Траектории и интегралы движения

П.1. Траектории и интегралы движения [c.354]

При исследовании движения материальной точки в пространстве следует обратить внимание на определение сил, дей-ствующ,их на материальную точку. Без этого невозможно определить траекторию и характер движения точки. Особенно большое значение имеют задача о движении тяжелой материальной точки в пустоте и задача о движении материальной точки в центральном силовом поле. При исследовании движения большое значение приобретают общие теоремы динамики материальной точки. При решении задач необходимо использовать эти теоремы и их первые интегралы. Рассмотрим несколько конкретных примеров. [c.54]

Задача 1. Выписать интегралы движения, построить траектории и множества (Тд) для гармонического осциллятора [c.150]

Первый вывод, следующий из (5.406), относится к случаю двух периодических орбит, каждая из которых является допустимой орбитой это означает, что полная энергия Е является интегралом движения и, следовательно, не варьируется на траектории. Если обозначить через т период движения по орбите, мы получим [c.145]

В исследованиях, описанных выше, предполагалось, что движение п тел регулярно, т. е. происходит без соударений и удаления на бесконечность. Между тем изучение особых траекторий динамических задач вообще и задачи п тел в частности имеет очень большое значение для определения условий, при которых данное движение будет устойчивым или неустойчивым. Могущественные методы качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений, созданные А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре, позволяют проникнуть в природу механического движения и исследовать особенности интегралов дифференциальных уравнений, описывающих это движение. Потребность в качественных методах исследования вызвана тем, что многочисленные и очень важные задачи механики, математического анализа, геометрии, математической физики и прикладных наук приводят к дифференциальным уравнениям, не интегрирующимся в конечном виде. Таким образом, возникает необходимость в разработке методов изучения свойств функций непосредственно по дифференциальным уравнениям, их определяющим. Вот почему доказательство теорем существования, изучение критических точек, особых траекторий и устойчивости решений составляли и составляют фундамент исследований ряда крупных отечественных и зарубежных ученых [c.111]

Чтобы предсказать эволюцию системы с заданным гамильтонианом Я и заданным начальным состоянием (q ( o),p( o)), необходимо проинтегрировать уравнения движения (1.1.1) и найти фазовую траекторию q t),p t)). Для решения этой задачи важное значение имеет наличие интегралов движения i q p). Каждая траектория характеризуется некоторыми фиксированными значениями i динамических переменных i q p) которые определяют в фазовом пространстве системы подпространство r q,p i ), доступное для фазовых траекторий. Для системы из N частиц, описываемой гамильтонианом (1.1.2) с Ф (г, ) = О, важными интегралами движения являются энергия Я, число частиц полный импульс Р и полный момент импульса L. [c.13]

В этом примере помимо рассмотренных интегралов движения (т. е. полной энергии и а — ао) еще один интеграл получается исключением t из (6.10). Проекция поверхности уровня на физическую плоскость есть не что иное, как траектория, соответствующая заданным начальным условиям из рис. 9 ясно, что траектория будет проходить достаточно близко к любой точке прямоугольника, если отношение (6 os ао)/(а sin ао) не является рациональным числом если это отношение иррационально, то траектория подходит сколь угодно близко к любой точке прямоугольника. Это справедливо также и для плоскости (u,v), в которой траектории не кусочно прямые, а кривые здесь уравнения (6,10) представляют траектории движения, получаемого наложением двух ортогональных гармонических движений с частотами / /(4а), R/ 4h), т. е. в результате возникают общеизвестные фигуры Лиссажу, которые, как мы знаем, являются плотными в квадрате —1 < < 1, —1 < < 1, если отношение между частотами — иррациональное число. [c.38]

Положение материальной точки на кривой определяется всего одним параметром. Такое движение называют однопараметрическим. Если действующие на точку силы обладают силовой функцией, то движение будет происходить в соответствии с интегралом живых сил. Для изображения состояния движения материальной точки удобно воспользоваться понятием фазовой плоскости, т. е. плоскости, на которой переменные и V рассматриваются как декартовы координаты точки. Каждая точка фазовой плоскости изображает определенное состояние материальной точки, поэтому такую точку называют изображающей. При движении материальной точки изображающая точка будет описывать некоторую кривую, которая называется фазовой траекторией и не является действительной траекторией движения. Скорость движения изображающей точки называется фазовой скоростью, которая не является скоростью настоящей материальной точки. [c.263]

