деформации, как известно, при е,/ = О обращается в нуль и при любом деформировании должна совершаться положительная работа, и всегда больше нуля i/ О, и в (2.18) речь идет о положительно определенной квадратичной форме. [c.58]

Таким образом, используя не только условия А > О положительной определенности квадратичной формы j Af (т.е. условия максимума энтропии системы для термодинамически равновесного ее состояния), но и условия Г > О неположительности формы А для производной энтропии по времени (т. е. условия неотрицательности величины скорости ее образования в неравновесных системах), мы показали, что по отношению к тем переменным щ, относительно которых исходная квадратичная форма для отклонения энтропии AS является диагональной, А = г)Хт), принцип Ле Шателье выполняется всегда. Он выражается с помощью неравенств О (или т)к6г)к 0) по отношению ко всем независимым параметрам щ (f = 1,...,п), характеризующим отклонение системы от состояния термодинамического равновесия, и полностью соответствует требованиям устойчивости этого состояния и устойчивости системы по отношению к происходящим в ней явлениям переноса. [c.210]

Пусть п < 6. Все собственные значения матриц 1,5 положительны. Поэтому квадратичная форма Е2 является положительно-определенной в подпространстве Г- -. Теперь из асимптотики (3.33) следует, что относительный гамильтониан Е ги р)) достигает трансверсально строгого минимума на семействе равновесий Г. Таким образом, условия предложения 2.4 выполнены, и стационарный режим устойчив по Раусу. [c.265]

На практике часто значения переменных параметров можно рассматривать как характеристики малых возмущений, в связи с этим во многих случаях функцию и можно рассматривать просто как положительно дефинитную квадратичную форму определяющих малых переменных параметров. В этих случаях проблема определения функции и сводится к проблеме определения постоянных коэффициентов соответствующей квадратичной формы. При определении этих коэффициентов полезны условия симметрии и можно опереться на опытные данные, а в некоторых случаях значение этих коэффициентов можно связать с молекулярными постоянными на основе статистических теорий (развиваемых с помощью своих универсальных и специфических для данной модели допущений). Такие коэффициенты подобны модулю Юнга и коэффициенту Пуассона, которые на практике всегда можно легко найти из опытов. Их можно вычислить статистическим путем (на основе некоторых далеко идущих допущений). Однако в ряде случаев расчетные значения из статистики, вообще говоря, не соответствуют опыту для твердых тел. Для газов соответствие между расчетами и опытом лучше, но и в этом случае требуется опытная проверка результатов расчетов. Все же статистические теории позволяют наметить некоторые соотношения между подобными коэффициентами, не очевидные в феноменологических теориях, например, связи между коэффициентами теплопроводности, вязкости и диффузии. [c.474]

Квадратичная форма может быть положительно определенной и отрицательно определенной. Ответ о знаке квадратичной формы дает теорема, которая формулируется следующим образом для положительной определеппости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия Сильвестра [c.16]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...