Аттрактор Лоренца

Ситуация 4. Аттрактор Лоренца. Речь идет об отображении Пуанкаре Т на секущей поверхности z = r—i уравнения Лоренца в момент возникновения странного аттрактора и после того, как он возник. Соответствующие негативы изображены на рис. 6.16. О1 и Ог — седловые неподвижные точки, 5 , 8 и г, 82 —их инвариантные кривые, Я — линия разрыва отображения, по обе стороны от нее отображение Т гладко и не- [c.143]

Учитывая, что проблема странного аттрактора Лоренца хорошо исследована [2], ограничимся рассмотрением стохастической системы, для которой справедливы адиабатические условия д,В <. 1. Тогда два последних уравнения (1.130) приводят к зависимостям (ср. с (1.92)) [c.68]

Рис. 2.33. Пример траектории на аттракторе Лоренца при г = 28. Плоскость Ху У соответствует Z = 27.

Рис. 2.34. Топология аттрактора Лоренца.

Это означает, что при i -> оо объем аттрактора в трехмерном пространстве стремится к нулю. С другой стороны, хаотические траектории не могут существовать на двумерной поверхности. Представление о разбегании траекторий и стремлении к нулю фазового объема кажется, на первый взгляд, парадоксальным — с увеличением относительного расстояния между траекториями поток остается в ограниченной области пространства, хотя его объем равен нулю. Оказалось, что странный аттрактор представляет собой множество точек, не являющееся подмногообразием фазового пространства. Аттрактор является фракталом — объектом дробной размерности. Размерность аттрактора Лоренца равна 2,06. [c.181]

Рис. 8.2. Типичная зависимость координаты X от времени для аттрактора Лоренца (произвольные единицы).

В системе (1) есть седло, и это седло принадлежит аттрактору вместе со своими двумя изолированными сепаратрисами Г1 и Гг. Аттрактору же принадлежит и счетное всюду плотное множество седловых предельных циклов с неограниченно увеличивающимся периодом и всюду плотное множество устойчивых по Пуассону траекторий. А главное, этот аттрактор негрубый при сколь угодно малых изменениях параметра сепаратрисы Г1 и Гг входящего в него седла меняют свое расположение — они то включаются в сепаратрисные поверхности одного из седловых циклов, входящих в аттрактор, то отделяются от нее. Так как седловые циклы всюду плотны в аттракторе, то при непрерывном изменении параметров аттрактор сохраняется, но его структура в силу описанного поведения сепаратрис Г1 и Гг — непрерывно меняется. Таким образом, аттрактор Лоренца негрубый. Сложные режимы были обнаружены Лоренцем счетом на ЭВМ. Вно следствии структура аттрактора Лоренца была рассмотрена в ряде работ, например в [25 ]. Полное рассмотрение см. [9, 10 ]. [c.470]

Аттрактор Лоренца и его негрубость сохраняются и вообще при всех достаточно малых изменениях правых частей уравнения (1). А отсюда, очевидно, следует, что не существует сколь угодно близкой к системе (1) грубой системы и, следовательно, грубые системы не всюду плотны в пространстве трехмерных систем. Так как для двумерных систем всюду плотность грубых систем в пространстве динамических систем была чрезвычайно важным свойством, то в этом кардинальном вопросе разница между двумерными ц многомерными динамическими системами очень существенна ). Тем не менее понятие грубости динамических систем трех и большего числа измерений — в простейшем случае систем Морса — Смейла или даже в еще более упрощенной ситуации, например, в случае систем Морса — Смейла с конечным числом ячеек, все же сохраняет свое значение. Большое значение (как математическое, так и для приложений) имеет также рассмотрение бифуркаций многомерных динамических систем через негрубые системы. Мы сделаем по этому поводу некоторые краткие замечания. [c.471]

