Транзитивности метрическая

Перейдем теперь к рассмотрению условий, при которых справедлива формула (П.6.5). Биркгоф показал, что это равенство справедливо только в том случае, если фазовое пространство является метрически неразложимым (говорят также, что поток, не допускающий метрической разложимости фазового пространства, является метрически транзитивным). Метрическая неразложимость означает, что фазовое пространство нельзя разбить на две инвариантные области, скажем на 7 , i = 1, 2, меры которых отличны от нуля или от единицы ). Интуитивно ясно, что никакая траектория не будет оставаться внутри конечного участка фазового пространства, скорее наоборот — траектория должна гулять по всему пространству. Можно сказать также, что каждое инвариантное подмножество фазового пространства обладает либо мерой нуль, либо мерой единица (в последнем случае оно охватывает почти все фазовое пространство) ). [c.380]

Хотя эта идея интуитивно весьма прозрачна, чрезвычайно трудно строго доказать справедливость метрической транзитивности данного потока. [c.380]

Эти общие предложения механики оставляют, однако, открытым вопрос о том, в каких случаях будут выполняться приводящие к равенству средних хронологических и средних фазовых условия метрической транзитивности системы. [c.181]

Лемма. Пусть Т Х- Х — топологически транзитивное непрерывное отображение компактного метрического про-странства] существует такая точка х Х, что [c.37]

Следствие 1.4.3. Непрерывное открытое отображение f локально компактного сепарабельного метрического пространства топологически транзитивно тогда и только тогда, когда не существует двух непересекающихся открытых непустых f -инвариантных подмножеств. [c.44]

Постройте пример топологически транзитивного разделяющего гомеоморфизма компактного метрического пространства, который обладает более чем одной мерой с максимальной энтропией. [c.191]

Определение 1.8. Гомеоморфизм Т компактного метрического пространства М называется строго эргодическим, если нормированная инвариантная относительно Т борелевская мера единственна. Гомеоморфизм Т называется минимальным, если траектория 7 "х —оотопологически транзитивным, если у него существует всюду плотная траектория. [c.14]

Утверждение 7.5. Хп(0) = Х [/ (0)], если выполняется Д(х, 1/) Д(д , 2)- -Д(2, у) для всех троек решений (условие метрической транзитивности). [c.56]

В основе указанных сомнений лежали рассуждения следующего типа. Рассмотрим какой-нибудь, отличный от энергии интеграл движения и выберем две точки поверхности заданной энергии, в которых значения этого интеграла различны (такие точки должны найтись, так как иначе этот интеграл не был бы независимым от интеграла энергии). Пользуясь непрерывностью этого интеграла, молено выделять такие, достаточно малые окрестности этих точек, что интервалы изменения рассматриваемого интеграла в этих двух окрестностях не перекрываются. Тогда, выбирая за ту функцию, для которой образуется среднее по времени, характеристическую функцию первой из окрестностей, т. е. функцию, равную единице в точках этой окрестности и нулю вне ее, получим, что среднее по времени значение этой функции для всех траекторий, исходящих из точек второй окрестности, равно нулю. Для эргодических же систем это среднее почти для всех начальных состояний должно быть равно фазовому среднему, т. е. отношению меры первой окрестности к мере всей поверхности заданной энергии. Совершенно аналогичное противоречие констатировалось также в другой форме для систем, обладающих свойством метрической транзитности,— свойством эквивалентным (для систем с фазовым пространством конечной меры) эргодичности на основе непрерывности интегралов движения (точнее говоря, их измеримости) показывалось, что метрически транзитивные системы невозможны [23]. [c.120]

Независимо от этого Нейман, Карлеман, Биркгофф и Рисс доказали так называемые статистическую и индивидуальную эргодические теоремы, являющиеся обищми предложениями механики, независимыми от конкретных предложений о характере движения (вроде метрической транзитивности). [c.181]

Необходимые и достаточные условия того, что процесс является эрго-дическим в соответствии с теоремой Биркгофа-Хинчина следующие его стационарность, причем строгая и так называемая метрическая транзитивность, состоящая в том, что любая часть совокупности реализации случайного процесса уже йе стационарна (строго). Стационарность-это необходимое условие эргодичности. Для нестационарного процесса первый и второй моменты (средние по совокупности) могут быть функциями времени, и в этом случае средние по времени не будут совпадать со средними по реализациям. Временная корреляционная функция для стационарного (в том числе для эргодического) процесса есть функция корреляционного интервала т = Г2-Г1, в то время как для нестационарного и, следовательно, неэргодического процесса корреляционная функция зависит от двух аргументов-корреляционного интервала т и текущего времени г. Однако стационарность, будучи необходимым условием эргодичности, не является условием достаточным. Так в [26] приводится пример стационарной случайной функции, не удовлетворяющей условию транзитивности, а потому не являющейся эргодической. В связи со сказанным, неставдо-нарные случайные процессы не удовлетворяют условиям эргодичности. Приведенные рассуждения о связи стационарности и эргодичности поясняются условным графическим изображением случайных процессов на рис. 1. [c.9]

Лемма 1.4.2. Пусть f X—>X —непрерывное отображение локально компактного сепарабельного метрического пространства X в себя. Отображение f топологически транзитивно тогда и только тогда, когда для любых двух непустых открытых подмножеств ЦУсХ существует такое целое число N = N U,V), что пересечение f U) П V непусто. [c.44]

Пусть f X—fX —топологически транзитивный гомеоморфизм компактного метрического пространства, и пусть ф —непрерывная функция на X. Докажите, что любые два непрерывных решения <р когомологического уравнения [c.116]

Интегральная кривая xify = называется регионально транзитивной в X, если Pi° = X. Сама система называется зонально транзитивной в X, если условие Р = X имеет место почти для всех принадлежащих X. В соответствии с 124 этот случай имеет место тогда и только тогда, когда 2 " = X почти для всех х°, принадлежащих X. Это условие, очевидно, выполняется в случае равномерно распределенной метрической транзитивности. [c.115]

Однако хотя этот факт и отражает основное убеждение современной динамики, но, несмотря на все усилия, удовлетворительного его доказательства еще нет. Убеждение это состоит в том, что система общего вида в силу постулатов классической статистической механики, но прежде всего в силу исследований Пуанкаре, Адамара, Леви-Чивита и Биркгофа, а также в силу результатов подробных исследований, относящихся к группам Фукса или к геодезическим линиям на поверхностях отрицательной кривизны, характеризуется если не метрической, то региональной транзитивностью ( 124а). [c.119]

Фактически в этом случае имеет место не только региональная (Кроне-кер), но и метрическая (Вейль) транзитивность (см. 124а). Известно (X. Бор), что в данном случае из региональной транзитивности непосредственно вытекает и метрическая транзитивность. Заметим, что множество нулевой меры, исключенное в 123—124, является в даинон случае пустым. [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...