Полутраектория положительная

Пусть одна из рассматриваемых полутраекторий положительна, например а другая — отрицательна — - [c.269]

Следствие. Если одна из полутраекторий положительна, а другая отрицательна, то а) либо между полутраекториями [c.326]

Одна из входящих в границу сектора g полутраекторий положительна, а другая отрицательна, и эти полутраектории не являются сепаратрисами. Поэтому в силу следствия из леммы 5 либо существуют лежащие в секторе g а- и со-сепаратрисы состояния равновесия О, либо в этом секторе лежит петля о. В последнем случае эллиптическая область ga отлична от области ga, так как эти области содержатся соответственно в двух областях g и g, не имеющих общих точек. Лемма доказана. [c.329]

Предположим, что точка О является общей точкой из менее чом двух кривых 81, и пусть при надлежащей нумерации— 51, г,. .., — те из кривых SJ, которые имеют точку О общей. Очевидно, в состав каждой из кривых (/ = 1, 2,. .., т) входят две стремящиеся к О полутраектории, положительная ЬХ и отрицательная (таких полутраекторий только две в том смысле, что всякая стремящаяся к О и входящая в состав кривой б з полутраектория либо является частью одной из полутраектории Lt, Ь с, либо содержит ее как часть). [c.436]

Окрестность V — поглощающая для всех полей v каждая положительная полутраектория поля с началом в U целиком принадлежит U. [c.39]

На формальном языке максимальные показатели и и. определяются следующим образом. Пусть (л , е)—деформация ростка 0) с особой точкой О, 4>jr,e—траектория поля )( , ) с началом л Фл ,е(0)=л . Если росток ( , е) устойчив, то существует поглощающая окрестность U положения равновесия. Если росток (-,е) неустойчив, то существует такая окрестность U положения равновесия, для которой найдется положительная полутраектория со сколь угодно малым начальным условием. [c.40]

Согласно широко распространенной гипотезе, предельное поведение траекторий типичной динамической системы на компактном многообразии описывается следующим образом. За конечное время каждая положительная полутраектория попадает в окрестность притягивающего множества — аттрактора. Если аттрактор достаточно массивен — отличен от конечного объединения особых точек и предельных циклов, — то поведение фазовых кривых на аттракторе и вблизи него хаотично. Аналогичная гипотеза имеется для диссипативных систем, фазовое пространство которых — компактное многообразие с краем, а поле системы направлено внутрь на краю. [c.156]

Скажем, что положительная полутраектория точки х под действием фазового потока проводит в среднем положительное время в области U, если относительная мера тех значений t из отрезка [О, Т], для которых g xGU, имеет неотрицательный верхний предел при Т- оо [c.158]

Более общим образом мы рассматриваем быстро-медленные системы, для которых особая точка уравнения быстрых движений при изменении медленных переменных теряет устойчивость с переходом пары собственных значений через мнимую ось. Для аналитических систем общего положения положительные полутраектории из некоторой области фазового пространства стремятся при е- -0 к фазовым кривым вырожденной системы, имеющим сравнимые по длине участки, один из которых расположен на устойчивой, а другой — на неустойчивой части медленной поверхности. Этим описываемые движения сходны с утками , рассмотренными ниже, в 5. [c.192]

Предел всей положительной полутраектории может состоять из конечного или бесконечного числа склеивающихся между собой простых вырожденных уток (последнее справедливо, в частности, для уток-циклов) вопрос в том, как склеиваются между собой простые утки, решается с помощью так называемой функции входа-выхода (см. [73], [128], [73 2]). [c.204]

Докажем теорему для положительной полутраектории Ф(р, t) 0предельная точка этой полутраектории. Тогда существует последовательность <1 < 2 < 4- ОО- такая, что [c.12]

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку р О и решение Ф(р, ). проходящее через эту точку при ==0. Пусть 2 — предельное множество положительной полутраектории Ф(р, 1). Ясно, что 2сО покажем, что справедливо и более точное соотношение 2 0. Предположим, напротив, что существует точка 2. лежащая на границе области О. Рассмотрим точку Ф д, где < 0. Множество 2 есть предельное множество для Ф(р, потому оно инвариантно, следовательно. Ф(д, 1) 2сО. По условию теоремы имеем Ф Ф д, ), — 1) = д Это противоречит предположению, сделанному о точке д. Полученное противоречие и доказывает, что 2 с О. Отсюда и из теоремы 18.2 следует, что существует точка г 2, через которую проходит периодическое решение Ф(г, () системы (.18.1). [c.292]