В главе рассматривается метод идентификации вращательного движения тела и его параметров по результатам измерений. Метод основан на использовании в критерии оптимальности оценивания первых интегралов движения или медленно меняющихся функций, зависящих от компонентов вектора измерений. На внеатмосферном участке траектории спуска измеряемыми параметрами являются компоненты вектора угловой скорости, а на атмосферном участке — компоненты вектора угловой скорости и компоненты вектора перегрузки. На внеатмосферном участке предлагается восстанавливать компоненты тензора инерции, а на атмосферном — аэродинамические характеристики тела. Предлагаемый интегральный метод оценивания инвариантен к величине шага и требует малого объёма вычислений за счёт использования интегралов движения или усреднённых уравнений. Приводятся результаты сравнительного численного анализа интегрального метода и метода наименьших квадратов (МНК). [c.144]

Остановимся теперь на важном для нас случае столкновения двух частиц. Выберем в качестве одной из координатных плоскостей плоскость, проходящую через траектории обеих частиц перед столкновением. В этом случае четыре интеграла движения тождественно обращаются в нуль (две компоненты моментов импульса и по одной компоненте импульса и скорости движения центра тяжести). Остаются, таким образом, шесть интегралов, которые, однако, еще в некоторых отношениях существенно неравноправны. Действительно, как мы увидим далее, скорость системы координат, связанной с центром тяжести, целиком определяется энергией и импульсами сталкивающихся частиц, и поэтому оставшиеся интегралы не независимы. [c.10]

Уравнение траектории частицы г = г (ф) в плоскости (17.10) можно получить двумя способами. Во-первых, в некоторых случаях это можно сделать, исключая время I из функций г () и ф (/), определяемых вторыми интегралами движения (17.8) и (17.9). Кроме того, уравнение траектории частицы, движущейся в любом центрально-симметрическом поле и (г), можно представить в виде квадратуры. Действительно, исключая из уравнений (17.4) и (17.7) дифференциал времени Ш, получим [c.107]

Следует отметить, что в формуле (1.6) точки q и q" лежат на одной и той же траектории. Поэтому интегрирование должно производиться по этой траектории. Однако в том и только в том случае, когда число интегралов движения равно N (т. е. числу степеней свободы системы), выражение (1.3) для dS является полным дифференциалом и, следовательно, интегрирование в (1.6) может быть произведено ио любому контуру с началом в точке д и концом в точке q". Следующее упрощение при вычислении интеграла (1.4) [168] связано с тем, что величина S/li 1, и поэтому функция g(E) должна определяться в классическом приближении точками, где величина 5 имеет экстремум, т. е. [c.211]

Из (7.10) следует, что в резонансном приближении (7.11) можнО ввести два независимых квантовых числа и выразить энергию как функцию этих чисел. Существование полного набора (двух) интегралов движения позволяет также получить в резонансном приближении (7.11) точное решение (см. обзор [193]). Это решение описывает периодическую со временем перекачку энергии из атомов в иоле и обратно. Фазовое пространство системы имеет особую траекторию — сепаратрису (см. нпже), которой соответствует полное преобразование энергии из атомов в поле или обратно. Поэтому влияние отброшенного нерезонансного члена Наг может оказаться существенным. [c.237]

Хотя работы Пуанкаре и Биркгофа продемонстрировали чрезвычайную сложность топологии фазового пространства, вопрос об эргодичности движения, т. е. о том, покрывает ли траектория всю энергетически доступную область фазового пространства или же она ограничена какими-то интегралами движения, оставался до недавнего времени без ответа. Теорема Колмогорова [229], доказанная при различных ограничениях Арнольдом [10] и Мозером [308] (теорема KAM), утверждает, что при возмущении интегрируемых систем инвариантные поверхности сохраняются для большинства начальных условий. Хотя движение вблизи сепаратрисы каждого резонанса и является стохастическим, оно ограничено соседними инвариантными поверхностями и не является эргодическим. В гл. 3 мы рассмотрим теорию KAM и связанные с ней топологические результаты, которые служат обоснованием многих методов, описанных в этой книге. [c.15]

Отсюда видно, что фазовая плотность f оказывается постоянной вдоль траектории звезды в фазовом пространстве она является также функцией шести величин, которые остаются постоянными вдоль траектории звезды в фазовом пространстве. В этом и состоит теорема Джинса. С учетом уравнения (15.30) также видно, что координаты и компоненты скорости входят в выражение для фазовой плотности только в комбинациях, которыми являются интегралы движения. [c.490]

