Движение квазипериодическое

В этой и следующей главах рассматриваются некоторые математические задачи, возникающие в связи с качественным анализом движения тела в случае Горячева-Чаплыгина. Эти задачи в основном связаны с исследованием квазипериодических движений, квазипериодических функций и их интегралов. [c.148]

Движение апекса на сфере Пуассона приведено на рис. 50. Замечательным феноменом, ранее не отмечавшимся, является то, что для решений Горячева в абсолютном пространстве при h < 1 движение является периодическим колебательного типа (см. рис. 51). А при h> 1 соответствующее движение — квазипериодическое двухчастотное (рис. 52). [c.141]

Если в движении присутствуют три или более несоизмеримых частоты, то мы можем не увидеть аккуратной замкнутой кривой отображения Пуанкаре, и следует обратиться к спектру Фурье. С помощью фурье-спектра сигнала можно также обнаружить разницу между хаотическим и квазипериодическим движениями. Квазипериодическому движению будет соответствовать несколько хорошо выраженных пиков, подобных показанным на рис. 4.10. Хаотиче- [c.140]

Многие исследователи предлагали другое определение фрактальной размерности, аналогичное емкости (6.1.2), но учитывающее в той или иной форме частоту, с которой траектория попадает в элемент разбиения — сферу или куб. Как и в случае емкости, устраивают покрытие множества точек, размерность которого требуется определить, N кубами с ребром длины е. В свою очередь множество точек рассматривается как равномерная дискретизация непрерывной траектории. (Предполагается, что траектория выбрана достаточно длинная и что она эффективно покрывает аттрактор, размерность которого подлежит измерению. Например, если движение квазипериодическое, то траекторию следует рассматривать на достаточно продолжительном временном интервале, чтобы она успела посетить все области на тороидальной поверхности аттрактора.) [c.223]

Тор (инвариантный) Движение двух связанных осцилляторов без затухания в воображаемом конфигурационном пространстве, происходит по поверхности тора. Круговое движение по окружности меньшего радиуса (меридиану) соответствует колебаниям одного осциллятора, круговое движение по окружности большего радиуса (параллели) — колебаниям другого осциллятора. Если движение периодическое, то траектория на поверхности тора после нескольких витков замыкается. Если движение квазипериодическое, то траектория проходит сколь угодно близко от любой точки на торе. [c.274]

Как было показано во введении, при изменении управляющего параметра система может, последовательно теряя устойчивость, переходить из одного состояния в другое. Структуры, возникающие после того, как предыдущее состояние становится неустойчивым, могут быть различного типа. Если мы ограничимся только временными структурами, то речь может идти о стационарном состоянии, периодическом движении, квазипериодическом движении, хаосе и различных переходах между этими состояниями в точках, где происходит потеря устойчивости. Такие переходы приводят, например, к затягиванию или захвату частоты, удвоению периода (генерации субгармоники с вдвое меньшей частотой). Весьма важен вопрос о том, какая последовательность переходов характерна для той или иной конкретной системы. Такого рода последовательности принято называть путями, в особенности если они ведут к турбулентности, или хаосу ( путь к турбулентности ). Теоретическое обсуждение пути обычно называют сценарием, или картиной. [c.306]

Существуют три классических типа динамического движения равновесие периодическое движение, или предельный цикл квазипериодическое движение. Эти состояния называют аттракторами, поскольку в присутствии какого-либо затухания переходные отклонения подавляются и система притягивается к одному из трех перечисленных состояний Другой класс движений,характерных для нелинейных колебаний, который не сводится ни к одному из этих классических аттракторов,- непредсказуемые, если присутствует малая неопределенность начальных условий то этот класс движения часто связан с состоянием называемым странным аттрактором. [c.6]

Вопросом о существовании квазипериодических решений дифференциальных уравнений нелинейных колебаний, в частности автоколебательных движений, занимались Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский и др. [c.295]

Если выбрать фазы ф в качестве координат, описывающих траекторию г<а Л -мерном торе, то соответствующие скорости будут постоянными величинами ф,- = о .. В связи с этим о квазипериодическом движении говорят кап о движении на i j е с постоянной скоростью. [c.158]

