Понятие о фазовой плоскости

Положение материальной точки на кривой определяется всего одним параметром. Такое движение называют однопараметрическим. Если действующие на точку силы обладают силовой функцией, то движение будет происходить в соответствии с интегралом живых сил. Для изображения состояния движения материальной точки удобно воспользоваться понятием фазовой плоскости, т. е. плоскости, на которой переменные и V рассматриваются как декартовы координаты точки. Каждая точка фазовой плоскости изображает определенное состояние материальной точки, поэтому такую точку называют изображающей. При движении материальной точки изображающая точка будет описывать некоторую кривую, которая называется фазовой траекторией и не является действительной траекторией движения. Скорость движения изображающей точки называется фазовой скоростью, которая не является скоростью настоящей материальной точки. [c.263]

Для геометрической интерпретации используют понятие фазовой плоскости фазового пространства) х, х, точки которой условно изображают состояние системы. Кривую в фазовом пространстве, изображающую, как изменяется со временем t состояние системы, называют фазовой траекторией. Множество фазовых траекторий называют фазовым портретом системы. Исключая из соотношений [c.137]

Рассмотрение консервативных систем помимо того, что оно может дать непосредственный ответ на ряд вопросов, представляет для нас особый интерес в силу следующих причин. Во-первых, мы здесь получим возможность уже довольно глубоко подойти к выяснению тех понятий (фазовой плоскости, особых точек, периодических движений, устойчивости, зависимости динамической системы от параметра), которые понадобятся для рассмотрения нашей основной задачи — теории автоколебательных систем. Во-вторых, консервативные системы интересны еще и потому, что мы в некоторых случаях сможем изучать автоколебательные системы только постольку, поскольку они близки к консервативным системам. [c.104]

ПОНЯТИЕ О фазовой плоскости [c.216]

Мы получили уравнение фазовых траекторий, исходя из решений (ПП.6) и (ПП.7) уравнения (ПП.5). Сделано это с тем, чтобы наиболее просто и понятно ввести в анализ понятие о фазовой плоскости, исходя из известного решения дифференциального уравнения 2-го порядка. Если бы этот способ построения фазовой плоскости был единственным, т. е. если бы для построения фазовой плоскости необходимо было обязательно знать решение исходного уравнения 2-го порядка, иными словами, знать его 2-й интеграл, то вряд ли метод фазового изображения полу-220 [c.220]

Понятие устойчивости резонанса (или застревания в резонансе) используется в практических задачах, связанных со спуском космических аппаратов в атмосферу. Для реализации устойчивого резонанса необходимо, чтобы на фазовой плоскости существовала колебательная область, ограниченная сепаратрисой, то есть, чтобы выполнялось условие (4.37), и достаточно, чтобы при отсутствии внутри колебательной области предельного цикла производная по медленному времени г полной энергии системы Е была меньше, чем производная по медленному времени потенциальной энергии ]Ус, вычисленной в седловой точке (рис. 4.6). В этом случае колебательная область расширяется быстрее, чем фазовая траектория приближается к границе области, ограниченной сепаратрисой. Производная Е/(1т показывает эволюцию фазовой траектории маятниковой системы (4.31), а производная (1 с/(1г — эволюцию сепаратрисы под действием малых возмущений (/1 0). Поскольку речь идёт о колебательном движении системы, то об указанных производных можно говорить только в смысле их средних на периоде колебаний значений. Так как переход через сепаратрису возможен лишь в малой её окрестности, то соответствующие производные следует усреднять на сепаратрисе, ограничивающей область, устойчивость движения в которой исследуется. Достаточное условие устойчивости резо- [c.128]

Из всего сказанного выше относительно свойств фазовой плоскости и фазовых кривых, нанесенных на ней, для линейных систем следует, что фазовая плоскость, по сути дела, является своеобразным векторным полем, свойство которого характеризуют не только направление касательной к данной интегральной кривой в любой точке этой плоскости, но и направления движения по фазовой траектории нашей изображающей точки, определяющей ход процесса, и, следовательно, и свойства звена. Фазовая плоскость, следовательно, не есть чисто геометрическое понятие, а является областью, настолько пропитанной векторами, что всюду, за исключением особых точек, эти векторы заставляют двигаться в определенном направлении и с определенной скоростью нашу изображающую точку наподобие того, как струи воды в быстринах увлекают за собой щепку. Наблюдая такие области в этих быстринах, где имеются вихревые движения, мы можем заметить, что эти щепки иногда описывают замкнутую, иногда разомкнутую траектории и иногда, будучи подхвачен струей, уносятся из данной области дальше. [c.225]

