Критерий стохастичности

Поскольку, как уже неоднократно говорилось, все траектории, образующие стохастический аттрактор, неустойчивы по Ляпунову, они должны иметь хотя бы один положительный ляпу-новский показатель. Наличие положительного ляпуновского показателя является одним из основных критериев стохастичности движения. [c.227]

Вторая глава знакомит с понятием критерия стохастичности [c.7]

Заметим, что когда мы говорим о критерии стохастичности, то речь идет об определении очень непривычного свойства системы — такого значения некоторого параметра, которое разделяет два разных типа движения регулярное и случайное. Поэтому далеко не праздным является вопрос о существовании моделей, для которых свойство перемешивания устанавливается точно. Некоторые пз таких моделей будут рассмотрены в этой главе. Мы отобрали те из них, аналогия с которыми позволит перейти к реальным физическим системам. [c.42]

Критерий стохастичности Синая выглядит следующим образом если выполняются условия [c.53]

В действительности, однако, закон движения макроскопически больших облаков может носить чисто динамический (регулярный) характер, и возникает вопрос о возможности появления ускорений Ферми без априорного введения хаотических скоростей облаков. Ясно, что мы здесь столкнулись с задачей об определении критерия стохастичности, которо и будет посвящена эта глава. [c.62]

Выражения (2.3) определяют снова преобразование растяжения, и критерий стохастичности можно записать в виде [c.68]

С ним связано лишь изменение переходной области и числа и структуры островков устойчивости. Поэтому для общего представления достаточно ограничиться изучением преобразования (1.9), которое вытекает из (1.8) при не слишком больших ос. Будем также предполагать а < 1. Тогда критерий стохастичности [c.79]

Перекрытие резонансов означает объединение их стохастических слоев и разъясняет причину, по которой критерий перекрытия резонансов соответствует критерию стохастичности. [c.96]

Наконец, полезно также отметить, что критерий стохастичности (2.26) может быть получен из условия перекрытия резонансов, подобно тому, как это делалось в 7.1 для задачи Ферми — Паста — Улама. [c.136]

Этот критерий означает, что ширина целого резонанса плюс ширина его стохастического слоя плюс ширина полуцелого резонанса равна расстоянию между центрами двух целых резонансов. Для получения критического значения К, определяющего границу глобальной стохастичности, нужно решить уравнение (4.2.29) с из (4.2.23). В результате находим АГ = 1,2. С помощью дополнительных эвристических соображений ) Чириков [70 ] получил К 1,06. Подробное численное исследование стандартного отображения [70] дало в качестве верхней границы близкое значение К яг 0,99. В 4.4 будет показано, что более тонкий критерий стохастичности приводит к значению К 0,9716. [c.262]

В системах, близких к интегрируемым, аналитический и численный расчет показателей а (особенно максимального о = (Т1) широко используется в качестве критерия стохастичности. Отметим прежде всего [57 ], что в интегрируемых гамильтоновых системах все а равны нулю. Рассмотрим в качестве примера движение на торе [c.310]

Удобным практическим критерием стохастичности в заданной области фазового пространства служит численное определение показателей Ляпунова. Максимальный показатель широко использовался в качестве критерия стохастичности в ряде работ (см., например, [19, 41—43, 73, 133, 371 ]). [c.312]

Заметим, что для критерия стохастичности нужен по существу только максимальный показатель Ох ввиду неравенства Л Ох > 0. Иначе говоря, точное значение КС-энтропии Л, которое требует знания всех показателей, несущественно.— Прим. ред. [c.315]

Наглядным критерием стохастичности служит метрическая энтропия, характеризующая среднюю скорость разбегания траекторий и сложность всей системы в целом. Так как точно определить значение энтропии в реальной ситуации практически невозможно, приведем здесь лишь формулу для ее приближенного вычисления. Точнее говоря, по этой формуле вычисляется максимальный показатель Ляпунова (а), положительность которого свидетельствует и о положительности колмогоровской энтропии. [c.275]

Техника использования отображения Пуанкаре как критерия стохастичности описана в [c.295]

Читателю предлагается в виде упражнения доказать стохастичность с помощью критерия Синая для отображений Тх — 1/х п Тх = iГл (К > 1), рассмотренных в 2.1. [c.55]

Большое число критериев стохастичности основано на оценке скорости разбегания первоначально близких траекторий. Пусть Хп ( ) — решение системы. Исследуем девиацию (от лат. deviatio — уклонение) двух близких траекторий Xn t) и Xn t) + Zn t). Линеаризованные уравнения для функции Zn t) представляют собой неавтономную систему [c.258]

