Иные формы уравнений движения

Канонические преобразования могут быть использованы для того, чтобы упростить систему уравнений Гамильтона, сделать ее более удобной для интегрирования. Далее канонические преобразования будут использованы для того, чтобы получить из уравнений Гамильтона иную форму уравнений движения — уравнение в частных производных Гамильтона — Якоби. [c.312]

Указанный выше выбор переменных поля произволен. Изменяя этот выбор, можно получить иные формы уравнений движения— аналогов уравнений Лагранжа второго рода для систем с конечным числом степеней свободы в переменных Лагранжа. Например, опуская множитель р в правой части равенств (2.117), получаем [c.58]

Иные формы уравнений движения [c.156]

Здесь j — знак суммирования, а для возможных перемещений, т. е. бесконечно малых мгновенных изменений координат, согласных с уравнениями связи при фиксированном значении времени, применен знак б. Лагранж показывает, что его общая формула динамики дает столько дифференциальных уравнений движения, сколько требуется по условиям любой задачи. Он строит эти уравнения для систем со связями по методу неопределенных коэффициентов и получает аналогичные статическим уравнения Лагранжа первого рода , в которые явно входят реакции связей. Он дает и вторую открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго рода , вводя обобщенные координаты и скорости (это одно из его самых замечательных открытий в механике). Посредством анализа общей формулы (Ь), с использованием многих положений, установленных в статике, выводятся общие свойства движения . Это не что иное, как доказательство общих теорем динамики системы теоремы о движении центра инерция, теоремы моментов , теоремы живых сил . [c.156]

Следует указать и иную форму уравнений сжимаемой жидкости. Если мы допустим, что движение является только установившимся и необязательно будет потенциальным, то для случая двух измерений будем иметь ( 165) [c.876]

Характер колебаний, которые струна совершает в действительности, зависит от начальных условии. Например, струна будет колебаться только в основном тоне, если при t = О она имела форму первой кривой (п = 1) и все ее точки были в покое. Если же начальная форма струны иная, то кроме основного тона появляются и обертоны, так как колебания струны представляют совокупность налагающихся друг на друга отдельных колебаний. Уравнение движения примет в этом случае такой вид [c.567]

Неголономные связи — это связи совершенно иного типа. Их существование впервые отметил М. В. Остроградский. Он же первый вывел уравнения движения неголономных систем, правда, в недостаточно удобной для практического применения форме. [c.427]

Проекция уравнения движения (11.11) на те или иные оси, связанные с выбранной координатной системой, позволяет перейти от векторной формы задания движения к его координатной форме. [c.12]

Уравнения Лагранжа в форме (92) представляют собой но существу правила составления динамических дифференциальных уравнений движения системы в обобщенных координатах. Уравнения движения составятся, если выполнить все операции над кинетической энергией, указанные в уравнениях (92), и вычислить выражения обобщенных сил согласно условиям той или иной задачи. [c.365]

Уравнение движения центра масс. Понятие центра масс позволяет придать уравнению (3.4) иную форму, которая часто бывает более удобной. Для этого достаточно [c.73]

Соотношения (Ь) определяют закон движения точки Л11(5, 1). Уравнение (а) можно представить в иной форме [c.175]

Припоминая, что количество движения системы равно произведению массы системы на скорость центра масс системы, можно придать уравнению (3) иную форму [c.809]

Применительно к потокам жидкостей и газов более удобна несколько иная (гидродинамическая) форма уравнения для количества движения, которую получил впервые Эйлер. Выведем уравнение количества движения в гидродинамической форме. Для этого выделим элементарную струйку (рис. 1.7) и проведем два нормальных к ее оси сечения 1 и 2. Разобьем всю массу жидкости, заключенную в объеме 1—2, на большое число частей так, чтобы В пределах каждой из них, имеющей массу т, скорость движения W можно было считать постоянной, и установим связь между проекциями сил и количества движения на ось х. Согласно уравнению (87) сумма проекций импульсов всех сил, приложенных к массе жидкости 1—2, равняется изменению проекции суммарного количества движения [c.37]

Если подвижная граничная поверхность задана уравнением S (х, у, 2, О = О, то последнему условию можно придать иную форму. При безотрывном движении частицы ее координаты х (t), у (i), г (t) должны в любой момент удовлетворять уравнению граничной поверхности, т. е. 5 1х (t), у (t), г (/), t] = 0. Так как dS = О, [c.101]

