Существование и единственность

Возможности решения уравнений обобщенной модели ЭМП определяются основными положениями теории обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений. Теоремы существования и единственности гарантируют однозначное решение на некотором интервале времени при условии непрерывной дифференцируемости переменных и непрерывности коэффициентов уравнений в зависимости от времени. Получаемые при этом решения, в свою очередь, являются непрерывными функциями времени. [c.62]

Действительно, если силы, стоящие в правых частях уравнений (2), не зависят от ускорений точек, то система, представленная в форме (2), разрешена относительно старших производных. Для систем такого рода (систем типа Коши) в теории дифференциальных уравнений установлены теоремы существования и единственности решения при заданных начальных данных. Эти теоремы утверждают, что при некоторых нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части дифференциальных уравнений, существует решение этих уравнений, причем задание начальных данных — координат qj и скоростей qj, число которых соответствует порядку системы, — полностью определяет это решение, т. е. в нашем случае — последующее движение. [c.136]

О существовании и единственности решений по начальным данным Если на этот вопрос будет получен положительный ответ, то это будет означать, что уравнения Лагранжа удовлетворяют тем естественным требованиям детерминированности движения, [c.137]

Если мы хотим, чтобы при этом движение по-прежнему определялось из уравнений Лагранжа однозначно (по начальным данным), то мы не можем произвольным образом, без всяких ограничений, постулировать лагранжиан L как функцию q, q w t. Действительно, основная теорема лагранжева формализма была доказана в предположении, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, имеет вполне определенную структуру. Если лагранжиан задается каким-либо иным образом и имеет другую структуру, основная теорема лагранжева формализма, вообще говоря, не выполняется. Следовательно, вообще говоря, уравнения Лагранжа, полученные при этой иной функции Лагранжа, могут оказаться неразрешимыми относительно старших производных, и для них уже не будет верна теорема о существовании и единственности решения при заданных начальных данных. Для того чтобы сохранить это важное свойство уравнений Лагранжа, надо ограничить выбор лагранжиана L при его аксиоматическом задании. Легко видеть, что это ограничение должно быть представлено в форме [c.165]

В силу теоремы существования и единственности решения уравнений (6.1) интегральные кривые не мог ут пересекаться и, следовательно, все другие решения находятся внутри полос, образуемых решениями х х , л = [c.215]

Большинство задач расчета равновесного состава, интересующих практику, естественно, не может быть решено подобным наглядным способом и не относится к задачам линейного программирования. В сложных системах нелегко оценить достоверность полученного результата по значениям рассчитанных неизвестных или выяснить причину, из-за которой счет не доходит до конца. Поэтому пр и использовании численных методов особо важное значение приобретает корректная постановка задачи, уверенность в существовании и единственности ее решения. Основанием для этого может служить ясное физическое содержание задачи. Но одного здравого смысла в новых, неизученных ситуациях бывает недостаточно, и хорошо, если он дополняется подходящими формальными критериями правильности выбранного пути решения. [c.184]

В этом разделе краевые задачи будут преобразованы в удобные для построения решений на ЭВМ, а также для доказательства теорем о существовании и единственности решения. [c.108]

Следовательно, на основании теоремы II.1 приложения И имеем существование и единственность решения задачи (2.452) — [c.117]

Из теоремы II. 1 приложения II следует существование и единственность решения задачи (2.463) — (2.464) в Ю Q,), из теоремы И.2 —ее эквивалентность задаче минимизации функционала (2.461) на V = /7 (Q), из теоремы 11.3 —задаче решения вариационного уравнения (2.462) на Н 0.). [c.118]

По теореме Лакса — Мильграма имеем существование и единственность решения задачи (2.495) — (2.496) в V, по теореме П.2 — ее эквивалентность задаче минимизации функционала [c.124]

Данный случай аналогичен разобранному выше случаю задачи Неймана для уравнения Пуассона и может быть исследован таким же образом, как это было сделано ниже излагается другой возможный путь исследования проблемы существования и единственности задач с условиями типа (2.515). [c.124]

