Пространство произвольного числа

ПРОСТРАНСТВО ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧИСЛА ИЗМЕРЕНИИ [c.551]

Пространство произвольного числа измерений 551 [c.778]

Рассмотрим перенос примеси потоком в пространстве произвольного числа измерений. Будем считать поток квазиодномерным, полагая среднюю скорость зависящей от одной координаты, а флуктуации зависящими от всех координат. Будем также считать движение жидкости установившимся. Это обстоятельство, отсутствующее, например, в процессе турбулентной диффузии, придает неодномерной фильтрационной дисперсии специфические черты и требует специального анализа. [c.233]

Построение уравнений плоской поверхности с произвольным контуром. Простой плоской ограниченной поверхностью будем называть часть произвольной плоскости, ограниченную составным замкнутым контуром. Для вывода уравнения плоских ограниченных поверхностей предположим, что в пространстве xyz произвольно ориентирована конечная часть плоскости, ограниченная произвольным числом к = I, 2,. .. любых кривых линий, лежащих в этой плоскости (рис. 7.5). Пусть эти кривые линии заданы параметрическими уравнениями [c.128]

Ф(/1+/г) = Ф(/1) + Ф(/2). /..лея. Ф(а/) = аФ(/), а—произвольное число Ф(/л) Ф(/) при /я- -/ в смысле сходимости в пространстве Li[D]. [c.216]

В [62] также доказано, что полная н несократимая система совместных инвариантов произвольного числа симметричных тензоров второго ранга в трехмерном пространстве состоит из величин вида (4.22), где в качестве тензоров Xi, Хг, Хз надо взять [c.95]

Как же можно математически характеризовать столь сложные движения Прежде всего рассмотрим эргодическое движение. В этом случае траектория любой отдельной точки пересекает произвольно выбранную область фазового пространства бесконечное число раз (при t схз). Сказанное остается справедливым, где бы ни находилась пробная область и какой бы малой она ни была. Нельзя, однако, сократить эту область до отдельной точки. Известна топологическая теорема, гласящая, что одномерная траектория, даже если она плотно заполняет область более высокого измерения, не может проходить через каждую точку данной области ). Тем не менее можно доказать весьма интересное свойство. Рассмотрим динамическую функцию Ь (х), которая является интегрируемой по фазовому пространству [c.379]

Поскольку все основные операции в дальнейшем будут производиться с координатными векторами (числами), то необходимо установить соответствие между геометрическими преобразованиями репера и изменением координат вектора, определяющего положение фиксированной в абсолютном пространстве произвольной точки М относительно преобразованного репера. [c.23]

В связи с тем, что спин атомов фиксирован, новые операторы я , [l il действуют в пространстве функций от целых чисел N , пробегающих только 2s+l значений О, 1, 2, 2s. Ограничения на числа заполнения отличают новые операторы от обычных бозевских операторов, которые действуют в пространстве функций с произвольными числами заполнения. Удовлетворение условием N 2s создает ряд трудностей, которые не имеют существенного значения только при низких температурах, когда возбужденные состояния близки к основному, т. е. содержат малое число перевернутых спинов, что выражается неравенством [c.108]

Определим предварительно число состояний, обладающих энергией , так как эта величина входит в выражение для функций распределения. При точном рассмотрении кратность вырождения уровней должна определяться нз решения уравнения Шредингера, однако правильные результаты могут быть получены следующим простым способом. Для каждого электрона мы можем ввести фазовое пространство шести измерений, в котором координатами являются три пространственные координаты лг, у, г и трн компоненты импульса р , р и р электрона. Еслн мы разделим затем это фазовое пространство произвольным образом на ячейки объёма А , то можно получить соответствующую плотность состояний, приписывая два состояния каждой ячейке. Эти два состояния соответствуют электронам, движущимся по одной и той же орбите, но с противоположными направлениями спина. Грубо это может быть обосновано с помощью условии, накладываемого на фазовый интеграл в классической квантовой механике, откуда следует, что объём фазового пространства, соответствующий каждому уровню, равен А для каждой пространственной координаты. Следовательно, [c.156]

Таким образом, при изучении многокомпонентного варианта обобщенной квантовой цепочки Тода в качестве начального состояния (ф+(/с)) следует взять вектор Уиттекера (П. 6.4), тогда как конечным (ф (/с)) является произвольный вектор пространства левого регулярного представления X, т. е. Ф (/с) = Е 2 . 11 = - произвольный число- [c.242]