Для получения иных употребительных в газовой динамике форм уравнения Бернулли определим скорость распространения в газе малых механических возмущений. Для этого рассмотрим покоящийся газ, заполняющий цилиндрическую трубу с площадью S поперечного сечения справа от поршня (рис. 11.1). Параметры покоящегося газа обозначим ро и ро. Если поршню сообщить внезапное малое перемещение со скоростью Ui, это приведет к уплотнению газа перед ним, повышению давления на Ар = Pi — Ро и плотности на Др = — ро. Возмущение распространится в газе с некоторой скоростью а и по истечении времени охватит область х, а за время dt распространится еще на расстояние dx = adt. Частицы газа в зоне уплотнения приобретут скорость Ux поршня. Чтобы найти скорость а распространения возмущения, используем законы сохранения массы н изменения количества движения. [c.413]

Для определённости предположим, что газ совершенный, не вязкий и не теплопроводный, причём движение не сопровождается какими-либо физическими или химическими превращениями (в какой мере в той или иной задаче можно отказаться от этих предположений, будет рассмотрено позднее). В этом случае уравнения движения, неразрывности и энергии можно взять в следующей форме [c.169]

Первое из этих уравнений, являющееся не чем иным, как уравнением кинетической энергии в другой форме, определяет движение по кривой, так как оно не содержит реакции два других определяют составляющие и реакции. Вычисление упрощается, если имеется силовая функция U. В этом случае уравнение кинетической энергии имеет вид [c.379]

Уравнения движения неголономных систем обычно пишут в иной форме, пользуясь неопределенными множителями (см., например, Суслов, Теоретическая механика). Пусть общее уравнение механики приведено к виду (79) [c.421]

В современной теории гироскопических приборов считают более удобным записывать уравнение (11) в иной форме, а именно так, чтобы угловая скорость собственного вращения совсем не входила в левую часть уравнения движения [c.539]

Общее уравнение динамики (1) мы принимаем за исходное при получении основных дифференциальных уравнений аналитической динамики, которым посвящена данная глава. Фактически все изучаемые ниже уравнения движения материальных систем являются только различными формами записи уравнения (1), к которым оно приводится при тех или иных предположениях о характере активных сил, действующих на систему, и о наложенных на нее связях. [c.267]

Уравнения движения (9.2.21) можно представить и в ином виде. Запишем их в матричной форме (9.1.12) [c.152]

Широко распространенное в литературе выражение доказательство принципа (начала) безусловно является неправильным. Принципы не доказываются, они вводятся и формулируются как обобщение широкого класса опытных данных. То, что называется доказательством принципов, есть вывод из принципов уравнений движения. Такой вывод показывает лишь, что для круга опытных фактов, выражаемых уравнениями движения, тот или иной принцип (или начало) не приводит к абсурдным результатам, а действительно выражает некоторую совокупность экспериментальных данных. Будет ли этот принцип охватывать и другие явления, не описываемые уравнениями движения, или даже те же явления, но осложненные наложенными дополнительно условиями, сказать на основании такого доказательства нельзя. Такое доказательство устанавливает лишь, что в данной области принцип и уравнения движения эквивалентны, т. е. выражают одни и те же наблюдаемые явления, хотя и в различной математической форме. [c.865]

Это уравнение по форме и по методу решения ничем не будет отличаться от уравнения (XI.29), выведенного в предположении, что пружина отсутствует, а силы сопротивления постоянны. Если же предположить, что величина x J2 велика по сравнению с Р , а изменением величины и 12 (а + Ыи) по тем или иным соображениям можно пренебречь, приняв ее постоянной, получим следующее дифференциальное уравнение движения поршня [c.220]

Уравнения (1.4) и (1.6) обычно называют уравнениями движения Ламе. Они многократно выводились и использовались в работах по линейной теории упругости Навье (1821), Коши (1828, 1840), Пуассона (1829), Ламе и Клапейрона (1833), Стокса (1845, 1851), Ламе (1852). Приведенные ниже иные формы записи уравнений (1.6) и частные свойства их решений также установлены в отмеченных работах. Глубокий обзор исследований, выполненных на раннем этапе развития теории упругости, приведен в работе [186]. [c.17]

