Рунге — Кутта схема

Роша координаты 444 Рунге — Кутта схема 172 [c.608]

Робертса — Вейса схема с разностями по диагонали 149—151, 155,526 --- — четвертого порядка точности 154—157, 159, 211, 212, 224 Роша координаты 444 Рунге — Кутта схема 172 [c.608]

Один из возможных вариантов программы с использованием конечно-разностной схемы Эйлера приведен в рассмотренном ниже примере. Студентам, имеющим практические навыки программирования, рекомендуется интегрировать уравнения (2) методом Рунге — Кутта, используя стандартные подпрограммы. [c.105]

Из (7.43) и (7.44) следует, что решение разностного уравнения (7.42) стремится к точному при х->0 для всех s таких, что 0 5 1. Однако точность и устойчивость решения разностного уравнения зависят от величины этого параметра. При 5=1/2 решение имеет второй порядок точности, при s=l (явная схема типа схем Эйлера и Рунге — Кутта) и х 1 решение разностного уравнения сильно отличается от точного. Максимальный шаг, с которым можно численно интегрировать уравнение, равен 2т. Поэтому явные схемы позволяют численно интегрировать релаксационные уравнения вблизи равновесия, где время релаксации X мало (порядка 10 —Ю ), лишь с очень малым шагом (h x2x), что делает их абсолютно непригодными. [c.205]

Теперь перейдем к рассмотрению наиболее распространенных методов численного решения задачи (1.29), (1.30). К ним относятся методы, основанные на разложении функции Т (т) в ряд Тейлора (наиболее распространенная схема этого вида — схема Эйлера) методы Рунге—Кутта линейные многошаговые методы. [c.28]

Использование схем, подобных (1.44), затруднено тем, что требуется вычислять производные от функции / (т, Т), и в настоящее время они применяются не часто. Поэтому возникает необходимость в построении схем с высоким порядком точности, которые не содержали бы производных от / (т, Т). К таким схемам относятся схемы Рунге—Кутта. [c.32]

Схемы Рунге — Кутта. Для получения схем Рунге — Кутта запишем приращение сеточной функции точного решения на промежутке (т,-, Tj+,] в виде [c.32]

Рассмотренная схема являегся простейшей двухэтапной схемой Рунге—Кутта. В ней интеграл определяется по двум точкам интервала [т , и используются два вычисления функции / (т, и) на одном шаге по времени. В общем случае при использовании для определения интеграла /j j+i т точек на интервале [xj-, Xj+il получается m-этапная схема Рунге—Кутта. Первая точка для вычисления оценки производной f (х, и) всегда совпадает с Xj, а остальные располагаются оптимальным образом с точки зрения обеспечения наивысшего при данном т порядка аппроксимации. [c.33]

Схемы Рунге—Кутта (1.47) и (1.48) явные и обладают условной устойчивостью. Например, у схемы четвертого порядка условие устойчивости, проверяемое на модельной задаче (1.38), выполняется только при Ат < 2,8/то. [c.33]

Линейные многошаговые методы. При построении многошаговых схем, как и в схемах Рунге—Кутта, будем исходить из равенства [c.33]

За счет введения в разностную схему значений функции / (т, и)вк точках, предшествующих искомой (/ + 1)-й точке, удается повысить порядок аппроксимации. Похожий прием использовался для повышения порядка аппроксимации в методе Рунге—Кутта, но там вычисление значений / (т, и) проводилось в точках интервала [т , [c.35]

С точки зрения сокращения затрат машинного времени для одного шага новый способ предпочтительнее, поскольку в схемах Рунге— Кутта вычисленные на промежутке [ту, Tj+J значения / (т, и) не будут использованы на следующем шаге от Xj+i до т основные затраты времени связаны с вычислением этих значений. В многошаговом же методе при вычислении мы не сможем использовать только значение f в наиболее удаленной точке, участвовавшей в определении значения Ш + . Остальные значения функции / в точках Xj, можно использовать и при вычислении и/+ . Однако в целом сопоставление затрат машинного времени нужно проводить, учитывая общее число шагов J, необходимое для достижения заданной погрешности. [c.35]

С точки зрения ограничения на шаг Ат, связанного с требованием наличия у схем устойчивости, явные многошаговые методы не имеют преимуществ по сравнению с явными методами Рунге—Кутта. [c.35]

При использовании для численного решения задачи (6.9) какой-либо явной схемы, например схемы Рунге-Кутта, необходимо для [c.181]

