Уравнение метода сферических гармоник

Чтобы получить решения уравнений Рл/-приближения или в общем случае уравнений метода сферических гармоник, требуется сформулировать соответствующие граничные условия. Для системы N + 1 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно N Н- 1 скалярных коэффициентов разложения необходимо иметь N 1 условие. Кроме того, система уравнений (3.5) не определена на поверхностях, где сечения а (х) терпят разрыв, следовательно, для нахождения решений требуются еще и условия на такой поверхности. [c.103]

УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК В ПЛОСКОЙ ГЕОМЕТРИИ [c.135]

УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК [c.137]

Эти разложения подставляются затем в уравнение (4.4) и результат умножается на Рп (р.). После интегрирования по р, от —1 до 1 и использования ортогональности полиномов Лежандра зависящие от энергии уравнения метода сферических гармоник получаются в следующем виде [c.137]

Сравнение уравнения (5.5) с соответствующим уравнением метода сферических гармоник (2.59) показывает, что фп (л ) удовлетворяет такой же системе уравнений, как и фп (л ) в методе сферических гармоник. [c.171]

Из свойств полиномов Лежандра известно, что функции Рл (м-) имеют точно N нулей в интервале—1 1. Это позволяет выполнить сформулированные требования. Для четных N имеется четное число направлений и четное число уравнений (5.5), соответствующих уравнениям метода сферических гармоник нечетного порядка. Таким образом, N = 2 в методе дискретных ординат соответствует Рх-приближению в методе сферических гармоник. [c.172]

Для сравнения с уравнениями метода сферических гармоник умножим вновь уравнение (5.3) с правой частью, определяемой уравнением (5.10), на (м-/) и просуммируем по всем /. Если используются гауссовы квадратуры с N направлениями, то так как схема является точной для полиномов порядка 2А — 1, [c.174]

Показать, что уравнения метода дискретных ординат для сферической геометрии с гауссовыми квадратурами и производной по углу, аппроксимируемой уравнением (5.16), эквивалентны уравнениям метода сферических гармоник (3.35). [c.196]

Широко используется также при решении задач теории - переноса излучения метод сферических гармоник, т. е. метод разложения интенсивности излучения по полиномам Лежандра. При этом уравнение переноса сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно весовых функций разложения. [c.143]

В работах [164—166] уравнение переноса излучения было рассмотрено для случая крупных по сравнению с длиной волны излучения частиц. При решении использовался метод сферических гармоник. Полученные результаты предлагались для определения спектральных характеристик псевдоожиженного слоя, которые, как было показано, существенно отличаются от аналогичных характеристик одиночной частицы. [c.145]

При изотропном поле излучения обе части этого уравнения равны нулю. При слабой анизотропии (qm O) это соотношение, задающее ноток излучения как градиент плотности, вместе с уравнением (5.1.7) определяют так называемое диффузионное приближение (Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер, 1966), которое совпадает с первым приближением в методе сферических гармоник, основанном на разложении /(Q) по полиномам. [c.407]

Применение метода сферических гармоник при расчетах теплообмена излучением в диффузионном приближении. Эффективным средством решения уравнения переноса является метод сферических гармоник. Этот метод достаточно хорошо разработан в приложении к решению кинетического уравнения переноса нейтронов. Запишем уравнение переноса излучения в предположении, что процесс является стационарным и рассеянием можно пренебречь, излучение серое. Кроме того, предположим, что излучение находится в локальном термодинамическом равновесии и, следовательно, спонтанное испускание излучения зависит только от локальной температуры Т. Тогда [c.175]

Представляют несомненный интерес также разработанные сравнительно недавно вариационные принципы решения уравнения переноса излучения (Л. 33, 34], обстоятельный анализ сходимости которых дан в [Л. 33]. В одномерных астрофизических задачах и особенно в задачах нейтронной физики [Л. 30, 327, 328] для решения уравнения переноса с успехом применяется метод сферических гармоник. Аналогичная этому методу идея замены интегро-дифференциального уравнения переноса системой дифференциальных уравнений используется в методе моментов [Л. 35, 331—333]. [c.111]