Квазипериодические движения. Рассмотрим систему типа Штеккеля и остановимся более подробно на простейшем (и наиболее распространенном) случае, когда движение по каждой координате представляет собой либрацию. Будем предполагать, что коэффициенты не обращаются в нуль, а функции /г (дт) непрерывны. Каждое в начальный момент лежит между простыми вещественными нулями йг, функции fr qj) (предполагается, что йг < Ьг), и колебания qr происходят между пределами г- Возьмем йг в качестве нижнего предела интегрирования в формуле (18.2.19) для Кг. В течение движения будем иметь [c.335]

Ранее, при изучении квазипериодических движений ( 18. 6), мы уже встречались с теоремой, близкой по своему характеру к теореме Пуанкаре. Было показано, что изображающая точка проходит бесконечное число раз в произвольной близости от своего начального положения в фазовом пространстве. [c.441]

Ш. Условие Зоммерфельда для квазипериодических движений [c.664]

Я постараюсь показать, что если условие устойчивости для замкнутой орбиты есть 2 рг = пН, то условия устойчивости для квазипериодических движений неизбежно будут иметь вид р, йд = (п,- — целое [c.664]

Все же может быть позволено сделать несколько замечаний об истолковании приведенных положений. Прежде всего нельзя не упомянуть, что основным исходным толчком, приведшим к появлению приведенных здесь рассуждений, была диссертация де Бройля ), содержащая много глубоких идей, а также размышлений о пространственном распределении фазовых волн , которым, как показано де Бройлем, всякий раз соответствует периодическое или квазипериодическое движение электрона, если только эти волны укладываются на траектории целое число раз. Главное отличие от теории де Бройля, в которой говорится о прямолинейно распространяющейся волне, заключается здесь в том, что мы рассматриваем, если использовать волновую трактовку, стоячие собственные колебания. Я недавно показал ), что, рассматривая подобные стоячие собственные колебания и пользуясь законом де Бройля дисперсии фазовых волн, можно обосновать теорию газов Эйнштейна. Предыдущее изложение является в свою очередь как бы обобщением рассуждений, приведенных в связи с упомянутой газовой моделью. [c.676]

Характер возможных движений консервативных систем, неинтегрируемых в квадратурах, сложен и в настоящее время мало изучен. Однако в последнее время в работах А. Н. Колмогорова, В. И. Арнольда, Мозера и других было показано, что большинство движений консервативной системы, близкой к интегрируемой в квадратурах, также имеет квазипериодический характер. Тем не менее в любой сколь угодно малой окрестности таких движений существуют движения иной, гораздо более сложной природы подобно тому как в любой сколь угодно малой окрестности произвольного иррационального числа имеется бесконечно много рациональных чисел. [c.149]

Все сказанное очевидно при квазипериодическом характере движений на рассматриваемом двумерном интегральном торе. Мало что меняется при больших р, д ш точном совпадении моментов бифуркаций отдельных периодических движений на торе. При их небольшом различии происходят изменения, показанные для бифуркации типа на рис. 5.19. При больших различиях [c.122]

Н — число Рэлея, — критическое значение й, при котором возникает конвекция, /2 = м/2л). При бифуркациях удвоения периода появляются дополнительные линии на частотах ш/2, Зм/2, 5м/2,. (рис. 8.4,6), м/4, Зсо/4, 5м/4,. .. (рпс. 8.4, в). При переходе к квазипериодическому движению, [c.224]

Попытка описания переходов к хаосу на основе численного моделирования предпринята в [126] использовался базис из 48 переменных. Выявлена существенная роль слабых эффектов, нарушающих симметрию задачи (нелинейная зависимость плотности от температуры и температурная зависимость вязкости). Если эти эффекты отсутствуют, то моды разной четности осциллируют с разными частотами это приводит к развитию квазипериодического движения, разрушающегося с ростом числа Рэлея. Нелинейные эффекты асимметрии приводят к синхронизации частот, предшествующей переходу к хаосу. Оказывается, что если эти эффекты малы (малые числа Прандтля), то типичным механизмом хаотизации является каскад удвоения периода если же они велики (большие числа Прандтля), имеют место вспышки перемежаемости. [c.286]

К настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач. Решение всех таких задач, имеющих п степеней свободы, основано на существовании п первых независимых интегралов в инволюции. В этих случаях согласно теореме Лиувилля [2] уравнения движения решаются в квадратурах. Можно показать Щ, что существование полного набора интегралов в инволюции влечет следующую картину поведения траекторий в 2п-мерном фазовом пространстве. Все фазовое пространство разбивается на области, расслоенные совместными уровнями первых интегралов на замкнутые п-мерные инвариантные многообразия. Если эти многообразия компактны, то они суть п-мерные торы, несущие на себе квазипериодические движения. [c.35]

В этой главе исследуются качественные свойства типичных вращений тяжелого твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина, когда первые интегралы уравнений движения независимы. Найдены числа вращения касательных векторных полей на двумерных инвариантных торах. Показано, что нутация твердого тела — квазипериодическое движение, а собственное вращение и прецессия обладают главным движением. Если число вращения иррационально, то в случае быстрых вращений твердого тела главное движение линии узлов равно нулю. [c.148]

В теории колебаний, были простейшие типы движений — состояния равновесия, периодические движения и в значительно меньшей мере квазипериодические. Более сложные движения представлялись не поддаюш,имися изучению и имеющими весьма отдаленное отношение к движениям реальных систем. Нелинейное колебательное мышление, воспитанное в основном на фазовой плоскости, не допускало такой возможности и считало стохастичность уделом систем с очень большим числом степеней свободы, настолько большим, что все запутывается, становится неясным и сто-хастичным. Возникновение стохастичности в механике и физике также обычно связывалось с большим числом степеней свободы, с большим числом возможных колебаний или волн. [c.326]

Таким образом, с механической точки зрения движение системы молекул является квазипериодическим, и ничего похожего на- стремление к равновесию здесь нет находится или не находится система в равновесии — не играет никакой роли. С другой стороны, термодинамика утверждает, что изолированная неравновесная система должна монотонно приближаться к равновесию. Возникает, казалось бы, противоречие между обратимостью механических движений молекул системы и необратимостью макроскопических процессов в ней. Однако это противоречие лишц кажуп1ееся, и его устранили Больцман, а затем Гиббс, указывая на различный уровень описания состояния системы многих частиц механикой и термодинамикой. [c.125]

Если ц есть число иррациональное, то движение не будет периодическим, а траектория будет располагаться вся внутри прямоугольника (ai х bi, i>2) плоскости ху, оставаясь незамкнутой (рис. 49). Такое движение называют квазипериодическим. Более подробное изучение квазипериодических движений связано с введением так называемых угловых пережнных. Это исследование мы отложим до рассмотрения общего случая п переменных. (В 1.3 был указан один простой пример введения угловой переменной для системы с одной степенью свободы.) [c.307]

Если указанное условие не выполняется, изображающая точка в пространстве и никогда не возвращается в первоначальное положение то же самое можно сказать и относительно фазового пространства. Но дан<е если это условие не выполняется, т. е. не существует множителя т такого, что все величины T ii, гц2, , Tfx,i представляют собой целые числа, то все же можно выбрать такое произвольное (больтпое) число т, что все эти величины будут сколь угодно мало отличаться от целых чисел. Это — одна из форм, вырангаю-щих теорему Дирихле. Вследствие равномерной непрерывности q в. р (как функций от у) аналогичное утверждение можно высказать и относительно фазового пространства. Можно указать такое, достаточно большое, значение времени т, по истечении которого изображающая точка в фазовом пространстве окажется в заданной окрестности е своего исходного положения. Это объясняет термин квазипериодическое движение . [c.339]

Задача двух тел. Пусть солнце S массы М и планета Р массы движутся в пространстве под действием сил взаимного притяжения yMmJr . Движение планеты относительно Солнца происходит так, как если бы Солнце находилось в покое, а планета двигалась с ускорением у М + mi)lr , направленным вдол ь прямой PS. Траекторией в относительном движении планеты будет коническое сечение, в фокусе которого находится Солнце. В 5.4 было дано элементарное решение этой задачи. Б этом и последующем параграфах мы снова рассмотрим относительное движение планеты, на этот раз с позиций теории квазипериодических движений. Мы ограничимся случаем эллиптических орбит, что позволит нам достаточно полно проиллюстрировать различные аспекты теории. [c.347]

