Метод сферических координат

Метод сферических координат [c.86]

Для составления выражений косинусов углов между осями системы координат Охуг и Ox y z, обозначенными в таблице (см. стр. 263) через (г = 1, 2, 3 s = 1, 2, 3), укажем легче всего приводящий к результатам метод сферической тригонометрии, основанный на применении формулы (3). [c.268]

Используя метод Эйлера, получите уравнение неразрывности в цилиндрических и сферических координатах. [c.42]

На этом простом примере можно ясно видеть мощность и изящество метода Гамильтона — Якоби, позволившего нам быстро получить уравнение орбиты и зависимость г от t, что раньше требовало больших выкладок. Разделение переменных в уравнении Гамильтона — Якоби не ограничивается, конечно, тем случаем, когда лишь одна координата является нециклической. Если, например, гамильтониан рассмотренной сейчас точки написать в сферических координатах, то из трех координат циклической будет лишь одна — угол ф. Однако уравнение Гамильтона — Якоби будет и в этом случае допускать разделение переменных (см. 9.7). [c.316]

Возьмем консервативную механическую систему, имеющую п степеней свободы и наход щуюся в постоянном и консервативном поле сил. Ее движение может быть выражено дифференциальными уравнениями различной формы. Среди них уравнения, введенные Гамильтоном, имеют прежде всего преимущество симметрии. В гамильтоновом методе состояние механической системы с п степенями свободы определяется п координатами qi, которые фиксируют конфигурацию системы и п соответствующих импульсов Pi. Координаты q могут быть выбраны различными способами, в частном случае это могут быть декартовы координаты х, у, г, цилиндрические или сферические координаты. Во всех случаях всякое изменение qi вызывает изменение Pi. [c.895]

Достоинство метода состоит в простоте и однотипности уравнений, что дает возможность предельно упростить алгоритм их составления. Применение сферических координат и гипер-комплексного представления векторов ведет к упрощению и стандартизации уравнений задачи, а также к простоте разделения параметров соответственно осям координат. [c.173]

В настоящем разделе будет использовано Pi-приближение метода сферических гармоник для нахождения углового распределения интенсивности излучения и плотности потока результирующего излучения для плоского слоя поглощающей, излучающей, и изотропно рассеивающей серой среды с по стоянной температурой Го. Граничные поверхности 1 и 2 с координатами t == О и т = То поддерживаются при постоянных температура) Т и Т% соответственно. Предполагается, что поверхности серые, диффузно излучающие, имеют степени черноты, равные ei и ег, а их отражательные способности выражаются как сумма диффузной и зеркальной составляющих = р + pf, i = 1 или 2. Математически рассматриваемая задача может быть описана уравнением [c.442]

СВОДЯТСЯ К обыкновенным дифференциальным уравнениям. Однако имеются другие важные приложения метода поиска симметричных решений, когда задача сводится к уравнениям в частных производных. Наиболее очевидный пример представляют собой конические течения без осевой симметрии, которые впервые ввел и исследовал А. Буземан ). Это — стационарные течения с полем скоростей (в сферических координатах) [c.176]

Это положение можно проиллюстрировать на примере уравнения Лапласа = О для стационарных течений Эйлера в пространстве и на примере уравнения Гельмгольца V i/ -Ь = 0. Было показано 2), что в обоих случаях системы координат, в которых имеет место разделение переменных, принадлежат к нескольким известным классам, большая часть которых при преобразованиях над группой, порождаемой инверсиями относительно сфер, переходит в семейство параллельных плоскостей, в пучок плоскостей, проходящих через одну прямую, и в семейство концентрических сфер, т. е. в одну из систем координатных поверхностей для декартовых, цилиндрических или сферических координат. Это наводит на мысль, что к данной задаче можно непосредственно применить метод конформных преобразований, рассматривая инвариантность относительно конформной группы. [c.188]

В работах В. М. Александрова и Д. А. Пожарского [7,49,50] исследуются пространственные контактные задачи для упругого конуса. При помощи разложения векторных функций по полной системе векторных гармоник на поверхности конуса [25] с использованием интегрального преобразования Меллина и ряда Фурье выводится интегральное уравнение контактной задачи для пространственного конуса. Используются сферические координаты р, Г], ф. Для осевой симметрии находятся [50] однородные решения для конуса, включая корни характеристического уравнения при разных углах конусности 2а, полезные при решении контактных задач для усеченного конуса. Рассматриваются задачи о взаимодействии конуса с жестким [49] или деформируемым [50] кольцевым бандажом. Используются асимптотические методы больших и малых Л , где параметр Л характеризует относительную удаленность бандажа от вершины конуса. Численный анализ свидетельствует о смыкании разных асимптотических решений в определенном диапазоне значений Л, зависящем от а. [c.191]