Заметим прежде всего, что при и Va существование и единственность решения вытекает из результатов И.З приложения II. Рассмотрим случай, когда для всех а=1.....М, [c.294]

Используя результаты П.З (см, приложение), заключаем, что для существования и единственности решения поставленной задачи достаточно потребовать, чтобы [c.301]

Отметим, что при исследовании вопроса о существовании и единственности решения наибольшие трудности возникают при проверке условий непрерывности (в соответствующем смысле) функционала J (v), в свою очередь связанные с исследованием регулярности решений получаемых краевых задач [типа (5.432) — (5.434), (5.449), (5.455) и т. д.] ввиду сложности эти вопросы здесь не затрагиваются. [c.307]

Для того чтобы при исследовании вопроса о существовании и единственности решения задачи вида (11.11, (П.2) воспользоваться известными из общей теории теоремами, эти задачи необходимо прежде всего представить в виде операторных уравнений в подходящих функциональных пространствах [c.325]

В доказательстве существования и единственности решени краевых задач вида (11.1) — (И.2) основную роль играет следующая теорема [c.327]

Доказательство. Из замкнутости в F следует симметричность, непрерывность и положительная определенность формы а(и , Vfi) на Кд (предполагается, конечно, что норма в Vh индуцирована из V). По теореме II. 1 предыдущего параграфа имеем существование и единственность решения задачи (11.51). [c.331]

При исследовании вопроса о существовании и единственности решения задач минимизации [c.336]

Предполагается, что все условия, обеспечивающие существование и единственность решения, выполнены условия, достаточные для сходимости соответствующего метода, будут сформулированы (без доказательства). [c.340]

При достаточно малом шаге градиентные методы сходятся к решению при выполнении тех же предложений, что и в теореме существования и единственности. [c.341]

Данный метод называется методом точечной релаксации. Он является сходящимся при выполнении ограничения (11.128), предположения о непрерывной дифференцируемости функции J и условий теоремы существования и единственности. [c.341]

Если множество К ограничено в V (или решение и достигается в точке, отстоящей от начала координат на конечном расстоянии), множество К не пусто и выполнены условия теоремы о существовании и единственности решения задачи (11.123), то существует единственное решение Ug задачи (11.137) ug- u при е->0, где и —решение задачи (II.123) Ug —решение задачи (11.137). [c.343]

При выполнении условий теоремы о существовании и единственности решения задачи (11.123) решение Mg задачи (11,140) существует и единственно при любом 8>0 и, кроме того, u -f и при г->-0. [c.343]

Поэтому представляет инте)рес определить условия для й, А, Ь, В, при выполнении которых невозмущенное движение а = О, а = О будет асимптотически устойчиво при любых законах изменения функций а и Р в заданных границах. (Считая, что функции аир изменяются произвольным образом, мы предполагаем, конечно, что для всех t, X, X из области (7.24) они удовлетворяют условиям существования и единственности решения уравнения [c.225]

Математические вопросы решения уравнений газовой динамики изучаются в специальных разделах математики в математической физике (вопросы постановки задачи, исследования существования и единственности решения и др.), в вычислительной математике (методы построения решения, построение алгоритма вычислительного процесса и др.). Для успешного численного решения задач требуется также знание алгоритмических языков, программирования, умение работать с ЭВМ в диалоговом режиме. [c.266]

На основании теоремы существования и единственности решения задач теории упругости можем сделать заключение, что совокупность двух бесконечных систем линейных уравнений (7.68), [c.195]

Суммируя изложенное, можно констатировать, что одинаковые безразмерные дифференциальные уравнения, описывающие группу гидродинамических процессов, вместе с безразмерными условиями однозначности (начальными и граничными условиями), а также одинаковые значения критериев подобия являются необходимыми условиями механического подобия. Доказать их достаточность удается не во всех случаях, так как это связано с вопросом о существовании и единственности решений уравнений Навье — Стокса. Рассмотрим этот вопрос подробнее. [c.123]

