Мир связанных нелинейных осцилляторов

Хаотизация колебаний происходит и при периодическом воздействии на нелинейные осцилляторы, описываемые более сложными уравнениями [496, 497], и систему связанных нелинейных осцилляторов [123, 211, 583]. Этим явлением пытаются объяснить возникновение некоторых болезней сердца, например. [c.276]

Рассмотрим общее поведение системы связанных нелинейных осцилляторов и структуру их фазового пространства. Основным результатом здесь является теорема KAM, гарантирующая существование инвариантных торов для систем как с двумя, так и с большим числом степеней свободы. Однако некоторые следствия теоремы KAM существенно различаются для этих двух случаев. Так, диффузия Арнольда возможна лишь в последнем случае. Мы отложим обсуждение этого вопроса до гл. 6. Здесь же для иллюстрации теоремы KAM и характерной структуры фазового пространства мы ограничимся рассмотрением двумерных (сохраняющих площадь) отображений с некоторыми естественными обобщениями на случай большего числа степеней свободы. [c.184]

Моделью задачи могут служить два связанных нелинейных осциллятора (3.3.7) [c.166]

Возвращаясь к вопросу о параллельном изложении теории колебаний и теории волн, еще раз подчеркнем, что в теории волн существуют явления, имеющие буквальную аналогию в теории колебаний. Такова, например, аналогия между пространственными биениями волн при их стационарном взаимодействии в нелинейной среде и временными биениями в связанных нелинейных осцилляторах. Здесь будет уместно ответить на вопрос почему и до каких пор волновому (распределенному) эффекту можно непосредственно сопоставлять эффект конечномерный (а точнее, маломерный), т. е. для описания волновой системы использовать модель, фазовое пространство которой имеет небольшую размерность Ответ на этот вопрос следует из сопоставления нелинейных волновых процессов в двух предельных случаях — в средах с сильной дисперсией и малой нелинейностью и в нелинейных средах без дисперсии [18, 19]. При распространении волны, например, в сжимаемом газе или на поверхности мелкой воды (дисперсии нет) вершина волны движется быстрее ее основания, волна непрерывно искажается и в некоторый момент происходит ее опрокидывание — профиль должен стать неоднозначным. Такой процесс, очевидно, уже не описывается конечномерной моделью. Причину этого удобно пояснить с помощью очень наглядного спектрального подхода. В среде без дисперсии фазовая скорость малых возмущений любой частоты одинакова. И поэтому все [c.272]

Рассмотренная задача тесно связана с существованием минимального хаоса и своеобразной формой его проявления — стохастической паутиной [21, гл. 13, 4 22]. В чем проблема минимального хаоса Она состоит в отыскании условий, при которых малые области со стохастическим поведением возникают при сколь угодно малом возмущении. Самый простой пример системы, в которой существует минимальный хаос, — два связанных нелинейных осциллятора с гамильтонианом Ж = Ж1 11) + 2( 2) + 6 1 2, 6 2) (минимальный хаос возникает при сколь угодно малых г). Фазовое пространство покрывается некоторой мозаичной структурой — стохастической паутиной, — представляющей собой ячейки, отделенные друг от друга стохастическими слоями. Удивительно красивые картинки стохастических паутин с симметрией пятого и седьмого порядков приведены на цветных вкладках книги [21] (см. в [21], например, рис. ХУП и XIX). [c.295]

Результаты численных экспериментов с двумя связанными нелинейными осцилляторами (15.8) при начальных энергиях > 1/12 приведены на рис. 15.14. На рисунке видно, что при превышении начальной энергии (30 = 1/12, еще соответствующей простым движениям, всего лишь на 0,04 фазовая траектория уже не наматывается ни на какую поверхность, а, похоже, случайным образом блуждает в ограниченной области фазового пространства При дальнейшем увеличении область, занятая случайными движениями, расширяется, а занятая периодическими или квазипериодическими движения — сужается (рис. 15.146). [c.322]

Итак, движение в трехмерном фазовом пространстве связанных нелинейных осцилляторов может быть очень сложным. [c.323]

Будем в модели связанных нелинейных осцилляторов считать движение одного из осцилляторов заданным и гармоническим [c.324]