Понятия мягкого и жесткого режимов, мягкого и жесткого возникновения колебаний введены при рассмотрении лампового генератора, когда фазовая плоскость имеет весьма простой вид при всех значениях параметра существует только одно состояние равновесия — фокус и в зависимости от значений параметра могут существовать окружающие его предельные циклы. [c.224]

Однако эти понятия могут быть перенесены и на случай, когда фазовая плоскость дифференциального 5 равнения, описывающего тот или другой реальный объект, имеет более сложный вид, т. е. когда на фазовой плоскости существует не единственное состояние равновесия, а несколько и среди них есть седла, а значит, сепаратрисы. И в случае более сложной фазовой нлоскости имеет смысл говорить о мягком и жестком возникновении колебаний, если описанная выше ситуация имеет место вокруг одного из существующих в системе фокусов. [c.225]

Введенное выше Р-представление оператора плотности (см. лекции 9—11) можно рассматривать как определение понятия, адекватного понятию распределения вероятности в фазовом пространстве. Комплексная а-плоскость, на которой определена Р-функция, есть видоизменение понятия фазового пространства. Более того, как мы уже отмечали, Р-функция имеет ряд свойств, общих с распределением вероятности однако эта функция может иметь отрицательное значение и сингулярности, что не свойственно функции плотности вероятности. Такое поведение Р-функции не должно казаться странным, поскольку она в противоположность распределению плотности вероятности не является непосредственно измеряемой физической величиной. [c.122]

Фазовый портрет грубой системы топологически не меняется при малом изменении параметров системы. Не слишком строго топологическая тождественность означает, что картина на фазовой плоскости не меняется качественно, т. е. сохраняются все основные элементы и их взаимосвязи. Если на фазовой плоскости, например, был предельный цикл, а состояние равновесия было неустойчиво, то в грубой системе при изменении параметра остается один цикл и одно неустойчивое состояние равновесия. На рис. 15.4 б приведены примеры топологически одинаковых фазовых картинок. Математически понятие грубости для [c.311]

Понятие о фазовой плоскости. Представление совокупности движений гармонического осциллятора на фазовой плоскости [c.38]

ПОНЯТИЕ О ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ [c.39]

ПОНЯТИЕ о ФАЗОВОЙ плоскости 41 [c.41]

ПОНЯТИЕ о ФАЗОВОЙ плоскости 43 [c.43]

Мы можем теперь перейти к уточнению понятия качественной картины фазовых траекторий или топологической структуры разбиения на траектории. Две топологические структуры разбиения фазовой плоскости на траектории, заданные двумя системами вида (6.1), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно-однозначное и непрерывное) отображение плоскости в себя, при котором траектории одной системы отображаются в траектории другой этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении). Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории. Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что то же самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения, которые остаются инвариантными при всевозможных топологических отображениях плоскости в себя. Примеры таких свойств были приведены выше. [c.412]

Понятие о фазовой плоскости. Обычное описание движения системы с одной степенью свободы в виде зависимости обобщенной координаты от времени q = q t) не является единственно возможным. В ряде случаев, особенно при изучении нелинейных механических колебаний, определенными достоинствами обладает представление движения на фазовой плоскости. [c.18]

Матрицы Джонса. В общем случае при прохождении света через оптически анизотропный элемент состояние его поляризации изменяется. При рассмотрении оптических устройств с анизотропными элементами вводят понятие так называемых собственных состояний поляризации, т. е. таких, которые не изменяются при прохождении через анизотропный элемент. В зависимости от вида анизотропного элемента собственные поляризации могут быть линейными (что характерно для фазовых пластинок направление двух ортогональных линейных собственных поляризаций фазовой пластинки совпадает с главными ее осями), круговыми (характерно для вращателей плоскости поляризации) и эллиптическими. Для описания изменения поляризации и определения собственных ее состояний удобна матричная форма [30]. [c.36]

Понятие предельной точки и теоремы 1 и 2 имеют место не только в случае динамической системы на плоскости, но и в случае динамической системы на фазовой поверхности любого жанра, а также в случае динамических систем в фазовом пространстве п измерений при га 2 (т. е. для системы п автономных дифференциальных уравнений первого порядка при ге > 2). [c.46]

При описании поведения автоколебательных систем применяются также следующие понятия устойчивой в малом называется система, для которой особая точка в начале координат фазовой плоскости соответствует устойчивому положению равновесия. В этом случае (как, например, на рис. 87) всегда существует область затухания колебаний, которая окружает положение равновесия и в которой все фазовые траектории сходятся по спиралям к особой точке в начале координат. Система с фазовым портретом, показанным на рис. 86, является неустойчшой в малом, так как начало координат находится в области нарастания колебаний. [c.111]