Допустим, что для изучаемого класса течений теорема существования и единственности решений уравнений Навье — Стокса доказана. Зафиксируем конкретные значения критериев (5.89) и сформулируем в безразмерных величинах условия однозначности для безразмерных уравнений Навье — Стокса. Тогда решив их, получим единственное решение, в которое в качестве параметров войдут зафиксированные значения чисел Fr, Ей, Re, Sh. Это решение определит целый класс физически реальных процессов, размерные параметры которых в сходственных точках будут отличаться только численными множителями, а безразмерные будут одинаковыми. Иначе говоря, получим класс механически подобных потоков. [c.123]

Суммируя изложенное, можно констатировать, что одинаковые безразмерные дифференциальные уравнения, описывающие группу гидродинамических процессов, вместе с безразмерными условиями однозначности (начальными и граничными условиями), а также одинаковые значения критериев подобия, являются необходимыми условиями механического подобия. Естественно, возникает вопрос о достаточности этих условий. В полном и общем решении этого вопроса имеются значительные трудности, поскольку это решение связано с вопросом о существовании и единственности решений общих уравнений Навье — Стокса. Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. [c.132]

Третья теорема исходит из предположения, -что явления протекают в геометрпчески подобных системах (поэтому геометрическое подобие систем есть первое необходимое условие для существования подобия), что для рассматриваемого явления можно составить дифференциальные уравнения, что установлено существование и единственность решения уравнения при заданных граничных условиях, что известны численные значения коэффициентов и физических параметров, входящих в дифференциальное уравнение. [c.417]

Метод вспомогательных оторЗажений. Опнсанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а ииогд ) и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с т 1к называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [c.301]

Здесь у - вектор, координатами которого являются вещественные параметры, характеризующие движение рассматриваемой системы координаты, скорости или функции этих величин. Векторч )ункция У(у, г) является известной функцией вектора у, а также времени г и удовлетворяет условиям существования и единственности решения. [c.81]

Число аргументов в f таких уравнениях для f-фазной системы равняется числу термодинамических сил или числу различных контактов между фазами. При N подвижных компонентах и К слагаемых VjdXj в (9.43) оно будет 1+/(+Л . Число различных уравнений Гиббса—Дюгема совпадает с числом фаз. Следовательно, необходимое условие существования и единственности решения системы линейных уравнений (9.44) для гетерогенной смеси фаз относительно dZ, [c.136]

Уравнения движения материальной точки удовлетворяют принципу детерминированности Ньютона, что эквивалентно выполнению условий существования и единственности решений задачи Кошй для соответствующей системы дифференциальных уравнений. Поэтому каждой совокупности начальных условий отвечает одно движение. [c.172]

Задача (2.404) — (2.405) представляет собой простейшую краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Разумеется, для исследования вопроса о существовании и единственности решения этой задачи можно было бы воспользоваться надлежащими теоремами из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, однако здесь будет использована теория, изложенная в приложении II, с тем чтобы потохм построить естественные обобщения на случай более сложных задач для уравнений с частными производными. [c.109]

Неравенства вида (П.33) называются вариационными-, теория существования и единственности решений этих неравенств была построена в работах Лионса и Стампаккья. [c.329]

В этих уравнениях. . ., У — известные функции переменных (/[,. . у а времени t, удовлетворяюнще условиям существования и единственности решения. Если все функции Y 1с не зависят явно от времени t, то система называется автоном1юй, в противном случае — неавтономной. Заметим, что при решении конкретных задач урав-тгения движения не обязательно приводить к виду (1.1), в частности, их можно представить как одно или несколько уравнений высшего порядка. [c.13]

Следовательно, сформулированные выше условия в данном случае оказываются не только необходимыми, но и достаточными для существования механического подобия. Однако такое заключение нельзя распространить на произвольное движение вязкой жидкости, поскольку теорема существования и единственности решения уравнений Навье — Стокса доказана хотя и для многих, но все же частных классов движения. В общем случае необходимые и достаточные условия подобия не определены. Правда, это не исключает возможности практического использования теории подобия. В практике при постановке эксперимента существование и единственность группы потоков, подобных натурному, предполагают apriori, модель выполняют, исходя из необходимых условий подобия, и ее принадлежность к указанному классу проверяют на основе сопоставления частично известных натурных данных с результатами измерений на модели. [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...