Расчет динамического поведения конструкции заключается в определении перемещений и напряжений как функций времени. Динамический расчет может в качестве предварительного этапа содержать исследование собственных колебаний, в результате чего определяются частоты и формы собственных колебаний конструкции в некоторых случаях эта информация представляет и самостоятельный интерес. Другой подход заключается в прямом интегрировании матричного уравнения движения с помощью тех или иных численных процедур. [c.357]

Решения уравнений движения (4.26) и (4.29) можно записать в несколько иной форме, если ввести обозначения [c.97]

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

Задачу о движении тела при наличии связей решают иными путями, чем задачу о движении свободного тела, так как реакции не известны заранее. Поэтому при составлении уравнений движения тела, кроме известных, заданных сил, учитывают и неизвестные реакции связей. Потом из условий задачи, например на основании известной формы траектории, находят дополнительные уравнения, с помощью которых можно определить и неизвестные реакции, и ускорение тела. [c.83]

Метод размерностей , который был использован в 365, 366, может быть представлен в иной форме ). Возьмем одно из динамических уравнений движения несжимаемой жидкости, например, [c.863]

Воспользуемся общим дифференциальным уравнением одноразмерного неустановившегося движения (14.2), написав его в несколько иной форме [c.287]

Уравнения по форме совпадают с уравнениями движения экваториального спутника Земли (см. приложение 2) и интегрируются совершенно так же, поэтому все качественные эффекты движения центра масс рассматриваемого тела будут иметь вид, совершенно тождественный с эффектами орбиты экваториального спутника будет иной только количественная характеристика этих эффектов. Основное отличие движения экваториального спутника от движения в ньютоновском центральном поле сил сказывается в наличии векового движения перигея орбиты со скоростью [c.172]

Однако уравнения Аппеля в псевдокоординатах применительно к голономной системе уже дают иные формы уравнений движения. [c.73]

Как видно из уравнений (5) или (6), введение сил инерций и позволяет при изучении относительного движения составлять уравнения движения точки в нёинерциальной системе отсчета в той же форме, которая имеет место для инерциальной системы. Иными словами. с помощью сил Jg и учитывается влияние движения подвижной системы отсчета на относительное движение точки. [c.439]

В СИЛ того, что изложено ьыше, урлвнения (43) представляют собой не что иное, как преобразованную форму уравнений (40). Однако, если это и верно с аналитической стороны, особая ценность уравнений Лагранжа с теоретической точки зрения заключается 1 том, что в окончательном синтезе они разделяют механические элементы, определяющие движение. Именно, все, что зависит от активных сил, объединяется в лагранжевых компонентах (обобщенных силах) а все, относящееся к материальной струк-туре системы, синтезируется в одной величине Т, т. е. в живой силе. [c.294]

Волновое движение. Описанные выше формы движения были вязаны с возникновением в среде равновесных положений частиц или пузырьков. При юзбуждении в многофазной среде бегущих воли возможны иные формы движения, а именно односторонне направленные движения с постоянной скоростью. Механизмы их впервые установлены в работах [4—6, 14]. Поступательное движение частиц может быть описано следующим приближенным уравнением [4, 6] [c.113]

Вместе с тем, установленная Лагранжам взаимосвязь симметрия — сохранение не была им явно сформулирована в виде некоторого общего результата. Если Ньютон постулировал с самого начала определенные свойства пространства и времени, то Лагранж не высказывался непосредственно о тех принципах пространственно-временной симметрии, которые наряду с общей формулой динамики были им неявно положены в основу аналитической механики. С одной стороны, это было связано с общей тенденцией, характерной для механики XVIII и даже первой половины XIX в., избегать обсуждения аксиоматических основ механики с другой — с известной переоценкой динамических законов типа основных уравнений движения механики и недооценкой принципов пространственно-временной симметрии. Рассмотрение законов сохранения как первых интегралов уравнений движения механических систем могло поддерживать иллюзию, что взаимосвязь симметрия — сохранение имеет лишь формально-вычислительное значение и в своей общности и фундаментальности существенно уступает самим уравнениям движения или иной форме динамического закона (при этом не-оол редко упускалось из виду, что структура уравнений сама, в свою очередь, базировалась на определенных представлениях о свойствах симметрии пространства и времени). [c.230]

