Гиббсовские распределения

Теперь, если /5 = /5 = квазиравновесный статистический оператор совпадает с равновесным (гиббсовским) распределением при температуре Т = 1//5. Однако Qq t) может описывать и сильно неравновесное состояние системы, в котором обратные температуры Pi t) и / 2( ) имеют смысл множителей Лагранжа, определяемых из условий самосогласования [c.91]

Таким образом, исходя лишь из одного факта гиббсовского распределения, совершенно независимо от основных аргументов п. а и б, можно заключить, что размешивания могло бы не быть лишь в очень частных случаях (мы оставляем сейчас в стороне вопрос о том, могут ли вообще быть такие случаи). [c.34]

Заключение о размешивающемся характере статистических систем является следствием представлений о релаксации. Следует отметить, что существуют еще более общие соображения, указывающие на ошибочность одной распространенной точки зрения. Мы имеем й виду точку зрения, согласно которой для применимости физической статистики, кроме принципа равновероятности начальных микросостояний (см. 4), достаточно самых общих свойств динамических систем вместе с единственной дополнительной характеристикой фазового пространства, состоящей в том, что подавляющее большинство траекторий, исходящих из заданной макроскопической области, приводит к более равновесному состоянию (см. 4). Такая точка зрения позволяет объяснить возрастание энтропии в ближайшем будущем, но ничего не может дать для определения поведения системы за длинные промежутки времени, и, в частности, для определения характера временного ансамбля системы и асимптотического — при больших временах — состояния системы (состояния релаксации). В рамках такой точки зрения, кроме того, невозможно объяснить, почему статистика применима к одним системам и не применима к другим, т. е. н е в о з м о ж-но определить границы приложимости физической статистики. Например, не может быть дан ответ на вопрос о том, почему части какого-нибудь сложного механизма (например, механического станка, очевидно целиком подпадающего под условия, на которых основана рассматриваемая точка зрения), не имеют во времени гиббсовского распределения по энергиям, или на вопрос о том, почему не устанавливается статистическое равновесие внутри неравномерно движущихся систем. [c.34]

Отметим еще два простых соображения, направленные против возможности последовательного проведения теории влияния внешней среды . Основной принцип кинетики — Н-тео-рема — справедлив только при соблюдении главного условия— изолированности системы. Поэтому его можно обосновать, лишь исходя из идеализации изолированной системы. Кроме того, теория, которая объясняла бы существование законов статистики действием внешней среды и не опиралась бы на определенные динамические свойства статистических систем, не могла бы определить границу приложимости статистики. Такая теория не могла бы, в частности, объяснить, почему для одних механических систем после некоторого времени наступает состояние релаксации (например, гиббсовское распределение энергии между частями), а для других систем не наступает. Это замечание до известной степени аналогично приведенному в И аргументу. [c.130]

В статистической механике а,- = — Ес, энтропия обозначается 5, а средняя энергия Е. Таким образом, гиббсовское распределение максимизирует величину [c.13]

Теория крыльев спектральных линий [20, 21] позволяет радикально упростить задачу и продвинуться по пути улучшения количественного согласия между теорией и экспериментом. Это удается сделать благодаря последовательному использованию разделения переменных, связанных с внутренними движениями в молекулах и движением центров масс, а также применению асимптотических методов в области больших смещенных частот. Применение метода полуклассического представления [15] приводит к появлению в выражении для х(о)) гиббсовского распределения с так называемым классическим потенциалом межмолекулярного взаимодействия (ММВ) в усреднении по траекториям. [c.95]

Гиббсовские распределения с общим потенциалом [c.233]

Определение гиббсовского распределения вероятностей на (А4, Ж), отвечающего потенциалу Ф, аналогично определению конфигурационного распределения Гиббса, данному в пункте 2.3. Главное отличие состоит в том, что вместо (Т-алгебр Qo и О.о рассматриваются ст-алгебры Ж0 и Ж0с соответственно, а мера [c.248]

