Единственность решения для задач с начальными и граничными условиями

Краевые условия. Уравнения (1.2), (1.4), (1.6), (1.7) имеют множество решений. Для получения единственного решения необходимо задавать краевые условия (сведения об искомых непрерывных функциях на границах рассматриваемых областей — граничные условия, а в случае нестационарных задач — значения этих же функций в начальный момент времени — начальные условия). Исходное дифференциальное уравнение в частных производных вместе с краевыми условиями носит название дифференциальной краевой задачи и представляет собой ММ исследуемого объекта. [c.10]

Для получения единственного решения задачи, кроме системы уравнений, необходимо задать дополнительные начальные и граничные (или краевые) условия. При этом важно, чтобы задача была корректно поставлена. Это означает, что решение задачи существует, оно единственно и непрерывно зависит от исходных данных (малому изменению исходных данных соответствует малое изменение решения). Требование корректности важно при численном решении задачи, так как всякое численное решение является приближенным и необходимо, чтобы метод решения был устойчив к малым погрешностям в исходных и промежуточных данных. [c.113]

Согласно теоремы единственности решения, если некоторая функция f(x, у, 2, t) удовлетворяет дифференциальному уравнению, начальным и граничным условиям, то она является единственным решением задачи. [c.72]

Поскольку наличие упругих опор в СО-балках не влияет на эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов, то алгоритм решения задач для таких балок остается без изменения (см. 5.1, 5.2). Единственным изменением является модификация граничных условий при решении краевой задачи для уравнения (5.20). Так же может быть использован метод начальных параметров. [c.170]

Таким образом, единственность решения задачи с начальными и граничными условиями установлена. Доказательство непосредственно переносится на линейное уравнение Больцмана (с /г = ///о), когда среда является чисто рассеивающей или когда поглощение преобладает над испусканием. Однако доказательство проходит и тогда, когда испускание частиц преобладает над поглощением, как в случае ядерного реактора. Тогда первое из неравенств (4.7) теряет силу и заменяется неравенством [c.197]

На основании теоремы Кирхгофа о единственности решения задачи теории упругости, доказанной в 118, мы можем считать, что раз мы нашли решение уравнений упругости, удовлетворяющее начальным и граничным условиям, то это решение будет единственным, и никакого другого решения найти нельзя. Это относится ко всем проблемам, которые будут рассматриваться в этой книге. Исключение составляют только задачи о равновесии длинных тонких прутьев пли тонких пластинок и тонких оболочек, где возможно несколько решений. [c.94]

При постановке конкретных задач тепломассообмена наряду с системой дифференциальных уравнений необходимо также сформулировать начальные и граничные условия, что позволит выбрать единственное решение. Формулируя граничные условия при наличии разрыва, необходимо использовать соотношения (1.52). .. (1.55). [c.27]

К сожалению, для общей постановки пространственных начально-граничных задач теории упругости в настоящий момент отсутствуют исчерпывающие результаты, относящиеся к вопросу о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих существование и единственность решения в зависимости от класса допускаемых краевых условий и ограничений на граничную поверхность. Однако существуют и иные (неклассические, обобщенные) постановки задач теории упругости, определяемые тем математическим аппаратом, который применяется для их решения ). [c.243]

Оставляя в стороне вопрос о доказательстве существования решения, докажем теорему единственности, при этом мотивировка остается той же, что и для статической задачи в 8.4. Ход доказательства остается в основных чертах тем же самым. Предположим, что одним и тем же начальным условиям (13.1.2) и граничным условиям удовлетворяют два различных решения системы (13.1.1) и (8.4.2) —(8.4.4), а именно, щ, a -j. Тог- [c.430]

Долгое время решение Лоренца и Тимошенко оставалось единственным, описывающим потерю устойчивости упругой цилиндрической оболочки, равномерно сжатой в осевом направлении, й только недавно с помощью ЭЦВМ удалось сделать следующий шаг— рассмотреть задачу при произвольных граничных условиях с учетом неоднородного начального напряженно-деформированного состояния. [c.261]

Если на поверхности имеются сингулярные точки (вершины границ) и линии (ребра границ), то в их окрестности необходимо положить дополнительные ограничения на поведение Ч и фз, чтобы обеспечить единственность решения гидродинамической задачи о заданными начальными и граничными условиями. [c.514]