Главная отличительная особенность пространства Фока в том, что оно содержит волновые функции любых систем с конечным (а в остальном произвольным) числом степеней свободы и позволяет определить операторы, естественным образом описывающие рождение и уничтожение частиц с определенными волновыми функциями. Вернемся еще раз к рассмотренному нами примеру, в котором гильбертово пространство 3 реализовано в виде 2 (К ), а частицы подчиняются статистике Бозе. Для всех функций / из определим два оператора аЦ) и а Ц), действующих из в по формулам [c.20]

Из (2.24) видно, что при а = —1 солитон устойчив, а при а = +1 неустойчив. Таким образом, в средах с положительной дисперсией одномерные солитоны неустойчивы, а в средах с отрицательной дисперсией устойчивы. Приведенный здесь метод исследования устойчивости не вполне строг, так как уже третье приближение растет в пространстве при удалении от солитона. Строгое рассмотрение устойчивости можно провести методом ОЗР [0.4]. При этом подтверждаются полученные результаты и показывается, что неустойчивость имеет место только при длинах волн, больших ширины солитона. Это дает повод предполагать, что в двумерном пространстве в средах с положительной дисперсией возможны устойчивые двумерные солитоны. Такие солитонные решения УКП были найдены численно в [2.5], а затем аналитически в [2.6]. В [2.6] были получены и решения в виде набора произвольного числа различных солитонов. Если искать решение (2.13) в виде солитона, [c.33]

Мы построили для каждого п гильбертово пространство, описывающее систему п частиц, и получили в результате бесконечную последовательность -частичных пространств. Во многих процессах число частиц не сохраняется частицы могут создаваться и уничтожаться. Для описания таких процессов необходимо гильбертово пространство, содержащее состояния с переменным числом частиц. Такое пространство мы получим, если просто скомбинируем все -частичные пространства в одно большое пространство, которое мы можем назвать многочастичным пространством. Произвольное состояние в многочастичном пространстве имеет вид [c.196]

Как известно, в общем случае всякое свободно движущееся в пространстве абсолютно твердое тело (рис. 1.3), положение которого определяется тремя произвольно выбранными точками А, В и С, обладает шестью степенями свободы. В самом деле, положение твердого тела в пространстве фиксируется координатами трех его точек Л, В и С, т. е. девятью координатами (х , Уа, л), у в, Zg] и (Хс, Ус, с)- Между собой эти координаты связаны тремя условиями постоянства расстояний АВ, ВС, СА. Таким образом, число независимых параметров, определяющих положение твердого тела в пространстве, равно шести и тело обладает шестью степенями свободы. Движение такого тела может быть всегда представлено как вращение вокруг и перемещение вдоль трех произвольно выбранных взаимно перпендикулярных осей х, у и [c.22]

Условимся называть континуальное множество геометрических точек, расстояния между которыми фиксированы, геометрической твердой средой. Если геометрическая твердая среда задана, то положение произвольной (не связанной с этой средой) геометрической точки будет характеризоваться той точкой среды, с которой рассматриваемая точка совпадает. В этом смысле геометрическую твердую среду можно принять за геометрическую систему отсчета. Бессмысленно было бы пытаться задать положение геометрической твердой среды в пустом однородном и изотропном пространстве. В то же время геометрическую твердую среду можно связать с каким-либо реальным объектом, находящимся в таком пространстве, например с каким-либо материальным телом. Но объектов такого рода много, так что геометрическая твердая среда не единственна и можно ввести множество таких сред, каждая из которых будет абсолютно проницаемой для точек другой среды. Тогда можно определить положение какой-либо геометрической твердой среды относительно любой другой геометрической твердой среды, определив положение каждой точки первой среды относительно второй. В отличие от пустого однородного и изотропного пространства, в каждой геометрической твердой среде может быть различным образом задана система координат как совокупность чисел, которые определяют положение каждой точки этой среды по отношению к некоторым специально выделенным базовым , или основным , точкам. В классической кинематике рассматриваются трехмерные твердые геометрические среды, т. е. среды, в которых для определения положения точки достаточно указать для нее три таких числа в некоторых случаях вводятся в рассмотрение вырожденные среды — двумерные и одномерные. [c.12]