Чтобы доказать существование (и единственность) гиббсовского распределения, отвечающего общему потенциалу Ф = = (ф(1), Ф ),. ..) на него налагают ряд условий. Ввиду громоздкости, мы не будем приводить сейчас точные формулировки таких условий в одном из возможных вариантов эти условия кратко обсуждаются ниже, в пункте 4.2. [c.248]

Естественно требовать, чтобы в класс мер, для которых определена эволюция, входили гиббсовские распределения, удовлетворяющие тем или иным ограничениям на потенциал (см. п.п. 2.3—2.6). В частности, если распределение Гиббса с потенциалом взаимодействия и и параметрами (г, р, ро) сосредоточено на М и не меняется при пространственном сдвиге в направлении вектора ро, то оно инвариантно относительно преобразований 5г (см. п. 4.1). [c.252]

Идеальный газ — это нулевое приближение в любой теории, связанной с учетом члена Яь в частности, в теории возмущений и ее модификациях. Необходимым моментом таких теорий является естественное условие, чтобы возможность точного аналитического расчета реализовалась не только по отношению к нулевому приближению, т.е. к расчету 2о и свободной энергии 3 = но и по отношению к поправкам, представляющим собой средние значения по гиббсовскому распределению для идеальной системы, характеризуемой гамильтонианом Яо. [c.139]

Определение 6.3. Мера в пространстве М называется гиббсовской относительно потенциала V, если для любого отрезка [а, Ь условная мера на х-почти всех С является условным распределением Гиббса. [c.67]

Для пространства Мп без всяких изменений вводится понятие условного распределения Гиббса и гиббсовской меры, пере- [c.69]

Наивно полагать, что упомянутое выше движение системы будет описываться как движение частиц и т.п., как это делается в механике. Микроскопическое состояние статистической системы мы определили в т. 2, гл. 1, 2 как смешанное состояние, в структуру которого входят все возможные возбужденные состояния системы (т.е. состояния, описываемые всем набором собственных функций оператора Гамильтона, Й фп = Еп фп), каждое из которых входит в структуру смешанного состояния с весом, для равновесных систем определяемым соответствующим распределением Гиббса. Оставаясь в рамках равновесной теории, мы уже не можем претендовать на описание динамики флуктуационных процессов располагая структурой гиббсовского смешанного состояния, мы можем оценить лишь амплитудный разброс параметров системы около их средних значений. Так как для проведения этих оценок нам придется пользоваться аппаратом теории вероятностей, напомним элементарные формулы и обозначения из этой области математики. [c.20]

Если структура смешанного состояния, т. е. распределение по микроскопическим состояниям, характеризуемым каждой из фп х), известна, например, определяется гиббсовской функцией распределения то среднее значение величины Р (ее математическое ожидание), которое мы обозначим чертой сверху, запишется как [c.21]

Таким образом, формализм кинетических функций распределения на том этапе, когда они перестают зависеть от времени, а распределение по импульсам становится максвелловским, автоматически переходит в формализм равновесных корреляционных функций F,(ri,..., г,), построенных на основе гиббсовской N-частичной функции распределения для классической системы [c.405]

Чтобы рассчитать с помощью большого канонического распределения дисперсию энергии (АЕ) , удобно использовать дифференциальный оператор, опускающий на основную строку энергию из показателя гиббсовской экспоненты [c.325]

Мы рассмотрели три гиббсовских распределения микрокано-ническое —для изолированных систем, каноническое —для неизолированных закрытых систем в термостате и большое каноническое— для неизолированных открытых систем в термостате. [c.206]