В гл. 4 заложена основа для стохастических методов, используемых главным образом в гл. 10. В гл. 5 и 6 рассмотрены связанные нелинейные осцилляторы и квазипериодическое движение. Обе главы (5 и 6) содержат подготовительный материал к гл. 8 (в особенности, к разделам 8.8—И). В гл. 6 излагается важная теорема Мозера. Чтобы не перегружать основной текст, ее доказательство (принадлежащее Мозеру) вынесено в приложение. В гл. 7 подводится итог нашего продвижения по основному направлению, начатого в гл. 2 и 3, и рассматривается принцип подчинения (для нелинейных дифференциальных уравнений с флуктуирующими силами и без них). В этой главе излагаются также новые результаты,. [c.89]

МИР СВЯЗАННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ [c.189]

Мир связанных нелинейных осцилляторов 191 [c.191]

Мир связанных нелинейных осцилляторов 193 [c.193]

Мир связанных нелинейных осцилляторов 195 [c.195]

Локализация энергии в нелинейной системе. Гамильтониан связанных ангармонических осцилляторов Н = Но + А//, [c.433]

В 7.3 рассматриваются двумерные обратимые отображения и связанные с ними потоки. Показывается, что последовательность бифуркаций удвоения периода, приводящая к хаотическому движению, аналогична найденной для одномерных отображений. Далее описывается метод Мельникова для определения перехода от регулярного движения к стохастическому. Метод иллюстрируется на примере вынужденных колебаний нелинейного осциллятора с затуханием. Описан метод вычисления инвариантных распределений с помощью уравнения ФПК. [c.410]

ДЛЯ трехмерного потока параметрически возбуждаемого нелинейного осциллятора и нашли хорошее согласие. Они указали также, что малый параметр в (7.3.49) связан с дробной частью фрактальной размерности = а / [c.468]

Рассмотрим теперь поведение связанных осцилляторов с более математических позиций нас будут интересовать в первую очередь математические свойства решений соответствующих уравнений безотносительно к физической природе осцилляторов. Для дальнейшего важно различать линейный и нелинейный осцилляторы, так как они ведут себя по-разному. [c.190]

В этой главе мы изложим теорему, впервые доказанную Мозе ром и обобщающую более ранние результаты Колмогорова и Арнольда. Задача, о которой идет речь, включает в себя в качестве частных случаев задачи, рассмотренные в разд. 3.9, 5.2 и 5.3. Как мы уже знаем, система линейно связанных гармонических осцилляторов может совершать колебания на нескольких основных частотах так, что совместное движение всей системы оказывается частным случаем квазипериодического движения. В этой главе мы попытаемся ответить на важный вопрос могут ли нелинейно связанные осцилляторы также совершать квазипериодическое движение Сами осцилляторы при этом могут быть не только линейными, но и нелинейными. [c.207]

Разумеется, в автономных системах вынуждающая сила в уравнении Дуффинга соответствует моде, которая осциллирует с вынуждающей частотой и управляет двумя другими нелинейно связанными модами (или одним нелинейным осциллятором). Вопрос о том, может лн бесконечная последовательность Фейгенбаума осуществляться в реальных системах, остается пока открытым, поскольку экспериментально наблюдались лишь несколько первых бифуркаций примерно до п = 6. Наблюдению бифуркаций более высокого порядка препятствуют шумы. Экспериментально наблюдались также бифуркации высокого порядка с частотами, отличными от (1/2 )-й исходной частоты, например бифуркации утроения периода. [c.309]

В отличие от линейных систем, в Н. с. возможно взаимодействие колебаний (или волн) между собой. Такое взаимодействие имеет, наир., место в системе трёх нелинейно связанных осцилляторов, описываемой системой ур-ний [c.313]

Как и при взаимодействии нелинейно связанных осцилляторов, здесь возможны распадная неустойчивость и слияние волн. [c.313]

Аналогичным образом дюжно использовать теорему об инвариантных торах для исследования условно-периодических движений системы связанных нелинейных осцилляторов. [c.380]

Еще один пример указывает на типичную ошибку, связанную с отсутствием в квантовой механике четкого понятия, которое являлось бы аналогом понятия интегрируемости в классической системе. Рассмотрим систему из двух связанных нелинейных осцилляторов (например, модель Хенона — Хейлеса в 5.3). При достаточно малых энергиях системы (и, следовательно, малых нелинейностях и связи) можно с заданной степенью точности диагонализировать гамильтониан и представить его в виде суммы гамильтонианов для двух степеней свободы. Гамильтониан каждой из степеней свободы является интегралом движения. Таким образом, состояния всей системы описываются набором из двух независимых квантовых чисел ( 1, Пг). Полная энергия системы может быть выражена как функция этих чисел [c.159]