Таким образом, задача о движении в центрально-симметричном поле оказывается для механики фундаментальной. То, что она решается в конце курса, объясняется необходимостью опираться при ее рассмотрении на положения и методы, развитые в курсе ранее. Но к анализу отдельных сторон движения под действием центральных сйл мы обращались уже не раз. Так, было установлено, что при движении точки в поле центральной силы сохраняется момент импульса, а траекторией движения служит плоская кривая (см. 10). Рассматривался пример (12.7) получения вторых интегралов движения, задача о движении системы двух взаимодействующих точек сведена к движению одной точки. В этой главе курса изучим движение материальной точки в поле центральной силы подробнее. [c.228]

Чтобы описать Я-переход, мы должны разобраться в том, что происходит при низких температурах. Каждую траекторию в интеграле можно наглядно представить себе как движение определенной частицы жидкости из одной точки пространства в другую. При этом переменную и можно рассматривать как время, а Х (и)—как координату /-Й частицы в момент времени и. Если при этом перемещении частицы величина х,- (м) становится слишком большой или потенциал V принимает слишком большие значения, то данная траектория дает лишь малый вклад в интеграл. Потенциал 1/[х,-(и)—Ху(ы)] становится большим, если в момент времени и частицы г и оказываются близко друг к другу. Конечно, мы не утверждаем, что х,- ( ) действительно является координатой некоторого атома в реальный момент времени. Но такой способ описания позволяет эффективно использовать физические интуитивные представления. [c.393]

Задачу теоретического обоснования замены временных средних фазовыми обычно называют эргодической проблемой (иногда впрочем этим термином пользуются для обозначения других родственных задач, более узких или, наоборот, более широких). При этом почти всегда речь идет именно о средних значениях фазовых функций на данной поверхности постоянной энергии. Приступая к краткому отчету об истории и современном состоянии эргодической проблемы, мы должны поэтому прежде всего постараться понять, почему наша теория выбирает именно эти фазовые средние. Дело в том, что с чисто теоретической стороны такой выбор на первый взгляд представляется случайным и произвольным. Обычно обосновывают такую концепцию фазовых средних следующим образом так как энергия является интегралом движения, то всякая траектория целиком лежит на одной из поверхностей постоянной энергии значения изучаемой функции в точках фазового пространства Г, лежащих вне этой поверхности не принимают никакого участия в формировании временных средних, а потому, естественно, не должны учитываться и при вычислении фазовых средних, если мы хотим, чтобы эти фазовые средние были близки к временным. [c.35]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Однако в общем случае приходится использовать методы теории возмущений для приближенного вычисления винеровских интегралов. Последние широко используются не только в теории брауновского движения, но и (с некоторыми изменениями) в квантовой статистической физике, в физике полимеров, в квантовой механике (фейнмановские интегралы по траекториям) и в ряде других областей физики и математики. [c.95]

В частности, топологич. интегралом движения является число частиц N в классич, динамике, где исключены процессы рождения и уничтожения частиц. Действительно, если конфигурац. пространство N частиц обозначить через Су, то для конфигурац. пространства произвольного числа частиц справедливо представление = lJ iv, N—Q, I, 2..... Это означает, что каждая связная /-тая компонента в указанном разбиении для С характеризуется собств. числом частиц iVj и в классич. динамике отсутствуют непрерывные траектории, связывающие компоненты конфигурац. пространства с различными Nj. Наличие подобного разбиения является необходимым критерием для введения нетривиальных Т. 3. Т. о., закон сохранения числа частиц в классич. динамике есть следствие непрерывности траекторий частиц, и динамич. система с числом частиц Af,, принадлежащая в нач. момент времени компоненте Сц,, во все последующие моменты будет находиться в той же компоненте. Аналогичное утверждение верно и для квантово-механич. систем, получающихся при первичном квантовании классич. системы. [c.132]

Последние уравнения можно рассматривать следующим образом. Мы нашли 2N функций, и от фазовых переменных 9, р, а также от времени, которые обладают свойством оставаться постоянными вдоль любой траектории динамической системы Еще более четкая картина получится, если из этих 2N уравнений исключить зависимость от времени. Тогда останется множество 2N — 1 функций тллько от переменных фазового пространства. Эти функции обладают свойством оставаться постоянными вдоль любой траектории их можно обозначить специальными символами Ф (д, р), / = 1, 2,. . ., 2ЛГ — 1. Такие функции называются интегралами сохранения, или просто интегралами, или кон-стлнтлми движения. Таким образом, мы в самом общем виде установили существование 2N — 1 интегралов движения. Приписывая интегралам движения множество численных значений [c.355]

