Уравнение логистическое

Пример 12 [18]. Взрывная неустойчивость в логистических уравнениях. [c.107]

Сохраняя у П(х) только квадратичную часть, отображение можно, не теряя общности, привести к логистическому уравнению [c.132]

При X > 1 имеются две точки равновесия (т. е. х = Хх (1 - х)). Для выяснения устойчивости отображения / (х ) следует вычислить величину наклона I/ (х)1 в точке покоя. Если I/ I > 1, точка покоя неустойчива. При 1 < X < 3 логистическое уравнение (1.3.6) имеет две точки покоя х О, (X - 1)/Х при этом начало координат — неустойчивая точка, а вторая точка покоя устойчива. [c.35]

Рис. I.I8. Возможные типы решений логистического уравнения (1.3.6) (квадратичного отображения). Вверху — стационарное движение с периодом 1 посередине — движения с периодом 2 и периодом 4 внизу — хаотическое движение.

Как мы убедились в гл. 1 на примере отображения подкова (см. рис. 1.21) или логистического уравнения О-З.б), хаотическая природа динамических процессов лучше всего выявляется с помощью сечения Пуанкаре непрерывного временного потока в фазовом пространстве. Однако большинство дифференциальных уравнений, моделирующих физические системы, нельзя решить аналитически. Исключением из этого правила является класс задач с импульсными силами, крутящими моментами или напряжениями. В обсуждаемом здесь примере рассматривается ротатор с моментом инерции J и затуханием с, на который действует как постоянный крутящий момент ug, так и периодическая серия импульсных толчков (см. также [169]). Уравнение движения, описывающее изменение [c.88]

Одной из простейших задач, с которой следовало бы начинать знакомство с новой динамикой, должно быть, является модель роста популяции, или логистическое уравнение [c.277]

По мере того как ученые все больше занимаются нелинейной динамикой, хаос превращается не только в теорию, а также в метод он стал уже не просто коллекцией мнений, но также и методом научных исследований. И это возвращает нас к Льву Толстому. Увеличение знаний не имеет ограничений, за исключением тех, которые человек сам наложил на свое воображение и любопытство. Чтобы эта новая наука принесла нам пользу, человек должен быть готов временно отвергнуть неверие - до тех пор, пока оно не получит статус сомнения. История науки полна искажений и разворотов, напоминающих осцилляции, предсказываемые логистическим дифференциальным уравнением в теории хаоса. [c.1143]

Регрессия, выражаемая уравнением параболы второго порядка. Как уже было показано, наряду с линейными корреляциями в биологии встречаются и нелинейные корреляции между переменными величинами. Хорошо известна, например, нелинейная зависимость между сроками лактации и удоем коров, логистическая закономерность возрастания численного состава популяции в замкнутой среде обитания и многие другие явления подобного рода. Все они отражают те или иные биологические закономерности и могут быть описаны соответствующими корреляционными уравнениями, формулами или выражены в виде эмпирических или теоретически построенных линий регрессии и динамики. [c.274]

Популяция с таким локальным законом роста называется логистической, параметр г называют мальтузианским, а К - "емкостью среды. Очевидно, что при t N(t) - К. Мы обобщим это понятие, считая логистической любую популяцию, локальный закон роста которой описывается уравнением N=F (N), где F(/V) удовлетворяет следующим условиям [c.14]

Рассмотрим теперь динамику логистической популяции на бесконечном одномерном ареале —°° < л <описываемую уравнением [c.18]

Сейчас нам уже известны некоторые характеристики бегущей волны, однако о самой ее форме трудно что-либо сказать, не имея или точного решения уравнения (5,5), удовлетворяющего граничным условиям (5.7), или каких-либо приближенных решений. Единственное, что мы можем сказать, не решая уравнения (5.5), это оценить толщину фронта волны, да и то только для чисто логистической популяции с F N) =rN - NIK). [c.27]

Это типичное логистическое уравнение с параметрами, зависящими от состояния среды (Mq) и от интенсивности потребления ресурса (а). Таким образом, мы свели задачу о совместной динамике ресурса и потребителя к задаче для изолированной популяции, хотя и сделав при этом существенное предположение о линейности трофической функции и, самое главное, о медленности изменения общего количества вещества в системе. [c.65]

Тогда стохастическое логистическое уравнение запишется в виде [c.311]