Известен целый ряд работ, относящихся к теоретическим и экспериментальным исследованиям прямолинейных стержней при ударном нагружении [1—6]. Гораздо меньше работ лосвящено анализу криволинейн хх стержней. В 1961 г. Морли [7] вывел уравнения для криволинейных стержней типа уравнений Тимошенко [8] и получил дисперсионные кривые для непрерывного волнового движения. В работе [9], относяш,ейся к 1965 г., обсуждалась передача энергии волнами напряжений в прямых и криволинейных стержнях с возможным приложением. к высокоскоростным полиграфическим печатным процессам. Теории распространения упругих волн в спиральных пружинах малой кривизны посвящена опубликованная в, 1966 г. работа [10]. Исакович и Комарова [11] в 1968 г. исследовали при помощи теории нулевого момента распространение про-дольно-изгибных волн в пологом кривом брусе. В том же году были представлены теоретические и экспериментальные данные [12], относящиеся к дисперсии упругих волн в спиральном волноводе, а в 1971 г. были опубликованы результаты для иных форм пружин [13]. Позднее в работах [5] была рассмотрена задача о распространении волн напряжений в крутозагнутых стержнях. Наконец, в работе [14] были представлены уравнения Морли [7] в виде, пригодном для исследования распространения волн в криволинейных стержнях, и выполнены некоторые числовые расчеты для типичных примеров. В данной статье обобщена теория работы [14] и дано сравнение результатов теоретических исследований с экспериментальными данными для стержневой конструкции, состоящей из прямых и криволинейных участков. [c.199]

Уравнение (3.1) есть дифференциальноа уравнение движения сплош ной среды в векторной форме в криволинейных ортогональных координат-ах, представленное через напряжения. Это уравнение можно получить и иным путём, применяя закон Ньютона к фиксированной массе внутри параллелепипеда с рёбрами и Звд. [c.78]

Заметим в заключение, что связь между параметрами, определяющими относительное положение звеньев, может быть выражена диференциальными уравнениями если эти уравнения могут быть проинтегрированы, хотя бы графически или численно, то в результате получим в той или иной форме зависимость между самими параметрами (а не между их диференциалами), и относительная подвижность звеньев, т. е. число степеней свободы в их относительном движении, будет равно числу независимых параметров. Такие связи называются г о л о н о м н ы м и в механизмах преимущественно имеют место такие связи. Но бывают случаи, когда диференциальные уравнения, связывающие параметры, не могут быть проинтегрированы вследствие их строения так, например, в механизмах для математических операций встречается колёсико с острым краем, могущее только катиться по поверхности другого звена обозначив координаты точки касания колёсика через х я у, а угол между его плоскостью и плоскостью касательной к поверхности звена через с, получим уравнение связи в виде [c.52]

Выражения же в скобках представляют собой пе что иное, ка1ч удвоенные комноненты гловой скорости вращения частицы (глава III, формулы (23)). Учтя все это п ограничиваясь, кроме того, лишь случаем несжимаемой жидкости ( . = onst.), получив уравнения движения в следующе форме [c.281]

В методе Гамеля иная картина процесс вывода проходит без привлечения уравнений связей, в уравнениях движения фигурирует первоначальная кинетическая энергия, выраженная через все неголономные скорости. При составлении уравнений движения по записи Гамеля дифференцируется первоначальная кинетическая энергия, после чего все зависимые скорости заменяются их выражениями через независимые. Г. Н. Космодемьянская, которой принадлежат некоторые главы в нашей монографии Основы механики неголономных систем , показала, что в случае полной склерономности системы, когда кинетическая энергия представляет собой чисто квадратическую форму второго измерения, уравнения движения составляются в обоих случаях идентичные. Случай реономных систем требует особого исследования на основе современных методов — теории дифференцируемых многообразий. Нами предложен в данном -случае метод нормальных неголономных координат , т. е. использование таких независимых -неголономных -скоростей, при данных неголономных связях, через которые кинетическая энергия выражалась бы в квадратической форме от скоростей, без удвоенных их произведений, -п-р-ичем в левые части уравнений должны все входить тоже только раздельно. Тогда результат дифференцирования будет один и тот же обоих случаях, независимо от того, когда полагаются нулю зависимые [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...