Вернемся опять к полной модели Лоренца (359). У нее имеется три стационарных рещения при г > 1, и только два из них (360) устойчивы при небольшой надкритичности. Но что произойдет, если увеличивать параметр г, не ограничиваясь небольшими его значениями Первый вопрос — устойчиво ли равновесие (360) — можно опять рассмотреть с помощью линейного приближения вблизи равновесия. Соответствующий анализ показывает, что существует второе критическое значение га, выше которого происходит вторая бифуркация. Но это еще не все. Оказывается, система уравнений (359) имеет много различных мод движения. Самая удивительная из них была обнаружена самим Лоренцем при значениях параметров г = 28, <т = 10, ==8/3. Это решение получило название "странный аттрактор". Лоренц обнаружил, что система X, К, Z) совершает сложное хаотическое движение, похожее на "танец" вокруг двух неустойчивых фокусов. Стартуя с любой точки с небольшими X, , Z, система переходит на неустойчивый фокус, вокруг которого она начинает описывать витки с амплитудой, возрастающей со временем, т.е. пробегает траекторию по раскручивающейся спирали. После некоторого количества таких витков система внезапно устремляется ко второму фокусу, вокруг которого она снова описывает витки по раскручивающейся спирали. После нескольких витков, система снова перепрыгивает на первую спираль, чтобы приблизительно повторить то же самое движение. Однако никакой периодичности в таком движении нет и времена, в течение которых система находится вблизи одного из фокусов, и число витков на каждой из спиралей кажутся совершенно случайными. Хаотическое движение появляется в совершенно детерминированной динамической системе с тремя координатами X, V, Z. [c.322]

Рис. 1.19. Хаотическая траектория на аттракторе Лоренца при г = 28 (по данным работы [253]).

Это одномерное отображение позволяет непосредственно понять хаотический характер движения на аттракторе Лоренца. Действительно, производная зависимости (2 ) везде больше единицы, а это, как легко показать (см. п. 7.2в), сразу приводит к экспоненциальной расходимости близких траекторий. Соответствие между странными аттракторами и одномерными отображениями будет использовано в гл. 7. [c.80]

Аттрактор Лоренца устроен более сложно (рис. 7.5,6). [c.419]

АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА И ХАОС В ЖИДКОСТИ [c.40]

После первых экспериментов с конвективной петлей [24] о хаотических движениях не сообщалось. Однако более поздние опыты [46] воспроизвели некоторые признаки аттрактора Лоренца. Рабо- [c.121]

При Г2 < г < г, где г = 24, 74, в системе наряду с устойчивыми состояниями равновесия существует еще притягивающее множество, характеризующееся сложным поведением траекторий — аттрактор Лоренца (рис. 22.20д). [c.486]

Нелокальные бифуркации многомерных систем исследованы, в основном, математиками школы А. А. Андронова. О бифуркациях гомоклинических траекторий негиперболического седла см. работы Л. П. Шильникова [109], [ПО], [113]. О бифуркациях гомоклинических траекторий негиперболического цикла см. [28], [31], [33], [180], гиперболического седла — [111], [112], [114], [147]. О бифуркациях контуров (на Западе называемых циклами) см. [30], [58], [62], [66], 1.139], [176]—[178], [180], [183]. Нелокальным бифуркациям в типичных двупараметрических семействах посвящены работы [49], [50], [65] — [67], [80], [81]. О цепочке бифуркаций, приводящих от точечного аттрактора к аттрактору Лоренца, см. [29], [101], [173]. О различных понятиях аттрактора см. [100], [101], [158], [173], [174], [181], [198]. [c.209]

Рис. 3. Траектория, вос-произ1>.оДяп ая аттрактор Лоренца (выходит из нача.па координат) горизонтальная плоскость соответствует z = = 27, г = 28.

Для динамич. систем с размерностью фазового пространства, большей двух, устойчивые и неустойчивые многообразия седловых состояний равновесия и (или) седловых предельных циклов наз. многомерными С. или сепаратрисными многообразиями. Многомерные С. могут разделять фазовое пространство на области притяжения разл. аттракторов. Связанные с сепаратрисны-1Ш многообразиями бифуркации могут приводить к возникновению странны.х аттракторов, напр., аттрактор Лоренца рождается в момент, когда неустойчивые С. седла пересекаются устойчивыми сепаратрисными шогообразиями седловых предельных циклов. [c.487]

BOM пространстве даже весьма простых течений. Наиб, известный пример—конвекция в подогреваемой тороидальной полости, расположенной в вертикальной плоскости. Образом хаотич. колебаний вращат. движения жидкости внутри такой полости служит странный аттрактор— аттрактор Лоренца. По совр. представлениям, в фазовом пространстве для ур-ний Навье—Стокса при определ. условиях должен существовать странный аттрактор, движение по к-рому соответствует режиму установившейся Т. [c.183]