Теорема 20.1. Любая положительная полутраектория системы (20.5), целиком лежащая в одном из полупространств х О или X 0, стремится к началу координат. [c.319]

Рассмотрим положительную полутраекторию (п > 0) [c.304]

Если хотим найти приближенное расположение исходящей из точки ( о> Уо) дуги положительной полутраектории на фазовой плоскости системы [c.566]

Промежуточные моменты времени остаются неотмеченными. Этот ориентированный полигон указывает приблизительное расположение Г-дуги (или дуги временной длины Г), исходящей из точки (хд, уд) положительной полутраектории. [c.567]

Точку Мо мы иногда будем называть концом полутраектории. В дальнейшем нам часто придется рассматривать полутраекторию без указания на то, является ли она положительной или отрицательной. В этом случае мы будем обозначать полутраекторию через и или Ьщ. [c.35]

Определение И. Точка М называется предельной точкой положительной отрицательной) полутраектории ( ), если при всяком е > О и при всяком У > О е С/е М) имеется по крайней мере одна точка полутраектории Ь ) отличная от точки М или совпадающая с ней), соответствующая при любом выборе движения на траектории значению времени > Т С — Г). [c.103]

Из определения 11 следует, что если точка М является предельной точкой положительной полутраектории то либо а) существует последовательность различных точек полутраектории Ь+, соответствующих значениям времени к =1, 2,. . . ) таких, что М —>М, а >оо при к- оо, либо б) сама точка М соответствует бесчисленному множеству значений 1=1) таких, что — -1-оо при к—> оо. Аналогично обстоит дело с предельной точкой отрицательной полутраектории. [c.103]

Всякие две положительные (отрицательные) полутраектории, выделенные из одной и той же траектории, имеют одни и те же предельные точки. Рассматриваемые нами полутраектории (ограниченные на плоскости или произвольные на сфере) непременно имеют в силу компактности ограниченной замкнутой области или сферы по крайней мере одну предельную точку. Если полутраектория лежит целиком в области 0 с С, то и предельные точки ее принадлежат области С,. [c.103]

Определение III. Точка М называется предельной точкой траектории L, если она является предельной точкой для положительной полутраектории L+ или отрицательной полутраектории L, выделенной из L. В первом случае точка М называется также (о-предельной, а во втором [c.104]

Множество К всех предельных точек полутраектории L+ называется предельным множеством или предельным континуумом L+. В случае положительной (отрицательной) полутраектории это множество называют также (о-предельным (а-предельным) множеством или континуумом. Аналогично множество всех а (ш)-предельных точек траектории L называют а (ш)-предельным континуумом траектории L. Для обозначения предельных континуумов траекторий или полутраекторий мы будем иногда пользоваться символами К а и К , или Ка (L) и К а, (L). [c.106]

Л е м м а 4. Если точки пересечения полутраектории с дугой без контакта 1о расположены на части дуги о, лежащей по положительную отрицательную) сторону траекторий Ьо- то точки пересечения той же полутраектории Ь+ с дугой без контакта I также расположены на части дугу I, лежащей по положительную отрицательную) сторону от о- (На рис. 60 точки пересечения полутраектории Ь с дугами 1о и I лежат по отрицательную сторону от Ьо-) [c.110]

Определение IV. Мы будем говорить, что траектория Ьд является предельной для полутраектории и с положительной отрицательной) стороны, если на дугах без контакта, проведенных через точки траектории Ьо, тючки полутраектории и лежат по положительную отрицательную) сторону от Ьд. Мы будем также говорить, что траектория Ьо является со- или а)-предельной для траектории Ь с положительной стороны, если Ьо является предельной с положительной стороны для полутраектории Ь Ь ), выделенной из траектории Ь. [c.110]

Мы можем без ограничения общности считать, что V есть круг с центром в точке О, внутри и на границе которого не содержится других состояний равновесия кроме точки О (так как О — изолированное состояние равновесия). Обозначим граничную окружность круга II через а. Покажем сначала, что существует положительная или отрицательная полутраектория, целиком лежащая в 11. Допустим, что такой полутраектории нет. Пусть о — окружность с центром в О, лежащая в 7 (т. е. внутри а), М — произвольная ее точка, Ь — траектория, проходящая при 1=1 через М (рис. 70). В силу сделанного допущения траектория Ь выходит из области и как при убывании, так и при возрастании Рассмотрим дугу АВ этой траектории, где А — ближайшая по < к значению точка входа Ь в О, а В — ближайшая по к значению to точка выхода Ь из П (эта дуга кроме своих концов А и В, через которые траектория Ь входит в О и выходит из и, может иметь внутренние точки, лежащие на окружности о. Тогда в этих точках траектории Ь касается окружности а (рис. 70)). Обозначим расстояние от точки О до дуги АВ траектории В через / (М). f (М) является положительной функцией, определенной на окружности о. [c.118]

