Методы построения фазовых траекторий

Но независимо от того, встречаемся ли мы с простейшим случаем или с упомянутыми здесь более сложными, все равно уравнение фазовых траекторий позволяет нам получить фазовый портрет и произвести качественное рассмотрение изучаемой системы на фазовой плоскости. Разумеется не всегда может быть получено простое выражение вида y — /2 h—V(x)], и тогда для построения фазового портрета системы необходимо применять более общие приемы, как, например, метод построения фазовых траекторий с помощью изоклин. [c.23]

В книге изложены теоретические основы инженерных методов исследования релейных следящих систем с нелинейной характеристикой исполнительного двигателя. Описан метод построения фазовых траекторий с помощью шаблонов, позволяющий быстро определить движение при произвольном виде механической характеристики. Рассмотрено влияние запаздывания релейного элемента при срабатывании и отпускании, а также влияние апериодических звеньев, расположенных до и после реле, на динамические свойства системы. Определены, границы в пространстве параметров, разделяющие движения разных типов. [c.2]

Эти обстоятельства требуют найти способы и приемы определения характера особых точек нелинейных уравнений, а также найти методы построения фазовых траекторий для нелинейных уравнений, особенно тогда, когда дифференциальные уравнения интегральных кривых не удается проинтегрировать. [c.514]

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИИ 517 [c.517]

Методы построения фазовых траекторий [c.517]

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ [c.521]

I 81. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ 695 [c.695]

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЯ [c.697]

Как мы видим, для нелинейной системы изоклинами на фазовой плоскости являются кубические параболы с различными коэффициентами й . Исключение составляют только изоклина бесконечности к1=-оо), совпадающая с осью координат х ( / = 01, и нулевая изоклина (к1 = 0), совпадающая с осью координат у (л = 0). На рис. 1.12 показано построение фазовых траекторий методом изоклин для электрического колебательного контура с нелинейным диэлектриком. [c.33]

При Приближенном построении фазовой траектории по этому методу можно поступать следующим образом. Определим с помощью описанного построения направление фазовой траектории в исходной точке Р х , Уо), соответствующей заданным начальным условиям (д , у ). Заменяя на небольшом интервале фазовую траекторию отрезком дуги окружности с центром в точке Л и повторяя ту же операцию для конца этого отрезка дуги с новым мгновенным центром, определим новое направление касательной к траектории. Продолжив подобные операции необходимое число раз, получим ломаную кривую линию, с необходимой точностью воспроизводящую ход действительной фазовой траектории. [c.57]

Рис. 96. Построение фазовой траектории с помощью дельта-метода

Основным методом исследования, применяемым в данной работе, является метод многолистной фазовой поверхности и фазового пространства. Этот метод, разработанный академиком Андроновым А. А. и его учениками и последователями [Л. 1, 2, 4, 6—8, 11—14, 21 и 22], позволяет весьма эффективно исследовать поведение релейных систем как при переходных процессах, так и в установившихся режимах. Обычно исследование методом фазового пространства считается качественным исследованием поведения системы, позволяющим определить только характер, типы движений. Мы считаем, что этот метод, особенно в случаях, когда задача может быть сведена к плоской фазовой картине, является методом количественного исследования, т. е. методом инженерного расчета, часто приводящим к цели быстрее других методов. Это особенно ярко проявляется в тех случаях, когда для построения фазовой траектории могут быть использованы шаблоны. Изменяемость структуры линейной части релейной системы не приводит к каким бы то ни было дополнительным трудностям в применяемом методе. Более того, для рассматриваемого класса систем вообще не требуется разделения на линейную часть и релейный элемент линейной части вообще может не быть, вместо нее имеется непрерывная часть , описываемая нелинейными дифференциальными уравнениями. [c.6]

При Жь(б) произвольной задача по самой своей сути становится конкретной из-за бесконечного разнообразия функций Миф)- Метод графического построения фазовой траектории и, в частности, предельного цикла [c.121]

Для графо-аналитического построения фазовых траекторий удобен дельта-метод, согласно которому траектории строят на фазовой плоскости у, V, причем [c.270]

Рассматривается двухмерная задача об адвекции пассивной жидкости в поле скорости, генерируемом парой точечных вихрей в идеальной несжимаемой жидкости, ограниченной круговой областью. Показано, что при определенных условиях движение пассивных жидких частиц может проявлять хаотические свойства, которые приводят к интенсивному перемешиванию жидкости. Для идентификации таких областей использовались различные критерии и методы анализ фазовых траекторий, спектральных и корреляционных характеристик, построение сечений Пуанкаре, вычисление наибольшего показателя Ляпунова. [c.441]

Другим критерием определения режима эволюции системы является сечение Пуанкаре [8, 10]. При построении сечения в фазовом пространстве исследуемой системы выбирается плоскость, на которой фиксируются координаты точек пересечения фазовой траектории отдельного вихря (или маркера) в заранее выбранном направлении. В результате появляется последовательность точек, которые являются своеобразным протоколом движения рассматриваемой системы. Для периодических систем в качестве метода дискретизации фазовой траектории можно выбрать эквидистантные интервалы времени, соответствующие периоду движения. [c.447]

Общая характеристика метода. Классический метод функций Ляпунова используют для получения строгих достаточных (иногда необходимых и достаточных) условий устойчивости и неустойчивости. В основе метода лежит идея построения таких функций, по знаку производных которых вдоль фазовых траекторий можно судить об устойчивости невозмущенного движения. Если система является стохастической, то необходимо исследовать поведение всего множества реализаций, смежных с невозмущенным движением [56, 142]. [c.301]