Обратимся для этого к системе связанных нелинейных осцилляторов. При достаточно малой энергии системы, Е<Ес, число интегралов движения равно числу степеней свободы, и можно ввести столько же квазинормальпых колебаний (практически это сделать, однако, не очень просто). Это и есть область применимости теории Слэтера. Прп Е>Ес часть интегралов движения разрушается и возникает стохастическое движение. Если разрушены все интегралы движения (кроме, конечно, полной энергии) и время перемешивания достаточно мало, то это есть область, в которой справедлива теория РРКМ. В связи со сказанным становится ясным, насколько существенно реальная ситуация связана с детальным изучением процесса разрушения интегралов движения, стохастизации движения и определения времен расцепления корреляций (времен перемешивания) по различным степеням свободы. [c.241]

Другое направление исследований, касающееся связанных нелинейных осцилляторов, началось с попыток решить задачу трех тел в небесной механике, которая служит упрощенной моделью Солнечной системы. Ранние работы по этой проблеме восходят к трудам Гамильтона и Лиувилля середины XIX в., которые стимулировали развитие гамильтоновой механики, лежащей в основе большинства современных исследований. К концу XIX в. многие идеи, касающиеся устойчивости нелинейных систем, были рассмотрены Пуанкаре [337 ] и применены им к проблемам небесной механики. Именно в этот период Пуанкаре, Цейпель [419] и другие разработали методы теории возмущений, которые оказались столь плодотворными при описании поведения нелинейных систем на [c.13]

Языки Арнольда Колебания связанных нелинейных осцилляторов при некоторых значениях частот оказываются захваченными некоторым значением р/д р, q — целые числа). Области сиюфони-зации в пространстве параметров имеют форму выступов, или языков. Свое название такие языки получили в честь открывшего их советского математика В. И. Арнольда. [c.276]

Движение связанных нелинейных осцилляторов иногда удобно представлять на поверхности тора. Когда число осцилляторов равно дв -м, сечение Пуанкаре тора порождает отображение окружности. Но когда число осцилляторов равно трем, динамическое взаимодействие фаз осцилляторов происходит на поверхности абстрактного — трехмерного — тора. Сечение Пуанкаре этого трехмер- [c.286]

Становление же нелинейной теории колебаний было гораздо более быстрым. На базе задач интенсивно развивавшихся в начале века радиотехники, теории регулирования и, конечно, классической механики уже к середине 30-х годов сформировались основы классической теории нелинейных колебаний. Определяющий вклад в создание этой теории был внесен Л. И. Мандельштамом [2] и его учениками. Полностью был исследован нелинейный осциллятор, были обнаружены эффекты обмена энергией в системе связанных осцилляторов, уже была, в основном, построена Андроновым и Ван-дер-Полем теория периодических автоколебаний, открыты явления синхронизации и конкуренции и даже предпринята Виттом попытка построения теории автоколебаний распределенных систем. [c.272]

Две главы, 5 и 6, посвящены теории связанных (линейно или нелинейно) осцилляторов. В ее развитие внесли вклад многие выдающиеся математики, механики и физики, и ей посвящены лшогие монографии и учебные пособия. Тем не менее обе главы во многом оригинальны, очень содержательны и чрезвычайно интересны. В них, в частности, излагается теорема Мозера, обобщающая известные результаты Колмогорова и Арнольда. Автор пытается решить вопрос Могут ли нелинейно связанные осцилляторы совершать квазипериодические движения — вопрос очень актуальный в связи с проблемой возникновения турбулентности. Полное доказательство теоремы Мозера о существовании квазипериодиче-ских решений дано в приложениях к основному тексту. [c.8]

Когда речь заходит об осцилляторах, большинство из пас, по-видимому, прежде всего представляет себе механические осцилляторы, такие, как пружины. Еще один не менее известный пример механического осциллятора — маятник. Если амплитуда колебаний достаточно мала, то маятник можно рассматривать как линейный осциллятор, но при больших амплитудах это — нелинейный осциллятор. Во многих случаях, представляющих значительный интерес для практических приложений, нам приходится иметь дело со связанными осцилляторами. Достаточно взять какое-нибудь упругое тело математической моделью его служит система связанных между собой конечных элементов, каждьи из которых может быть представлен осциллятором. Такого рода математические модели играют важную роль в механике, например при расчете вибрации двигателей или высотных сооружений или флаттера крыла самолета. Разумеется, иногда мы рассматриваем предельные случаи, в которых конечные элементы аппроксимируют непрерывное распределение, соответствующее нашему исходному представлению о сплошной среде. Колебания встречаются не только в механике, но и в электро- и радиотехнике. Здесь нам приходится иметь дело не только с колебательными контурами на старых электронных лампах, но и с новыми устройствами с колебательными контурами иа транзисторах и других электронных приборах. [c.189]