Пусть Ь — траектория, у которой положительная полутраектория ограничена. Пусть на Ь выбрано какое-нибудь движение. Пусть М — точка Ь, соответствующая при выбранном движении некоторому значению т, и Ь%1 — положительная полутраектория траектории , точки которой соответствуют значениям > т. [c.257]

Определение XIV. Мы скажем, что траектория Ь (о-ор-битно-устойчива в точке М, если для любого е > О можно указать такое б > О, что у всякой траектории Ь, проходящей при i = т через какую-нибудь точку М окрестности 11 М), положительная полутраектория Ь м соответствующая значениям < > т) лежит целиком в г-окрестности полутраектории Хм ). [c.257]

Полутраектория (положительная или отрииательная), не являющаяся орбитно-устойчивой, называется орбитно-неустойчивой полутраекторией. [c.259]

Пусть, как и выше, С/ (О) — Бо-окрестность состояния равновесия О, кроме О не содержащая целиком ни одной особой траектории. Криволинейные секторы gi, на которые сепаратрисы и полутраектории петель разделяют окрестность Ugg (О), подразделяются особыми полутраекториями, не являющимися сепаратрисами точки О, на более мелкие криво.линей-ные секторы. Принимая во внимание лемму 5 17, нетрудно убедиться в том, что между двумя последовате.льными в циклическом порядке особыми полутраекториями лежит а) со-параболическии ссктор, если обе эти полутраектории положительны, и а-параболический, если обе полутраектории отрицательны б) эллиптическая или гиперболическая область, если одна из этих полутраекторий положительна, а другая отрицательна. Как и выше, мы можем вместо того, чтобы рассматривать полутраектории, выделенные из петель, рассматривать все различные эллиптические об.ласти состояния равновесия. [c.357]

Определение 2. Росток v векторного поля в особой точке О, принадлежащей границе области, устойчивости, жест,ко теряет устойчивость при деформации V= v e fi R, 0С5, Vq— = t> , если существуют такая окрестность U особой точки О и определенное для всех достаточно малых ефО семейство начальных условий Хе, л е ->0 при е->0, такое что положительная полутраектория поля Ve с начальным условием Хе покидает окрестность U. [c.39]

Определение (Ю. С. Ильяшенко, 1985). Пусть динамическая система на компактном гладком многообразии с краем диссипативна и m — гладкая мера на этом многообразии с положительной плотностью. Открытое множество и называется существенным, если положительна мера множества тех точек, положительные полутраектории которых проводят в среднем положительное время в области U. Статистическим предельным множеством называется дополнение к максимальному несущественному открытому подмножеству фазового пространства. [c.158]

С этим уравнением мы уже встречались дважды (9.8.7) для /с > О и (9.9.14) для А < 0. Зпак к, конечно, существен между задачей о притяжении и задачей об отталкивании имеется существенная разница. Что же касается знака р, то он не играет особенно важной роли, поскольку замена р на —р и на —t приводит к тому же самому уравнению. Положительная полутраектория (траектория для положительных значений t) в одной задаче такая же, как отрицательная полутраектория (траектория для отрицательных значений t) в другой задаче, отличающейся знаком р. Будем считать, что р > О ). [c.185]

Читься. ЧТО одно из чисел Т , или оба они несобственные). Будем называть множество точек Ф(р. t) Tj < i < Tj траекторией системы (1.2) и обозначать Ф(/>. Iq). Множество точек Ф р, t) О i Гз будем называть положительной полутраекторией. Аналогично определяется отрицательная полутраектория. [c.11]

Уравнение кривой в п а-раметрической фор-м е или уравнение траектории. Если добавлено условие i>0, то это положительная полутраектория, исходящая из точки 1,. . ., Х ), если <0, то отрицательная [c.557]

