Определение линейного тензора деформации

Определение линейного тензора деформации ). В v-объеме рассматриваются две бесконечно близкие точки М и N (рис. 8) [c.58]

Вторая группа уравнений содержит определение линейного тензора деформации г через вектор перемещения и [c.124]

Вспомнив определение линейного тензора деформации вектора W. [c.720]

Из представления (1.6.6) видно, что по заданному тензору напряжения Т тензор функции напряжений определен с точностью до слагаемого —-симметричного тензора, операция Ink над которым равна нулю. Таким тензором, как увидим ниже, в п, 2.1 гл. II, и что легко проверить, является линейный тензор деформации над любым вектором а [c.27]

Определение вектора перемещения по линейному тензору деформации [c.60]

Ставится задача об определении вектора перемещения — его трех проекций называемых кратко перемещениями, по заданному линейному тензору деформации ё. Иначе говоря, речь идет [c.60]

Рассмотрим. условие совместности деформаций в классической теории упругости, поскольку подобные соотношения б удут играть существенную роль в дальнейшем изложении. Вопрос заключается в определении вектора перемещений по заданному линейному тензору деформации е, согласно (2), поскольку компоненты е. имеют простой физический смысл и могут быть определены опытным путем. Имея шесть уравнений (2) относительно трех неизвестных функций Mi, задачу можно решить наложением определенных условий на величины е . Разделим тело на элементарные объемы (кубики) и сообщим каждому из них деформацию (локальная деформация полагается однородной внутри кубика). Деформированные кубики можно сложить в сплошную среду только при определенной согласованности деформации отдельных кубиков. В обычном случае для вектора перемещений в точке ri можно записать [c.100]

Согласно первому из равенств (2.58) тензор — )1п переходит при малой деформации в линейный тензор деформации Е. Поэтому, подставляя его инварианты в упругий потенциал, отвечающий закону Гука, получаем так называемый стандартный материал п-го порядка, определенный для произвольной деформации и переходящий в закон Гука при малой деформации. При этом согласно (3.34), (3.19), (3.20) [c.44]

Здесь рассматриваются аналоги уравнений линейной теории упругости в перемещениях , получаемых после замены тензора напряжений его представлением через линейный тензор деформации, а последнего— выражением через вектор перемещения. В нелинейной теории дело осложняется возможностями определения напряженного состояния несколькими тензорами (Коши, Пиола) и множественностью их представлений через меры деформации (Коши — Грина, Фингера, Альманзи) или градиент места. Вектор перемещения предпочтительно заменить вектором места в актуальной конфигурации. [c.123]

В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это состояние согласуется с уравнениями Бельтрами — Мичелла этим гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и. Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что обращение уравнения состояния — разыскание меры деформации по тензору напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо (И, 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами —Мичелла в нелинейной теории может быть использован лишь в исключительных случаях ( 17). Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в нуль тензора Риччи (П1.10.21). По этой мере и по уравнению состояния составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным его дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы. Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем, коэффициентов фг(/1, 2, /з) в (4.3.4)). Значит и формы представления поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря, их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят закон зависимости удельной потенциальной энергии э(/,, /2, /3) от ее аргументов. [c.135]

Определение вектора по заданию линейного тензора деформации [c.485]

В данном случае определяющее соотношение (закон Гука) является строгим механическим уравнением состояния полностью определенных термодинамических состояний. Последние не зависят от способа, которым они достигнуты. Определяющее соотношение связывает линейно тензор напряжений и результирующий тензор деформаций [c.16]

Под действием определенной нагрузки каждая частица смещается на некоторый вектор . Если все частицы тела переместятся на постоянный вектор , то никакой деформации тела не произойдет, оно просто переместится на вектор . Деформация произойдет, если различные частицы переместятся на различные векторы SJ т. е. вектор будет функцией положения частицы до деформации г частица в точке г переместится на а в точке г йг — на 5 + (рис. 243). Величина характеризует деформацию, точнее — де- рмацию характеризует соотношение между и йг. Когда йз линейно зависит от йг, связь между й8 и йг определяется тензором деформации компоненты которого нужно найти. [c.302]

Обращаясь к эксперименту, мы сталкиваемся с серьезными трудностями. Это видно хотя бы из того, что в любом эксперименте для определения X необходимо возникают явления, сопровождающиеся большим увеличением 0, в связи с чем встает вопрос о применимости закона линейной зависимости тензора напряжений от тензора деформаций. Основы- [c.208]