Чтобы завершить доказательство теоремы, нам осталось доказать лишь, что Е не может быть положительным числом. Предположим обратное, т. е. допустим, что >0. Условие = = > О выделяет в фазовом пространстве гиперповерхность S, и если в процессе движения > О, то это означает, что движение Р неограниченно приближается к поверхности S. Действительно, так как изображающая точка q t), q t)) при движении Р расположена в а-окрестности, то, выбирая произвольную последовательность моментов времени th o (k oo), [c.231]

Задача о равновесии должна содержать столько же неизвестных, сколько имеется уравнений равновесия для данной системы сил, поэтому в задачах на равновесие системы сил, произвольно расположенных в пространстве, не может быть более шести неизвестных, а задачи на равновесие системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости, могут иметь лишь по три неизвестных, в противном случае это будут статически неопределенные задачи. Так, например, определение реакций в четырех ножках стула является статически неопределенной задачей, так как имеется лишь три уравнения (44) и число неизвестных в задаче больше числа уравнений равновесия. [c.102]

Возвращаясь к общему случаю совокупности сил, произвольно расположенных в пространстве, заметим, что задача будет статически определенной, если число неизвестных не превышает шести. Рассмотрим, какое число неизвестных вводят в задачу различные способы закрепления тела. [c.52]

Выберем произвольно малое положительное число е (конечно, е [г). На сфере е пространства (рис. 7.3) [c.220]

Преимущество тензорного исчисления в механике сплошной среды обнаруживается особенно тогда, когда мы оперируем с произвольными системами координат. В дальнейшем ограничимся рассмотрением трехмерного евклидова пространства, в котором положение каждой точки определяется тремя числами — координатами. Здесь мы приведем основные сведения из тензорного исчисления. Их изложение не претендует на полноту и строгость дается сводка определений и формул, на которые в дальнейшем будут делаться ссылки. [c.6]

Пусть ф — произвольный элемент пространства. Числа а = = (ф, ф/е) называются коэффициентами Фурье элемента ф в системе а. Для этих коэффициентов справедливо неравенство, называемое неравенством Бесселя [c.126]

В частности, топологич. интегралом движения является число частиц N в классич, динамике, где исключены процессы рождения и уничтожения частиц. Действительно, если конфигурац. пространство N частиц обозначить через Су, то для конфигурац. пространства произвольного числа частиц справедливо представление = lJ iv, N—Q, I, 2..... Это означает, что каждая связная /-тая компонента в указанном разбиении для С характеризуется собств. числом частиц iVj и в классич. динамике отсутствуют непрерывные траектории, связывающие компоненты конфигурац. пространства с различными Nj. Наличие подобного разбиения является необходимым критерием для введения нетривиальных Т. 3. Т. о., закон сохранения числа частиц в классич. динамике есть следствие непрерывности траекторий частиц, и динамич. система с числом частиц Af,, принадлежащая в нач. момент времени компоненте Сц,, во все последующие моменты будет находиться в той же компоненте. Аналогичное утверждение верно и для квантово-механич. систем, получающихся при первичном квантовании классич. системы. [c.132]

Пусть теперь ротор турбины с произвольным числом лопаток заторможен, и пусть суммарное пространство 1№жду всеми лопатками составляет объем W. Если поток стационарен, скорости Vi и во всех межлопаточных пространствах одинаковы по модулю и для всех межлопаточных пространств углы aj и одинаковы, то формула (ПО) с обратным знаком определяет дополнительный тормозящий момент, который должен быть приложен сверх момента МооСм-м лля того, чтобы удержать ротор турбины от вращения. Этот момент, добавленный к Мообмм. определяет угловое ускорение ротора. Формула (ПО) была получена Эйлером и называется турбинной формулой Эйлера. [c.118]

Изложенная нами геометрическая интерпретация равенств (44.5) носит название теоремы лорда Кельвина (Kelvin). Она может быть распространена на произвольное число координат, если ввести в рассмотрение соответствующее многомерное пространство. Пусть положение какой-либо консервативной системы определяется s координатами составим характеристическую функцию 5 для движения этой системы. Функция S служит полным интегралом уравнения (42.40) на стр. 457 и содержит в себе S—1 произвольных гюстоянных й,, s-v кроме аддитивной. Система равенств [c.478]

