Уравнения дифференциальные для полных напряжений

В перемещениях, уравнения упругости в цилиндрических координатах [77, уравнения (3.3б ) и (3.26)], можно написать дифференциальные уравнения дискретного метода и уравнения напряжений для ребра т в конечно-разностной форме по переменным лир и в аналитической по переменной г. Эти уравнения приводим для осесимметричной задачи (полные уравнения даны в работе [Ю]). Уравнения равновесия [c.263]

Для полного решения вопроса о напряжениях и деформациях в симметрично загруженной сферической оболочке составим соответствующие дифференциальные уравнения равновесия. [c.487]

Вариационные уравнения принципов возможных изменений деформированного состояния, напряженного состояния и одновременного возможного изменения напряженно-деформированного состояния сами по себе не уменьшают сложности решения конкретных задач. Действительно, вариационное уравнение (3.31) или (3.39) эквивалентно полной системе дифференциальных уравнений теории пластического течения (3.36) или (3.40). Вариационное уравнение принципа возможных изменений деформированного состояния и возможных изменений напряженного состояния эквивалентны соответственно решению дифференциальных уравнений равновесия в скоростях и решению уравнений неразрывности деформации, записанных в напряжениях. Вариационные уравнения удобны для построения приближенных решений задач. С помощью прямых методов вариационного исчисления [10, 67, 109] сводят вариационные уравнения к системам алгебраических (во всяком случае конечных) или обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим прямые методы, нашедшие применение для решения технологических задач с помощью указанных выше трех принципов. Начнем с принципа возможных изменений деформированного состояния. Основной отличительной чертой почти всех имеющихся в теории обработки металлов давлением решений [163, 164 и др.] является приближенное представление функционала, которое основано на допущении [c.96]

Дифференциальное уравнение равновесия сил на элементе единичных размеров, выделенном из оболочки, выведено В. 3. Власовым для ее полного напряженного состояния [c.114]

Точное дифференциальное уравнение не удовлетворяется при этом примерно на 2%. Почти полное совпадение граничных условий для него получается, если положить а =0,33 тогда р , пл = 0,695 Ох-Эпюры напряжений даны на рис. 120. [c.232]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

Для определения коэффициента k более целесообразно использовать формулы для колец, учитывающие указанную выше неравномерность, так как в этом случае величина поправочного коэффициента не будет, очевидно, зависеть ни от характера нагрузок, ни от расположения опоры. Это тем более справедливо, что, как показывает анализ расчетов,экспериментов, та часть диафрагмы, в которой имеют место максимальные изгибающие напряжения (ф 0), работает в условиях, незначительно отличающихся от условий работы неразрезанного круглого кольца. Это значит, что при ф 0 основная часть решения дифференциального уравнения является лишь незначительным дополнением к нему. На рис. 143 показано изменение отношения полной величины максимального изгибающего момента к той его части, которую дает частное решение. Кривая построена для полукольца с опорой по наружному радиусу. Как видно, расхождение между точным решением и решением без учета наличия разъема (т. е. для круглого кольца) составляет не более 15%. Таким образом, для практических целей вообще можно было бы рассчитывать напряжения в диафрагмах, как в круглых кольцах, и затем с некоторым запасом увеличивать их на 15%. [c.329]

Для получения полной системы дифференциально-разностных уравнений свяжем напряжения в несущих слоях с деформациями законом Гука, а деформации — с перемещениями [c.92]

Формула (6.7), хотя и представляет собой точное решение поставленной задачи, неудобна для практических расчетов. Поэтому изложим упрощенный метод расчета, который назовем "методом трансформатора . Он заключается в том. что соленоид рассматривается как первичная обмотка трансформатора, а металлический полый цилиндр -как вторичная короткозамкнутая обмотка (один виток). При этом дифференциальные уравнения Максвелла заменяются соответствующими интегральными уравнениями. При расчете делается предположение о том. что внутри полости цилиндра напряженность поля однородна по радиусу и длине, т.е. отношение длины цилиндра к его диаметру достаточно велико и краевые эффекты можно не учитывать. В этом случае полем вне соленоида можно пренебречь. Тогда на основании закона полного тока [c.173]

