Ансамбль систем

Статистический ансамбль систем. [c.406]

В последние годы невозможность построения теории скрытых локальных параметров была доказана экспериментально (см. 78). Поэтому интерпретации квантовой механики с помощью теории скрытых параметров и статистического ансамбля систем представляются полностью несостоятельными, хотя работа в этих направлениях и продолжается многими исследователями. [c.406]

Если ансамбль систем находится в состоянии статистического равновесия, то число систем, находящихся в данном состоянии, не должно изменяться со временем, и, следовательно, плотность D в данной точке фазового пространства должна быть постоянной. Изменение D в данной точке пространства [c.296]

Следовательно, выбирая плотность D как функцию одного из интегралов движения, мы можем гарантировать статистическое равновесие, так как скобка Пуассона [D, Н] будет тогда обращаться в нуль. Поэтому для консервативных систем плотность D может быть любой функцией энергии, так как при этом обязательно будет выполняться условие равновесия. Выбор этой функции определяет характеристики рассматриваемого ансамбля систем. В случае, например, известного микроканонического ансамбля плотность D постоянна для всех систем, имеющих заданную энергию, и равна нулю для других систем. [c.296]

Матрицы А, В и С будем считать детерминистическими. Если же они случайны, то решение задачи можно разбить на два этапа на первом рассмотреть условные процессы в системе с заданными матрицами А, В и С на втором этапе перейти к безусловным процессам, применяя формулу полной вероятности или производя осреднение по всему ансамблю систем со случайными параметрами. [c.287]

Определение функции надежности в форме (4) легко обобщается на случай, когда допускаются повторные отказы, предусматриваются ремонт, восстановление и т. п. Роль параметра t может играть не только физическое время, но и наработка, число циклов или другие подходящие для данного типа систем параметры. Область допустимых состояний может быть стохастической, например, может случайно меняться при переходе от одного элемента ансамбля систем к другому. Если стохастические свойства системы и внешнего воздействия характеризуются конечным числом случайных параметров, то задачу определения функции надежности целесообразно решать в два этапа. На первом этапе рассматривают систему с фиксированными параметрами, для которой строится функция надежности. Эта функция представляет собой вероятность пребывания системы в допустимой области при условии, что параметры системы г и воздействия s фиксированы [c.321]

Введем понятие статистического ансамбля систем. Вместо одной системы можно наблюдать большое число (в пределе бесконечное) таких одинаковых систем. Причем каждая из них будет находиться в одном из возможных для исследуемой системы микросостояний. Нас будет интересовать, как часто среди членов ансамбля встречаются объекты, представляющие какое-нибудь микросостояние изучаемой системы. Обозначим через число систем в /-м квантовом состоянии и через JV число членов ансамбля. Тогда вероятность обнаружить какую-нибудь систему в заданном состоянии будет равна [c.33]

Если мы будем считать фазу представленной точкой в 2п-мер-ном пространстве, то изменения, происходящие со временем в нашем ансамбле систем, будут представлены в подобном пространстве некоторым потоком. Этот поток постоянен, поскольку внешние координаты не подвергаются изменению. В любом случае этот поток удовлетворяет закону, который в своих различных формулировках аналогичен гидродинамическому закону, выражаемому словами сохранение объемов или сохранение плотности в окрестности движущейся точки ли уравнением [c.24]

Когда ансамбль систем распределен по фазам описанным образом, т. е, когда показатель вероятности является линейной функцией энергии, мы будем говорить, что ансамбль канонически распределен, и назовем делитель энергии 0 модулем распределения. [c.43]

Модуль 0 имеет свойства, аналогичные свойствам температуры в термодинамике. Пусть система А определена, как принадлежащая ансамблю систем с т степенями свободы, распределенных по фазам с коэффициентом вероятности [c.45]

СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ДЛЯ КАНОНИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ СИСТЕМ [c.55]

ДАЛЬНЕЙШЕЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНИХ В КАНОНИЧЕСКОМ АНСАМБЛЕ СИСТЕМ [c.75]

В микроканоническом ансамбле систем энергия s постоянна, тогда как потенциальная энергия и кинетическая энергия варьируют для различных систем, будучи, конечно, подчинены условию [c.120]

Представим себе ансамбль систем, распределенных по фазе, согласно показателю вероятности [c.127]

Теорема II. Если ансамбль систем канонически распределен по фазам, средний показатель вероятности меньше, чем для любого иного распределения ансамбля, обладающего той же усредненной энергией. [c.133]

Теорема IV. Если ансамбль систем распределен по фазам таким образом, что показатель вероятности является какой-либо функцией F ,. .. (зти буквы обозначают функции фазы), среднее значение показателя меньше, чем для любого другого распределения по фазам, в котором распределение в отношении функций F , F ,. .. такое же. [c.135]

Теорема VI, Среднее по ансамблю систем значение tj-I-F (где 7) обозначает, как обычно, показатель вероятности и F — [c.135]