Сопротивление сдвигу, временное соиротивлен ие и относительное удлинение в монокристалле зависят от направления. Однако металлические детали состоят из очень большого количества кристаллических зерен. В стальном прокате, например, в I см содержатся десятки тысяч зерен. Все они ориентированы в пространстве произвольно. Хотя в каждом кристаллите свойства зависят от кристаллографического направления, в металлическом изделии свойства в любом направлении практически одинаковы. Это объясняетйя тем, что в любом направлении оказывается приблизительно равное число зерен, ориентированных вдоль этого направления осями наибольшей и наименьшей прочности и наибольшей и наименьшей пластичности. [c.23]

Во многих случаях, однако, такая характеристика условий освещения недостаточна. Если мы имеем дело с какой-то частью пространства, пронизанного световыми пучками от произвольных источников, то для полного описания светового режима в выбранной точке необходимо знать яркость всех пучков, которые в ней пересекаются. В общем случае для такого описания потребовалось бы определить очень большое (бесконечно большое) число параметров, что практически невозможно. Вместе с тем многие явления, с которыми нам приходится иметь дело, могут быть описаны (хотя бы приближенно) с помощью одной величины, устанавливающей общий уровень освещения в заданной точке пространства. К числу таких явлений относятся, например, следующие свечение слабомутной среды, которое вызывается присутствием в ней большого числа [c.42]

Поскольку нельзя научиться узнавать произвольные множества объектов за небольшое число показов, то, по-видимому, обучение распознаванию образов возможно только потому, что множества предметов, являюнщеся образами, обладают нек-рым универсальным свойством, достаточным также и для построения У. м. Для простых зрительных образов такое сво11ство было сформулировано в форме т. н. гипотезы компактности образов [1]. Пусть воспринимающее устройство Л1ашины состоит из нек-рого числа элементов-рецепторов (напр., фотоэлементов), При проектировании изображения на воспринимающее устройство каждый из рецепторов возбуждается в той или иной степени. Рассмотрим многомерное пространство с числом осей, равным числу рецепторов па каждой оси будем откладывать число, характеризующее степень возбуждения соответствующего рецептора. Тогда каждому предмету в этом пространстве (т. н. пространстве рецепторов) соответствует точка, а образу (множеству предметов) — множество точек. В гипотезе компактности образов предполагается, что множество точек, соответствующее [c.233]

Пусть т и Т2 — два произвольных числа, причем Т1 < <о> тг > <о-Обозначим через Нх конечную цилиндрическую область пространства 7 , состоящую из всех точек М I, х, у) таких, что Т1 Тг, а х, г/ таковы, что точка (х, у) Сх (рис. 1). Интегральная кривая, соответствующая, решению (1), проходит через точку Мо ( 0. ф to), ф ( о)), принадлежащую области Нх- Но тогда, в силу теоремы (А ) дополнения (о продолжаемости решения до границы области определения, см. 8), эта интегральная кривая выходит из области Их, как при значении, большем 0) так и при значении, меньшем Однако выйти из цилиндрической области Нх через боковую поверхность этой области интегральная кривая не может, так как в этом случае, очевидно, нашлась бы точка N (ф (<), [c.21]

Совокупность этих положений (и их обобщений на случайные величины, принимающие бесконечное число дискретных или непрерывных значений в пространстве любого числа измерений) и всех теорем, которые из них выводятся, мы будем называть формальной теорией вероятностей . Чтобы эта теория могла быть применена в вопросах физики (а также и любой другой конкретной науки, например биологии), нужно, однако, сделать еще один важный шаг — вложить конкретный смысл в понятие вероятности. Дело в том, что во всех приложениях понятие вероятности события отождествляется с относительной частотой его появления при тех или иных условиях. В формальной же теории вероятностей конкретный смысл понятия вероятности остается произвольным. Вероятность никак не связывается с какой бы то ни было частотой появления, и поэтому, в сущности, формальная теария вероятностей может применяться так, что вероятности вообще приписывается смысл, ничего общего с частотой появления события пе имеющий. [c.177]

Разумеется, указанные два способа задания проективно системы координат не являются единственными. Весьма естественным является также следующий способ. Зададим тетраедр О О А, О В, О С) и произвольную точку 7 общего поло женИя и припишем этой точке в качестве координат произвольные числа х,у,г, отличные от О и со. Покажем, что пс ЭТИМ данным можно построить несобственные точки осей. Для этого возьмём в пространстве три произвольные оси 0"Х", О"У", 0" "ина каждой оси возьмём по три точки А", А" А В", В", В , С, С(, Сз", причём две точки в каждой тройке берутся произвольно, а третья определяется из условий [c.104]