Н. Г. Четаевым, который предложил взять линейную комбинацию (с постоянными коэффициентами) левых частей первых интегралов системы дифференциальных уравнений движения (либо их квадратов и произведений), подобрав коэффициенты так, чтобы это выражение было положительно знакоопределенной функцией. Сам Четаев таким образом исследовал устойчивость движения продолговатого снаряда по настильной траектории и получил обоснование известного критерия устойчивости, выведенного в свое время выдающимся баллистиком Н. В. Маиевским. [c.135]

В основе указанных сомнений лежали рассуждения следующего типа. Рассмотрим какой-нибудь, отличный от энергии интеграл движения и выберем две точки поверхности заданной энергии, в которых значения этого интеграла различны (такие точки должны найтись, так как иначе этот интеграл не был бы независимым от интеграла энергии). Пользуясь непрерывностью этого интеграла, молено выделять такие, достаточно малые окрестности этих точек, что интервалы изменения рассматриваемого интеграла в этих двух окрестностях не перекрываются. Тогда, выбирая за ту функцию, для которой образуется среднее по времени, характеристическую функцию первой из окрестностей, т. е. функцию, равную единице в точках этой окрестности и нулю вне ее, получим, что среднее по времени значение этой функции для всех траекторий, исходящих из точек второй окрестности, равно нулю. Для эргодических же систем это среднее почти для всех начальных состояний должно быть равно фазовому среднему, т. е. отношению меры первой окрестности к мере всей поверхности заданной энергии. Совершенно аналогичное противоречие констатировалось также в другой форме для систем, обладающих свойством метрической транзитности,— свойством эквивалентным (для систем с фазовым пространством конечной меры) эргодичности на основе непрерывности интегралов движения (точнее говоря, их измеримости) показывалось, что метрически транзитивные системы невозможны [23]. [c.120]

Такие задачи наиболее успешно решаются при помош и уравнений движения, полученных на основании вариационного принципа, доставляюш его экстремальное значение интегралу от некоторой скалярной функции, определенной на траектории движения. [c.71]

Ясно, что интегралы движения такого же вида, что и интеграл, соответствующий рассмотренной выше траектории, не препятствуют достижению любой области фазового пространства. Кром того, если не существует предпочтительных областей, т. е. если соответствующие траектории проходят одинаковое число раз (в течение длительного времени) через каждую область заданных размеров, то эти интегралы не накладывают никаких ограничений на какую-либо физически измеряемую величину и. [c.38]

РиГи2 неприводимые жений (см. рис. 1.11) яспо, что при пол-контуры С, и Сг не МО- ном наборе интегралов движения тор, на гут быть стянуты в точ- который навивается траектория, является ку или переведены друг инвариантным (это следует и из теоремы в друга. Лиувилля). Поэтому разрушение интегра- [c.24]

Действительно, вид траектории зависит от энергии Е как от параметра. Зафиксируем типичный цикл , соответствующий энергии Е, и возмутим теперь в нем паралхетр Е на малую величину АЕ. Поскольку типичному циклу соответствует, как уже отмечалось, некоторое типичное время цикла т, то возникает следующий вопрос как прп сколь угодно малых возмущениях параметра траектории (АЕ -> 0) получить на конечном интервале времени ( т) конечное изменение действия >2я Ясно,, например, что это невозмоншо в случае устойчивых траекторий, так как изменение действия Д5 прп переходе от значения энергии Е Е + АЕ должно стремиться к нулю при АЕ О и никаким образом нельзя удовлетворить неравенству (5.5). Существенную роль в устойчивом (не стохастическом) случае играет также то обстоятельство, что время цикла т(Е) однозначно определено. Уже из приведенных рассуждений ясно, почему расталкивание уровней должно быть сильнее в устойчивом случае (т. е. при существовании полного набора интегралов движения), чем в неустойчивом (стохастическом) случае, где время циклов т( ) распределено случайным образом (см. формулу (5.1)) и, кроме типичных циклов с типичным временем возврата т, есть любые нетипичные циклы с произвольными % Е). Поэтому чем сильнее неустойчивость траектории относительно малых возмущений ее параметров, тем слабее расталкивание уровней. [c.227]

Менее ясным в настоящее время является вид волновых функций квантовых Я-спстем. В работе [73] было высказано предположение о том, что при разрушении интегралов движения и возникновении стохастпчпости классических траекторий волновая функция квантовой Я-системы должна быть случайной функцией координат. Иныхш словами, волновое ф-поле должно быть случайным. [c.235]