Действительно, постулат равновероятности относится к начальным состояниям динамических систем, и поэтому нет никаких логических оснований применять его к одному типу динамических систем и не применять к другому. Иначе говоря, проведение различия между разными типами систем по отношению к постулату равновероятности было бы совершенно необъяснимым нарушением стройности теории. Нетрудно видеть, что любая классическая теория не может содержать теорем, показывающих, что равновероятность микросостояний заданной области может быть получена (хотя бы для определенных типов систем) как следствие эволюции системы за предшествующее время при любых распределениях начальных состояний. Все равно возникает неизбежный в классической механике вопрос о том или ином распределении состояний, предшествующих эволюции, и о причинах, которые позволили бы провести в этом отношении различие между системами разных типов (см. 12 и 13). Но, приняв постулат равновероятности начальных микросостояний по отношению ко в с е м динамическим системам, мы неизбежно придем к следствиям, с самого начала стоящим в прямом противоречии с опытом. Например, если начальный опыт дал определенное значение энергии, то равновероятность микросостоянип выделенной поверхности равной энергии приводит к гиббсовскому распределению малых частей по энергиям. Если такой результат с первого взгляда и может показаться правдоподобным для систем, к которым мы применяем статистику, например для идеального газа (мы увидим в 14, что на самом деле этот результат и для таких систем несправедлив), то для систем, к которым статистика неприменима, например для системы частей [c.58]

Характерной чертой гиббсовского распределения (4.29) является гауссовость по импульсным переменным и статистическая независимость координат и импульсов частиц. [c.88]

Гиббсовские распределения с общим потенциалом. В этом пункте мы обсудим понятие гиббсовского распределения, соответствующее общему потенциалу , который зависит от положений и импульсов произвольных конечных наборов частиц. Такого рода обобщение важно, в частности, потому, что возникающие при этом вероятностные меры могут быть выделены в классе всех мер на (М, Ж) некоторыми условиями, связанными с убыванием корреляций в естественном смысле (см. [25]). Ввиду этого, возможности математических приложений гиббсовских распределений шире диктуемых физичесг кими традициями, и те или иные приводимые ниже результаты, верные для широкого класса таких распределений, можно считать довольно общими. [c.247]

При любом заданном числе частиц Nсистема интегрируется методом обратной задачи теории рассеяния (см. [44]). Поэтому здесь есть бесконечная серия нетривиальных сумматорных первых интегралов. В работе [44] рассмотрен простейший из этих интегралов, заданный в виде (10.49), при некотором явно выписываемом Ф. Доказаны существование и инвариантность гиббсовского распределения с потенциалом, вида рФ, р>0. [c.261]

Условия теоремы 5.2 можно проверить для гиббсовских распределений при условиях единственности (см. теоремы 2.2 и 2.3). Доказательство теоремы 5.2 основано на одном из вариантов предельной теоремы Пуассона для сумм слабозависимых случайных величин. [c.265]

Недавно результат теоремы 5.2 был усилен Виллмсом (J. Villms) [117], предложившим несколько более общий вариант условия (I). Отметим также работу [43], где рассматриваются абстрактные теоремы о сходимости к пуассоновской мере на пространстве (М, Ж) (см. п. 5.1). Из результатов, доказанных в [43], вытекает, что свойство (1) достаточно требовать от условного распределения Р - Ж ), порожденного мерой Р, относительно о-алгебры (см. п. 2.5). Это позюляет существенно расширить класс гиббсовских распределений, для которых выполнены условия теоремы о сходимости. [c.265]

Таким образом, для расчета интересующих нас флуктуаций необходимо подсчитать указанные средние — проблема, казалось бы, чисто математическая. Гиббсовское распределение w при этом использовать в принципе не обязательно. В некоторых простых задачах можно офаничиться даже использованием биномиального распределения и его частных случаев (см. задачи 1-5). Опыт предыдущих разделов курса-по исследованию равновесных статистических систем показывает, что необходимые средние значения по смешанному состоянию удается рассчитать только в некоторых редких случаях (например, дисперсию полной энергии системы (AJ ) , полного числа частиц ANy и др.). Для проведения необходимых оценок в целом ряде случаев эффективным оказывается метод корреляционных функций, широко применяемый при исследовании неидеальных равновесных систем (один такой пример мы рассмотрим в следующем парафафе), иногда же приходится использовать какой-либо аппроксимационный прием полуфеноменологического характера. [c.21]