Полагая здесь Л = а (или а — 6) и учитывая условие (3), получим также оценку для самой функции (A z)f) X). Оценка для первого слагаемого в левой части (13) показывает, что оператор A z) при всех Z Е и переводит пространство q в q , где ai—произвольное число, меньшее ао . Учтем еще, что операторы v(A,/i) компактны в при всех , fiE r, а s—произвольно. [c.150]

Прямая может быть задана двумя произвольными и принадлежащими ей точками. Зададим прямую / в плоскости Оху, т. е. в (см. рис. 5). Множество всех пар точек в пространстве R является четырехпараметрическим (по две координаты затрачивается на выделение каждой из двух точек). Однако точки, задающие прямую I, могут выбираться на ней произвольно. Следова1ельно, параметры, выделяющие эти точки из множества oqI точек на прямой, не нужны. Пары точек на прямой составляют двухпараметрическое множество, которое необходимо вычесть из общего четырехпараметрического множества пар точек в R" . В принятой нами символике это соответствует выражению оо /оо = oq2. Таким образом, единственная прямая выделяется на плоскости двумя параметрами и множество прямых в пространстве R является двухпараметрическим. Геометрически выбрать параметры прямой на плоскости можно, задавая числа, выражающие длины отрезков а и Ь, которые параметризуемая прямая I отсекает на осях Ох и Оу (см. рис. 5). [c.19]

Описанным способом можно построить любое число прямолинейных образующих, которые вьщелят в пространстве одну единственную линейчатую поверхность. Следует иметь в виду, что нельзя за направляющие брать три различные по форме и произвольно расположенные линии. Произвольно можно задавать только две направляющие, форму и положение третьей направляющей выбирают так, чтобы она находилась внутри конгруенции прямых, определяемой двумя уже взятыми направляющими. [c.95]

Для того чтобы в удобной форме получить эти уравнения, представим себе, что мы выбрали некоторую произвольную систему координат, т. е. выбрали три независимых числа таких, что они однозначно определяют положение точки в пространстве. В этих координатах положения N точек определяются 3N числами — значениями координат всех точек. Сохраняя обозначения Xi, iji, Zi для декартоБЫх координат, введем обозначения q ,...,qn, где n = 3N, для новых координат (цилиндрических, сферических или каких-либо иных) и будем условно называть декартовы координаты старыми , а координаты q ,. .., (/ — новыми . Тогда в силу того, что новые координаты полностью определяют положение всех точек системы, декартовы координаты точек являются функциями новых координат и, быть может, времени [c.124]

Математические модели динамических систем можно классифицировать в зависимости от структуры их фазового пространства Ф и вида оператора Т. Различают случаи непрерывного и дискретного фазового пространства в зависимости от того, какой ряд значений могут принимать величины X, характеризующие состояние динамической системы непрерывный или дискретный. Изменение состояигя X во времени также может быть непрерывным или дискретным. Изменение непрерывно во времени, если h.t — произвольное неотрицательное число, и дискретно во времени, если может принимать лишь некоторые дискретные положительные значения. Операторы Т принято различать по их свойствам и по форме задания. Если оператор Т обладает свойством суперпозиции, то он называется линейным. [c.9]

Всякое движение тел совершается в пространстве и во времени. Движение тел в пространстве рассматривается относительно произвольно выбранной системы координат, которая, в свою очередь, связана, с каким-либо телом, называемь1м телом отсчета. Тело отсчета и связанная с ним система координат называются системой отсчета. Пространство в механике рассматривается как трехмерное евклидово пространство. Все измерения в нем производятся на основании методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается одни метр. Время в механике считается универсальным, т. е. протекающим одинаково во всех системах отсчета. За единицу времени принимается одна секунда. Время является скалярной непрерывно меняющейся величиной. В задачах кинематики его принимают за независимое переменное. Все другие величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как функции времени. В дальнейшем при изучении кинематики и динамики часто используются понятия момент времени / и промежуток времени А/ . Под моментом времени I будем понимать число единиц из.мерения времени 1 (напри.мер, секунд), прошедших от некоторого начального момента (начала отсчета времени), например, от начала движения. Про.нгжутком времени будем называть число единиц времени At = — П, отделяющих два каких-нибудь [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...