Влияние кривизны траектории точки касания катящегося колеса изучено в настоящее время с достаточной полнотой. Первая попытка решения такого рода задачи принадлежит Р. Виллису i). Полное решение задачи для случая стержня, лежащего на двух абсолютно жестких опорах, принадлежит Дж. Стоксу ). Дальнейшее развитие того же вопроса принадлежит Н. П. Петрову. Ему пришла счастливая мысль заменить дифференциальное уравнение уравнением в конечных разностях ) и воспользоваться приближенным решением. Таким путем удалось получить решения для балки, расположенной на двух, четырех и шести упругих опорах. Эти решения с полной ясностью показали, что при совершенно правильных колесах и рельсах кривизна траектории точки касания колеса и рельса не имеет никакого практического значения ). Следовательно, при определении динамических напряжений мы не внесем существенных погрешностей, если от рельса на упругих опорах перейдем к рельсу, при- [c.335]

Известно 1—4], что определяющие уравнения для напряжений и скоростей теории плоского пластического течения жесткопластического тела приводятся к системе четырех квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые относятся к гиперболическому типу. Их характеристики в физической плоскости совпадают с линиями скольжения и траекториями максимальных касательных напряжений. Построение полей напряжений и скоростей сводится к решению последовательности краевых задач с граничными условиями для напряжений и скоростей. Обычно вначале решаются краевые задачи для напряжений, связанных с уравнениями характеристик, и строится поле характеристик. Затем строится поле скоростей в пластической области при совпадении жесткопластических границ с характеристиками. После этого проверяется условие неотрицательности диссипативной функции и несущая способность принятых жестких областей 2, 3]. Для некоторых типов задач плоского пластического течения со смешанными граничными условиями разработаны методы построения полных решений, в которых вначале строится поле скоростей в плоскости характеристик или в плоскости годографа с использованием кинематических граничных условий на контуре инструмента, а затем строится поле напряжений и вычисляются характеристики в физической плоскости [5—7]. В этих решениях жесткопластические границы также совпадают с характеристиками. В [8, 9] разработан метод решения задач плоского пластического течения с использованием криволинейных координат, совпадающих с линиями тока и ортогональными к ним направлениями, и рассмотрены случаи пластического течения, в которых линии тока являются логарифмическими спиралями. [c.54]

Хаар и Карман [229] отметили, что при 01 = аг эллипсоид напряжений является в каждой области С (область пластического состояния материала) эллипсоидом вращения , и указали на статическую определимость общего случая пространственной задачи при условии полной пластичности Мы получаем... вполне определенную систему из шести дифференциальных уравнений для шести неизвестных величин напряжений . [c.14]

При отсутствии объемных сил правые части этих уравнений равны нулю напомним, что За = а + + а . Для получения полной системы уравнений в напряжениях к уравнениям (17) следует присоединить дифференциальные уравнения равновесия (12) гл. 1. Этой системе уравнений можно удовлетворить с помощью тензора функций напряжения [7]. [c.28]

Вопрос о распределении касательных напряжений при кручении может быть представлен особенно наглядно, если воспользоваться полной аналогией между основным уравнением (76) для кручения и дифференциальным уравнением для поверхности провисания нерастяжимой мембраны, равномерно натянутой на контур, соответствуюпщй контуру поперечного сечения стержня, и нагруженной равномерно распределенной нагрузкой Обозначим через р растягивающее усилие, приходящееся на единицу длины контура мембраны, и через q — нагрузку на единицу поверхности. Пусть А (рис. 67) представляет элемент мембраны, вырезанный плоскостями, параллельными плоскостям zx и zy. [c.128]

В дифференциальные уравнения (3,8) входят три вектора осреднённого по времени тензора напряжений р ., Ру и р . Для установления связи этого тензора напряжения с вектором скорости осреднённого движения используется вторая гипотеза, согласно которой линейное соотношение между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций остаётся справедливым и при турбулентном движении, т. е. для полного турбулентного движения имеют место равенства [c.455]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