Для (4) этот метод заключается в замене фазовой траектории [интегральной кривой, построенной на фазовой плоскости х, со х)] непрерывной линией, состоящей из дуг С окружностей радиуса б с центрами в точках 0) , расположенных на оси X (к= 1, 2,. .., рис. 6). Здесь п — число интервалов, на которое разбивается промежуток времени О х при ступенчатой аппроксимации импульса а (I) [c.275]

Дельта-метод. Этот метод подобно методу изоклин позволяет построить фазовые траектории с помощью несложных однотипных графических построений. [c.49]

Приближение при таком изображении линии переключения заключается в том, что мы реальную фазовую траекторию на участке, соответствующем перемещению изображающей точки за время запаздывания, заменяем параболой. При небольших временах запаздывания и сравнительно плавных функциях М (в), с которыми приходится иметь дело в практических расчетах, точность такого метода получается вполне достаточной. В сомнительных случаях можно сравнить линию переключения, построенную приближенным способом, с точной линией переключения, построение которой описано ниже. [c.51]

Поскольку в рассматриваемом случае аналитического выражения для фазовой траектории и линий переключения не имеется, не может быть получено и аналитическое выражение для границ в пространстве параметров. Однако возможность построения предельного цикла на фазовой поверхности графическим методом позволяет исследовать влияние параметров на тип автоколебаний в любом конкретном случае. [c.121]

Мы получили уравнение фазовых траекторий, исходя из решений (ПП.6) и (ПП.7) уравнения (ПП.5). Сделано это с тем, чтобы наиболее просто и понятно ввести в анализ понятие о фазовой плоскости, исходя из известного решения дифференциального уравнения 2-го порядка. Если бы этот способ построения фазовой плоскости был единственным, т. е. если бы для построения фазовой плоскости необходимо было обязательно знать решение исходного уравнения 2-го порядка, иными словами, знать его 2-й интеграл, то вряд ли метод фазового изображения полу-220 [c.220]

Рис. 1.12. Построение фазовых траекторий методом изоклин для контура без затухания с сегнетоэлектри-ческим конденсатором.

ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ МЕТОДОМ ЛЬЕНАРА [c.55]

Построение фазовых траекторий свободных колебаний методом Льенара [c.55]

Познакомимся с возможностью приближенного графического построения фазовых траекторий диссипативной системы с одной степенью свободы при помощи приема, развитого Льенаром. Этот метод предложен для случая, когда нелинейные свойства системы определяются исключительно законом зависимости силы трения (или сопротивления) от скорости (или силы тока), причем сама сила не зависит от величины независимой переменной (координата или заряд). В таком случае уравнение движения имеет вид [c.55]

ПОСТРОЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИИ МЕТОДОМ ЛЬЕНАРА [c.57]

Приближенное графическое построение фазовых траекторий таких систем (см. 2.3) удобно проводить методом Льенара. На рис. 5.14 показаны построения для нескольких точек (А, С, В) фазовой плоскости при заданной форме /(у). [c.198]

Наконец, рассмотрим еще один простой графический метод, который может быть использован для построения фазовых траекторий. Этот метод, предложенный Льенаром, излагается в несколько модифицированном виде он особенно удобен в тех случаях, когда функция f x) задана графиком. [c.74]

МЕТОД ЛЬЕНАРА ПОСТРОЕНИЯ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ. Для ка [c.492]

Метод Льенара построения фазовых траекторий 495 [c.493]

Следует подчеркнуть, что в изложенном методе Льенара, учитывающем нелинейную зависимость силы трения от скорости (или обратной э. д.с. на сопротивлении от силы тока) нужно знать лишь ее графическое изображение, которое может быть получено и экспериментально. При этом построении, очевидно, нет никаких существенных ограничений на вид функции потерь ф (у) и ее мгновенное значение, так что данный метод с одинаковым успехом применим как к случаю малых, так и к случаю больших потерь, а также к системам с большой и малой нелинейностью в диссипативном элементе. Последнее обстоятельство придает методу Льенара большую общность и позволяет с его помощью изучать колебательные свойства систем при изменении затухания от малых до весьма больших значений и с учетом различных законов трения (как линейного, так и существенно нелинейных законов). Заметим, что метод Льенара широко используется для построений фазовых портретов автоколебательных систем с разными законами нелинейности, а именно для нахождения устойчивых предельных циклов — замкнутых фазовых траекторий. [c.57]

Рис. 5.14. Построение элемента фазовой траектории методом Льенара.

Введение понятия об областях изохрон оказалось полезным для решения задач о предельном быстродействии. Эти результаты были подытожены в монографии А. Я. Лернера Принципы построения быстродействующих следящих систем и регуляторов . Дальнейшее развитие теории состояло в формулировке общей вариационной задачи нахождения оптимальной фазовой траектории в и-мерном фазовом пространстве для любых начальных условий, а также в формулировке и доказательстве теоремы о га-интервалах, на базе которой оказалось возможным построить метод синтеза алгоритма оптимальных управляющих устройств. [c.250]

Следует отметит1>, что дельта-метод имеет преимущество перед методом изоклин при решении задачи Коши на фазовой плоскости и по- строении соответствующей фазовой траектории. В дельта-методе фазовую траекторию строят непосредственно по заданным начальным значениям, а в методе изоклин для построения такой траектории нужно изобразить в некоторой области фазовой плоскости поле направлений. [c.50]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...