Для вычисления вкладов при работе с сеточными программами (SN-метод, метод сферических гармоник) используют прямое Ф (г, , Q) и сопряженное Ф "(г, Е, Q) решения уравнения переноса. Показание детектора определяют из соотношения взаимности [1] [c.269]

Метод сферических гармоник дает возможность получить приближенное решение уравнения переноса излучения более высокого порядка ценой дополнительных трудоёмких расчетов. Этот метод был впервые предложен Джинсом [26] в связи с проблемой переноса излучения в звездных атмосферах. Общее описание метода сферических гармоник примени,тельно к переносу излучения можно найти в работе [3], а применительно к переносу нейтронов — в работах [27] и [28]. [c.363]

В настоящем разделе будет использовано Pi-приближение метода сферических гармоник для нахождения углового распределения интенсивности излучения и плотности потока результирующего излучения для плоского слоя поглощающей, излучающей, и изотропно рассеивающей серой среды с по стоянной температурой Го. Граничные поверхности 1 и 2 с координатами t == О и т = То поддерживаются при постоянных температура) Т и Т% соответственно. Предполагается, что поверхности серые, диффузно излучающие, имеют степени черноты, равные ei и ег, а их отражательные способности выражаются как сумма диффузной и зеркальной составляющих = р + pf, i = 1 или 2. Математически рассматриваемая задача может быть описана уравнением [c.442]

Хотя для представления угловой зависимости потока нейтронов выше использовались полиномы Лежандра, обычно говорят, что система уравнений (3.5) получена с помощью метода сферических гармоник. В плоской геометрии, однако, не обязательно раскладывать угловую зависимость потока по сферическим гармоникам из-за симметрии потока нейтронов относительно оси х разложение можно провести по тем сферическим гармоникам, которые симметричны относительно оси вращения, а именно по полиномам Лежандра (см. Приложение). Более общие случаи, в которых такое разложение невозможно, будут обсуждаться в настоящей главе ниже. [c.102]

В настоящем разделе рассмотрено развитие многогруппового метода сферических гармоник для зависящих от энергии задач. Посколь-[<у геометрическая зависимость имеет такой же характер, как для односкоростной теории, описанной в гл. 3, большая часть обсуждений связана с плоской геометрией. Однако результаты гл. 3 будут использоваться для получения уравнений в более общей геометрии. [c.135]

Методы дискретных ординат и связанные с ними методы получения численных решений зависяш,его от энергии уравнения переноса широко используются в реакторных расчетах. В основе этих методов лежит то, что в отличие от разложения по сферическим гармоникам (см. гл. 3 и 4) угловое распределение потока нейтронов оценивается в различных дискретных направлениях. Рассматривая достаточное количество направлений, можно, в принципе, получить решение уравнения переноса с любой желаемой степенью точности. Единственным ограничением здесь могут быть лишь возможности электронно-вычислительных машин. Ниже показано, что некоторые разновидности этих дискретных методов связаны с методом сферических гармоник. [c.168]

При решении практических задач методом дискретных ординат вводятся с помощью многогруппового приближения дискретные энергетические переменные, а для описания пространственной зависимости, как и в предыдущей главе, используется дискретная пространственная сетка. Следовательно, все независимые переменные стационарного уравнения переноса, а именно пространственная переменная г, направление Й и энергия Е, рассматриваются как дискретные. По сравнению с методом сферических гармоник отличительным свойством метода дискретных ординат является то, что угловая переменная (или направление) считается дискретной. [c.168]

Прежде чем приступить к изучению некоторых специальных наборов величин Хь рассмотрим соотношение между методами дискретных ординат и сферических гармоник. В методе сферических гармоник входящие в уравнение интегралы имеют вид 1см. уравнение (2.58)] [c.171]