В настоящей главе будет рассмотрен вопрос о прочности толстостенной трубы и быстровращающегося диска постоянной толщины. Природа образования внутренних сил в толстостенной трубе, нагруженной давлением, и в быстровращающемся диске различйа. Однако задача расчета этих деталей сводится к общей расчетной схеме тела вращения. При дальнейшем анализе обнаруживается также полное совпадение дифференциальных уравнений для определения перемещений и напряжений в том и другом случаях. Поэтому обе задачи целесообразно рассмотреть совместно. [c.275]

Пример 1. Показатели переходных процессов ЭМП (максимальные и минимальные значения токов, напряжений, время переходного процесса и др.) можно определить путем решения уравнений динамики. Однако даже после преобразования кординат решение дифференциальных уравнений вызывает затруднения, особенно при переменной частоте вращения. В то же время полные решения уравнений динамики несут значительно большую информацию, чем это необходимо для оценки качества переходных процессов. Поэтому на практике часто пользуются грубыми, косвенными оценками динамических показателей типа переходных и сверхпереходных сопротивлений, постоянных времени и т. п. Их рассчитывают с помощью уравнений, аналогичных по форме уравнениям расчета установившихся процессов. Таким образом, надобность в дифференциальных уравнениях отпадает и расчетные алгоритмы приобретают большую однородность и простоту. [c.97]

В полной мере положительные качества тонкостенных оболочек проявляются в том случае, когда напряженное состояние в них равномерно по толщине, чему соответствует равенство нулю моментов Л1 , Mi, Mi2- Такое напряженное состояние называется беэмо-ментным. В этом случае для оболочек вращения дифференциальные уравнения равновесия (18.27) получим в виде [c.432]

Деформированное состояние оболочки компенсатора определялось на основе метода [140] решения задачи о длительном циклическом нагружении данной конструкции. Задача решалась в ква-зистациоиарной несвязанной постановке путем численного интегрирования на ЭВМ Минск-32 системы нелинейных дифференциальных уравнений, определяющих напряженно-деформированное состояние неупругих осесимметрично нагруженных оболочек вращения. Решение линейной краевой задачи производилось на основе метода ортогональной прогонки [52]. Рассматривалась только физическая нелинейность. Учет геометрической нелинейности при расчетах сильфонов, работающих как компенсаторы тепловых расширений в отличие от сильфонов измерительных приборов [193], обычно не производится [32, 150, 222], как не дающий существенного уточнения при умеренных перемещениях. Предполагалось, что все гофры сильфона деформируются одинаково. Поэтому расчет производился только для одного полугофра. Эквивалентный размах осевого перемещения полугофра, вызывающий те же деформации, что и полное смещение концов сильфона, определялся по формуле [c.200]

Разработка живучести теории прочности конструкций (на стадии разрушения) в настоящее время далека до полного завершения. Предложены дифференциальные уравнения для функции повреждения материала сначала без учета перераспределения напряжений в теле вследствие паврждения [10], затем с учетом эффекта перерашределения напряжений [6]. Перераспределение напряжений, характерное для процессов разрушения реальных элементов конструкций, может быть использовано конструкторами для активного воздействия на живучесть путем локализации процесса повреждения (образования микроскопических трещин) вблизи участков концентрации на- [c.4]

Автоколебания в электрохимических системах наблюдаются очень часто. Гак как эти системы обычно являются / С-ячсй-камй, или / С-линиями, то имеется одно дифференциальное уравнение первого порядка по времени, связывающее полный ток и напряжение. Поэтому для возникновенкн колебаний необходима по Крайней. мере еще одна переменная. Во многих электрохимических системах в ходе колебаний периодцческ[-1 возникает и распадается пленка окисла на границе раздела металл — раствор. В таких системах второй переменной может быть доля поверхности, покрытая пленкой, или, наоборот, доля свободной (активной) поверхности. [c.12]