Понятие критерия стохастичности вошло в физические исследования сравнительно недавно. Его появление означает, что пропшо то время, когда переход от регулярного движения системы к случайному разделяла неведомая пропасть. Современные методы позволяют иногда составить из параметров системы такую безразмерную величину К, что если ЛГ < 1, то движение си-теиы устойчиво, а если [c.42]

Теперь следует внимательио обсудить ту информацию, которую можно извлечь из описанного критерия стохастичности и примера (2.2). Поскольку матрица А не зависит от координат, то при каждом действии отображения на вектор х = (ж,, хг) с этим вектором будет происходить растяжение в Я, раз по координате Xi и сжатие в Я, раз по Х2. Таким образом, вдоль одной из координат преобразование (2.2) действует точно таким же образом, как п отображение (1.15), а коэффициент рас-тяженпя возникает как следствие неустойчивости (это эквивалентно существова- . нию действительных и различных собст- [c.55]

Параметр перекрытия резонансов К был введен в 1959 г. Чириковым [74], который высказал гипотезу о том, что при условии (2.10) движение системы запутывается сложным образом в резонансах и должно быть похожим на стохастическое. Ипаче, при выполнении (2.9) движение должно быть устойчивым в соответствии с теоремой KAM, а прн 1 развивается локальная неустойчивость. Впоследствии критерий перекрытия резонансов, как критерий стохастичности, был подтвержден разнообразными численными и непосредственно экспериментальным анализами (ком. 2). [c.82]

Тот факт, что возмущение приводит к очень сложной картине разрушения сепаратрисы (к так называемой гомоклинической структуре, которая рассмотрена в этой главе), был отмечен еще Пуанкаре. Исследование этой структуры было связано с оггоеделенными трудностями, и первая оценка пгарины области разрушения была получена Мельниковым [82]. Соображения о том, что разрушение в окрестности сепаратрисы носит стохастический характер, были высказаны впервые в работе [83]. В ней же было показано, что имеется локальная неустойчивость внутри слоя, называемого стохастическим, что движение частицы внутри слоя носит диффузионный характер и что для оценки ширины слоя может быть использован критерий стохастичности. Этот подход, подтвержденный численным анализом [83],позволил оце- [c.101]

Напомним некоторые основные свойства модели (5.12), если выполнен критерий стохастичности (5.16). По переменной Ь происходит быстрое перемешивание, и корреляция фаз О экснонен-цпально расцепляется [c.173]

Выражения (2.14), (2.15) являются, в определенном смысле, окончательными, так как возможные значения коррелятора фаз Я определяют все дальнейшие свойства системы. Действительно, функция 31 является типичным коррелятором фазы М в момент времени 1 и фазы ( о) = в момент времени 1о, поскольку и о лежат на одной и той же классической траектории (см. 4.1). Формула (2.15) совпадает с (4.1.15). Как было показано в 4.1, для систем рассматриваемого типа величина 1521 1, если критерий стохастичности не выполняется. В этом случае величина / также порядка единицы и недиагональные элементы не затухают (согласно (2.14)). Это, з частности, показывает, что сама по себе процедура огрубления (равно как и квантовомехани- [c.205]

Гипотеза Х — Е эквивалентности не была очевидной, и основной аргумент в ее пользу был связан с тем, что распределение собственных значений ансамбля случайных матриц обладает свойством расталкивания, т. е. таким же свойством, каким должно обладать распределение уровней энергии. Однако основной вопрос о том, какие физпческпе причины приводят к случайному распределению уровней, оставался неясным. В теории Вигнера — Портера — Дайсона отсутствие информации об этих причинах компенсировалось введенпем некоторого расплывчатого понятия о существовании черного ящика взаимодействий . Аргумента-1ЩЯ к сложности системы также была неудовлетворительной, ибо само определение сложности происходило из наивного представления о системе с большим числом степеней свободы. Сейчас нам уже известно, что статистические свойства могут возникнуть даже в системе с двумя степенями свободы, в то время как в системе с большим числом степеней свободы они могут не обнаружиться, если не выполнен критерий стохастичности. [c.215]

В 4.7 приводится сравнение различных критериев перехода к глобальной стохастичности и обсуждаются особенности их практического использования. Подчеркивается, что простой критерий перекрытия дает оценку только по порядку величины, по его легко применять в самых разных задачах. В качестве более эффективного критерия в некоторых новых задачах можно отказаться от сложных вычислительных процедур и прямо использовать уже полученные решения, например результат Грина для стандартного отображения, или вычисления Эсканде и Довейла. Все эти критерии приводят к правилу двух третей , которое является достаточно эффективным и удобным для использования ). Более подробное обсуждение возможностей различных критериев стохастичности и обширную библиографию можно найти в обзорах Чирикова [70] и Табора [401]. [c.249]

