Уравнение Ван-дер-Поля вторая форма

В любой теории поля тип переменных поля всегда определяется значениями спина соответствующих частиц. В любом частном случае это снова сужает область возможных форм плотности функции Лагранжа. Некоторое внимание было уделено полям с частицами, имеющими спины, отличные от О, /2 и 1, но наиболее важными являются поля, рассмотренные выше. При построении плотности функции Лагранжа обычно ограничиваются рассмотрением функций, которые содержат различные переменные поля не выше чем во второй степени. Это согласуется с тем, что в обычной практике уравнения поля являются дифференциальными уравнениями самое большее второго порядка. [c.157]

Для расчета теплообмена в ламинарном пограничном слое на теле произвольной формы при заданном распределении скорости внешнего течения вдоль поверхности тела обычно используются два метода. Согласно первому—строгому методу — вначале решается уравнение движения пограничного слоя и определяется поле скорости, после чего решается уравнение энергии. При этом используются дифференциальные или интегральные уравнения, но в любом случае нужно решать два уравнения. Согласно второму — простому, но весьма приближенному методу — решается только одно из уравнений—урав- [c.268]

He приводя детального доказательства этих утверждений, отметим, что для ковариантного поля второго ранга уравнения, соответствующие (12.49) (являющиеся отправным пунктом для предыдущего дифференцирования), по форме аналогичны, но включают дополнительный множитель вида dx ldl, (ср. (12.21)). Следовательно, дифференцируя это уравнение по времени, получим дополнительный член того же самого вида, что и последний член правой части (12.55). Первые два слагаемых правой части (12.55) получены дифференцированием по времени множителя Fr из (12.49) и, следовательно, имеют аналоги в искомых уравнениях (12.57). Сходные соображения объясняют наличие дополнительного члена в (12.58). [c.406]

Большой интерес в настоящее время представляет возможность применения метода вихревого слоя, к профилям конечной толщины.. При этом вихри распределяются по поверхности профиля и задача решается в точной постановке. Общая теория вопроса является непосредственным приложением математической теории потенциала задача сводится к построению подходящих численных методов расчета. Наибольшее значение метод вихревого слоя приобрел в связи с новыми возможностями, которые дают ЭВМ. В частности, Г. А. Павловец (1966) разработал схему численного расчета обтекания многосвязных контуров произвольной формы. В этой работе метод вихревого слоя применяется в интерпретации М. А. Лаврентьева (1932), когда задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, выражающему обращение в нуль касательных скоростей потока с внутренней стороны замкнутого контура. При построении численного метода для отыскания неизвестного распределения плотности вихревого слоя на всех контурах используется итерационный процесс решения системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Численный метод дает реальную возможность рассчитывать поле течения для таких сложных систем, как толстый профиль со щелевыми закрылками и предкрылками, механизированный профиль вблизи земли и т. п. [c.88]

Конфигурационным пространством рассматриваемой нами задачи является группа б О(З) X б О(З) и 6 0(4), где первое слагаемое соответствует вращениям оболочки относительно неподвижных в пространстве осей, а второе — вращениям воображаемой сферы относительно оболочки. Представим уравнения движения в форме уравнений Пуанкаре на этой группе Ли. Обозначим соответствующие инвариантные векторные поля на двух экземплярах б О(З) в виде го1,го2,гоз и С1,С2,Сз- Тогда [c.272]

Уравнения (2.121) имеют форму простейших уравнений Лагранжа второго рода. Переменными полями здесь являются функции Фг. Определив из уравнений (2,121) функции Ф,, находим, при заданном р, из уравнений (2.118) функции фгг и далее из равенств (2.114), (2.115)—множители Лагранжа Функции фгг определяются с точностью до слагаемых, не зависящих от t и определяющих некоторое поле квазистатических напряжений в переменных Лагранжа. Если плотность р неизвестна, следует привлечь равенство (2.112). [c.58]

Указанный выше выбор переменных поля произволен. Изменяя этот выбор, можно получить иные формы уравнений движения— аналогов уравнений Лагранжа второго рода для систем с конечным числом степеней свободы в переменных Лагранжа. Например, опуская множитель р в правой части равенств (2.117), получаем [c.58]

Форму, аналогичную (3.44), имеют уравнения Лагранжа второго рода в переменных поля второго рода. Если активные силы и реакции внутренних связей первого рода неконсервативны, то правые части уравнений (3.44) не будут равны нулю [c.77]