Анализ матрицы жесткости перекрестно армированных оболочек (см. п. 4.3) приводит к мысли, что традиционно используемая для их расчета теория ортотропных оболочек может давать в отдельных случаях качественно неверную картину напряженно-деформированного состояния. Так, пренебрежение влиянием мембранно-изгибных жесткостей (в дальнейшем будем говорить об эффекте анизотропии) при расчете малослойных перекрестно армированных оболочек приводит к недопустимым погрешностям, искажающим напряженное состояние конструкции, особенно на границе раздела слоев. Исследование эффекта анизотропии сопряжено с большими трудностями даже в задачах осесимметричной деформации перекрестно армированных оболочек, так как в зтом случае приходится интегрировать полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений десятого порядка в теории оболочек типа Тимошенко и двенадцатого порядка в уточненной теории. [c.209]

Среди таких моделей наиболее полно разработана модель прямой линии (модель С.П. Тимошенко), составившая основу многих теоретических и прикладных исследований в области механики слоистых оболочек и широко используемая в расчетной практике. Однако область пригодности ее уравнений ограничена (см. параграф 3.10), поэтому корректный расчет многих практически важных классов многослойных оболочек (с сушественным различием жесткостных характеристик слоев, сильной анизотропией деформативных свойств и т.д.) требует отказа от нее и обрашения к моделям более высоких порядков, имеющих более широкие области применимости. Важно подчеркнуть, что при отказе от классической модели или модели С.П. Тимошенко и переходе к той или иной корректной математической модели высокого порядка одновременно приходится отказываться и от традиционных процедур численного интегрирования краевых задач классической теории оболочек. Дело в том, что такой переход сопровождается не только формальным повышением порядка разрешающей системы дифференциальных уравнений, но и качественным изменением структуры ее решений, появлением новых быстропеременных решений, описывающих краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом поперечных сдвиговых деформаций и обжатия нормали (подробнее этот вопрос рассматривается в параграфе 3.7). На этом классе задач оказывается практически непригодным для использования, например, метод дискретной ортогонализации С.К. Годунова [97], известный [118, 162 и др.] своей эффективностью на классе краевых задач классической теории и теории типа [c.11]

Исследуя цилиндрические оболочки, подвергнутые внутреннему давлению, Грасхоф не только применяет формулы Ламе, но учитывает и местные напряжения изгиба, возникающие в тех случаях, когда края оболочки жестко соединяются с торцовыми плитами. В этом исследовании он пользуется дифференциальным уравнением прогибов продольных полосок, вырезанных из обо-лочки сменшыми радиальными сечениями ). Грасхоф дает также полные решения для некоторых случаев симметрично нагруженных круглых пластинок. Рассматривает он и равномерно нагружен-нью прямоугольные пластинки, предлагая для некоторых случаев приближенные решения. [c.163]

Чтобы получить полные температурные лапряжения, мы должны на напряжения (g) наложить напряжения, производимые в оболочке нагрузкой интенсивностью — Z. Эту последнюю нагрузку нужно приложить для того, чтобы освободить боковую поверхность оболочки от внешней нагрузки, данной уравнением (f). Напряжения, вызванные в оболочке нагрузкой —Z, получаются посредством интегрирования дифференциального уравнения (276), принимающего в данном случае вид [c.549]

Мы здесь ограничились рассмотрением оболочек, не имеющих отверстия в вершине. При наличии отверстия необходимо обратиться к полному интегралу дифференциального уравнения (290). Распоряжаясь четырьмя произвольными постоянными, можно удовлетворить условиям не только по опорному контуру оболочки, но и условиям по краю отверстия. Произведенные для этих случаев вычисления показывают, что усилия, распределенные по краю отверстия, мало влияют на напряжения у опорного контура, а так как эти последние обычно являются максимальными, то, следовательно, при прозерке на прочность сферической оболочки с отверстием в вершине обычно можно не считаться с перераспределением напряжений, вызываемым наличием отверстия, и пользоваться результатами, полученными для оболочек без отверстия. [c.501]