Полезно отметить определенную устойчивость правил квантования (1.2). Она связана все с тем же свойством движения существованием точно N интегралов движения. Предположим, что мы хотим огрубить траектории и вместо бесконечно малой области dq в окрестности точки q рассмотреть конечную область Дд. Другими словами, пусть суммирование в формуле (1.9) производится не по точным замкнутым орбитам, а по таким, которые замыкаются в малой, но конечной области фазового пространства ДГ. Одпако реальная траектория системы ие может сойти со своего тора и перейти на другой тор (без наличия возмущения). Поэтому точность в определении велпчпн h. будет та же ДГ. Следовательно, правила квантования (1.2) будут определяться с той же относительной точностью, с которой отбираются периодические траектории. Именно поэтому, в частности, оправдан переход от точрюго выражения (1.4) к асимптотической формуле (1.5), полученной методом перевала. [c.243]

Разреженный газ при не очень низкой температуре представляет собой наиболее удобный объект для обсуждения проблем необратимости. Необратимость классического газа рассматривалась со многих точек зрения, начиная с выдающихся работ Больцмана. Необратимость в квантовом газа также является предметом достаточно глубокого теоретического анализа. Необходимость рассмотрения необратимости на микроуровне, т.е. в квантовых процессах, многократно подчеркивалась Пригожиным и его сотрудниками [53, 55, 56]. Они обращают особое внимение на то, что классический предел разреженного газа соответствует классическому хаосу с разбегающимися траекториями в фазовом пространстве без интегралов движения. Соответственно, они пытаются развить такой математический аппарат для их описания, который автоматически приводил бы к коллапсам волновых функций. [c.184]

Поэтому последовательные пересечения должны лежать на некоторой инвариантной кривой, определяемой уравнением (1.2.46) с 92 = onst. Таким образом, существование интегралов движения можно определить из анализа пересечений траекторий с поверхностью Y,r- После того как существование интеграла установлено, можно исследовать локальную устойчивость и другие интересные свойства инвариантных кривых. [c.33]

Метод сечения Пуанкаре можно обобш,ить и на системы с числом степеней свободы Л/ >2. Для независящего от времени гамильтониана системы с N степенями свободы размерность энергетической поверхности в фазовом пространстве равна 2N—1 [рис. 1.3, в (/) [. Исключим, как и раньше, одну из переменных, например рд,, и рассмотрим последовательные пересечения траектории с (2N—2)-мерной поверхностью дг = onst с координатами р ,. . . , рл-i, 1,. . . , [рис. 1.3,6 (2)]. При этом поверхность сечения по-прежнему представляет собой сокращенное фазовое пространство с сохраняющимся объемом. В случае существования одного или более интегралов движения все пересечения будут лежать на одной поверхности, размерность которой меньше 2N—2. В противном случае они будут заполнять некоторый 2N—2)-мерный объем. [c.34]

Регулярные траектории. Из-за того что зависимость регулярных траекторий от начальных условий оказывается разрывной, их присутствие еще не означает наличия в системе изолирующего (глобального) интеграла или определенной симметрии. Однако там, где такие траектории существуют, им соответствуют точные интегралы движения. Для регулярных траекторий угловые переменные зависят от времени либо квазипериодически (типичный случай), либо периодически. В первом случае частоты движения несоизмеримы, и траектория плотно покрывает поверхность инвариантного тора, заданного сохраняющимися значениями переменных действия. В последнем случае траектория замыкается через целое число оборотов вокруг тора (более полное представление об инвариантных торах дано в гл. 3). Наиболее удобными методами исследования регулярных траекторий являются теория возмущений и метод сечения Пуанкаре, рассмотренный в 1.2. [c.60]

Для более высокой начальной энергии Е = 0,125 наблюдается три типа траекторий простая инвариантная кривая как и при низкой энергии многопетлевая траектория, например представляющая цепочку из пяти маленьких островов, подобная изображенной на рис. 1.10, е, для которой пересечения перескакивают от одной петли к другой, и, по-види- юмy, эргодическая траектория (аналогичная изображенной на рис. 1.10, е) с пересечениями в случайных точках. Для последней траектории переменные действия не только не являются интегралами движения, но и не могут быть получены из разложений теории возмущения, С другой стороны, даже для граничной энергии (Е = 1/6) интегралы сохраняются в малых изолированных областях фазовой плоскости. Присутствие таких островов устойчивости означает существование интеграла движения вблизи первичного резонанса, связанного с частотами невозмущенных колебаний по х и у. Методы вычисления таких интегралов, а также разме- [c.66]