Согласно авторам работ [313, 375], шаг интегрирования М при использовании явных конечно-разностных схем (например, методов Рунге—Кутта, Эйлера и т.п.) определяется условием [c.120]

Рунге схема вычисления коэффициентов для 12 ординат 313 Рунге — Кутта метод решения дифференциальных уравнений 212 Рычажные механизмы с качающимся цилиндром — см. Механизмы рычажные с качающимся цилиндром Ряд Лорана 198 [c.584]

Хорошее совпадение наблюдалось и при сравнении результатов расчета по одномерной теории течений в соплах Лаваля с учетом обратного влияния частиц на несущую фазу с численным решением, полученным с помощью схемы Рунге—Кутта четвертого порядка точности [61]. [c.133]

Управляемые движения манипулятора определялись путем численного интегрирования уравнений динамики (5.1) при заданных управляющих моментах. В качестве схемы интегрирования был принят метод Рунге-Кутта. Было проведено три серии экспериментов, относящихся к исследованию неадаптивных законов программного управления, описанных в п. 5.1, и адаптивных законов контурного и позиционного управления, предложенных в и. 5.2. В качестве алгоритмов адаптации использовались и моделировались дискретные локально оптимальные конечно-сходя- щиеся алгоритмы, рассмотренные в п. 3.6 и 3.7. [c.144]

Обычно порядок точности схемы (192) достаточен для достижения нужной степени точности решения задачи Коши (188) — (189). Это обусловливает широкое использование именно этой вычислительной схемы методов Рунге—Кутта. [c.122]

Суш,ествуют методы Рунге—Кутта более высоких порядков. Однако повышение порядка метода приводит к быстрому возрастанию вычислительных операций, необходимых для их осуш,ествления. Проводя вычисления по схемам высоких порядков точности, всегда надо разумно сочетать выгоды от повышения порядка с потерями от увеличения числа вычислений. [c.122]

Метод продолжения решения в форме Давиденко и явная схема Рунге — Кутта для интегрирования задачи Коши по параметру применялись в задаче нелинейного деформирования тонкостенного упругого стержня [185]. Линеаризованные пошаговые краевые задачи решались методом конечных разностей с использованием матричной прогонки. [c.189]

Комбинация явной схемы Рунге —Кутта для продолжения решения с периодическим итерационным уточнением решения методом Ньютона— Рафсона использовалась в [159,396]. [c.189]

В [393] схема Рунге-Кутта чередуется с периодическим уточнением решения по методу Ньютона - Рафсона. [c.193]

Подпрограмма MFR на основе интегрирования канонической системы методом Рунге—Кутта (по четырехточечной схеме) осуществляет заполнение матрицы фундаментальных решений н вычисление вектор-столбца частного решения (см. (1Ю9) к разд. 5.1.6). Согласно методу Рунге—Кутта для системы дифференциальных уравнений Y —AY+H на шаге интегрирования [х, j +s] выполняются следующие вычисления [c.286]

Уравнения (4.10)—(4.14) решались на ЭВМ Минск-22 по схеме Рунге—Кутта второго порядка при следующих значениях величин, входящих в уравнения о =2,5-10 см Оф — 1х [c.182]

Результаты расчетов. По изложенной схеме были проведены расчеты обтекания сферы стехиометрической водородно-воздушной смесью в широком диапазоне изменения параметров набегающего потока и размеров сферы. Использовалась трехлучевая схема (п = 2), дающая сравнительно невысокую точность решения, достаточную, однако, как показали оценки, для получения основных сведений о течении. Интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.8) производилось по схеме Рунге-Кутта с постоянным шагом А , который мог быть различным для областей 1 и 2. Величина шага варьировалась в диапазоне А = 0.2-0.05. [c.84]

Вычисления фрактальных размерностей с использованием корреляционной функции С( г) показали, что для измерения углового коэффициента существует оптимальный диапазон значений радиуса г. При малых г мы сталкиваемся с погрешностью, обусловленной шумом, которым сопровождается порождение отображения (эта погрешность приводит к увеличению углового коэффициента). При больших г мы достигаем размера самого аттрактора, и поэтому С(г) выходит на насыщение (что приводит к уменьшению углового коэффициента). График зависимости углового коэффициента от г представлен на рнс. 6.20. Нетрудно видеть, что в некотором диапазоне значений г, или расстояний L между негативами, кривая выходит на плато. Значение, соответствующее этому плато, было выбрано за фрактальную размерность. Данные были получены путем моделирования по схеме Рунге—Кутта уравнения (6.3.7) вынужденного движения в потенциале с двумя ямами 4000 точек были полу- [c.247]