При рассмотрении флуктуаций помимо трех канонических ансамблей Гиббса используется также изотермическо-изобарический ансамбль систем в термостате при постоянном внешнем давлении Р и переменном значении объема Т (например, газ в цилиндре с поршнем). Макроскопическое состояние рассматриваемой системы определяется термодинамическими переменными Т, Р, N, а соответствующее распределение рТ (q, р) микросостояний системы найдем из канонического распределения, подставляя в него значение энергии Гельмгольца f через энергию Гиббса G (F = = G—PV) [c.293]

Поскольку предсказания квантовой теории имеют вероятностный характер, а сравнение предсказаний теории с результатами экспериментов возможно лишь статистически, возникает идея рассматривать изучаемый микрообъект (например, электрон) и условия, которыми определяется движение изучаемого объекта, как статистическую систему в том же смысле, как и в классической статистической физике. Совокупность систем составляет статистический ансамбль систем, причем принадлежность системы к ансамблю определяется макроскопическими условиями. Движение рассматриваемого микрообъекта в каждой из систем ансамбля, вообше говоря, различно и характеризуется разными значениями описывающих движение параметров. Кванювание параметров и статистика их числовых значений обусловливаются динамическими процессами более глубокого уровня, которые в квантовой механике проявляются статистически в соответствии с ее законами. Теория процессов более глубокого уровня (теория скрытых па-рамел ров) находится с квантовой механикой в таком же соотношении, как л еория движения отдельных частиц со статистической механикой совокупности частиц. [c.406]

Когда мы хотим представить себе все возможные состояния, принимаемые данной системой, мы можем поступать различным образом. Можно, например, представить себе большое число, ансамбль систем, которые суть, так сказать, копии системы, с которой мы имеем дело они представляют в один и тот же момент времени все состояния этой системы, которые мы должны и желаем принимать во внимание. Эти состояния могут обладать наибольшей общностью, иметь, например, всевозможные значения энергии, как это имеет место в канонических собраниях Гиббса, или быть менее общими, как микрокано-нические собрания Гиббса, эквивалентные эргодическим собраниям Больцмана. В этих последних о всех системах предполагается, что они обладают одной и той же энергией, значение которой задано. Можно также обратить внимание на ансамбль, образованный последовательностью во времени состояний, принимаемых системой. Этим, среди других, занимался Эйнштейн. Тут мы будем пользоваться методом, связанным с микроканоническими собраниями, а в следующей лекции сообщим кое-какие соображения о других способах рассмотрения. [c.22]

БСА — равновесное распределение вероятностей для статистич. ансамбля систем с заданной полной энергией при пост, объёме V и пост. полно.м числе частиц N, соответствует микроканониче-скому ансамблю Гиббса. Установлено Дж. У. Гиббсом (J. W. Gibbs) в 1901 для случая клас-сич. статистики как один из осн. законов статистической физики, [c.136]

К проявляющимся в этих веществах конкурирующим взаимодействиям, влияющим на установление разл. видов магн. упорядочения, относятся обменное взаимодействие и косвенное обменное взаимодействие ферро-п антиферромагн. характера зависящее от взаимной ориентации магн. моментов диполь-дипольное взаимодействие, осциллирующее РККИ-обменное взаимодействие. В регулярных кристаллич. структурах такие взаимодействия могут приводить к появлению сложной неколлинеарной магнитной атомной структуры (в т. ч. несоизмеримой). В нерегулярных твердотельных системах (аморфных веществах, неупорядоченных двух-или многокомпонентных сплавах и твёрдых растворах) благодаря конкуренции и хаотич. взаимному расположению магн. а примесных ионов (вызывающих иногда случайное изменение локальной оси маги, анизотропии) возникает фрустрация магн. моментов, приводящая к образованию состояния С. с. В этом случае для расчёта наблюдаемых физ, величин кроме обычного термодвнамич. усреднения по ансамблю систем е Гиббса распределением вероятности (обозначаемого <...)) необходимо дополнит, усреднение (обозначаемое чертой сверху) по всем возможным реализациям хаотич. расположения маги, моментов или набора взаимодействий между ними при этом в качестве ф-цНи распределения обычно выбирается комбинация дельтафункций или Гаусса распределение. Полное (но математически сложное) решение задачи усреднения по случайным конфигурациям для свободной энергии С. с, даёт т. н. метод реплик (от франц. replique — копия, образ). [c.634]

Предполагается, что закон распределения вероятностей для ансамбля систем будет тем же, что и для временной последовательности состояний одной системы. Это положение известно под названием эрго-дической гипотезы и составляет один из исходных принципов статистического метода. Существенно, что исследование ансамбля систем на основе законов механики (классической или квантовой) позволяет найти вид статистического распределения (5.2). [c.33]

В четвертой и последующих главах мы возвращаемся к рассмотрению статистического рагновесия и сосредоточиваем наше внимание на кснсерватиЕных системах. Мы рассматриваем в особенности ансамбли систем, в которых показатель (или логарифм) вероятности фазы является линейной функцией внергии. Это распределение, благодаря его особенному значению в теории статистического равновесия, я решился назвать каноническим, а делитель энергии — модулем распределения. Модули ансамблей имеют свойства, аналогичные температуре, в силу того, что равенство модулей является условием равновесия по отношению к обмену энергии, когда такой обмен является возможным. [c.15]