Тогда мы получим другую форму стохастического логистического уравнения [c.312]

Рассмотрим условия возвратности процесса, определяемого уравнением (10.1). Как уже указывалось, это явление имеет место для интервала регулярности процесса УУ(г) (а(УУ) Ф 0 УУ е (/ , Гг)) при отталкивающих границах. Таким образом, из классификации границ следует, что свойство возвратности характерно лишь для случайных процессов, порождаемых флуктуациями коэффициента конкуренции, а при флуктуациях а - лишь при а <е, т.е. при достаточно низкой их интенсивности. Тогда логистические популяции, возмущаемые белым шумом, не вырождаются и не достигают больших размеров, однако значительные колебания численности в пределах значений (г, г ) вполне вероятны. [c.318]

Из этих формул следует, что для получения эмпирическогс уравнения логистической зависимости между переменными i и г необходимо предварительно рассчитать Е/, Е/ , Е152 и И(ilgz, Затем, определив параметры а и 6, найти для каждого значения t (в пределах учитываемого промежутка времени) величины и г, что и приведет к нахождению ожидаемых значений [c.296]

На рис. 48 приведена динамика роста публикаций и патентов в области цементации с 1960 г. по настоящее время по данным реферативных журналов Металлургия и Химия . Дня математического описания динамики роста использовали уравнение так назьшаемой логистической кривой [ 322,333] [c.102]

Простейщим примером динамической модели, обнаруживающей хаотическое поведение, по-видимому, является логистическое уравнение, или уравнение роста популяции (см., например, [130]) [c.34]

Нет лучщего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора [c.74]

Как обсуждалось в гл. 2, одним из признаков приближения динамической системы к хаотическому режиму является серия измерений характера периодического движения по мере изменения некоторого параметра. В типичном случае осциллятора с одной степенью свободы, при приближении управляющего параметра к значению, критическому для хаотического движения, возникают субгармонические колебания. В логистическом уравнении , ставшем теперь классическим примером, возникают ряды колебаний с периодом 2 (см. (1.3.6)). Явление внезапной перестройки движения при изменении параметра называется бифуркацией. На рис. 4.5 приведен пример экспериментальной бифуркационной диаграммы. Такие диа-фаммы получаются в эксперименте с помощью временной выборки измерений движения, как при построении отображения Пуанкаре, и отображения этой выборки на осциллографе, как показано на рис. 4.5. Здесь по горизонтальной оси откладывается величина управляющего параметра, например амплитуда или частота возбуждения, а по вертикальной — значения координаты из временной выборки. По сути дела эта диаграмма описывает целую серию экспериментов, каждый из которых проводится при определенном значении управляющего параметра. Такую диаграмму можно получить довольно быстро, если есть возможность автоматического изменения управляющего параметра, например с помощью компьютера и преобразователя цифрового сигнала в аналоговый. Необхо- [c.135]

Если не считать логистического уравнения, то модель Лоренца юнвективной турбулентности (см. гл. 1 и 3), по-видимому, является наиболее исследованной системой уравнений, допускающей хаотические решения. Тем не менее большинство математиков сосредоточили свои усилия на очень ограниченном множестве значений Ираметров. Система Лоренца имеет вид [c.165]

Чтобы получить одномерное отображение, нндуцируоиое этим потоком, Лоренц рассмотрел последовательные максимумы переменной г, которые он обозначил График зависимости от М показал, что в данном случае отображение задается кривой, напоминающей по форме крышу домика. Затем Лоренц исследовал упрошенный вариант этого отображения, получившего название отображение типа домика , — билинейную разновидность логистического уравнения [c.279]

Обратимся к несколько модифицированным уравнениям Вольтерра, которые позволяют рассмотреть эти взаимодействия. Они выведены из логистического уравнения N = еМ 1 — М/К), в которое добавлены слагаемые — у1М1М2 и —72Л 2- 1 для описания подавления одним видом другого. Уравнения имеют вид [c.345]

Де у — учитываемый признак t — время, прошедшее от началь-юй, или базисной (с), величины признака, с которой начато его (змерение, до предельной в данных условиях величины К, которой он достиг за время t , а и Ь — параметры уравнения, опреде-1яющие характер логистической кривой. [c.295]

В ней рассмотрено влияние случайных возмущений различного типа на модели экслоненциального и логистического роста популяции. В первом случае численность популяции N описывалась уравнением [c.331]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...