Масштабы этих локальных флуктуаций и их эволюция должны быть непосредственно связаны с характеристиками релаксационных процессов в системе и их движущих сил, которые, по существу, управляют флуктуационИыми случайными отклонениями в системе. Таким образом (конечно, в принципе), для описания подобных шумов в системе необходимо использовать какие-то кинетические характеристики системы (которых в гиббсовском распределении нет вообще), хотя бы в форме задания коэффициентов переноса (диффузии, теплопроводности и т.п.) и характерных времен релаксации (т.е. уже каких-то усредненных величин, характеризующих эволюцию неравновесной системы). [c.22]

Переосмысление понятия термодинамич. предельного перехода привело к общему определению гиббсовского случайного поля, иначе — гиббсовской меры, или Шббса распределения, на фазовом пространстве бесконечной системы взаимодействующих частиц. Эта мера определяется своим гамильтонианом. В случае системы частиц с координатами qisR , импульсами pjG R , гамильтониан к-рой имеет вид [c.635]

Мера максимальной энтропии и распределение периодических точек. В работах данного сборника гиббсовские меры для А-снстем строятся с помощью марковских разбне-нин. Возможен н другой подход, развитый Боуэном в рабо тах [24], [25], [26], для мер с максимальной энтропией. При STOM подходе мера с максимальной энтропией получается как предел мер, сосредоточенных на периодических траекториях. [c.230]

Однако при рассмотрении полностью равновесных систем мы нашли в гл. 1 возможность описывать их микроскопические состояния (в форме смешанных квантовомеханйческих состояний) с помощью гиббсовской функции распределения го = , которая вообще не содержит никакой информации об этих переходах. Мы знаем, что переходы п п, динамическая причина которых 6Н не учтена в определяющем рассматриваемую систему гамильтониане Я, существуют обязательно, так как именно ойи все время (в рамках квазистатической в термодинамическом понимании теории) поддерживают гиббсовскую структуру смешанного состояния. В кинетической части курса (см. том 3) мы более подробно обсудим этот вопрос, а сейчас только заметим, что при стремлении системы к равновесному состоянию роль этих переходов в формировании такого состояния, несмотря на присутствие 6Н (т. е. генератора этих переходов), постепенно сходит на нет. В предельном случае статистического равновесия этих переходов как будто нет совсем, т.е. система чистых состояний п, описываемых собственными функциями оператора Гамильтона, = Еп фп, образует в этом смысле идеальную систему. (Напомним только, что в большинстве физически интересных случаев эти состояния, к сожалению, нам точно не известны.) Так как распределение через нормировочную сумму 2 (или через свободную энергию — -в1п2) определяет всю термодинамику системы, то присутствие этих релаксационных процессов вообще не отразится и на макроскопических характеристиках равновесной системы. [c.137]

Функция распределения магнитных моментов /t по углу является следствием гиббсовской формулы и>, утр проинтефированной по компонентам момента количества движения, углу <р ы нормированной на единицу. Она является вариантом классического больцмановского расЬределения [c.273]

В заключение хотелось бы остановиться на взаимоотношении кинетической теории с другим большим разделом статистической физики — с равновесной статистической механикой. В своем изложении мы апеллировали к результатам равновесной теории Шббса, используя их в качестве граничного условия при < —> оо и отсчитывая от равновесных распределений слабонеравновесные состояния и т.д. При этом, отводя гиббсовской статистике роль краеугольного камня, мы как бы забывали, что она сама нуждается в обосновании, причем именно со стороны микроскопической теории неравновесных состояний. [c.359]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...