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (6.1.19), является уравнением Лапласа в сферических координатах его решение, как известно, находится методом разделения переменных в виде суммы слагаемых [c.169]

Среди различных методов решения поставленной задачи одним из наиболее естественных, хотя, может быть, и несколько громоздким, является метод использования сферических координат, который мы и применим. Совершенно очевидно, что, вводя сферические координаты г, 6, X, вследствие симметрии движения относительно оси Ох, от которой мы будем отсчитывать углы 6, мы будем иметь [c.505]

Методом Якоби найти движение системы, лагранжиан которой в сферических координатах имеет вид [c.262]

Методом Якоби найти закон движения частицы в квадратурах. Указание. При решении использовать сферические координаты. [c.264]

Дадим здесь краткое изложение метода прямых на примере обтекания сферического затупления. Вначале система уравнений газовой динамики записывается в сферической системе координат с полюсом в центре сферы. Затем область между отошедшей ударной волной и поверхностью тела (ударный слой) преобразуется в полосу путем перехода от сферических координат (г, 0, ( ) к новым переменным ( , 0, ср) [c.174]

Но достаточно перейти от прямоугольных координат к сферическим, чтобы метод Гамильтона — Якоби оказался применимым без всяких затруднений. Действительно, введем вместо прямоугольных координат х, у, z полярные сферические координаты г, ф, X [c.463]

Применим метод обобщенных координат для получения дифференциальных уравнений движения из общего уравнения механики. Метод обобщенных координат приводит к исключительно важному результату. Он дает общий вид дифференциальных уравнений движения в обобщенных координатах, называемых уравнениями Лагранжа (второго рода). Эти уравнения позволяют для каждой задачи на несвободную систему пользоваться наиболее удобными и естественными величинами при описании движения системы, исключая из рассмотрения связи и силы реакции. Лагранжевы уравнения оказываются полезными и для свободных тел и точек, так как имеют инвариантную (скалярную) форму во всех системах координат, а это позволяет легко составить уравнения в наиболее удобной системе координат, не пользуясь громоздкими формулами перехода (например, от декартовых к сферическим). [c.180]

Решение задач методом Гамильтона — Якоби опирается на разделение переменных в левой части уравнения Гамильтона —Якоби, что позволяет записать полный интеграл при помощи квадратур. Якоби, решая задачу о движении планеты вокруг Солнца (задачу Кеплера), ввел сферические координаты и применил метод разбиения уравнений в частных производных на несколько уравнений, каждое из которых содержит только одну независимую переменную и производную искомого полного интеграла по этой переменной ([38], двадцать четвертая лекция). Далее Якоби распространил метод разбиения на любое число переменных. Вслед за Якоби методы разделения переменных развивали многие авторы, с чем можно познакомиться в [19], т. II, ч. 2, [37]. Однако метод разбиения Якоби является и до настоящего времени основным для интегрирования уравнений в частных производных первого порядка. [c.331]

Перейдем к рассмотрению свободных многоэлектронных атомов. Структура энергетического спектра сложных атомов обладает значительным сходством со структурой спектра атома водорода. Физическая причина этого сходства заключается в том, что и в более сложных атомах каждый электрон находится под действием приблизительно центральных сил с центром, расположенным на ядре. Как и в случае атома водорода, потенциальная энергия отдельного электрона является и в рассматриваемом случае функцией только расстояния от ядра. Уравнение Шредингера для многоэлектронного атома, как и для атома водорода, решается в сферических координатах методом разделения переменных, и при его решении находятся аналогичные наборы значений квантовых чисел п, /, т/, а выражения для угловых частей собственных волновых функций этого уравнения оказываются точно такими же, как и в случае атома водорода. Однако энергия отдельного электрона теперь оказывается зависящей не только от п, но и от что приводит к расщеплению атомных уровней энергии. [c.20]

Имея задание кривой линии и график ее уравнения a- f(s) в естественных координатах, применяя известные методы, можно построить в проекциях заданную сферическую кривую линию и все сопровождающие ее поверхности. [c.351]