Методы, обсуждаемые в настоящей главе, основаны на представлении угловой зависимости потока нейтронов, т. е. зависимости Ф от направления й, в виде ряда по полной системе ортогональных функций (полиномы Лежандра в простых геометриях и сферические гармоники в общем случае). Эти разложения ограничиваются несколькими членами, что позволяет получить решаемые на практике уравнения. Пространственную зависимость потока нейтронов обычно получают не в виде непрерывных пространственных функций, а с помощью введения дискретной пространственной сетки и вычисления потока в узлах этой сетки. [c.100]

Все методы решения уравнения переноса, представленные в настояш ей главе, основаны на разложении потока нейтронов в ряд по сферическим гармоникам (или полиномам Лежандра) и последуюш,ем выводе уравнений для коэффициентов разложения с помощью свойства ортогональности полиномов. [c.131]

Поскольку функция г 5к непрерывна, при г = она сохраняет вид, определяемый атомной задачей [см. формулы (11.9) — (11.11)]. Приближение метода ККР (который вплоть до настоящего момента был точным для МТ-потенциала) сводится к предположению, что для задания фк с разумной степенью точности в разложении (11.11) достаточно оставить лишь конечное число (скажем, Ы) сферических гармоник. Подставляя усеченное разложение в (11.23), умножая на У 1т (0, ф) и интегрируя получающееся выражение по телесному углу йЫф для всех 1шт, входящих в это разложение, получаем систему N линейных уравнений для А1т, входящих в разложение (11.11). Коэффициенты в этих уравнениях зависят от 1(к) и к ерез а также через радиальную [c.208]

В работах В. М. Александрова и Д. А. Пожарского [7,49,50] исследуются пространственные контактные задачи для упругого конуса. При помощи разложения векторных функций по полной системе векторных гармоник на поверхности конуса [25] с использованием интегрального преобразования Меллина и ряда Фурье выводится интегральное уравнение контактной задачи для пространственного конуса. Используются сферические координаты р, Г], ф. Для осевой симметрии находятся [50] однородные решения для конуса, включая корни характеристического уравнения при разных углах конусности 2а, полезные при решении контактных задач для усеченного конуса. Рассматриваются задачи о взаимодействии конуса с жестким [49] или деформируемым [50] кольцевым бандажом. Используются асимптотические методы больших и малых Л , где параметр Л характеризует относительную удаленность бандажа от вершины конуса. Численный анализ свидетельствует о смыкании разных асимптотических решений в определенном диапазоне значений Л, зависящем от а. [c.191]

До сих пор обсуждение метода сферических гармоник касалось плоской геометрии. Здесь же рассмотрено применение этого метода и к другим геометриям. Для системы, симметричной относительно некоторой точки, мол<но использовать сферические координаты. Ниже показаь о, что уравнения метода сферических гармоник в таких координатах очень похожи на те же уравнения в плоской геометрии. Такие системы рассмотрены в настоящем разделе, а более общие геометрии, для которых разложение потока нейтронов в ряды по полиномам Лежандра неприменимо, описаны в разд. 3.3.3 для Рх-приближения. Использование метода сферических гармоник в цилиндрической геометрии рассмотрено в разд. 3.6.2. [c.111]

Когда Р1-приблпжение несправедливо, но геометрия системы достаточно проста, можно использовать, как показано в разд. 4.3.1 для плоской геометрии, миогогрупповые уравнения метода сферических гармоник более высокого порядка. Подобным же образом можно развить миогогрупповые методы на основе любых приближений, рассмотренных в гл. 3, для описания угловой зависимости потока нейтронов. Методы, отличные от рассмотренных и обладающие высокой точностью, обсуждаются в следующей главе. [c.155]