Садовский для ряда конкретных случаев полного течения идеально пластичной среды нашел точные выражения для напряжений, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям равновесия, заданным граничным условиям и условию пластичности то = onst, опустив, однако, рассмотрение связи напряжений со скоростями деформаций, которая в общем случае течения (когда две первые группы условий не дают достаточного числа уравнений для определения неизвестных компонент напряжения) также должна быть удовлетворена. Взамен этой связи он ввел принцип максимума, утверждающий, что истинное пластическое распределение напряжений характеризуется тем свойством, что отвечающие ему внешние усилия (нагрузки) больше нагрузок, соответствующих любому другому распределению напряжений, которое удовлетворяет двум первым, но не последнему из трех упомянутых выше условий. [c.160]

Рассмотрим обратную задачу ) отыскания напряжения o t), вызывающего заданную непрерывно увеличивающуюся переменную деформацию е(0- Для того чтобы избежать рассмотрения двух составляющих е" и г , взаимосвязанных при помощи двух нелинейных дифференциальных уравнений (16.236), мы будем считать, что пластические и вязкие деформации отсутствуют s" = е" = О, и примем, таким образом,, что полная деформация 8 равна сумме упругой составляющей е = о1Е и полуоста-точной обратимой составляющей г ", т. е. 8 = е - -8". Это эквивалентно предположению, что в элементарном процессе релаксации при неизменной деформации 8 = 8 =- == onst полуостаточ- [c.719]

Рассмотренные примеры частных задач для твердого тела показывают два возможных пути их решения с помошью дифференциальных уравнений движения в напряжениях или в перемешениях. Однако, какой бы путь не использовался, решение задачи является полным, т. е. в результате решения можно найти все параметры поля напряжений и поля перемешений. [c.28]

Очень важным вопросом, относящимся к фиг. 17, является вопрос о полноте совокупности представленных решений. Доказательство полноты данного ряда решений дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями обычно базируется на возможности представления общего решения чере . данный ряд решений. Задача представления произвольного распределения напряжений на торцевой поверхности пластинки математически аналогична задаче представления произвольного распределения напряжений на торцевой поверхности цилиндра. И именно в связи с этой задачей для цилиндра Кертис [19 ] впервые высказал мысль, что ветви, относящиеся к действительным корням семейства продольных нормальных волн в цилиндре, аналогичные ветвям продольных нормальных волн в пластинке, не образуют полную систему решений. В частности, он заметил, что-имеется только конечное число действительных и мнимых значений уЬ, соответствующих заданному. значению (i)b/Vs, и это не позволяет представить проп.звольные граничные условия только через указанные решения. Это свидетельствует о существовании нормальных волн с комплексными значениями уЬ. Если раньше-полагали, что число нормальных волн с комплексными значениями уЬ конечно, то теперь считают, что их число неограниченно,. та1 что в принципе, возможно удовлетворение прои.чвольным граничным условиям с помощью этих решений. Математическое сходство дисперсионных уравнений для стержня круглого сечения и для пластинки позволяет предполагать, что и в случае пластинки для удовлетворения произвольным граничным условиям на. [c.159]

Изучение поведения упругих тел произвольной формы под действием произвольных сил служит задачей специальной дисциплины, называемой теорией упругости. Иногда употребляют терыян математическая теория упругости, подчеркивая этим та, что, поскольку закон упругости предполагается известным, опредмение напряжений и деформаций является строго поставленной математической задачей интегрирования некоторых систем дифференциальных уравнений. Методы теории упругости, при всей их общности и точности, еще недостаточны для суждения о прочности реальных конструкций. С другой стороны, строгая постановка вопроса об определении напряжений и деформаций методами теории упругости часто приводит к непреодолимым математическим трудностям. Сопротивление материалов тесно связано с теорией упругости и широко использует ее результаты, но нельзя считать, что это упрощенная теория упругости. Пользуясь более простыми математическими методами, сопротивление материалов ставит более широкую задачу, а именно суждение о прочности элементов конструкций с возможно более полным учетом реальных свойств материалов. [c.26]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...