Существование и единственность решений

Действительно, если силы, стоящие в правых частях уравнений (2), не зависят от ускорений точек, то система, представленная в форме (2), разрешена относительно старших производных. Для систем такого рода (систем типа Коши) в теории дифференциальных уравнений установлены теоремы существования и единственности решения при заданных начальных данных. Эти теоремы утверждают, что при некоторых нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части дифференциальных уравнений, существует решение этих уравнений, причем задание начальных данных — координат qj и скоростей qj, число которых соответствует порядку системы, — полностью определяет это решение, т. е. в нашем случае — последующее движение. [c.136]

О существовании и единственности решений по начальным данным Если на этот вопрос будет получен положительный ответ, то это будет означать, что уравнения Лагранжа удовлетворяют тем естественным требованиям детерминированности движения, [c.137]

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

В силу теоремы существования и единственности решения уравнений (6.1) интегральные кривые не мог ут пересекаться и, следовательно, все другие решения находятся внутри полос, образуемых решениями х х , л = [c.215]

В этом разделе краевые задачи будут преобразованы в удобные для построения решений на ЭВМ, а также для доказательства теорем о существовании и единственности решения. [c.108]

Следовательно, на основании теоремы II.1 приложения И имеем существование и единственность решения задачи (2.452) — [c.117]

Из теоремы II. 1 приложения II следует существование и единственность решения задачи (2.463) — (2.464) в Ю Q,), из теоремы И.2 —ее эквивалентность задаче минимизации функционала (2.461) на V = /7 (Q), из теоремы 11.3 —задаче решения вариационного уравнения (2.462) на Н 0.). [c.118]

По теореме Лакса — Мильграма имеем существование и единственность решения задачи (2.495) — (2.496) в V, по теореме П.2 — ее эквивалентность задаче минимизации функционала [c.124]

Заметим прежде всего, что при и Va существование и единственность решения вытекает из результатов И.З приложения II. Рассмотрим случай, когда для всех а=1.....М, [c.294]

Используя результаты П.З (см, приложение), заключаем, что для существования и единственности решения поставленной задачи достаточно потребовать, чтобы [c.301]

Отметим, что при исследовании вопроса о существовании и единственности решения наибольшие трудности возникают при проверке условий непрерывности (в соответствующем смысле) функционала J (v), в свою очередь связанные с исследованием регулярности решений получаемых краевых задач [типа (5.432) — (5.434), (5.449), (5.455) и т. д.] ввиду сложности эти вопросы здесь не затрагиваются. [c.307]

Для того чтобы при исследовании вопроса о существовании и единственности решения задачи вида (11.11, (П.2) воспользоваться известными из общей теории теоремами, эти задачи необходимо прежде всего представить в виде операторных уравнений в подходящих функциональных пространствах [c.325]

В доказательстве существования и единственности решени краевых задач вида (11.1) — (И.2) основную роль играет следующая теорема [c.327]

Доказательство. Из замкнутости в F следует симметричность, непрерывность и положительная определенность формы а(и , Vfi) на Кд (предполагается, конечно, что норма в Vh индуцирована из V). По теореме II. 1 предыдущего параграфа имеем существование и единственность решения задачи (11.51). [c.331]

При исследовании вопроса о существовании и единственности решения задач минимизации [c.336]

Предполагается, что все условия, обеспечивающие существование и единственность решения, выполнены условия, достаточные для сходимости соответствующего метода, будут сформулированы (без доказательства). [c.340]

Если множество К ограничено в V (или решение и достигается в точке, отстоящей от начала координат на конечном расстоянии), множество К не пусто и выполнены условия теоремы о существовании и единственности решения задачи (11.123), то существует единственное решение Ug задачи (11.137) ug- u при е->0, где и —решение задачи (II.123) Ug —решение задачи (11.137). [c.343]

При выполнении условий теоремы о существовании и единственности решения задачи (11.123) решение Mg задачи (11,140) существует и единственно при любом 8>0 и, кроме того, u -f и при г->-0. [c.343]

Поэтому представляет инте)рес определить условия для й, А, Ь, В, при выполнении которых невозмущенное движение а = О, а = О будет асимптотически устойчиво при любых законах изменения функций а и Р в заданных границах. (Считая, что функции аир изменяются произвольным образом, мы предполагаем, конечно, что для всех t, X, X из области (7.24) они удовлетворяют условиям существования и единственности решения уравнения [c.225]

Математические вопросы решения уравнений газовой динамики изучаются в специальных разделах математики в математической физике (вопросы постановки задачи, исследования существования и единственности решения и др.), в вычислительной математике (методы построения решения, построение алгоритма вычислительного процесса и др.). Для успешного численного решения задач требуется также знание алгоритмических языков, программирования, умение работать с ЭВМ в диалоговом режиме. [c.266]

На основании теоремы существования и единственности решения задач теории упругости можем сделать заключение, что совокупность двух бесконечных систем линейных уравнений (7.68), [c.195]

Суммируя изложенное, можно констатировать, что одинаковые безразмерные дифференциальные уравнения, описывающие группу гидродинамических процессов, вместе с безразмерными условиями однозначности (начальными и граничными условиями), а также одинаковые значения критериев подобия являются необходимыми условиями механического подобия. Доказать их достаточность удается не во всех случаях, так как это связано с вопросом о существовании и единственности решений уравнений Навье — Стокса. Рассмотрим этот вопрос подробнее. [c.123]

Допустим, что для изучаемого класса течений теорема существования и единственности решений уравнений Навье — Стокса доказана. Зафиксируем конкретные значения критериев (5.89) и сформулируем в безразмерных величинах условия однозначности для безразмерных уравнений Навье — Стокса. Тогда решив их, получим единственное решение, в которое в качестве параметров войдут зафиксированные значения чисел Fr, Ей, Re, Sh. Это решение определит целый класс физически реальных процессов, размерные параметры которых в сходственных точках будут отличаться только численными множителями, а безразмерные будут одинаковыми. Иначе говоря, получим класс механически подобных потоков. [c.123]