Если /3 < О, то при 00 = О (и вообще при 1то = 0) оба слагаемых в правой части (2.5) стремятся к нулю при (р со. Поэтому условие ограниченности решения не накладывает каких-либо ограничений на асимптотическое поведение решения, задаваемое равенством (2.5). При любых значениях С1 и С2 величина q стремится к нулю, а гг 1 при (р со. Этим обусловлена неединственность автомодельных решений, так как оставшееся одно граничное условие гг = о при (р = о не может выделить единственного решения. Однако поведение неавтомодельных решений при больших значениях (р и истолкование членов решения как волн с определенным направлением распространения позволяет провести анализ решений неавтомодельной задачи с начальными данными и выделить то автомодельное решение, к которому стремится неавтомодельное решение при сю. [c.625]

Для частных классов задач о движении вязкой жидкости существуют строгие доказательства теорем о существовании и единственности решений. Эти теоремы, помимо своего общего математического содержания, важны еще потому, что указывают, каковы должны быть присоединенные к дифференциальным уравнениям граничные и начальные условия, а также и другие дополнительные требования, без выполнения которых решение задачи не [c.364]

Уравнения (38) представляют безразмерные уравнения Стокса динамики вязкой несжимаемой жидкости. К этим уравнениям присоединяются соответствующие данной конкретной задаче безразмерные начальные и граничные условия, а в ряде случаев и другие условия единственности решений уравнений Стокса. [c.369]

Условимся среди всех чисел подобия (39) особо выделять составленные только из тех масштабов сравниваемых потоков и физических констант среды, которые заключаются в постановке задачи об определении движения, т. е. наперед заданы. Одинаковость таких чисел подобия обусловливает подобие двух сравниваемых течений, и поэтому сами числа могут быть названы критериями подобия. Критериев подобия меньше, чем чисел подобия для соответствующего класса течений, так как не все масштабные величины, введенные при составлении безразмерных уравнений и граничных и начальных условий, на самом деле могут быть заданы наперед. Значения некоторых из них определяются только после того, как будет получено единственное решение данной конкретной задачи. Отсюда следует, что число достаточных условий, представленных системой равенств вида (40), будет меньше общего числа необходимых условий. [c.369]

Следует указать, что принятое изложение метода подобия не является единственно возможным. Широко используется и другой, на первый взгляд более простой способ, основанный на принципе размерностей ). Этот метод в явной форме не пользуется дифференциальными уравнениями и соответствующими им граничными, начальными и другими возможными условиями единственности решений этих уравнений, но требует достаточно глубокого понимания сущности явлений, без чего нельзя правильно выбрать основную систему физических параметров, описывающих явление, и указать, какие из них в постановке рассматриваемой конкретной задачи являются заданными наперед, а какие зависящими от них. В основе теории размерности лежит П-теорема ). [c.372]

Единственность решения для задач с начальными и граничными условиями [c.196]

В этом разделе мы рассмотрим в общих чертах вопрос о единственности решения линеаризованного (или линейного) уравнения Больцмана для задач с начальными и (или) граничными условиями. Пусть задано начальное значение, и пусть на твердых границах выполняется условие (2.14). Обозначим через кх и /12 два возможных решения задачи, а через г = 1г — / 2 их разность. [c.196]

Если произвольные постоянные А (e ) и B(s ), которые предполагаются зависящими от величины e , выбрать так, чтобы до момента теплового воздействия на тело (то) удовлетворить начальному распределению температур в теле, а величину е определить из заданного граничного условия рассматриваемой задачи, то полученное решение дифференциального уравнения теплопроводности оказывается единственным. [c.158]

Формулы (2.5), (2.6) и (2.10), где о является решением уравнения (2.6), и служат для решения задачи. Однако уравнение Лапласа имеет много решений, и чтобы выбрать из них то единственное, которое нам нужно, надо обратиться к граничным и начальным условиям. [c.404]

Задача состоит в том, чтобы привести систему определяю-Ш.ИХ уравнений, граничных и начальных условий к безразмерному виду и выявить те безразмерные параметры или функции, от которых зависит решение (или вообще течение). Очевидно, что если для разных течений эти параметры, или, как их называют, критерии подобия, будут совпадать, то вследствие предполагаемой единственности решения будут одинаковыми и зависимости безразмерных функций (4.2.2) от безразмерных переменных (4.2.3). Такие течения называются подобными. В новых переменных уравнения движения, неразрывности и энергии не изменяют вида (производные в операторах градиента и дивергенции взяты по безразмерным переменным) [c.113]

