Компактное многообразие отрицательной кривизны

К. Геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны. Пусть М — компактное риманово многообразие, кривизна которого в каждой точке по каждому двумерному направлению отрицательна (такие многообразия существуют). Рассмотрим движение материальной точки массы 1 по многообразию М по инерции, вне поля действия всевозможных внешних сил. функция Лагранжа этой системы равна кинетической энергии, равна полной энергии и является первым интегралом уравнений движения. [c.277]

Классические системы 11 Коммутатор Ли 237 Компактное многообразие отрицательной кривизны 63, 168, 177 Координаты действие-угол 94, 209, 211 [c.279]

Книга [5] посвящена У-системам — естественному классу дифференциальных уравнений иа многообразиях, обладающих свойством структурной устойчивости. В этот класс входят, в частности, геодезические потоки иа компактных многообразиях отрицательной кривизны. [c.141]

Рассмотрим, например, векторное поле, задающее геодезический поток на компактной поверхности отрицательной кривизны. Как указано выше, фазовые кривые этого потока устроены весьма сложно почти каждая из них всюду плотно заполняет трехмерное многообразие уровня энергии. У этого потока бесконечно много замкнутых траекторий, и множество точек замкнутых траекторий также всюду плотно в трехмерном многообразии уровня энергии. [c.279]

Геодезические потоки компактных римановых многообразий отрицательной кривизны [c.63]

Теорема Лобачевского-Адамара 14.3. Пусть V — связное компактное риманово многообразие отрицательной кривизны. Тогда геодезический поток на касательном унитарном расслоенном пространстве М = ТхУ — У-система. [c.64]

Следствие 17.12. Геодезический поток на унитарном расслоенном пространстве, касательном к компактному риманову многообразию отрицательной кривизны, есть К-система. [c.78]

Теорема П21.21. Пусть W — компактное, связное риманово многообразие отрицательной кривизны. Тогда геодезический поток на TiW является У-потоком, [c.187]

Многообразия отрицательной кривизны. Пусть Q — компактное риманово многообразие размерности р отрицательной кривизны, т.е. для любого x%Q кривизна / (ui,i 2) в любом двумерном направлении, определяемом двумя линейно независимыми векторами v, V2 3 x, удовлетворяет неравенству [c.157]

Теорема 4.1. Геодезический поток на компактном римановом многообразии отрицательной кривизны является потоком Аносова. [c.157]

Теорема 4.2. Пусть 5 — геодезический поток на компактном римановом многообразии отрицательной кривизны. Тогда [c.159]

Для поверхностей высшего рода роль плоской метрики, как метрики для сравнения в случае тора, играет метрика постоянной отрицательной кривизны. Такие метрики рассматривались в 5.4. Позднее мы покажем, что для любой такой метрики число замкнутых геодезических (которые в этом случае минимальны) растет экспоненциально с очень точной асимптотикой (см. теорему 18.5.7 и теорему 20.6.9 [ ]). Универсальное накрытие может рассматриваться как диск Пуанкаре преобразования накрытия суть дроб -линейные преобразования. Метрика на М поднимается до метрики на М, инвариантной относительно преобразований накрытия. Поскольку многообразие М компактно, такая метрика определяется своим ограничением на компактную фундаментальную область. Так как преобразования накрытия сохраняют и метрику Пуанкаре, и данную метрику, они равномерно эквивалентны, так что отношение индуцированных расстояний ограничено константами С и 1/С. Это означает, что количество N(T) минимальных геодезических, длина которых не превосходит Т, удовлетворяет неравенству N T) Ng T/ ), где % — соответствующее число для метрики постоянной кривизны. Поэтому JV(T) ограничено снизу некоторой экспонентой. [c.384]

Геодезические потоки на компактных римановых многообразиях отрицательной секционной кривизны [c.551]

Теперь мы перейдем от детального и весьма непосредственного описания геометрии и динамики геодезического потока на гиперболической плоскости и ее компактных факторах к обсуждению геодезических потоков на произвольных компактных римановых многообразиях отрицательной секционной кривизны. Главная цель этого параграфа состоит в том, чтобы показать, что эти потоки являются потоками Аносова. [c.551]

Докажите, что фундаментальная группа 5Г (М) компактного многообразия, допускающего метрику отрицательной секционной кривизны, растет экспоненциально, т. е. для любой конечной системы Г образующих я [(М) число элементов 7 е ТГ (М), которые могут быть представлены словами длины, не превосходящей п, растет с ростом п экспоненциально. [c.554]

Теорема 20.6.10 (теорема Маргулиса). Пусть М — компактное риманово многообразие отрицательной секционной кривизны, G[t) — число различных замкнутых геодезических длины не более чем t и h— топологическая энтропия геодезического потока. Тогда lim G(i)2i/ie " = [c.656]