Математические трудности, возникающие при решении ин-тегродифференциальных уравнений, привели к появлению ряда приближенных методов решения уравнения переноса излучения. В приближениях оптически тонкого и оптически толстого слоев (последнее называется также диффузионным приближением, или приближением Росселанда) используются упрощения, вытекающие из предельного значения толщины среды. В приближениях Эддингтона и Шустера — Шварцшильда упрощения связаны с введением допущений об угловом распределении интенсивности излучения. В методе экспоненциальной аппроксимации ядра интегроэкспоненциальные функции в формальном решении заменяются экспонентами. Метод сферических гармоник, метод моментов и метод дискретных ординат — наиболее разработанные методы, позволяющие получить приближения более высоких порядков. [c.340]

Метод моментов, описанный Круком [22], и метод дискретных ординат, рассмотренный Чандрасекаром [2] и Кургановым [3], позволяют получить приближенные решения уравнения переноса излучения более высокого порядка. При этом, как было показано Круком [22], метод моментов, метод дискретных ординат и метод сферических гармоник совершенно эквивалентны. [c.372]

Хотя разностные уравнения были выведены здесь для диффузионного приближения, аналогичные уравнения можно легко получить н для Р1-прибли-ження. Когда диффузионное или Р -приближение оказывается недостаточным для представления угловой зависимости потока нейтронов, то можно использовать более общие разложения в методе сферических гармоник. Их применение к плоской и сферической геометриям уже было рассмотрено, а для цилиндрической геометрии описано в разд. 3.6.2. Для более сложных геометрий методы сферических гармоник оказываются настолько сложными, что обычно используются другие, особенно метод дискретных ординат (см. гл. 5) и метод А1онте-Карло. [c.123]

Для расчета распределения потока нейтронов в цилиндрической геометрии часто применяют метод сферических гармоник. Для реактора в целом обычно вполне пригодно диффузионное или Рх-приближение, описанные в предыдущих разделах настоящей главы. Однако в отдельной ячейке часто имеются тонкие или сильнопоглощающие области, для которых Р -приближение неприменимо. В этом случае для получения лучших решений уравнения переноса иногда используется метод разложения потока нейтронов в ряд по сферическим гармоникам. Получающаяся система уравнений оказывается более сложной, чем для плоской или сферической геометрии (см. разд. 3.1.2, 3.3.3), из-за наличия зависимости потока нейтронов от двух координат, описывающих направление движения нейтронов. [c.128]

Эти граничные условия идентичны граничным условиям Марка для метода сферических гармоник (см. разд. 2.5.1). Следовательно видно, что метод дискретных ординат с выбранными таким образом квадратурными формулами эквивалентен методу сферических гapмoJШк с граничными условиями Марка. В частности, приближенные интегралы фп, определяемые уравнением (5.4), удовлетворяют тем же самым уравнениям и граничным условиям, что и в методе сферических гармоник. С помощью обоих методов получаются одинаковые потоки нейтронов и собственные значения. Кроме того, если угловая зависимость потока Ф х, х) для х Ф .1г дается обычным разложением по сферическим гармоникам [c.172]

Методы Сэмпсона не допускают непосредственного обобщения на несимметричные течения. Как будет видно ниже, задачу нахождения решения уравнений Стокса, удовлетворяющего условиям на деформированной сфере, для любого порядка по 8 можно свести к последовательности соответствующих задач, требующих удовлетворения более сложных граничных условий на недеформированной сфере. В этом контексте общее решение уравнений Стокса через сферические гармоники, приведенное в разд. 3.2, идеально подходит для наших целей. Для внешних задач, в которых течение жидкости имеет место в бесконечном пространстве вне сферы г = а, общее решение дается уравнением (3.2.31). [c.241]