Применим метод разделения переменных к решению задач для кругового конуса (0 < г < сю, 0 0 а, —я ф я). Будем исходить, естественно, из сферической системы координат, в которых система уравнений (4.4) гл. II допускает разделение переменных. Будем исходить лишь из достаточно частного класса решений, когда все смещения пропорциональны 1/г и, кроме того, смещения щ и ив пропорциональны os пф, а Мф — — sin пф (п — произвольное целое, неотрицательное число). [c.341]

Одномерные движения жидкости или газа определяются как движения, все характеристики которых зависят только от одной единственной геометрической координаты и от времени. Можно показать, что одномерные движения возможны только со сферическими, цилиндрическими и плоскими волнами ). Методы теории размерности позволяют найти точные решения некоторых задач об одномерном неустановившемся движении сжимаемой жидкости ). Эти задачи представляют во многих случаях значительный теоретический и практический интерес. Но даже в тех случаях, когда постановка задачи не представляет самостоятельного интереса, получаемые точные решения можно использовать как примеры для проверки [c.167]

За столетие, прошедшее от Ферма и Декарта до Эйлера и Лагранжа, произошло необычайно бурное развитие методов высшей математики. Одним из наиболее важных изменений было обобщение первоначальной идеи Декарта о координатах. Ясно, что введение системы из трех взаимно перпендикулярных осей, с определением длины, ширины и высоты относительно них, является всего лишь одним из способов установления взаимооднозначного соответствия между точками пространства и числами. Другие способы могут также хорошо служить для этой цели. Например, вместо прямоугольных координата, у, z можно взять сферические координаты г, 0, ф. Одна из характерных особенностей аналитических методов механики заключается именно в том, что мы не накладываем никаких условий на природу координат, переводящих данное физическое явление в абстрактную математическую схему. [c.29]

Уравнение (5) можно решить, наприжр, в сферических координатах г, 95, представив у) в виде произведения функций от г, и (р. Этот метод решения общеизвестен. Зависимость от углов будет выражаться шаровой функцией, зависимость от радиуса г (соответствующую функцию мы обозначим через х) можно получить без труда из дифференциального уравнения [c.669]

В монографии с привлечением теории двухточечных полей и метода конвективных координат изложены основы нелинейной теории упругости. Приведены решения задач устойчивости равновесия шара, сферической оболочки, параллелепипеда, цилиндра. Детально исследованы акустические волны различного рода, в том числе волны ускорения, плоские синусоидальные волны и др. Решены задачи о бесконечно малых и конечн1 1х колебаниях при заданных начальных деформациях. В приложении даны необходимые сведения по тензорному анализу, теории поверхностей. [c.4]

В работе В. Г. Богового и Б. М. Нуллера [76] метод кусочно-одио-родных решений применяется в сферических координатах для решения трех осесимметричных контактных задач об упругом полупространстве имеющем полусферическую выемку О г а, О 0 /2 я. На полупространство, перекрывая выемку, давит плоский круговой [c.242]

До сих пор обсуждение метода сферических гармоник касалось плоской геометрии. Здесь же рассмотрено применение этого метода и к другим геометриям. Для системы, симметричной относительно некоторой точки, мол<но использовать сферические координаты. Ниже показаь о, что уравнения метода сферических гармоник в таких координатах очень похожи на те же уравнения в плоской геометрии. Такие системы рассмотрены в настоящем разделе, а более общие геометрии, для которых разложение потока нейтронов в ряды по полиномам Лежандра неприменимо, описаны в разд. 3.3.3 для Рх-приближения. Использование метода сферических гармоник в цилиндрической геометрии рассмотрено в разд. 3.6.2. [c.111]

Для расчета распределения потока нейтронов в цилиндрической геометрии часто применяют метод сферических гармоник. Для реактора в целом обычно вполне пригодно диффузионное или Рх-приближение, описанные в предыдущих разделах настоящей главы. Однако в отдельной ячейке часто имеются тонкие или сильнопоглощающие области, для которых Р -приближение неприменимо. В этом случае для получения лучших решений уравнения переноса иногда используется метод разложения потока нейтронов в ряд по сферическим гармоникам. Получающаяся система уравнений оказывается более сложной, чем для плоской или сферической геометрии (см. разд. 3.1.2, 3.3.3), из-за наличия зависимости потока нейтронов от двух координат, описывающих направление движения нейтронов. [c.128]

Распространим метод изучения эллиптического движения в полярных и сферических координатах на изучение общего случая возмущенного движения. Покажем, что уравнения возмущенного движения можно представить в виде уравнений эллиптического движения в полярных и сферических координатах с включением в них членов, ваюших действие возмущающих сил. [c.80]