Бифуркации на двумерном торе могут быть вызваны изменением числа вращения Пуанкаре его обмотки. При рациональном числе вращения обмотка тора периодическая, точнее, на торе есть устойчивые периодические движепия, а остальные фазовые траектории к ним приближаются, за исключением такого же числа неустойчивых периодических движений, которые играют роль разделяющих границ локальных областей притяжения устойчивых периодических движений. При иррациональном числе вращения обмотка двумерного тора квазипериодическая. Число вращения Пуанкаре как функция параметра в общем случае ку-сочпо-постоянная, при всяком ее изменении происходят бифуркации обмотки тора — фазового портрета иа торе. Бифуркации отдельных периодических движений на торе ничем не отличаются от описанных уже бифуркаций периодических движений. [c.167]

Мы видим, что при малых ц, < 0,92 имеют место либо квазипериодические движепия, либо синхронизм высоких порядков. При ц, 0,02 возникает касание графика функции точечного отображения с биссектрисой, а затем сначала две, потом четыре точки пересечения. Это означает появление сначала одного, а затем двух устойчивых периодических движений периода 2я. При дальнейшем росте параметра ц- они теряют устойчивость, но взамен появляются устойчивые периодические движения периода 4л. Уже при х = 1,44 устойчивые неподвижные точки численно не обнаруживаются, и движения системы носят хаотический характер (естественно, в малой окрестности некоторой тороидальной поверхности, пересекающейся с секущим цилиндром 0 = О по замкнутой кривой 1). При дальнейшем увеличении параметра ц-возникают новые пересечения графика точечного отображения с биссектрисой, т. е. вновь, но уже для очень узкого промежутка значений параметров возникают устойчивые периодические движепия периода 2л, 4л и т. д. Затем наступает хаос. При дальнейшем увеличении параметра x картина повторяется, но с каждым разом области существования устойчивых периодических движений периодов 2л, 4л,. .. по параметру [х становятся меньше и меньше. При больших значениях параметра ц- они практически исчезают, и движения приобретают хаотический характер. Инте- [c.204]

Состояние равповесия или периодическое движение теряет устойчивость, одновременно порождая устойчивое периодическое движение или соответственпо устойчивое двумерное тороидальное многообразие с периодической или квазипериодической обмоткой. [c.214]

Уравнение для стационарных движений формально эквивалентно уравнению параметрически возбуждаемого нелинейного осциллятора и обладает следующими типами финитных решений периодические решения с периодом, равным или соизмеримым с 2тт1Ко, квазипериодические решения решения, асимптотически приближающиеся к периодическим при Z оо хаотические решения. При этом устойчивыми оказываются 1) периодические течения с периодом 2тг/А о и постоянным знаком амплитуды А (этот знак определяет направление вращения жидкости в поперечном сечении цилиндра) 2) движения с единственной сменой знака А ( доменной стенкой ), которая имеет место в одной из точек [c.280]

ЛИЧНЫХ пространственно-периодических и квазипериодических конвективных движений, развивающихся в результате монотонной неустойчивости равноаесия, выполнен в [19, 20]. Ветвление конвективных режимов, обусловленных колебательной неустойчивостью равновесия (примером может служить конвекхцся в бинарных средах), в предположении о гексагональной симметрии задачи изучалось в [21]. Установлена возможность реализации одиннадцати качествен-но различных конвективных структур. [c.291]

Предполагается, что читатель знаком с обычным курсом аналитической механики (в частности, с основными фактами динамики твердого тела). Достаточно, например, знакомства с учебником В. И. Арнольда Математические методы классической механики (М., Паука , 1974). При изложении материала часто используется известная теорема Лиувил-ля-Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах, а также связанные с ней идеи и понятия, такие, как инвариантные торы, квазипериодические движения на торах, усреднение и т. д. [c.13]

Положим u)i I) = OS Idli (г = 1, 2). Величины u)i, u)2 являются частотами квазипериодических движений на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо. [c.41]

Напомним некоторые обозначения. Переменные действие-угол невозмущенной задачи снова обозначим через 11121з 1 2 Рз (см. гл. II). Переменная 1з — интеграл площадей его постоянную обозначим 1°. Отношение частот и)11и 2 квазипериодических движений на инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо зависит только от 2 о/- моментов инерции А, В, С. Эта функция в гл. II обозначена через 7. [c.92]

Пусть Т" — и-мерный тор с угловыми координатами = = (< 1,, ifin) mod 1. Рассмотрим квазипериодическое движение на Т [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...