Плоскость Лобачевского

Плоскость Лобачевского отобразится на внутренность окружности (отображение асимптотического кругового конуса). [c.329]

В плоскости Лобачевского получается треугольник AB со сторонами а, Ъ, с (рис. 172). Так как the —скорость движения системы В относительно системы А, th а —скорость системы С относительно системы В, th Ь — скорость системы С относительно А, то, очевидно, [c.330]

Пусть волну наблюдают из двух систем А и А, причем А движется в направлении движения волны в системе А. В плоскости Лобачевского будем иметь (рис. 176) [c.332]

Как известно, такая метрика есть метрика плоскости Лобачевского. Это двумерное пространство с постоянной гауссовой кривизной К — —1. [c.498]

ЯВЛЯЮТСЯ изометрическими преобразованиями нашего многообразия, которое называется плоскостью Лобачевского. [c.268]

Рис. 231. Параллельное перенесение на сфере Рис. 232. Параллельное перенесение на плоскости Лобачевского

Задача. Найти форму кривизны на плоскости, на сфере радиуса В и на плоскости Лобачевского. [c.269]

Задача. Вычислить риманову кривизну евклидовой плоскости, сферы радиуса Е и плоскости Лобачевского. [c.269]

Задача. Пользуясь уравнением (5), сравните поведение геодезических, близких к данной, на сфере (/Г = + Н ) и на плоскости Лобачевского К = -1). [c.275]

Так как это симметрическая, К-билинейная и положительно определенная форма, мы, таким образом, определили риманову метрику ( , ), которая называется гиперболической метрикой. Полуплоскость Н, рассматриваемая с гиперболической метрикой, обычно называется верхней полуплоскостью Пуанкаре. Рассматриваемая как абстрактное риманово многообразие, она иногда называется плоскостью Лобачевского, в честь великого русского ученого, открывшего возможность существования неевклидовой геометрии. Так как гиперболическая метрика отличается от евклидовой метрики Ке(и +гг,)(и — гг ) лишь на скалярный множитель (1т г) , гиперболические углы совпадают с евклидовыми углами. [c.215]

Заметим, что все отображения Т М. естественно продолжаются на НиКи оо , если положить T —d/ ) = oo и Т(оо) — а/с (или Г(оо) = оо, если с=0). Прим ы преобразований Мёбиуса zh- —1/г, zt- z + b ( еЖ) и zf- az (а > О). Они представляют собой соответственно три типа преобразований Мёбиуса с точки зрения внутренней геометрии плоскости Лобачевского эллиптические (прямые аналоги евклидовых вращений), с одной неподвижной точкой внутри плоскости, параболические, без неподвижных точек на плоскости и не имеющие инвариантных геодезических, и гиперболические, без неподвижных точек, но с единственной неподвижной геодезической (осью). На Н параболическое отображение имеет единственную неподвижную точку в Ru oo , а гиперболическое отображение имеет две неподвижные точки в KU oo . И параболические, и гиперболические отображения представляют собой аналоги параллельных переносов в евклидовой плоскости. [c.216]

Рис. 5.4.1. Геодезические на плоскости Лобачевского

В модели Пуанкаре плоскость Лобачевского Р отождествляется с внутренностью единичного круга z комплексной плоскости = z , причем метрика на задается формулой [c.118]

Биллиарды на плоскости Лобачевского, имеющие квадратичный по скорости интеграл, впервые описаны А. М. Абдрахмановым с использованием модели Пуанкаре (см. задачу 4 гл. 4). [c.141]

Определение П20.4. Полуплоскость (ж, у) у > 0 , снабженная метрикой (П20.3), называется плоскостью Лобачевского. [c.169]

Условимся представлять точку (ж, у) плоскости Лобачевского комплексным числом г = х + 1у. [c.169]

Поверхность V можно описать следующим образом. Рассмотрим тривиальное одномерное расслоение Е=НхС. над плоскостью Лобачевского Я. Группа Г действует на [c.30]

Теорема. Существует ровно 14 треугольников на плоскости Лобачевского Я таких, что алгебра Q(fel, Аг, з) порождена тремя образующими с одним соотношением. Соответствующие им особенности гиперповерхности V в С — в точности 14 исключительных семейств унимодальных особенностей. [c.30]

Совершенно аналогично существует ровно 6 четырехугольников на плоскости Лобачевского, для которых имеется единственное соотношение в алгебре автоморфных форм Q k, кг, к ). Гиперповерхность V, определенная этим соотношением, приводит к одной из б квазиоднородных особенностей, содержащихся в списке 8 бесконечных серий бимодальных особенностей. [c.31]