Для среднего квадрата флюктуаций энергии мы находим выражение, исчезающе малое по сраннению с квадратом средней энергии, когда число степеней свободы неопределенно возрастает. Ансамбль систем, в котором число степеней свободы того же порядка, что и число молекул в тепах, с которыми мы [c.15]

Если фазы, ограничивающие фазовый объем, изменяются с течением времени согласно динамическим законам системы, находящейся под действием сил, которые являются функциями либо только координат, либо координат и времени, то величина ограниченного таким образом фазового объема остается постоянной. В этой форме наш принцип можно назвать принципом сохранения фазового объема. В известном смыслр это положение можно рассматривать как простейшее выражение нашего принципа, так как в нем нет явного укаеания на ансамбль систем. [c.23]

Применение этого принципа не ограничено случаями, в которых имеется формальное и явное указание на ансамбль систем. Однако, концепция такого ансамбля может служить для уточнения понятия вероятности. В самом деле, при вероятностных исследованиях принято описывать все, что не вполне известно, как нечто, произвольно извлеченное из большого числа вполне определенных объектов. Но если мы предпочтем обойтись без какого-либо указания на знсамбль систем, мы увидим, что вероятность нахождения фазы системы в некоторый определенный момент внутри определенных границ равна вероятности нахождения фаБЫ в какой-либо другой момент внутри границ, образованных фазами, соответствующими первому моменту. В самом деле, одно из этих событий влечет с необходимостью другое. А именно, если мы обозначим через Р коэффициент вероятности фагы р, -, q в момент t и через / " — коэффициент вероятности фазы р , в мо- [c.30]

Но принцип сохранения фазового объема, который был доказан именно во втором из приводонных выше доказательств, независимо От какого бы то ни было указания на ансамбль систем, требует, чтобы значения кратных интмралов в этом ypaBHf -нии были равны друг дру у. Это дает [c.30]

Свойства канонически распределенных ансамблей систем по отношению к равновесию новых ансамблей, которые могут быть образованы путем комбинирования каждой системы одного ансамбля с каждой системой другого, не являются, таким образом, характерными только для них, поскольку аналогичные < войства могут принадлежать и многим другим распределениям ири специальных ограничениях в отношении рассматриваемых систем и сил. Однако, каноническое распределение, очевидно, является наиболее хгростым случаем этого вида, а именно, случаем, для которого оиисанные соотношения справедливы при наименьших ограничениях. [c.51]

Когда ансамбль систем распределен по конфигурациям так, как описывается этой формулой, т. е. когда его расире- [c.62]

Из этих уравнений следует, что дифференциальные соотношения, существующие между средней потенциальной энергией по канонически распределенному ансамблю систем, модулем распределения, средним показателем вероятности конфигурации, взятым с обратным знаком, и средними силами, действующими на внешние тела, эквивалентны соотношениям, установленным Клаузиусом для потенциальной энергии тела, его температуры, величины, названной им дисгрегацией, и сил, действующих на внешние тела ). [c.76]

Причина состоит в том, что подобный опыт не будет достаточно широким, чтобы охватить более значительные откло-Ж нйя от средних значений, а наблюдение—достаточно тонким, чтобы обнаружить обычные отклонения. Другими словами, такие ансамбли должны представляться человеческому наблюдению ансамблями систем с одинаковой энергией, в которых потенциальная и кинетическая энергии (если предположить, что имеется средство измерять эти величины отдельно) имеют каждая в отдельности однородные (по всему ансамблю) шачения ). Исключения могут встретиться, когда для частных [c.81]

Так как любой канонический ансамбль систем можно рассматривать как состоящий из микроканонических ансамблей, то если какие-либо величины миг имеют одни и те же средние значения в каждом микроканоническом ансамбле, то они будут иметь те же значения в каждом каноническом ансамбле. Чтобы подвести формально под это правило уравнение (380), мы можем заметить, что левая его сторона, являющаяся функцией з, имеет постоянное значение в микроканоническом ансамбле и, следовательно, тождественна со СВ01Ш средним значением. Мы получим таким образом общее уравнение [c.123]

Теорема I. Если ансамбль систем распределен по фазам таким образом, что показатель вероятности является функцией йнергии, то среднее значение показателя меньше, чем для всякого другого распределения, в котором распределение по энергии такое же. [c.132]

Теорема VIII. Если два, или более, ансамбля систем, тождественных по природе, распределенных по фазам различным образом, объединены в один ансамбль, так что коэффициент вероятности результирующего ансамбля является линейной функцией коэффициентов вероятностей начальных ансамблей, то средний показатель вероятности результирующего ансамбля не может быль больше, чем такая же линейная функция средних показателей первоначальных ансамблей. Он может быть равен ей, только если первоначальные ансамбли одинаково распределены по фазам. [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...