Рассмотрены основные понятия и методы нелинейной теории динамических систем устойчивость, качественные методы исследования систем на фазовой плоскости, методы расчета автоколебаний и колебаний под действием внешних периодических сил. Изложение теории иллюстрировано многочисленными примерами. Задания для самостоятельной работы сопровождаются соответствующими указаниями и частично подробными решениями. Гфикпадные задачи представлены оригинальными и имеющими самостоятельный интерес н познавательное значение исследованиями математических моделей систем ядерной энергетики и математической экологии. Второе издание (1-е вышло в 1995 г.) переработано и дополнено новым материалом. [c.4]

В заключение отметим следующее. Для многих систем (биологических, экономических и др.) понятие энергии (кинетической, потенциаль ной, полной) лишено смысла, а мевду тем их динамическое поведени качественно совпадает с поведением консервативных механических сис тем, и на фазовой плоскости наблюдается одинаковое качественное пове дение фазовых траекторий. Поэтому возникает потребность в определени консервативной системы, не связанном с какими-либо механичес понятиями. В гл. 2 работы [3] предложено принять за необходимый при знак консервативности существование аналитического интеграла вид Щх,у) = С, где Н - аналитическая функция переменных X и у. Этом условию удовлетворяет, в частности, гамильтонова система [c.85]

Анализ распространенйя волн проводится аналогично анализу хода лучей, надо лишь вместо эллипсоида лучевых скоростей пользоваться эллипсоидом волновых нормалей. Направление распространения волны задается вектором п. Находится сечение эллипсоида (41.15) плоскостью, перпендикулярной п и проходящей через центр эллипсоида. Колебания вектора О возможны лищь в направлениях, параллельных главным осям эллипса в сечении эллипсоида. Фазовые скорости волн обратно пропорциональны длинам соответствующих главных осей эллипса. Однако для анализа распространения света в анизотропных средах удобнее- пользоваться понятием лучевой поверхности, а не поверхности волнового фронта. [c.270]

Однако, как показывает анализ уравнений (Х1.5) — (XI.9), в кристаллах можно выделить и такие направления п, вдоль которых одна из компонент вектора смещения полностью совпадает с волновым вектором, т. е. соответствует чисто продольной волне. Поскольку три компоненты смещения перпендикулярны друг другу, то в этом случае две другие компоненты будут лежать в плоскости волнового фронта, соответствуя сдвиговым волнам. Таким образом, в кристаллах можно выделить направления, вдоль которых могут распространяться чисто продольная и чисто поперечная волны (со скоростью, зависящей от поляризации). Эти направления называют изонормальными таких направлений в данном кристалле может быть несколько. Обычно они связаны с осями высокой симметрии. Существуют еще такие направления, вдоль которых может в чистом виде распространяться только одна сдвиговая волна определенной поляризации. Вообще любое направление, вдоль которого может распространяться хотя бы одна чистая ультразвуковая волна, принято называть особенным [81—87]. Очевидно, законы распространения данной волны в данном особенном направлении кристалла не будут отличаться от законов распространения волны той же поляризации в изотропном теле, и соответствующие уравнения для нее можно записывать в скалярной форме. В литературе по аналогии с оптикой иногда еще употребляется понятие акустических осей, как таких направлений, вдоль которых совпадают фазовые скорости двух поперечных волн [83, 84]. В отличие от оптических осей, однако, таких направлений в кристаллах может быть несколько. [c.242]

Стоит заметить, что когда размерность фазового многообразия больше двух, возникает много различных типов поведения траекторий в окрестности замкнутой траектории, и представляется нецелесообразным говорить в данном случае о предельных циклах (точно так же, как для положений равновесия на плоскости не вводят понятия предельнош положения равновесия) ). Асимптотическая устойчивость уже имеет свое название, а более широкий класс включал бы несколько качественно отличающихся друг от друга типов поведения, для объединения которых нет оснований. [c.177]

Однако сначала нужно уточнить смысл некоторых понятий, которыми мы постоянно пользовались, в частности понятий качественной картины фазовых траекторий и качественного исследования данной динамической системы. Для этого нам прежде всего придется напомнить понятие топологического отображения (или преобразования). Как известно, топологическим отображением называется взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное отображение плоскости в себя (или одной плоскости в другую), т. е. отображение, при котором каждой точке М (х, у) соответствует одна и только одна точка М х, у) той же самой (или другой) плоскости всяким двум различным точкам Мг (Х1, уг) и Мз (Ха, у ) соответствуют две различные точки М[ (х[, у[) и (х , у ц) и, кроме того, всяким двум сколь угодно близким точкам Мх и соответствуют сколь угодно близкие точки М[ и М[. Отображение, обратное топологическому, очевидно, также является топологическим, т. е. взаимнооднозначным и непрерывным. Всякое топологическое отображение плоскости в себя (или плоскости в другую плоскость) может быть задано однозначными и непрерывными функциями [c.411]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...