Вернемся теперь к вопросу о единственности решения наших основных задач. Пусть какая-либо из них допускает два решения с одинаковыми граничными и начальными условиями и одинаковыми объемными силами. Составим разность этих двух решений (ср. 20). Полученное новое решение и, V, V)) будет удовлетворять тем же уравнениям, что и два данных, но при отсутствии объемных сил кроме того, в случае первой задачи будем иметь [c.84]

В работе [10] проблема существования решения системы уравнений термоупругости рассматривается для анизотропного неоднородного тела. Задача определяется заданием смешанных однородных граничных условий для перемещений, напряжений, температуры и теплового потока и начальных данных для перемещений, скорости перемещений и температуры. Условия, при которых рассматривается существование единственного решения, следующие 1) существенные нижние границы для плотности и удельной теплоемкости больше нуля, 2) выполняется неравенство Клаузиуса—Дюгема о положительности произведения теплового потока на градиент температуры, 3) оператор теории упругости является положительно определенным для принятых граничных условий. Существование единственного обобщенного решения на конечном промежутке времени доказано в пространстве функций с конечной энергией, в котором перемещения суммируемы с квадратом и имеют суммируемые с квадратом первые производные, температура суммируема с квадратом и суммируем интеграл по времени от квадратов производных температуры по координатам. Вместе с тем показано, при каких условиях решение существует как классическое, т. е. имеет нужное количество непрерывных производных по координатам и времени. [c.239]

По теореме единственности решения (доказательство теоремы дано в приложении), если некоторая функция Т х, у, 2, х) удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности, начальным и граничным условиям, то она является единственным решением данной задачи. [c.30]

Таким образом, решение (7) удовлетворяет дифференциальному уравнению, начальным и граничным условиям и по теореме единственности является решением нашей задачи. Итак, [c.262]

Теперь вспомним о двух решениях и, и и . Их разность и есть решение полностью однородной задачи (в граничных и начальных условиях — нули, и в объеме /= 0). Поэтому и = О — единственность доказана. [c.72]

В математической физике (см., например, [96, 100]) вводится понятие корректности постановки задачи. Говорят, что математическая задача поставлена корректно, если ее решение (1) существует, (2) единственно, (3) непрерывно зависит от начальных и граничных условий (устойчиво). Понятие корректности существенно при установлении связи между реальными физическим процессом и его (идеализированной) математической формулировкой. [c.155]

Задачи с начальными и с граничными условиями (1) имеют единственное решение. Предположим, что существуют два решения их и иг, каждое из которых удовлетворяет как уравнениям задачи, так и всем дополнительным условиям. Тогда их разность из = их — иг удовлетворяет однородным уравнениям и, кроме того, нулевым начальным и граничным условиям. Однородность уравнений и отсутствие на границе тела либо напряжений, либо смещений в любом из трех ортогональных направлений свидетельствуют о том, что внешние силы не производят работы. Действительно, работа внешних объемных сил равна нулю, так как они отсутствуют. Работа же внешних сил, действующих на границу тела, [c.156]

Стремление сделать книгу как можно более физической диктовало также и выбор предпочтительных методов исследования. Уравнения турбулентного движения всегда оказываются незамкнутыми (содержащими больше неизвестных, чем уравнений), и поэтому задачи теории турбулентности обычно не могут быть непосредственно сведены к нахождению единственного решения некоторого дифференциального уравнения (или уравнений), определяемого известными начальными и граничными значениями. В этих условиях неизбежно приходится привлекать помимо уравнений движения какие-то дополнительные соображения. Нам представляется, что среди таких дополнительных соображений наиболее отчетливый физический смысл имеют соображения подобия (опирающиеся на инвариант ность условий задачи относительно некоторых групп преобразований) и соображения размерности (основанные на выделении физических параметров, влияющих на исследуемое турбулентное течение). Поэтому мы старались наиболее подробно осветить именно выводы из соображений размерности и подобия, которые могут применяться в теории турбулентности значительно шире, чем это обычно предполагается. Соответственно полуэмпирическим теориям турбулентности, использующим более специальные гипотезы, в книге уделено сравнительно немного места особенно кратко здесь изложены классические применения полуэмпирических теорий к течениям в трубах, каналах и пограничных слоях, подробно изложенные в известных монографиях С. Гольдштейна (1938), Л. Г. Лойцянского (1941) и Г. Шлихтинга (1951) (вместе с полуэмпирическими теориями свободной турбулентности , вовсе опущенными в нашей книге). Однако мы включили все же некоторые сравнительно новые и м цее известные применения полуэмпирических теорий и рассмотрен ряд применений полуэмпирической теории турбулентной [c.29]