Глава 7 (Гармонический осциллятор). Очень важны линейные задачи и, в частности, задача о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора. Даже в объеме минимальной программы необходимо разобрать первый из трех примеров нелинейных задач, потому что он дает студентам понятие о том, как они могут оценить ошибки, обусловленные линеаризацией задачи о колебаниях маятника. Понятие о сдвиге фаз при вынужденных колебаниях гармонического осциллятора не сразу воспринимается большинством студеп-тов. Здесь помогает хорошая лекционная демонстрация. Электрические аналогии плохо воспринимаются на этой стадии преподавания, и их, может быть, следовало бы оставить для лабораторных работ. В демонстрации входят гармонические колебания камертонов (следует усилить их, чтобы звук был хорошо слышен, а также показать форму волны на экране) вынужденные колебания груза на пружине задаваемые генератором сигналов вынужденные электрические колебания контура, состоящего из сопротивления, индуктивности и емкости прибор Прингсхейма колебания связанных осцилляторов. [c.15]

При малых амплитудах колебания многоатомной молекулы, как и двухатомной, гармонические. Поскольку колебания отдельных атомов в молекуле связаны друг с другом, то многоатомную молекулу можно представить как совокупность набора осцилляторов, движения которых связаны между собой. Энергия, попадающая на один из осцилляторов, например на отдельную связь в молекуле, перераспределяется через некоторое время по другим связям, и все атомы и связи вовлекаются в колебание. Из механики известно, что движение связанной системы как целого может быть представлено наложением ее нормальных колебаний, т. е. таких колебаний, в которых все элементы системы движутся с одинаковой частотой и фазой в тех или иных направлениях. Именно нормальные колебания проявляются в спектрах и число их равно числу степеней свободы. В общем случае Л -атомпой нелинейной молекулы число степеней свободы и число нормальных колебаний равны ЗА —6. Это означает, что, например, в спектре трехатомной молекулы воды Н2О должны быть представлены три частоты и три нормальных колебания. Может оказаться, что некоторые из ЗМ—6 колебаний имеют одинаковые частоты и поэтому разным нормальным колебаниям соответствует одна и та же спектральная линия (полоса). [c.241]

Вынужденные колебания ). Выше (в 9.10) мы уже рассматривали вынужденные колебания осциллятора с затуханием. Уравнение движения такой системы является линейным. Переход к исследованию вынужденных колебаний нелинейных систем связан с весьма большими трудностями, и обычно, чтобы достигнуть прогресса, приходится вводить упрощаюш ие предположения, которые часто бывает трудно оправдать. Поясним это на примере движения математического маятника (пример 5.2А), на который действует дополнительная малая горизонтальная сила таг sin pt, где 8 — малый параметр. Уравнение движения маятника запишется в виде [c.481]

Нелинейный отклик связанного электрона, как правило, гораздо сильнее он обусловлен, в первую очередь, нелинейным характером удерживающего его силового поля. Простейшая модель, проясняющая качественную сторону дела,— классич. ангармонич. осциллятор. [c.293]

Вынужденное комбинац. рассеяние (ВКР) происходит на когерентно возбуждённых оптич. фононах. Для классич. описания процесса ВКР используют модель нелинейно связанных осцилляторов. Обозначим через X нормальную координату колебаний атомов в молекуле изотропной среды, а через у — нормальную координату колебаний оптических электронов. В линейном приближении колебания атомов и определяющие поляризацию среды колебания электронов совершаются независимо друг от друга. При учёте нелинейной связи потенц. энергию молекулы можно представить в виде [c.303]

К задаче о взаимодействии нелинейно связанных осцилляторов сводятся во мн. случаях задачи о взаимодействии квазимовохроматич. волн в безграничных Н. с., таких, как линии передачи и волноводы с нелинейными элементами, нелинейные среды и т. п. В Н. с. с дисперси- [c.313]

Методы Хенона и Хейлеса были позднее применены к проблемам, представляющим более непосредственный статистико-меха-нический интерес. В частности, работы Форда с сотрудниками проливают новый свет на возможные механизмы нарушения КАМ-теоремы. В этих работах рассматриваются системы, состоящие из малого числа (двух или трех) ангармонических осцилляторов, связанных малыми нелинейными членами. Нелинейные члены специально подобраны в виде суммы потенциалов, каждый из которых приводит к резонансной связи. В типичном случае [c.368]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...