Очень похожее решение задачи о движении двух близко расположенных сфер дал Вакия [33]. В качестве системы координат он выбирал ту же систему, что и на рис. 6.2.1, так что результат выражается в виде, подобном полученному выше при решении двух задач о движении сфер вдоль и перпендикулярно их линии центров. Применяемый им метод решения несколько отличен от использованного здесь. Хотя также применяется разложение по сферическим гармоникам, гармоники для второй сферы выражаются непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы, после чего из граничных условий на первой сфере а получается одна система соотношений, связывающих определяющие коэффициенты. Таким же образом по граничным условиям на сфере Ъ получается другая система соотношений. Исключая из этих двух систем одну совокупность констант, можно получить бесконечную систему уравнений для другой совокупности констант, определяющих соответствующие гармонические функции. Эту бесконечную систему уравнений Вакия решает методом последовательных приближений, и поэтому расчетная часть у него такая же, как и здесь. Полученные им результаты согласуются с результатами Факсена для двух сфер, движущихся одна за другой, а также с приведенными выше данными для движения сфер как вдоль линии центров, так и в перпендикулярном направлении. [c.307]

Кинч [22] также получил выражения для скорости каждой из двух сфер, медленно движущихся в вязкой жидкости под действием внешних сил. В некотором отношении его метод подобен методу Вакии, поскольку он, как и Вакия, также выражает решения для второй сферы непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы. Однако вместо сферических гармоник он использует представление решения через производные фундаментального решения. В результате получается бесконечная система уравнений, связывающих неизвестные константы, которая решается методом последовательных приближений. Для задач о движении сфер под действием сил, направленных соответственно вдоль и перпендикулярно линии центров, решение доведено до числовых значений. [c.309]

Фамуларо [14] также рассматривал случай сферической частицы, осаждающейся внутри сферического контейнера, используя метод отражений. Первое отражение было получено для случая, когда частица может занимать любое положение внутри контейнера. Для этого было использовано решение Ламба [39] уравнений медленного течения в сферических гармониках (см. разд. 3.2), а также преобразования координат, подобные тем, которые обсуждались выше в этом разделе. Для облегчения расчетов мгновенное движение частицы в произвольной точке разлагалось на (а) дви> жение по направлению к центру сферического контейнера и (б) движение в перпендикулярном направлении. В частном случае, когда движение осесимметрично, можно получить точное решение в биполярных координатах для любого отношения радиусов внутренней и внешней сфер. [c.369]

Все описаппые выше методы могут быть применимы и уже применялись к линеаризованному уравнению Больцмана [13— Г9, 3—5]. Аналогичные методы хорошо показали себя в задачах переноса нейтронов и переноса излучения. Особенно много работ выполнено с помопдью разложения по сферическим гармоникам и полиномам Лежандра [20, 22] и так называемого двойного Ррметода, основанного на кусочно непрерывной аппроксимации [22—23]. [c.393]

В этой главе рассмотрено зависящее от энергии уравнение переноса и развиты некоторые широко используемые методы его решения. Эти методы основаны на разложении потока нейтронов в ряд по сферическим гармоникам (или полиномам Лежандра), как описано в гл. 3. Кроме того, энергетическая переменная рассматривается не непрерывной представляющий интерес интервал энергии разбивается на конечное число дискретных энергетических групп. Разделение энергетического интервала на некоторое число групп привело к использованию терминов многогрупповой метод или многогруппоеое приближение. [c.134]

Проведенный в предыдущем разделе анализ" был основан на многогрупповом диффузионном приближении. Для большинства других приближений, включая и Рх-приближение, также проведен соответствующий математический анализ. Часто нельзя сделать никаких выводов, поскольку система конечно-разностных уравнений не будет соответствовать положительному оператору [23]. Тем не менее общая стратегия внешних итераций успеишо применялась в большинстве многогрупповых задач, включая, например, основанные на разложении в ряд по сферическим гармоникам или на методе дискретных ординат (см. разд. 5.4.3), в которых метод внешних итераций не имеет прочной математической основы. При таких условиях метод внешних итераций не всегда должен приводить к устойчивому численному решению тем не менее на практике он оказывается очень плодотворным. [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...