Однако в том случае, когда внешнее случайное воздействие мало по сравнению с внутренним возмущением в самой системе, необходимо исследовать их совместное действие. Если, например, слабый внешний шум действует на систему в устойчивой области, то траектория движения не останется, конечно, на гладкой инвариантной кривой. Однако скорость изменения интегралов движения будет определяться при этом, вообще говоря, лишь слабым шумом ). Такая устойчивость существенна как для реальных физических систем, всегда подверженных действию шума, так и при численном моделировании с его неустранимылш ошпбкалш счета. [c.333]

Для траектории x(t) системы (15) в одной течке xiio) вычисляются значения интегралов движения gi = UW, g3 = —7 Ф, и с помощью корней j, Сц, уравнения 4J — 3 = 0 ( g R) по (24), (25) вычисляются примитивные полупериоды i, tOj функции (г gi, gi) = =. (2 (0,, (Оа), где 5(x(/)) = 3i ( + (0.,-/, g,), (Xi+ +л 2 + - з)(Л) = 0, /i = onst. [c.294]

Запись уравнения Эйлера (12) в виде (13) была предложена Манаковым [165], который заметил, что уравнения (12) получаются как частный случай рассмотренных Дубровиным систем (8) при ЛГ= 1, В = А. Из записи (13) уравнения (12) вытекает существование набора интегралов движения (см. 1) и полная интегрируемость уравнений движения п-мерного твердого тела, являющихся гамильтоновой системой на орбитах коприсоеди-ненного представления ортогональной группы SO(n) (см. 1). Из формул для интегралов движения а,, пока не удалось получить явные формулы для траекто зий системы (12). Дубровин получил явные формулы для траекторий общего вида системы (8), и, в частности, для траекторий уравнения Эйлера (12) (см. [108]). Вопрос о том, как выделить из полученных рмул для траекторий системы (12) формулы, отвечакнцие движениям п-мерного твердого тела (т. е. вещественным кососимметрическим М, Q), остается открытым. [c.335]

Таким образом, движение рассматриваемого не вполне симметричного тяжелого гироскопа (по отношению к неподвижным в нем осям) характеризуется тем, что траектория одной точки (как например, точки fii) как бы заменяется некоторой частью плоскости pOq , точки которой делаются ей в сущности одинаково доступными, что лишает выводы о формах таких траекторий привычной нам математической четкости. Подобные факты, существующие и в движении гироскопа Лагранжа, Hanpniifep в движении (но уже в пространстве) его вершины и в других случаях движений, в данной задаче особенно выступают вперед. Кроме траекторий точки fii, здесь можно изучать подобные же свойства в движении и других точек и между прочим самой точки fi, конца вектора угловой скорости, который перемещается уже не по плоскости pOq , а по некоторой кривой поверхности, уравнение которой нетрудно найти путем исключения у, у и у" из уравнений четырех интегралов. Тут тоже точка fi будет описывать не линию в обычном смысле, но как бы целые участки такой поверхности, и определенные начальные условия не будут вообще заметно отличать ряд последовательно сменяющих их положений гироскопа от другого подобного ряда, "следующего за совсем другими начальными положениями и только несколько иначе ориентироваснного во времени по отношению к своему началу движения. [c.87]

Математическая теория основана на том факте, что уравнения движения Гамильтона (1.1) определяют непрерывное точечное преобразование (или отображение) в фазовом ьространстве, которое сохраняет опредедеиную меру. Это известная теорема, называемая теоремой Лиувилля. Возьмем произвольную совокупность фазовых точек или, для большей наглядности, некоторую область фазового пространства, имеющую определенный объем. Если границы области изменяются с течением времени, то фазовые точки движутся ио естественным траекториям, но мера этой совокупности, или величина объема деформированной области, остается инвариантной.. Другими словами, естественное движение напоминает течение несжимаемой жидкости в 2/-мерном фазовом пространстве. Если существуют некоторые интегралы движения, то движение фазовых точек может происходить лишь в ограниченных частях эргодической поверхности. Однако обычные динамические системы не имеют других интегралов [c.104]

Вторым интегралом движения может являться, например, начальное (в некоторый заданный момент времени) значение координаты частицы Хц, вьфажениое в функции от времени и текущей координаты вдоль траектории ХаЬ, х). [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...