Эта форма уравнений также нуждается в дополнительных разъяснениях в связи со сказанным выше относительно смысла индекса г. Уравнения (4.12), (4.13) соответствуют исключению частных производных из функций и Я -... Следовательно, система уравнений (4.12), (4.13) распадается на подсистемы, состоящие из восьми уравнений, которые, в отличие от канонических уравнений, содержат вторые производные от искомых функций и по переменным Следовательно, назвать уравнения (4.12), (4.13) каноническими нельзя. Однако порядок каждой подсистемы равен восьми в соответствии с порядком системы уравнений Лагранжа второго рода для элемента сплошной среды в переменных поля первого рода. [c.95]

Нулевой член разложения по степеням Ке пространственного характеристического функционала поля скорости удобнее всего найти, пользуясь уравнением Хопфа в форме (28.47). Опуская в этом уравнении слагаемые, содержащие вторые вариационные производные [c.652]

В итоге проведенных операций, как и при исследовании влияния жидкого заполнения, уже знакомая нам система уравнений в вариациях (8.6) и (8.7) дополняется одним или двумя уравнениями для первой и второй форм упругих колебаний корпуса, а в сами уравнения вводятся дополнительные слагаемые, связанные с упругими деформациями корпуса. Эта обобщенная система опять же выносится на моделирующую установку для пол- [c.422]

Понятие подобия можно распространить на любое физическое явление. Оно применимо только к явлениям одного и того же рода, которые качественно одинаковы и описываются одинаковыми уравнениями как по форме, так и по содержанию. При этом можно сопоставлять только однородные величины (т. е. величины, имеющие одинаковую размерность и один и тот же физический смысл) в сходственных точках пространства и сходственные моменты времени. Подобие двух физических явлений означает подобие всех величин, характеризующих рассматриваемое явление. Это значит, что в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени любая величина ф первого явления пропорциональна однородной величине ф второго явления, т. е. ф = С ф, где константа подобия Сф не зависит от координат и времени. Для подобия процессов необходимо подобие полей всех существенных для них величин. [c.64]

Это последнее утверждение играет важную роль потому, что оно позволяет положить в основу классической механики в качестве исходного постулата не второй закон Ньютона (или его ко-вариантную запись — уравнения Лагранжа), а вариационный принцип Гамильтона. Действительно, по крайней мере Для движений в потенциальных полях, постулируя вариационный принцип Гамильтона, можно получить из него как следствие уравнения Лагранжа. В теоретической физике иногда оказывается удобным вводить исходную аксиоматику в форме соответствующего вариационного принципа, устанавливающего общие свойства движения в глобальных терминах, и уже из этого принципа получать уравнения движения. [c.280]

Мы видим, что исходный гамильтониан Н = р 12т неинвариантен относительно калибровочного преобразования, хотя уравнения второго порядка Ха = 0 сохраняют свою форму. Можно восстановить инвариантность гамильтониана, если ввести дополнительное калибровочное поле заменой [c.245]

Последнее выражение представляет собой уравнение движения электрона в кристалле. В этом случае произведение П (dk/df) равно силе F, действующей на электрон со стороны внешнего электрического поля. Для свободного электрона внешняя сила равна произведению m(dV/di). То, что для электрона в кристалле уравнение движения не имеет привычной формы второго закона Ньютона, не означает, что закон Ньютона здесь не выполняется. Все дело в том, что уравнение движения мы записали только с учетом внешних сил, действующих на электрон, и не учли силы, действующие со стороны периодического поля кристалла. Поэтому не удивительно, что уравнение движения не имеет обычного вида [c.232]

Уравнение (1-1) представляет собой обобщенный закон полного тока в дифференциальной форме. В его правой части первый член есть плотность тока проводимости, второй — плотность тока смещения. Уравнение (1-2) есть закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме. Оба этих уравнения выражают тот факт, что переменные электрические и магнитные поля существуют совместно и являются разными сторонами единого электромагнитного процесса. [c.8]

В таблице х — быстрое переменное, у п z — медленные, ось Z направлена вдоль складки медленной поверхности, ось у ей перпендикулярна. Во втором и третьем столбцах приведены нормальные формы из п. 2.5 фазовые кривые медленного-уравнения заданы либо первым интегралом, либо соответствующим полем направлений. Предложение 2 доказано в п. п. 3.3,, [c.185]

Согласно уравнению (2-3) и табл. 2-1, температурное поле в теле зависит от геометрической формы, начального теплового состояния и условий теплообмена тела с окружающей средой. Однако по истечении некоторого промежутка времени, определяемого условием Fo 0,55 ряд (2-3) быстро сходится. Все члены ряда, начиная со второго, становятся малыми по сравнению с первым, и распределение температуры во времени для всех точек тела может быть выражено первым слагаемым ряда [c.64]