Сравнение приведенной таблицы с таблицей п. 1. 2.6 показывает, что на множестве 14 исключительных унимодальных особенностей действует инволюция, оставляющая на месте все 6 особенностей с ц=12 особенности с тройкой чисел, определенной ее квадратичной формой, соответствует особенность с такой же тройкой, определенной углами треугольника на плоскости Лобачевского и наоборот (см. п. 1.2.6). [c.87]

Многообразие с метрикой (13) не является полным метрическим пространством, но становится таковым после пополнения точкой оо- Согласно (14) (16), пополненное пространство = MhU po изометрично сфере при h < О, эвклидовой плоскости при h = О и плоскости Лобачевского при h > 0. Точке р с при этом соответствует Се-/, [c.29]

Задача трех вихрей является интегрируемой и на плоскости Лобачевского. На ней мы не останавливаемся вследствие отсутствия реальной физической интерпретации. Отметим только, что в этом случае динамика вихрей утрачивает многие интересные особенности, присущие движению вихрей на сфере. Как и в небесной механике, эта система более родственна плоской ситуации. [c.45]

В пространстве Лобачевского через оси у я z проведем плоскости, содержащие As эти плоскости будут пересекать плоскость л, касательную к абсолюту в точке s по направлениям. (/) и (т). [c.337]

Пусть покоящийся наблюдатель А и движущийся А наблюдают одну и ту же световую волну, движущуюся в пустоте со скоростью света, равной единице. Волна s в плоскости Лобачевского выродится в точку на абсолюте (рис. 180). Треугольник AA s имеет угол s, равный нулю. Воспользуемся аналогиями Непера ) [c.334]

Можно рассмотреть также законы преломления света на границе движущихся сред. Так как в задачах преломления скорость волны приходится брать меньше единицы, то для расчета они будут не просты можно добиться упрощения, если ввести в рассмотрение идеальную область плоскости Лобачевского, лежащую за абсолютом и отвечающую, по Пуанкаре, однополостному гиперболоиду. В этой области волна s может быть представлена всего oflHoi i точкой, отвечающей пормалп к волпе в системе, где волна кажется стоячей. [c.336]

Если обе функции Г, V постоянны, то мы имеем движение по инерции либо по сфере, либо по плоскости, либо по плоскости Лобачевского (локально). Такое движение всегда обладает ли-мейным интегралом. [c.184]

Р. п. применяют в разя, областях теоретич. и матем. физики. В частности, в квантовой теории поля часто изучаемые величины (амплитуды рассеяния, формфакторы и т. д.) являются многозначными аналитич. ф-цияии. При этом переход с одного листа Р. п. на другой обычно интерпретируют как переход от реальных состояний частиц к виртуальным и наоборот. Др, примерами могут служить плоскость Лобачевского и фазовые пространства динамических систем. [c.397]

Б 1906 г. итальянский геометр Р. Бонола поместил к своей Неевклидовой геометрии приложение под названием Основные принципы статики и евклидов постулат в котором изложил принцип неевклидовой статики по Дшенокки, Тийи и Андраду и применил неевклидову статику к выводу формул тригонометрии плоскости Лобачевского. [c.346]

При этом в силу того, что в пространстве Лобачевского выполнено соотношение (ж°) - (ж ) - (ж ) - (ж ) = справедливо неравенство (ж°) > (ж ) , г = 1,2,3, и поэтому Ао > Aj, г = 1,2,3. Система (5) является интегрируемым случаем Шоттки-Манакова на пучке скобок (см. 2 гл. 3). Задача о движении двумерной фигуры на плоскости Лобачевского впервые рассматривалась Н.Е.Жуковским [77]. [c.280]

Д. Компактные факторы. В дальнейшем часто будет целесооб разно пользоваться другой моделью плоскости Лобачевского. Отображе ние / Н—> С, 2 переводит верхнюю полуплоскость Пуанкаре Н н [c.220]