Предлагаемые теорией соотношения приведены в разделе 1.2.5 [соотношения (1.2.69) для компонент тензора деформации и (1.2.69а) для компонент тензора напряжения]. Как отмечается в [34], теория вязкоупругости может считаться завершенной, если известен закон построения резольвентных ядер, т. е. соотношения (1.2.69) и (1.2.69а) являются взаимно обратными. В линейной теории ядра релаксации и ползучести связаны между собой определенными интегральными соотношениями (см. Приложение II).В общем случае нелинейной теории обратные соотношения теории ползучести не являются соотношениями теории релаксации и наоборот [36, 37, 92]. [c.50]

Условие (II) может быть получено и непосредственно из определения тензора деформаций в линейной теории 6(7), В общих чертах соответствующий вывод аналогичен проделанному в п. 5, но более прост ввиду отсутствия необходимости оперировать с тензором дисторсии. [c.75]

Выпишем соотношения для определения компонент тензора напряжения П и потока тепла ц,-. Примем, что имеет место линейная зависимость между касательными компонентами тензора напряжений и тензора деформации (закон Ньютона) и линейная зависимость потока тепла от градиента температуры (закон Фурье). Имеем тогда [c.13]

Как уже известно, удельная потенциальная энергия деформации (е,/) представляет собой в случае линейно-упругого тела положительно-определенную квадратичную функцию (3.33) компонент тензора деформации ъц, которые ввязаны о перемещениями дифференциальными зависимостями (4.1). [c.98]

Компоненты тензора малых линейных деформаций (3.67) можно рассматривать как систему шести уравнений в частных производных для определения трех компонент перемещения щ. При произвольном выборе ei, система (3.67) не имеет решения. Необходимыми и достаточными условиями существования непрерывных и однозначных компонент смещения щ являются шесть независимых уравнений [c.75]

Модули, входящие в соотношение между деформациями и напряжениями (линейное или нелинейное), можно рассматривать как составляющие некоторого тензора упругих модулей [107]. Этот подход позволяет дать ряд удобных определений. [c.11]

Как и при геометрически линейном деформировании, все три определения упругого материала, рассмотренные в 2.1.2, теоретически эквивалентны при малой деформации тела, материал которого подчиняется закону Гука. Тензоры напряжений s, S и деформаций е, Е связаны преобразованиями поворота (см. 1.3.4 и 1.4.1) [c.77]

Вместе с тем использование интегральных соотношений между напряжениями и скоростями деформации, записанных в матричной форме, позволяет решить другую проблему — линеаризовать краевую задачу. Действительно, в общем случае ядра R i, т) и Ro t т)— функции инвариантов тензоров (девиаторов) напряжений, скоростей деформаций, температуры, степени деформации. Однако, организовав итерационный процесс при численном решении краевой задачи на ЭВМ, можно в каждой очередной итерации считать, что эти величины определены предыдущим приближением. В этом случае определяющие уравнения становятся линейными. Применяя проекционно-сеточные методы решения краевых задач, в конечном счете приходим к линейной системе алгебраических уравнений для определения искомых параметров. [c.259]

В соответствии с [65, 105] выберем декартову систему координат (ж1,ж2,жз) таким образом, чтобы плоскость Х Х2 была параллельна плоскости деформирования (в случае плоской деформации) или совпадала со средней плоскостью пластины (для обобщенного плоского напряженного состояния), а оси х и Х2 совпадали с главными осями начальной деформации. Пусть ei i = 1,2,3) — единичные векторы, направленные вдоль соответствующих осей. Обозначим через S тензор, определенный следующим образом для сжимаемого материала S = Li[u], а для несжимаемого S = Ь2[и р] (этот тензор соответствует тензору напряжений линейной упругости). Тогда в случае плоской деформации или плоского напряженного состояния векторы и, f, Q, N и тензор S могут быть представлены в координатной форме следующим образом [c.67]

Лагранжев и эйлеров тензоры линейных деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга, и поэтому определение их главных направлений (главных осей) и главных значений (главных деформаций) ведется стандартным методом, изложенном в 1.19. С физической точки зрения главное направ- [c.129]

Первое из этих соотношений показывает, что рассматриваются малые деформации, т. е. кинематически линейная деформация упругого тела второе является определением тензора напряжений при помош и [c.447]

Соотношения (1.4)-(1.6) являются основными динамическими уравнениями теории упругости при малых деформациях. Классическая линейная теория упругости соответствует случаю, когда 1Г( ) - положительно определенная квадратичная форма относительно компонент тензора . Например, для однородной, изотропной линейной упругой среды 1Г(е) имеет вид. [c.7]