Первое из этих уравнений есть не что иное, как условие (2.06), а второе получается приравниванием нулю тангенциальной составляющей электрического поля на стенке волновода. Этот метод подхода к задачам будет подробно рассмотрен в гл. III и IV в связи с его применением к круглому волноводу. Заметим только, что уравнения (2.21) и (2.22) только формой записи отличаются от уравнений (2.12) и (2.13) и полностью им эквивалентны. [c.17]

Явления излучения описываются уравнениями переноса и энергии. В этой системе уравнений неизвестными будут величины яркостей и в зависимости от постановки задачи поле тепловыделений (первая постановка) или поле температур (вторая постановка). В качестве заданных величин имеем при первой постановке — поле температур и при второй — поле тепловыделений. Если уравнение баланса принимаем в том виде, как оно зафиксировано соотношением (10-2), то задача ограничена рассмотрением приведенных тепловыделений если же оно принято в развернутой форме, то рассматриваются действительные химические тепловыделения, и тогда появляется добавочный член, учитывающий перенос тепла за счет движения среды, и член, учитывающий перенос тепла молекулярной и турбулентной теплопроводностью. Этот последний член в дальнейшем нами не учитывается. Система уравнений переноса и энергии является замкнутой, так как число уравнений равняется числу неизвестных. [c.305]

Фундаментальная форма. Введение дифференциальных.операций на касательных пространствах позволяет задать симплектическую структуру на касательном расслоенном пространстве и рассмотреть в дальнейшем лагранжевы динамические системы как векторные поля на ТМ или дифференциальные уравнения второго порядка на М. [c.57]

Дифрагированное поле вне диэлектрика снова представляется в форме разложения по функциям Ханкеля второго рода. Отсутствие других цилиндрических функций следует из условия излучения. Полное поле при г > а имеет вид (5.10). Поле внутри диэлектрика ищется в виде разложения по функциям Бесселя, так как эта функция — единственное решение уравнения (5.436), которое остается конечным при г = 0. Аргументом этих [c.54]

Первая из этих формул является определением функции F h), Вторая получается из неё, если учесть, что согласно волновому уравнению, разложение Фурье для и (х, z) при малых х, х Ф О, получается из (16.15а) добавлением под интегралом множителя exp(to) ( ). Здесь в экспоненте следует брать другой знак по сравнению с множителем в (16.10), так как поле создано источниками, расположенными выше плоскости л — О, и потому должно вблизи этой плоскости иметь аналитическую форму, обеспечивающую удовлетворение условиям излучения прй х --со [а не при х->оо, как (16.10)]. [c.159]

В варианте же б допустимо, чтобы как F, так и Ф были формами не выше второй степени по полю. В обоих вариантах Ф и F должны стремиться к единице при исчезновении поля. В варианте б факторизованное уравнение примет следующий вид ) [c.252]

Решение линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами слагается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Поскольку свободное слагаемое представляет собой экспоненту, частное решение ищем в виде такой же экспоненты с другим множителем. Решениями однородного уравнения также являются экспоненты > О, где показатель к = у (1 —Л)(3 —ЛЖ1). В случае полубесконечной атмосферы растущую экспоненту следует отбросить, так как поле излучения в задаче об отражении ослабевает с глубиной. Коэффициент перед убывающей экспонентой определяется из граничного условия, которое имеет вид первого равенства в (47), Что характерно для метода Эддингтона. В результате решение получается в форме суммы двух слагаемых [c.59]

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при гыводе основ ых законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле — уравнениями (29), где L = T—К. [c.164]

Будем считать физические свойства среды р, Ср и X постоянными параметрами, определяемыми видом вещества среды. В действительности они зависят от температуры и давления, а поскольку здесь идет речь о полях температуры t x, у, г, т) и давления р[х, у, г, т), то физические параметры в общем случае являются функциями координат и времени. Зависимостью от давления можно пренебречь по двум причинам во-первых, физические параметры слабо зависят от давления (за исключением плотности газовой среды) и, во-вторых, исходные допущения, при которых получены уравнение (12.4) и являющееся его следствием уравнение (12.7), в совокупности своей эквивалентны предположению об изобарности процесса теплообмена. Учет переменности плотности газовой среды зависит от изменения давления при движении газа с большой скоростью градиент давления в потоке может быть весьма значительным и в этом случае используется уравнение энергии в форме (12.6) с учетом переменности плотности. Таким образом, физические параметры среды зависят в основном от температуры, которую приходится учитывать. [c.269]