В области стохастичности спектр колебаний в системе Лорепца является сплошным и достаточно широким (рис. 9.30), что свидетельствует о наличии сильного перемешивания 441]. Приближенный расчет спектра выполнен в работе [567. Емкость аттрактора Лоренца близка к двум. Так, при Ь = 4, о = 16, г = 40 она равна й = 1,98 0,02 [578, 579] (ляпуновская размерность, вычисленная по формуле Каплана — Йорке, ь = 2,06 [587]). Зависимость максимального ляпуновского показателя от параметра г для указанных значений Ь и о, на основе которой в [587] вычислялась ляпуновская размерность, приведена на рис. 9.31 [686]. Интересно отметить, что в области значений г вблизи г р 33,45 эта зависимость имеет такой же вид, как на рис. 8.28. Штрих-пунктирная кривая на рис. 9.31 соответствует метастабильпому хаосу. [c.290]

Мори и Фуджисакс (1980) рассчитали для аттрактора Лоренца как функцию от г показатель Ляпунова 01 (второй показатель 02 равен нулю, третий 03 = Л — 01 отрицателен, а ляпуновская размерность аттрактора равна 2 + [c.153]

Возможность существования такого сложного негрубого притягивающего множества, как аттрактор Лоренца, вызвала огромный резонанс как в математике, так и в приложениях. Еще до появления уравнений Лоренца были известны хаотические , стохастические колебания в системах, описываемых точными уравнениями без всякого присутствия вероятностных добавлений. Впервые такие движения были обнаружены в точно математически описанной модели часов, данной Н. Н. Баутиным ([12, 35 ]). Как оказалось, так называемый пичковый режим в лазере описывается теми же уравнениями Лоренца ([58 ]). [c.471]

Хотя аттрактор Рёслера топологически проще аттрактора Лоренца, одпако соответствующее ему одномерное отображение (рис. 7.3,6) имеет области, где производная 1X +1/с1Хп с1. Как показывается в 7.2, в этом случае доказать хаотичность движения нелегко. Для аттрактора же Лоренца аналогичная производная всюду больше единицы. Доказано, что такие отображения являются хаотическими. [c.419]

Трехмерные потоки приближенно описываются обычно с помощью одномерных необратимых отображений, для которых и определяется численно инвариантное распределение [324, 368]. Мы уже знаем два таких примера аттрактор Лоренца ( 1.5) и аттрактор Рёслера (п. 7.16). Однако прямое сравнение действительного распределения и одномерного приближения проводится не часто. Израйлев и др. [210] сравнили полученные численным методом распределение Pi (х) и распределение [c.467]

Нет лучщего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора [c.74]

При следующих значенши параметров 1/С, = 9, l/ j = 1, /L = = 1, G = 0,7, = —0,5, m, = — 0,8 и Л = 1 в согласованной системе единиц. Хаотическая эволюция системы иллюстрируется рис. 3.36, который аналогичен картине аттрактора Лоренца (см. рис. 1.25). [c.117]

Замкнутый термосифон. Как ни странно, при всем внимании к аттрактору Лоренца как парадигме хаоса в конвективном течении было сделано немного попыток поставить эксперимент, который повторил бы все предположения модели Лоренца. Таким экспериментом, вплотную приближающимся к модели Лоренца, является опыт с течением жидкости в кольцевой трубке в поле силы тяжести. Связь этого эксперимента с моделью Лоренца была замечена Хартом [61]. Конвективные течения представляют интерес как модели геофизических течений, подобных теплым восходящим потокам или течению подземных вод сквозь проницашые слои земной коры важны также приложения к системам нагрева с помощью солнечной энергии или к системам охлаждения активной зоны реакторов. [c.120]

Спарроу [178] в своей книге об аттракторе Лоренца анализирует систему (5.2.3) при значениях параметров о = 10, Ь = 8/3, г > 14 Однако он строит умозрительные заключения о диапазонах значений параметров, в которых могли существовать устойчивые хаотические движения (рис. 5.2). На рис. 5.4 область, заштрихованная вертикальными линиями, соответствует устойчивому хаотическому движению, а ниже ее располагается предтурбулентная область, в которой могут существовать переходные хаотические движения Эта область ограничена снизу кривой, вычисляемой на основе критерия, использующего существование гомоклинических траекторий (см. следующий раздел). Над хаотической областью располагается область удвоений периода. [c.166]

Рис. 22.19. Траектория, восцроизводящая аттрактор Лоренца (выходит из начала координат). Здесь г = 2,8, а горизонтальная плоскость соответствует г = 27

Регулярная и стохастическая динамика (0) -- [ c.77 , c.78 , c.80 ]

Хаотические колебания (1990) -- [ c.74 ]

Динамические системы - 2 (1985) -- [ c.199 ]

Синергетика иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах (0) -- [ c.57 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...