Если назвать нулевой изохроной(и обозначить через Тд — йота нулевая) какую-нибудь произвольную (га—1) -мерную гиперпленку, выбрать на ней возможно более плотное и равномерно распределенное множество точек, провести из них дуги Фх, Фг,... положительных полутраекторий, нанести на каждой из этих точек временные отметки Ь=Т, Ь = 2Т, <з = ЗГ и т. д. и провести гиперпленку /х (первая изохрона) через первые отметки всех траекторий, /г (вторая изохрона) — через вторые отметки и т. д., то получим так называемую Ф/-сетку (ф и-й о т а - с е т к а). [c.559]

Областью притяжения цикла (точрси, зоны покоя) называется множество точек, являющихся начальными фазами для положительных полутраекторий, по которым фазы стремятся к соответствуюпщм центрам притяжения (циклам, точкам, зонам покоя). [c.559]

Эти дуги могут быть дугами положительных полутраекторий в л-мерном фазовом пространстве, и тогда возникает, например, фунющонал [c.574]

В случае, когда траектория Ь является состоянием равновесия или замкнутой траекторией, всякая положительная и всякая отрицательная полутраектории, выделенная из нее, совпадает с ней самой. Полутраекто-рию, выделенную из незамкнутой траектории, мы будем называть незамкнутой полутраекторией, а полутраекторию, выделенную ня замкнутой траектории (очевидно, совпадающую с этой траекторией), будем называть замкнутой полутраекторией. [c.35]

В п. 7 1 мы ввели термины положительная полутраектория, отрицательная полутраекторпя, просто полутраектория, и ввели обозначения для них. Мы будем пользоваться этими же терминами и обозначениями и в случае сферы. [c.66]

В дальнейшем, для краткости, мы будем через М 1) обозначать точку траектории, соответствующую значеншо параметра 1. Кроме того, все доказательства, относящиеся к свойствам полутраекторий (а иногда и сами формулировки этих свойств), мы будем давать только для положительных полутраекторий, не оговаривая каждый раз, что они справедливы и для отрицательных. [c.103]

Точка полутраектории расположенная на части АВ дуги / в (Л/ц), где 6 — некоторое положительное число, а Мг — последующая для Л/, точка (ыа дуге I). Очевидно, точка М2 лежит на дуге ближе н Л/,,, чем точка М,. Рассмотрим замкнутую кривую С, состоящую из дуги полутраектории Ь+ и части М,М2 дуги I. В силу леммы 14 3 одна из кривых С и / 0 ле кит внутри другой, и обе эти кривые ограничивают некоторую область Г. В силу замечания 1 к той же лемме 14, если б достаточно мало (т. е. если точка достаточно близка к М ), область Г целиком лежит в и . Ьо). И, наконец, из леммы И 3 (утверждение а)) вытекает, что полутраектория (начипая с точки М2) целиком расположена в области Г. Но тогда и все предельные точки полутраектории т. е. предельный континуум (Ь+), лежат в II(/--о)- [c.112]

Наряду с этим сепаратрисой седла называют также любую положительную полутраекторию, выделенную из траектории Ьс или Ьс (такие полутраектории называются со-сенаратрисами), и любую отрицательную полутраекторию, выделенную из траектории Ьщ или с-, (а-сепаратрисы). При этом обычно все со-сепаратрисы (или все а-сепаратрисы), выделенные из одной и той же траектории (например, все а-сепаратрисы, выделенные из дц), не считают отличными друг от друга. При таком условии каждое седло имеет всегда в точности четыре сепаратрисы — две а- и две ю-сепа-ратрисы ). [c.160]

Пусть для определенности Я < О, т. е. узел усто1Ччивый. Предположим сначала, что фупкщш ф и 11 — любые функции класса С , обращающиеся в точке О (О, 0) в нуль вместе со своими первыми производными. Покажем, что при таком предположении вопрос о существовании паправлепихг, в которых положительные полутраектории стремятся к точке О, зависит, вообще говоря, от функций ф и 11 , т. е. система (7) и соответствующая линейная система [c.191]

Пусть — рассматриваемая полутраектория (спираль), М (I) — точка ее, соответствующая значению t времени. Рассмотрим функцию о (i), определенную и непрерывную для всех достаточно больших значений t и равную при каждом t значению угла между положительным напранлг-нием оси абсцисс и положительным направлением касательной к по. [ -траектории в точке М (i) (таких функций о (i) существует бесчпслел-ное множество, и все они отличаются друг от друга на кратное 2я (см. 8, п. 1), мы берем одну из них). [c.200]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...