Балансные или полевые уравнения нерелятивистской электродинамики сплошных сред состоят из балансных уравнений для самих электромагнитных полей — уравнений Максвелла, с которыми мы имели дело в 3.2, и не зависящих от геометрии и структуры материала уравнений, выражающих фундаментальные аксиомы механики и термодинамики сплошных сред, а именно законы сохранения массы (для замкнутых однокомпонентных систем), импульса, момента импульса, энергии и второй закон термодинамики. Уравнения Максвелла здесь повторять не будем. В остальных уравнениях мы должны учесть электромагнитные слагаемые, выражения для которых были найдены в 3.3 и 3.4. Общая формулировка уравнений Максвел-, ла в 3.2, очевидно, показывает, что при рассмотрении движущейся внутри тела поверхности разрыва a(i) надо иметь дело с более общей и более полной формулировкой балансных уравнений в интегральной форме, чем с той, которая дана в 2.4. [c.194]

В настоящем параграфе рассмотрена задача о наращивании полого шара. Шар находится под действием переменного во времени внутреннего давления. Снаружи шар наращивается стареющим, вязкоупругим материалом, элементы которого имеют разный возраст. Напряжения и деформации в наращиваемом неоднород-но-стареющем шаре выражены через одну функцию времени, для которой установлено определяющее интегральное уравнение Воль-терра второго рода. Коэффициенты этого уравнения выражаются в замкнутой форме через упругие и реологические характеристики материала и параметры движения внешней границы полого шара [41]. [c.109]

Если числитель уравнения (7.158) поло>ки-телен, то О°<0<9О°, поверхность смачивается и капля жидкости будет растекаться. В противном случае 9О°<0<18О°, поверхность не смачивается, на такой поверхности капля сохранит шарообразную форму. В первом случае поверхность называется лиофильной (для воды гидрофильной), во втором — лиофобной (гидрофобной), к гидрофобным поверхностям веществ, находящихся в воде, пузырек воздуха прилипает прочнее (большей площадью), чем к гидрофильным. Прилипание пузырьков воздуха к измельченной твердой фазе лежит в основе процесса флотации. Чем прочнее прилипает пузырек воздуха к твердой фазе, тем легче последняя всплывает (флотируется) в жидкости. Жидкие нефтепродукты, так же как и парафин, гидрофобны. На этом основан способ флотационной очистки замазученных сточных вод ТЭС. [c.268]

Эго уравнение носит название уравнения Чернниа (а не Чер-нинга) и имеет два вещественных корня в пределах —25 < D <7. Меньший по абсолютному значению корень приводит к меньшим кривизнам (тип Оствальта) второй корень, (тип Волластона) приводит к сильно выпуклым поверхностям, к прекрасному исправлению астигматизма по всему полю, но ие получил распространения вследствие неудобной формы линзы, а может быть, из эстетических соображений. [c.538]

Второй аспект применения высших членов разложений полей напряжений и перемещений - это обработка полученных методами фото-упругости экспериментальных данных [61 ]. В этой работе было показано, что для правильного расчета динамических коэффициентов интенсивности напряжений по картинам изохром необходим учет нескольких членов разложений. Некоторые количественные и качественные оценки приводятся в работе [94], посвященной численному моделированию несимметричных изохром, встречающихся в экспериментах даже при симметричной деформации трещины. Используются уравнения, описьюающие напряженное состояние в вершине треш11ны с учетом членов до третьего порядка включительно. Сделаны следующие выводы. Высшие члены разложений влияют на размер и форму изохром при деформациях по модам I, II и смешанной моде. Члены третьего порядка должны учитываться только при моде II, причем на расстоянии менее 4 мм от вершины они оказывают незначительное влияние. Использование высших членов разложений повышает также точность обработки экспериментальных данных, полученных методом каустик [ 76 ]. [c.20]

Голограмма Фурье любого вещественного объекта имеет центральную симметрию. Это следует из того, что уравнение голограммы таких объектов инвариантно по отношению к перемене знака пространственных частот, ибо входящие в него члены 4 (р, q) и (р, q) не изменяют знака при изменении знаков р и q первый - вследствие центральной симметрии, а второй - вследствие четности. Для простейших объектов функцию пропускания голограммы Фурье т(р, q) нетрудно получить аналитически. Моделирование голографического процесса на ЭВМ предполагает воспроизведение различных его сторон в риде вычислительного процесса на основе матетамических аналогий. При этом все физические объекты, участвующие в реальном процессе (предмет, световое поле, изображение на транспаранте, голограмма и пр.) заменяют цифровыми моделями путем представления в виде двумерных функций, их характеризующих в цифровой форме [Е х,у) h(x,y), g(x,y), T(p,q)]. [c.72]