Если многообразие V компактно, то непрерывность кривизны сечения р(в1, 62) обеспечивает существование отрицательной постоянной такой, что [c.63]

Замечание П12.6. Поскольку та часть времени, которую точка эргодической системы проводит в области Л, пропорциональна мере этой области, естественно поинтересоваться величиной дисперсии. Некоторые результаты получил Синай [1]. Например, пусть (ТхХ , /х, (рг) — геодезический поток на компактной поверхности V отрицательной кривизны, А — область многообразия ТхУ, ограниченная кусочно дифференцируемой поверхностью. Тогда разность между средним временем, которое точка (ргх проводит в области А, и мерой области А распределена по закону Гаусса и удовлетворяет центральной предельной теореме [c.135]

Инвариантность расслоений сводит исследование дифференциала (р к исследованию его ограничений на Ж и) (соотв. Ж и)) и 7(w). Теперь, в завершение предположим, что V является универсальным накрытием W компактного риманова многообразия W отрицательной кривизны. В частности, кривизна V ограничена сверху отрицательной постоянной —к . [c.184]

Затем мы перенесем понятие гиперболического множества и системы Аносова на случай непрерывного времени ( 17.4) и обсудим очень важный класс потоков Аносова, а именно геодезические потоки на компактных римановых многообразиях с отрицательной секционной кривизной. Сначала, в 17.5, будут рассмотрены исходные двумерные примеры, которые уже встречались нам в п. 5.4 е, а затем мы перейдем к общей ситуации ( 17.6) и в 17.7 опишем общий класс алгебраических примеров. [c.533]

Докажите, что для компактного п-мерного многообразия постоянной отрицательной секционной кривизны —к (к >0), т. е. компактного фактора вещественного гиперболического пространства КН , топологическая энтропия геодезического потока равна (т — 1)А . [c.559]

Другой распр остраненный механизм неинтегрируемости связан с появлением подковы Смейла (5. 5та1е) (см. гл. 7, 2), т. е. подмножества фазового пространства, в котором ди-шамика обладает специальными свойствами неустойчивости. По мере удаления от интегрируемости множество, занятое инвариантными торами, уменьшается, а множество , заполненное не- интегрируемой частью со сложным поведением траекторий, растет. Пределом можно считать динамические системы, обладающие самыми сильными статистическими свойствами на всем фазовом пространстве. Наиболее важными примерами таких систем служат геодезические потоки на компактных многообразиях отрицательной кривизны, биллиарды в областях с выпуклой внутрь границей (см. гл. 7 и 8) и некоторые одномер--ные отображения (гл. 9). В основе исследования эргодических свойств подобных систем лежит понятие гиперболичности, которое подробно обсуждается в главе 7, 1. [c.116]

Мы видим, что с помощью методов теории динамических систем можно получить важную информацию о геометрических свойствах компактных многообразий отрицательной кривизны, а именно плотность, асимптотическое число И распределение замкнутых геодезических, существование всюду плотных геодезических, всюду плотность устойчивых и неустойчивых орисфер и ряд других. [c.159]

По теореме Лобачевского Адамара (14.3) геодезический поток есть У-система. Следовательно, по теореме 17.9, он эргодичен. По, как показывает следствие П16.10 (приложение 16), геодезический поток не имеет непрерывной собственной функции . Тем самым исключается вторая возможность теоремы 17.11. Таким образом, из теоремы 17.11 мы заключаем, что геодезические потоки на унитарных расслоенных пространствах Т1У, касательных к компактным римановым многообразиям отрицательной кривизны, являются Г-системами. Следовательно, они обладают положительной энтропией (теорема 12.31, гл. 2), имеют бесконечный лебеговский спектр (теорема 11.5, гл. 2), являются пере-мешиванием (теорема 10.4, гл. 2) и эргодичны (следствие 8.4 гл. 2). [c.78]

Последние два параграфа имеют несколько другой характер. Цель, которую мы в них преследуем, состоит в том, чтобы получить мультипликативную асимптотику роста числа замкнутых орбит для топологически перемешивающих потоков Аносова и, следовательно, подобную асимптотику числа замкнутых геодезических на компактном римановом многообразии отрицательной секционной кривизны с помощью метода, предложенного Маргу-лисом. Мы достигнем этой цели, используя альтернативное описание меры максимальной энтропии, которое содержится в 20.5. В 20.6 мы получим нужную мультипликативную асимптотику аналогично тому, как это было сделано в диссертации Толла. Ни первоначальное доказательство Маргулиса, ни работа Толла ранее не публиковались. [c.616]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...