Суммируя изложенное, можно констатировать, что одинаковые безразмерные дифференциальные уравнения, описывающие группу гидродинамических процессов, вместе с безразмерными условиями однозначности (начальными и граничными условиями), а также одинаковые значения критериев подобия, являются необходимыми условиями механического подобия. Естественно, возникает вопрос о достаточности этих условий. В полном и общем решении этого вопроса имеются значительные трудности, поскольку это решение связано с вопросом о существовании и единственности решений общих уравнений Навье — Стокса. Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. [c.132]

Допустим, что для изучаемого класса течений теорема существования и единственности решений уравнений Навье — Стокса доказана. [c.132]

Отметим, что условие (3.3) выполняется, если функция / имеет в D непрерывные частные производные по у, у, . .., / . Таким образом, существование и единственность решения задачи Коши обусловливается достаточной гладкостью функции / в окрестности начальных условий. [c.97]

Для краевой задачи это не так. Для нее существование и единственность решения зависит не только от свойств функции f, но также от способа задания краевых условий. Так, например, уравнение [c.97]

К сожалению, для общей постановки пространственных начально-граничных задач теории упругости в настоящий момент отсутствуют исчерпывающие результаты, относящиеся к вопросу о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих существование и единственность решения в зависимости от класса допускаемых краевых условий и ограничений на граничную поверхность. Однако существуют и иные (неклассические, обобщенные) постановки задач теории упругости, определяемые тем математическим аппаратом, который применяется для их решения ). [c.243]

Таким образом, доказаны строго существование и единственность решения задачи о сильном взрыве. [c.204]

Третья теорема исходит из предположения, -что явления протекают в геометрпчески подобных системах (поэтому геометрическое подобие систем есть первое необходимое условие для существования подобия), что для рассматриваемого явления можно составить дифференциальные уравнения, что установлено существование и единственность решения уравнения при заданных граничных условиях, что известны численные значения коэффициентов и физических параметров, входящих в дифференциальное уравнение. [c.417]

Здесь у - вектор, координатами которого являются вещественные параметры, характеризующие движение рассматриваемой системы координаты, скорости или функции этих величин. Векторч )ункция У(у, г) является известной функцией вектора у, а также времени г и удовлетворяет условиям существования и единственности решения. [c.81]

Число аргументов в f таких уравнениях для f-фазной системы равняется числу термодинамических сил или числу различных контактов между фазами. При N подвижных компонентах и К слагаемых VjdXj в (9.43) оно будет 1+/(+Л . Число различных уравнений Гиббса—Дюгема совпадает с числом фаз. Следовательно, необходимое условие существования и единственности решения системы линейных уравнений (9.44) для гетерогенной смеси фаз относительно dZ, [c.136]

Уравнения движения материальной точки удовлетворяют принципу детерминированности Ньютона, что эквивалентно выполнению условий существования и единственности решений задачи Кошй для соответствующей системы дифференциальных уравнений. Поэтому каждой совокупности начальных условий отвечает одно движение. [c.172]

Задача (2.404) — (2.405) представляет собой простейшую краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Разумеется, для исследования вопроса о существовании и единственности решения этой задачи можно было бы воспользоваться надлежащими теоремами из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, однако здесь будет использована теория, изложенная в приложении II, с тем чтобы потохм построить естественные обобщения на случай более сложных задач для уравнений с частными производными. [c.109]

Неравенства вида (П.33) называются вариационными-, теория существования и единственности решений этих неравенств была построена в работах Лионса и Стампаккья. [c.329]

В этих уравнениях. . ., У — известные функции переменных (/[,. . у а времени t, удовлетворяюнще условиям существования и единственности решения. Если все функции Y 1с не зависят явно от времени t, то система называется автоном1юй, в противном случае — неавтономной. Заметим, что при решении конкретных задач урав-тгения движения не обязательно приводить к виду (1.1), в частности, их можно представить как одно или несколько уравнений высшего порядка. [c.13]

Следовательно, сформулированные выше условия в данном случае оказываются не только необходимыми, но и достаточными для существования механического подобия. Однако такое заключение нельзя распространить на произвольное движение вязкой жидкости, поскольку теорема существования и единственности решения уравнений Навье — Стокса доказана хотя и для многих, но все же частных классов движения. В общем случае необходимые и достаточные условия подобия не определены. Правда, это не исключает возможности практического использования теории подобия. В практике при постановке эксперимента существование и единственность группы потоков, подобных натурному, предполагают apriori, модель выполняют, исходя из необходимых условий подобия, и ее принадлежность к указанному классу проверяют на основе сопоставления частично известных натурных данных с результатами измерений на модели. [c.123]

Доказательство существования и единственности решения задачи излагается в 1 гл. VIII. [c.597]

Замечание. Отметим, что система уравнений (4.12) имеет осЬбенность при i = 0 в силу того, что pi (0, 0) = 0. Поэтому для существования и единственности решения системы уравнений [c.97]

В данном примере мы получили решение, задавая граничные условия в точности такого вида, что если бы мы имели дело с классической теорией упругости, то наша задача была бы корректно поставленной. Хотя никаких общих теорем, ка-саюш,ихся существования и единственности решения смешанных краевых задач для идеальных композитов не доказано, мы можем предполагать, что совокупность граничных условий корректно поставленных задач обычной теории упругости будет приводить также к корректно поставленным задачам для идеальных композитов при условии, что и задано не более чем в одной точке каждого волокна, а v задано не более чем в одной точке каждой нормальной линии. [c.296]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...