Для приложений более интересны решения уравнения (4,4), убывающие или переходящие в однородное поле на бесконечности. При условии а = onst и в предположении цилиндрической симметрии задачи частное решение уравнений (4,2), (4,4) найдено в работе Этому решению соответствует поле, распадающееся на отдельные шаровые слои, внутри каждого из которых силовые линии замкнуты. На границе слоя возможно сшивание решений с различными а, а также с решением, переходящим на бесконечности в однородное поле. При тех же предположениях в работе получено в явном виде общее решение уравнений (4,2), (4,4), выраженное через цилиндрические функции от г и полиномы Гегенбауэра от OS в сферических координатах г, , ср. В обеих этих работах используется метод разложения цилиндрически симметричного поля на поло-идальную и тороидальную части, для первой из которых вектор напряженности магнитного поля И лежит в плоскости, проходящей через ось симметрии, для второй — перпендикулярен ей. Каждая из этих частей полностью определяется одной скалярной функцией от цилиндрических координат р и Z. С помощью указанного разложения в работе получено общее соотношение между определяющими скалярами цилиндрически симметричного магнитного поля, удовлетворяющего уравнению (4,1) с учетом сил гравитации. [c.23]

Так, например, при решении задачи о дифракции относительно отверстия в экране поступают обычно так - совмеш ают гюйгенсову поверхность с экраном (включая и плоскость отверстия), замыкают эту поверхность на бесконечности и предполагают, что в плоскости отверстия возмущение такое же, как при свободном распространении волны, а на задней поверхности экрана возмущение вообще отсутствует. Выполнив вычисления по формуле (6. 1), мы найдем потенциал как функцию координат, причем его значения на гюйгенсовой поверхности будут отличаться от первоначально предположенных. Можно было бы воспользоваться найденными значениями и действовать далее методом последовательных приближений. Однако при решении оптических задач обычно ограничиваются первым приближением, которое, как оказывается, не только схватывает все существенные детали дифракционного явления, но и дает достаточное для практических надобностей количественное приближение. Естественно, конечно, стремиться к получению точных решений различных дифракционных задач. Такие решения известны для небольшого числа специальных случаев. Так, например, существует точное решение для дифракции относительно шара. Здесь задача, сформулированная в сферических координатах, решается при помощи довольно хорошо разработанной теории шаровых функций. Вообще пересматривая известные решения дифракционных задач, можно отметить, что все эти решения получаются специализированными, а не общими методами. [c.276]

Общий метод решения этой задачи состоит в том, что мы составляем волновое уравнение в сферических координатах и находим его общее решение, выраженное рядом по сферическим функциям. Зател мы находим радиальную скорость как [c.329]

Определение сопряженных поверхностей в пространственных кулачковых механизмах. Сопряженная поверхность, принадлежащая ролику (цилиндрическому, коническому и сферическому), всегда известна. Сопряженную поверхность кулачка можно найти, из юловий основной теоремы зацепления. Но обычно нет необходимости строить эту поверхность или вычислять координаты ее точек, так как она обрабатывается не по точкам, а методом обкатки, при котором режущий инструмент, имеющий форму и размеры ролика, совершают относительно заготовки такое же движение, какое име- ет ролик в движении относительно кулачка. Для приближенного определения характеристик кулачкового механизма (например, угла давления) иногда развертывают сопряженную поверхность кулачка на плоскость, хотя надо помнить, что, за исключением редких частных случаев, эта поверхность не является развертывающейся. [c.229]

Определение сопряженных поверхностей в пространственных кулачковых механизмах. Сопряженная поверхность, принадлежащая ролику (цилиндр]1ческому, коническому или сферическому), всегда известна и, следовательно, сопряженная поверхность кулачка может быть найдена по методу, изложенному в гл. XXII. Но обычно нет необходимости строить эту поверхность или вычислять координаты ее точек, так как она обрабатывается не по точкам, а методом обкатки, при котором режущий инструмент, имеющий форму и размеры ролика, совершает относительно заготовки такое же движение, какое имеет ролик в движении относительно кулачка. [c.498]

Таким образом метод ПРВТ обладает на порядок более высокой чувствительностью контроля при обнаружении сферических локальных дефектов в толстых изделиях со сложной геометрической структурой при одновременном определении координат дефекта в трехмерном объеме изделия с точностью выше Дг = 12км- Отметим, что согласно (135) на чувствительность контроля сферических дефектов экспозиция и толщина контролируемого слоя влияют относительно слабо. [c.444]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...