В газовой динамике внешних и внутренних течений различают еще два класса задач прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении поля течения при заданной форме обтекаемого тела (для внешних задач) или канала (ддя внутренних задач) и заданных граничных условиях. Прямая задача сводится в общем случае к краевой задаче, для которой, как правило, не доказаны теоремы существования н единственности. Обратная задача состоит в определении поля течения при условиях, заданных на некоторой поверхности, и условиях в начальном сечении. При этом форма обтекаемого тела (или канала) не задана и определяется в процессе решения. Обратная задача сводится к задаче Коши. В обратных задачах о течении за отошедшей ударной волной задается форма ударной волны и в процессе решения находится форма обтекаемого тела. В обратной задаче теории сопла задается распределение скорости, например, па оси сопла, а поверхность сопла определяется в процессе решения. [c.34]

Предполагая, что решение задачи (10.1) при рассматриваемых начальных и граничных условиях существует и единственно, можно каждой реализации процесса a t) поставить в соответствие определенную реализацию поли и(х, t). Соответственно задачей вероятностного описания системы (10.1) будет задача определения вероятностных характеристик поля и(х, t) при заданной статистике процесса a t). [c.147]

Таким образом, получили замкнутую систему уравнений шесть уравнений и шесть неизвестных р, р, и Е (/=1, 2, 3). Вопрос об условиях существования и единственности решений для этой системы уравнений остается открытым. Начальные и граничные условия будем рассматривать в каждом конкретном случае в зависимости от рассматриваемой задачи. [c.75]

Естественно, возможно и другое сочетание граничных условий, допускаемое теоремами существования и единственности решения задач линейной теории упругости. Причем только при некоторых вариантах, как указано, например, Л. М. Флитманом [69], начально-краевая задача для полупространства распадается на две независимые. [c.354]

Скалярный потенциал ф, вообще говоря, связан с векторным потенциалом г1зг через граничные условия, что приводит к значительным математическим осложнениям. Несмотря на это, разложение перемещений вида (60) упрощает исследование, поскольку решение задачи с начальными и граничными условиями можно найти подбором подходящих частных решений уравнений (61а) и (616), выраженных через произвольные функции или интегралы от произвольных функций. Если эти функции можно подобрать так, чтобы удовлетворялись и граничные, и начальные условия, то тем самым будет получено точное решение. Это решение является единственным в силу теоремы [c.395]

Характеристики двигателей (1.1) и уравнения (1.10) (или (1.11)) в совокупности составляют уравнения движения неуправляемой машины. Задача динамического анализа неуправляемой машины может быть сформулирована следующим образом. Пусть йаданы законы изменения параметров Us(f), s = l,. .., I] требуется определить законы изменения некоторых выходных координат Xiit),. .., Решение этой задачи сводится к интегрированию 21 + п уравнений (1.1) и (1.10), содержащих 21 + п неизвестных (iji,. .., qi, 01,. .., 0 , Qi,. .., Qt) при этом должны быть заданы в достаточном количестве начальные условия или оговорены другие граничные условия, обеспечивающие единственность решения. В частности, при Us = onst может ставиться задача об определении установившегося движения машины. [c.13]

Выделение на заданном отрезке [а, Ь] единственного решения уравнения (4.19) возможно заданием не только начальных условий (4.20), но и различных граничных условий в точках avtb. Типичным примером такой задачи является краевая задача [c.102]

Для решения этой, в общем виде весьма сложной нелинейной системы уравнений в частных производных необходимо еще знать начальные и граничные условия задачи. Укажем, что в своей общей постановке вопрос об условиях существования и единственности решения составленной системы уравнений до сих пор не решен. Соответ-сгвующие условия обычио указываются в каждом отдельном случае. Отметим лишь одну характерную физическую особенность движения жидкостей и газов с внутренним трением. ]Лри обтекании неподвижного твердого тела вязкой жидкостью обращается в нуль не только нормальная компонента скорости (условие непроницаемости, имеющее место и в идеальной жидкости), но также и касательная компонента (условие прилипания жидкости к стенке или отсутствия скольжения жидкости по стенке). [c.479]