Роша координаты 444 Рунге — Кутта схема 172 --Гилла схема 172 [c.5]

Нормализованные уравнения приводятся к форме Коши и интегрируются тем или иным численным методом на интервале безразмерного вре.мени ti = (ot. Один из возможных вариантов программы, использующий конечно-разностную схему Эйлера с шагом, равным шагу печати Д< =Т /24, приведен в рассмотренном ниже примере. Студентам, имеющим практические навыки программирования, рекомендуется интегрировать уравнения методом Рунге — Кутта, используя стандартные подпрограммы. [c.71]

В настояш ее время широкое распространение получили четырехэтапные схемы Рунге—Кутта, имеющие четвертый порядок аппроксимации и называемые в связи с этим схемами Рунге—Кутта четвертого порядка. Наиболее употребительная из них имеет вид [c.33]

В отличие от одношаговых методов многошаговые не являются са-мостартующими. Действительно, в одношаговых методах вычисления можно начать с ы = Го, получить на его основе и , затем на основе и найти и т. д. При использовании же многошаговых методов при й > 2 вычисления могут начаться только лишь с и при условии, что каким-то образом определены и ,. ....и " . Эти стартовые значения находят с помощью какого-либо одношагового метода, в качестве которого обычно используют одну из схем Рунге—Кутта. [c.35]

Программное обеспечение решения систем уравнений. Для численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений имеется достаточно большое число стандартных подпрограмм, реализующих различные одношаговые и многошаговые методы [15]. При применении этих подпрограмм гюльзователь должен составить подпрограмму, в которой производится вычисление правых частей конкретной системы уравнений, а также организовать вывод результатов — значений искомых функций u i при интересующих значениях аргумента Xj. Особенности использования стандартных подпрограмм разберем на примере подпрограммы R KGS из математического обеспечения ЕС ЭВМ, которая реализует схему Рунге—Кутта четвертого порядка для системы N обыкновенных дифференциальных уравнений с автоматическим выбором шага интегрирования. Пример применения этой подпрограммы приведен в следующем параграфе для решения задачи расчета нестационарного теплового режима системы тел. [c.41]

Решение по схеме Рунге—Кутта. Перейдем к программе решения задачи (1.63), (1.64) по схеме Рунге—Кутта четвертого порядка. Она строится на основе описанной в 1.5 стандартной подпрограммы R KGS, в которую уже заложен цикл по времени. Поэтому в головной программе (рис. 1.9) реализуется лишь задание размерности массивов, ввод исходных данных и обращение к R KGS. Форма представления исходных данных совпадает с использованной в предыдущей программе для схемы Эйлера, а для ввода применяется та же подпрограмма VVOD. Входными данными для подпрограммы RKGS являются начальные значения температур (массив Т), весовые коэффициенты фг, полагаемые равными для всех неизвестных (массив DER Y), число неизвестных (N1), а также массив PRMT, содержащий четыре значения начальное и конечное значения времени (О и ТМАХ), начальный шаг (TAU), допустимую локальную погрешность (0,01). [c.48]

Отметим, что линия Г (л ), разделяющая область течения парокапельной смеси и нристеиочную область чисто газового течения (сепаратриса), в процессе счета не выделяется. При этом происходит размазывание резкой границы области двухфазного течения на две—три ячейки расчетной сетки. С целью правильной интерпретации результатов положение Г(лг) может быть определено по найденному полю скоростей капель как предельная траектория частиц, проходящих расчетную область без контакта с твердыми стенками. Характер распределения параметров капель в окрестности границы области двухфазного течения и точность вычисления положения линии Г(х) оценивались путем рещения модельных задач, а также расчетами траекторий отдельных частиц с использованием схемы Рунге—Кутта второго порядка точности. Анализ результатов методических расчетов показал, что размазывание резкой границы приводит к формированию относительно узкой области, в пределах которой концентрация капель изменяется на несколько порядков, а положение линии F(j ) при густоте сеток, используемых в расчетах, с точностью построения совпадало с траекторией, рассчитанной методом более высокого порядка. [c.134]

Численные методы решения задачи Коши. Наиболее широко применяют одношаговые методы типа Рунге—Кутта, а также многошаговые явные и неявные разностные схемы. Последние особое распространение получили при решении так называемых жестких или сиигулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений, характеризуемых наличием малого параметра при старшей производной. Очевидно, на практике следует использовать такие численные схемы, которые обеспечивали бы требуемую точность решения задачи, гарантировали бы численную устойчивость счета при достаточно крупных шагах интегрирования, позволяли бы легко реализовать автоматический выбор шага дискретизации. [c.120]