Здесь мы опустили интегрирование по г и перещли к фурье-образам по частоте w. При равновесном беспорядке разброс поля /(г) сводится к среднеквадратичной флуктуации (А(рУ, так что р = О, и выражение (1,248) сводится к стандартной форме -(1/2) / (р dt. В условиях закалки имеем р > О, и второе слагаемое в (1.248) приводит к перенормировке затравочного суперкоррелятора (1.237), компонента 3 ° которого приобретает в (1.243) множитель 1 + 2тгр 6(ш). Соответственно для оператора L в уравнении движения (1.236) находим [c.100]

Все приведенные выше уравнения пьезоэффекта имеют, так сказать, скалярную форму и не учитывают того факта, что электрическое поле Е и электрическая поляризация Р являются полярными векторами, а механическое напряжение t и механическая деформация г — полярными тензорами второго ранга. Тензорную сущность механических деформаций (напряжений), можно понять, если учесть, что под действием внешних сил твердое тело (не обязательно анизотропное) не только удлиняется (укорачивается), но и испытывает поперечное сжатие (расширение). Аналитически компоненты тензора дефорл1аций г связывают два полярных вектора вектор действующей силы и вектор смещения частицы под действием этой силы. Формально тензор гц аналогичен тензору вц (см. 1.14) и имеет вид [c.117]

Для решения задачи о дифракции для тел нескольких простых форм применйм простейший метод нахождения поля — метод разделения переменных. Суш,но-сть метода состоит в том, что решение иш.ется в виде бесконечной суммы, каждый член которой есть произведение функций, зависящих только от одной координаты. Условием применимости этого метода является существование такой системы координат, в которой, во-первых, поверхность тела совпадает с какой-либо координатной поверхностью, и, во-вторых, уравнения Максвелла (для акустики волновое уравнение) распадаются на несколько обыкновенных дифференциальных уравнений. Для двумерных задач метод применйм к клину и цилиндрам, ограниченным кривыми второго порядка. В трехмерных задачах тела могут быть ограничены любыми поверхностями второго порядка мы рассмотрим только задачу о сфере. [c.42]

Во второй главе рассматриваются основные уравнения задачи термоупругости в квазистатической постановке, когда не учитываются связывающий член в уравнении теплопроводности и инерционные члены в уравнениях равновесия. Рассмотрение этого вопроса в специальной главе оправдывается тем, что квазистатическая задача термоупругости имеет наибольшее практическое значение в обычных условиях теплообмена тепловые потоки, образующиеся вследствие деформации, и динамические эффекты, обусловленные нестационарным нагревом, настолько невелики, что соответствующие члены в уравнениях могут быть отброшены и система уравнений распадается на обычное уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения, описывающие статическую задачу о термоупругих напряжениях при заданном температурном поле, вызванном внешними источниками тепла. Здесь при изложении постановки квазистатической задачи термоупругости в перемещениях представление общего решения выбрано в форме, полученной П. Ф. Папкови-чем в 1932—1937 гг. В этой форме решение однородного уравнения для вектора перемещения содержит произвольные гармонические вектор и скаляр, а частное решение соответствующего неоднородного уравнения, отвечающего заданному температурному полю, определяется через скалярную функцию, получившую название термоупругого потенциала перемещений, которая удовлетворяет уравнению Пуассона. [c.7]

Первые исследования асимптотической структуры гравитационного поля на пространственной бесконечности были проведены группой АДМ [1,2] и Бергманиом [11]. Основная идея состояла в том, что вдали от источника начальные данные должны быть близки к начальным данным для пространства Минковского. Как известно, начальными данными для уравнений Эйнштейна являются индуцированная трехмерная метрика Ьар и внешняя кривизна (вторая фундаментальная форма) ха трехмерного многообразия П С Ш, где Ш1 — пространство-время. Наиболее полный анализ пространственной бесконечности в 3+1=подходе, основанный на геометрических идеях и конформной технике, содержится в работах [24, 25]. [c.154]

Из первого уравнения найдем Т = onst О, а из второго получим р = оо. Это означает, что при отсутствии силового поля и при скорости Vj отличной от скорости распространения в нити упругой поперечной волны, в установившемся движении нить может принимать только прямолинейную форму. Только прямолинейную форму принимает нить и в установившемся равнопере- [c.177]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...