Данное здесь в применении к вектору перемещения и определение линейного тензора деформации распространимо на любой вектор (п. II. 2). Например, применение операции def к вектор-радиусу г приводит к единичному тензору [c.60]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

Из (3.2) видно, что Snf являются компонентами симметричного ковариантного тензора второго ранга, который называется тензором деформации. Когда все = 0 для всех точек, то ds = ds и тело не деформируется. Относительное удлинение линейного элемента dSn вдоль координатной линии х", по определению, равно [c.47]

Подавляющее большинство методов определения эффективных характеристик композитов относится к области малых деформаций, описываемой линейно — упругими определяющими соотношениями. Наиболее часто при вычислении эффективных характеристик используется подход Хилла [13]. Он базируется на интегральных соотношениях между эффективными константами и микро — механическими полями. Эти соотношения позволяют аддитивно выразить тензор модулей упругости (или упругих податливостей) через характеристики фаз, их объемное содержание и коэффициенты перераспределения тензора деформаций (или напряжений) по фазам. [c.15]

В рамках классической механики сплошных сред тензор напряжения и тензор деформации — симметричные двухвалентные тензоры и, следовательно, элементы множества ш. Соответствующим образом конкретизируя физическую размерность базисных элементов, можно рассматривать два экземпляра этого множества — пространство напряжений и пространство деформаций . Девиаторы в каждом из этих пространств образуют линейное подмножество (подпространство), которое обозначим соответственно через Ds и Вэ- Постулат изотропии (А. А. Ильюшин, 1954), представляет собой утверждение, согласно которому для начально изотропной среды траектория процесса в В зависит лишь от таких свойств траектории ъ Вэ, которые инвариантны по отношению к ортогональным преобразованиям В д. Под ортогональными при этом понимаются линейные преобразования пространства 2)а, при которых сохраняются квадратичные скаляры девиаторов (девиатор с компонентами эц преобразуется в девиатор Эц, для которого 5арЭар — ЭацЭар). Так как кубические скалярные инварианты девиаторов произвольное ортогональное преобразование не сохраняют, сфера действия постулата изотропии определенным образом ограничена — включает в себя лишь среды, закон материала для которых описывается уравнениями, не содержащими произведения двухвалентных тензоров (тензоров с компонентами вида и т. д.) и скаляр- [c.94]

Вместе с этим нелинейная теория оболочек может рассматриваться как широкое развитие классической задачи Плато, и в этом ее большое естественнонаучное значение. Действительно, задача Плато относится к поверхностям с вполне определенным законом деформирования плотность потенциальной энергии деформации пропорциональна изменению площади элемента. Между тем в теории оболочек рассматриваются поверхности, у которых плотность потенциальной энергии деформации есть некоторая скалярная функция тензора деформации, что в значительной степепи осложняет проблему, придавая ей вместе с этим и больший естественнонаучный интерес, и большое практическое значение. Имеется громадное количество работ, в которых исследуются конкретные задачи нелинейной теории оболочек. Однако нет ни одной задачи этой теории, когда бы ее решение можно было получить в сколь-нибудь замкнутой форме. Поэтому здесь используется широкий комплекс приближенных методов с применением ЭВМ. Это делает особо актуальным строгое математическое исследование рассматриваемого класса нелинейных задач. Отметим также, что практически интересные механические явления не позволяют для своего анализа использовать почти линейные постаповкп, они связаны с большими глубокими нелинейностями. [c.6]

Мы рассмотрим здесь ангармонические эффекты третьего порядка, происходящие от кубических по деформации членов в упругой энергии. В общем виде соответствующие уравнения движения оказываются очень громоздкими. Выяснить же характер возникающих эффектов можно с помощью следующих рассуждений. Кубические члены в упругой энергии дают квадратичные члены в тензоре напряжений, а потому и в уравнениях движения. Представим себе, что в этих уравнениях все линейные члены перенесены в левые, а все квадратичные — в правые стороны равенств. Решая эти уравнения методом последовательных приближений, мы должны в первом приближении вовсе отбросить квадратичные члены. Тогда останутся обычные линейные уравнения, решение Uo которых может быть представлено в виде наложения монохроматических бегущих воли вида onst-е определенными соотношениями между (О и к. Переходя к следующему, вгорому, приближению, надо положить и = и,, + Uj, причем в правой стороне уравнений (в квадратичных членах) надо сохранить только члены с Uq. Поскольку Uq удовлетворяет, по определению, однородным линейным уравнениям без правых частей, то в левой стороне равенств члены с Uq взаимно сокращаются. В результате мы получим для компонент вектора Uj систему неоднородных линейных уравнений, в правой части которых стоят заданные функции координат и времени. Эти функции, получающиеся подстановкой Uq в правые стороны исходных уравнений, представляют собой сумму членов, каждый из которых пропорционален множителю вида [(к,-к,) г-(й)1-(о,)/] или где tt i, (02 и к , — частоты и волновые векторы каких-либо двух монохроматических волн первого приближения. [c.145]