Дальнейшего уменьшения ошибки можно достичь двумя путями. Один из них — повышать порядок точности явных схем, для чего можно вооюль-зоваться методами типа Рунге — Кутта или Адамса — Штермера. Построенные на их основе алгоритмы продолжения решения не]шнейной краевой задачи по параметру будут аналогичны только что построенным. Однако такой путь требует дополнительных ресурсов памяти ЭВМ. Второй путь — использование неявных схем, т.е. переход к дискретному продолжению решения по параметру. [c.102]

Такая замена позволяет использовать для построения решений Х 1 уравнения (1.1.1) хорошо исследованные схемы ннтегрщ)ования начальных задач, как-то схемы Эйлера, Рунге—Кутта, Адамса—Штермера н др. Эти схемы являются явными (открытыми). [c.178]

Сведение процесса продолжения решения к задаче Коцш по параметру открывает простор для применения самых различных вычислительных схем интегрирования начальных задач. Так, в работе [136] использована схема Адамса—Штермера. В статье [138] исследовались особенности применения для продолжения решения схем простого и модифицироващюго методов Эйлера, а также схемы Рунге—Кутта. Эти же вопросы рассматривались в работах [437,389,438]. [c.178]

Система четырых обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений (6)—(9) интегрируется численно при заданных начальных условиях, заданных начальных неправильностях и заданной ступенчатой нагрузке. В данных расчетах начальные значения перемещений и скоростей полагались равными нулю. Для начальных моментов времени интегрирование проводилось по методу Рунге—Кутта, а затем осуществлялся переход к методу прогнозирования с коррекцией по схеме шестого порядка. При этом шаг интегрирования выбирался так, чтобы обеспечить желаемую точность результатов интегрирования в каждой точке. [c.17]

Возникает вопрос, к чему эволюционируют нестационарные решепия в условиях неустойчивости или несуществования стационарных Чтобы выяснить это, Н. М. Ерш численно решала систему (3) — (4) по явной схеме методом Рунге — Кутта с использованием пространственной разностной аппроксимации второго порядка при граничных условиях (1.12). Эти четыре условия для системы тре тьего порядка по г позволяют определить и параметр А,((). [c.203]

Расчеты проводились методом Рунге-Кутта-Мерсопа с относительной точностью 10 по следуюгцей схеме. Интегрирование системы уравнений шестого порядка (4) ведется от особых точек-X = Строятся по три линейно независимых аналитических решения и (ж), и (ж), и (ж), где и = [С/, С/, 7, 1/ , ТУ, вплоть до некоторо точки сшивки Хс, —1 < < 1, находягцейся в области наибольших градиентов искомо фу 1книи. Услов 1е ана- [c.310]

В области 1 использовалось четвертое приближение к = 4), узлы интерполяции располагались равномерно, для д от О до 1.2 4 = 0.9, для д от 1.2 до 1.8 4 = 0.95. Интегрирование уравнений (3) велось по схеме Рунге-Кутта с постоянным шагом = 0.1. В сверхзвуковой области интерполяция на слое проводилась по восьми точкам (п = 7), шаг АО Ах) варьировался в диапазоне от 0.05 до 0.02. При приближении к режиму Ченмена-Жуге шаг уменьшался до 0.005. [c.57]

Основная часть расчетов выполняется с использованием модели двигателя, которую можно представить записанной в форме Коши. В сйязи с этим оказывается возможным при интегрировании использовать метод Рунге—Кутта, кроме того можно получить аналитические зависимости для ряда характеристик двигателя, что позволяет выполнять проектирование с использованием критериев, представленных в аналитической форме. Эти критерии включаются в расчеты каждый отдельно, группами или все вместе по мере развития схемы проектирования. [c.193]

Хаотические колебания в этой модели были весьма подробно исследованы Уэдой [197]. Воспользуйтесь каким-нибудь стандартным алгоритмом численного интегрирования, например схемой Рунге—Кутта четвертого порядка, и рассмотрите случай Аг = О, 1 9,8 В 13,4. При б = 9,8 у вас должна получиться периодическая траектория с периодом 3. (Сечение Пуанкаре проводите прн t = 2vn,n = 1, 2,. . . .) В окрестности значения В = 10 траектория [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...