Сдвиги на компактных коммутативных группах ( 1.3 и 1.4) и линейные потоки на торе ( 1.5) являются примерами соответственно сдвигов и потоков на однородных пространствах. В 17.5 мы покажем, что геодезический поток на компактном факторе плоскости Лобачевского (п. 5.4 е) можно представить естественным образом как поток на однородном пространстве группы Р5Ь(2, Е) всех преобразований Мёбиуса по некоторой компактной (равномерной) решетке Г. Напомним, что Р5Ь(2, Е) — это факторгруппа группы 5Ь(2, К) всех (2 х 2)-матриц с определителем единица по центру, который состоит из двух элементов Ы. Читатель, интересующийся этим конкретным примером, может сразу после окончания этого параграфа перейти к чтению 17.5. В 17.7 мы разовьем этот метод и рассмотрим важные потоки на однородных пространствах, возникающие из геодезических потоков некоторых весьма специальных римановых многообразий размерности больше двух. [c.241]

Гауссова кривизна равняется —1 и универсальное накрывающее пространство является плоскостью Лобачевского (см. приложение 20). Кривая у = 1 является орициклом, гомеоморфным 3 . [c.188]

Унимодальные и бимодальные особенности. Квазиодно-родные унимодальные и бимодальные особенности получаются из автоморфных форм, связанных с многозп ольниками на плоскости Лобачевского (и тремя замечательными треугольниками на обычной плоскости) точно таким же образом, как простые особенности из правильных многогранников [85], [86] [c.30]

Рассмотрение автоморфных функций с фактором автоморфности г в конструкции, описанной выше) позволяет получить 14 исключительных семейств бимодальных особенностей из 14 треугольников на плоскости Лобачевского и три параболических унимодальных семейства из треугольников на обычной плоскости. Соответствие между особенностями и треугольниками и четырехугольниками на сфере, евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского приведено в следующей таблице [c.31]

Пример. Рассмотрим на плоскости Лобачевского Я четырехугольник с углами я/2, я/2, я/2, я/3. Действие группы Г на Я порождает разветвленное накрытие Я- -СР со схемой ветвления (2, 2, 2, 3). Предположим, что точки ветвления порядка 2 — 2=0, 1 и порядка 3 — 2=оо (гбСР ). [c.31]

Рассмотрим теперь ситуацию с точки зрения теории аналитических функций. Уравнения геодезических на сфере, евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского не имеют вещественных особенностей. Поэтому вдоль геодезической координаты. т, , связанные с р = рх. рг) формулами (14) (16), являются аналитическими (и даже элементарными) функциями длины дуги я, не имеющими на вещественной оси —эо<5<-Ьос особых точек. Прокол поверхности в точке-обра-зерос порождает у функций ж (.9) устранимую особую точку (по стандартной терминологии курсов ТФКП). Ясно, что ее обход по пути, близкому к всщсствеппой оси, приводит к тому же результату, что и про- [c.29]

Уравнение (2.10) получено описанным выше путем в работе [80]. Это же уравнение было выведено ранее в работах [76] с использованием красивой аналогии рассматриваемой задачи с броуновским движением частицы на плоскости Лобачевского при этом величины и и ф в выражении (1.29) связаны с полярными координатами на этой плоскости. Решение уравнения (2.10) с начальным условием их) = б [п х — и ) определяет плотность вероятностей перехода и записывается в виде интеграла Мелера — Фока (см. гл. 3) [c.201]

Эргодическая теория геодезических потоков на многообразиях постоянной отрицательной кривизны может быть достаточ-то глубоко исследована с помощью методов теории унитарных лредставлений групп Ли. Впервые идея об алгебраической конструкции таких геодезических потоков появилась в работе И. М. Гельфанда и С. В. Фомина (см. [20]), где было получено много важных результатов. Динамические системы, к которым. применим подход Гельфанда—Фомина, иногда называют динамическими системами алгебраического происхождения. Многие относящиеся к ним результаты описаны в обзоре [22]. Здесь мы остановимся только на геодезических потоках на многообразиях постоянной отрицательной кривизны. Мы будем пользоваться моделью Пуанкаре плоскости Лобачевского на верхней комплексной полуплоскости Я= z= (x+iy) г/>0 . Линия г/=0 называется абсолютом (и обозначается Я(оо)), а ее точ-зси — бесконечно удаленными. Прямыми в Я служат полуокружности с центрами на aб oJIIЮтe или лучи, ортогональные J абсолюту. Риманова метрика кривизны — К задается в виде скалярного произведения <, >л в точке z= x+iy)6H равенст-k [c.164]

Герценштейн, M. E., Васильев В. В. Волноводы со случайными неоднородностями и броуновское движение в плоскости Лобачевского.— Теория вероятностей п ее применение, 1959, т. 4, с. 424 Диффузионное уравнение для статистически неоднородного волновода.— Радио- [c.159]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...