Если значения лрокэвольных постоянных Л В, которые зависят от , выбрать так, чтобы при х = 0 удовлетворить начальному распределению температур в теле, а 1произ1вольную величину S определить ив заданного граничного условия задачи, то полученное решение дифференциального зфавнения оказывается единственным. [c.26]

Вопрос об однозначной разрешимости трехмерной задачи в целом для любого времени, любых гладких дацных задачи и любых размеров области течения до сих пор остается открытым. Известно слабое решение Хопфа, однако, как показано в [84], класс слабых решений недопустимо широк, так как в нем нарушается единственность течения, что несовместимо с принципом детерминизма в классической механике. Если допустить существование хорошего решения в целом, то доказывается и его единственность. Так же доказывается непрерывная зависимость нестационарных решений от начальных данных и внешних сил, но только для конечных интервалов времени. Впрочем, в классе двумерных задач с нулевыми граничными условиями это доказано для произвольного интервала, грубо говоря, в такой формулировке если условия нулевые, а силы убывают, то и движение жидкости затухает. Для задач с неоднородными условиями непрерывной зависимости решения в целом от начальных данных, вообще говоря, нет, ибо как известно, при больших числах Рейнольдса стационарные течения могут терять устойчивость. Это, относится, например, к течению Пуазейля в плоском канале. [c.12]

В состав условий единственности входят также начальное и граничное распределения температур. Примем ради наглядности, что в начальный момент температура тела равномерна и равна причем внезапно температура на поверхности тела устанавливается на уровне и в дальне 1шем уже не изменяется. В этих условиях за масштаб разностей температур следует взять избыточную температуру (. о —Тогда = ( —/,,оД ( о — 4он)- Как видим, произвольно задаваемые величины и /, ,3 же включены в зависимую переменную 8 и самостоятельной роли также не играют. Следовательно, соответстве1шо принятой постановке задачи, решение уравнения (3-2) должно иметь такую обитую форму [c.47]

Решение этой задачи основано на использовании предыдущих результатов. Для области X < О начальные данные при < = О к уравнениям (1) имеют вид и =- О, с = q. В силу теоремы единственности 15.1 в области определенности решения этими начальными данными, офаничен-ной справа характеристикой с уравнением х = — ot, газ покоится и с = Со при всех i > 0. Непостоянное движение, примыкающее к этой области покоя вдоль указанной характеристики С , должно быть простой волной, а именно г-волной (теорема 2). Однако в области х > О при t = О находится вакуум и в ней с = 0. Поэтому никакая прямолинейная характеристика С-, не будучи линией вакуума, не может достичь полуоси i = О, х > 0 и имеется единственная возможность простая г-волна должна быть центрированной в точке (0,0). Поэтому решение должно даваться формулами (19), в которых величина го определяется условие.м на граничной характеристике С , где и = 0. Отсюда получается значение го = ст(со). Следовательно, решение задачи дается соотношениями [c.154]

Граничные условия симметричны относительно оси трубы. Из единственности решения следует, что если непрерывное решение существует, то оно должно быть также симметричным. Поэтому можно ограничиться рассмотрением верхней половины течения, изображенной на рис. 4. Граница струи и ось симметрии должны быть линиями тока, причем -ф = О иа. оси ц ф = тро -= родоуо на границе. Следовательно, задача ставится на плоскости потенциала в полуполосе П. = О ф фо, ср 0 как смешанная задача Коши с начальными данными при ср = О [c.274]

Неединственность решения статической линейной задачи может быть обусловлена тем, что равновесие тела нейтрально (неустойчиво). Это может случиться, например, при действии цепных сил (напряжений, входящих в качестве параметров в уравнения (3.2), которые оказываются линейными относительно дополнительных перемещений и напряжений, если цепные силы не зависят от искомых функций). При этом решение соответствующих динамических задач единственно. Действительно, если равновесие неустойчиво, то в отношении некоторых (низших) форм отклонения однородные уравнения допускают решения вида % (х, у, z) ехр (ant), Rea O или tVfi (х, у, г) (нейтральное равновесие). Предположим теперь, что уравнениям задачи с определенными начальными и граничными условиями удовлетворяют два решения, и рассмотрим их разность и (/, х, у, г), которая в силу линейности задачи удовлетворяет нулевым начальным и однородным граничным условиям. Предположим, кроме того, что степень неустойчивости (Rean) равномерно ограничена, т. е. Rea М, где М не зависит от п. Например, при изгибе стержня, свободно опертого в точках л = О, л и сжатого силой Q, уравнение [c.158]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...