Гальгани и сотр. [148] исследовали эту задачу в простейшем случае одномерного движения частиц. Они обнаружили, что распределение энергии по невозмущенным (линейным) модам колебаний увеличивается с ростом N. Эти результаты, однако, трудно интерпретировать с точки зрения стохастичности, поскольку обычные критерии стохастичности в работе не использовались. [c.408]

Стоддард и Форд [394] исследовали ту же задачу для двумерного движения. Такая модель является сглаженным вариантом системы твердых дисков, движение которых, как показал Синай, обладает перемешиванием (см. п. 1.4а и 5.2). В качестве критерия стохастичности использовалась неустойчивость близких траекторий, которая и была обнаружена для всех исследованных начальных условий в системе из 100 частиц N = 200). Этот результат пред- [c.408]

Стационарное хаотическое движение. Нужно подчеркнуть, что условие пересечения сепаратрис (7.3.38) является локальным критерием стохастичности и применимо только вблизи невозмущенной сепаратрисы. Поэтому такой критерий ничего не говорит о появлении странного аттрактора, который представляет стационарное хаотическое движение в большой области фазового пространства. Уравнение Дюффинга без диссипации (б = 0) является гамильтоновым и всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Мы знаем, что хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. Однако при б>0 все инвариантные кривые разрушаются и траектория, хаотическая вблизи сепаратрисы, может уйти далеко от нее и захватиться устойчивым фокусом или предельным циклом. Такое поведение наблюдал Холмс [195] при аналоговом моделировании уравнения Дюффинга ). Поэтому единственное, что можно ожидать при выполнении условия пересечения сепаратрис (7.3.38), — это нерегулярное блуждание траектории в течение некоторого времени, пока она не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный. [c.463]

Для каждой конкретной системы проверка этих условий представляет собой чрезвычайно трудную математическую задачу. Поэтому мы обычно будем ограничиваться проверкой более слабых условий. В частности, будем пользоваться критерием стохастичности, в основе которого лежит определение величины Н, характеризующей разбегание соседних траекторий в линейном приближении если эта величина положительна, то движение стохастично . Математическим образом стохастического движения динамической системы является стохастическое множество траекторий в ее фазовом пространстве. Для гамильтоновых систем и диссипативных систем эти множества обладают различными свойствами. [c.463]

Кроме рассмотренного выше критерия стохастичности, строилось также отображение Пуанкаре (см. рис. 111). Из этого рисунка видно, что точки пересечения непериодической траектории с фиксированной плотностью образуют канторово сечение хорошо [c.277]

Моделирование несущей способности оболочек из композитов. Содержание процесса постановки любой задачи оптимизации состоит в моделировании проектной ситуации и построении модели оптимизации, т. е. включает определение локальных критериев эффективности, формулировку модели проекта и ограничений на варьируемые параметры, а также их последующую формализацию в качестве элементов оптимизационной модели. Формализация модели проектной ситуации означает математически строгое определение связей между параметрами модели проекта и показателями его функциональности и экономичности, выражаемых посредством функциональных зависимостей или соотношений. В задачах оптимизации несущих конструкций функциональные зависимости между параметрами проекта детерминируются расчетными моделями оптимизируемых конструкций и их предельных состояний, подлежащих учету по проектной ситуации, а в случае конструкций из композитов, кроме того, моделями композиционного материала. Упомянутые модели конструкции, ее предельных состояний и материала синтезируются в модели расчета несущей способности конструкции, свойства которой непосредственно определяют размерность частных моделей оптимизации М , а также их качественный характер одно- или многоэкстре-мальность, стохастичность или детерминированность. Таким образом, моделирование несущей способности является одним из важнейших этапов постановки задач оптимизации несущих конструкций, на котором в значительной мере определяются свойства соответствующих оптимизационных моделей, существенные для выбора средств и методов их численной реализации, а также анализа и интерпретации получаемых оптимальных рещений. [c.175]

Странный аттрактор. В хаотических системах возникновение случайности связано с новой геометрической структурой — странным аттрактором. В качестве критерия, позволяющего определить существование в динамической системе странного аттрактора, можно использовать свойство гиперболично сти. Наглядно гиперболичность представляет собой комбинацию растяжения фазового объема в одном направлении и сжатия в другом. Растяжение приводит к стохастичности, сжатие необходимо, чтобы траектории оставались в ограниченной области фазового пространства. Растяжение и сжатие систематически устраняют начальную информацию при экпоненциальном разбегании траекторий возрастает неопределенность, обусловленная неопределенностью AVq, при сжатии сближаются далеко отстоящие траектории и стирается различие в начальных данных. [c.180]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...