Определение 3. Материал тела называется гипоупругим, если компоненты производной Яуманна тензора напряжений Коши — линейные однородные функции компонент тензора скорости деформаций [c.72]

Обычно при решении задач ОМД нахождение компонент тензора связывают не с малыми деформациями (1.2.70) по формуле (1.2.138), а с определением их с помощью вектора скорости V по формуле Док.Стокса (1.2.137), которую с учетом (1.2.90) можно получить из (1.2.138) путем подстановки в нее малых деформаций, определяемых кинематической формулой О.Коши (1.2.70). С другой стороны, физический смысл компонент легко устанавливаегся именно с помощью формулы (1.2.138) диагональные компоненты тензора скоростей деформаций характеризуют изменение во времени линейных размеров окрестности движущейся матфиальной частицы, а боковые - ее угловых размеров. Поэтому диагональные компоненты ( =к) тензора назьшают скоростями деформации изменения линейных размеров, а боковые компоненты (i к) - скоростями деформации изменения угловых размеров или сдвиговыми скоростями деформаций. [c.55]

Рейнольдса Тг = —рщи], являющихся лишними неизвестными в уравнениях Рейнольдса (1.3). Вид этих неизвестных (т. е. их зависимость от пространственных координат и времени), по-видимому, должен в значительной мере определяться крупномасштабными особенностями течения, т. е. в первую очередь полем средней скорости и. При определении общего характера зависимости от и можно опереться на внешнюю аналогию между беспорядочными турбулентными пульсациями и молекулярным хаосом и попытаться использовать методы кинетической теории газов. Поскольку в кинетической теории газов очень большую роль играет понятие средней длины свободного пробега молекул 1т, в теории турбулентности при таком подходе прежде всего вводится понятие пути перемешивания I (независимо друг от друга предложенное двумя создателями полу-эмпирического подхода к исследованию турбулентности Дж. Тейлором и Л. Прандтлем), определяемого как среднее расстояние, проходимое отдельным турбулентным образованием ( молем жидкости), прежде чем оно окончательно перемешается с окружающей средой и потеряет свою индивидуальность. Другим важным понятием кинетической теории газов является понятие средней скорости движения молекул в полуэмпирической теории турбулентности ему соответствует понятие интенсивности турбулентности — средней кинетической энергии турбулентного движения единицы массы жидкости. Наконец, ньютоновой гипотезе о линейности зависимости между вязким тензором напряжений (Тц и тензором скоростей деформации ди дх] + дщ1дх1 (причем коэффициентом пропорциональности в этой зависимости является коэффициент вязкости р1тЬт) в полуэмпирической теории турбулентности Прандтля отвечает гипотеза о линейности зависимости между напряжениями Рейнольдса и скоростями деформации осредненного течения. [c.469]

Накопление опыта решения нелинейных задач при больших деформациях обязано применению полуобратного метода — метода, которым были достигнуты первые выдающиеся успехи и в линейной теории. На первом этапе процесса задаются предполагаемой формой осуществляемого преобразования R (г ( отсчетной неискаженной коифигурации в актуальную, содержащей подлежащие определению функции материальных координат, на втором —по этому заданию составляется выражение меры деформации, а по ней (из уравнения состояния материала) тензор напряжений (Коши Т или Пиола Р). Третий этап — по уравнениям равновесия в объеме и на поверхности находят распределения массовых н поверхностных сил, допускаемые предположенным заданием вектора места R. Требуется, чтобы так определяемые массовые силы соответствовали их заданиям, например, были постоянны (сила веса) или пропорциональны расстоянию от некоторой оси (центробежная сила). Чаще всего принимают к = 0, наперед предполагая, что напряженное состояние создается [c.134]

В 18 намечен ход решения задачи об определении вектора места по заданию меры деформации. Введенные А. П. Норденом тензоры аффинной деформации третьего ранга нашли применение в 19. Например, задача 18 оказывается сведенной к системе линейных дифференциальных уравнений (19.12) для градиента места, коэффициенты которой —компоненты тензора аффинной деформации (19.9) дифференциальные операции над функциями градиента места или мер деформации ставятся в связь с производными по этим мерам, формулы (19.20), (19.23). [c.497]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...