Пучок траекторий

Следует особо отметить, что при полной вариации время t варьируется п на концах траекторий механической системы в пространстве конфигураций (т. е. Д/ О при 1 = и i = но полные вариации обобщенных координат в конечных точках пучка траекторий равны нулю. [c.410]

Точка движется в плоскости под действием силы, являющейся производной от потенциала U (х, у). Доказать, что совокупность (пучок) траекторий, соответствующих одному и тому же значению Е постоянной энергии,, определяется дифференциальным уравнением [c.163]

Поэтому геодезические линии поверхности будут тождественны (п. 17) с пучком траекторий плоского движения материальной точки (единичной массы), находящейся под действием консервативных сил, производных от потенциала Х/2, если полная энергия точки равна нулю. [c.454]

Вывести отсюда, что если известно решение плоской динамической задачи, соответствующей заданному потенциалу U (х, у), то можно прямо указать пучок траекторий для аналогичной задачи, соответствующей потенциалу [c.454]

Подставив это значение в уравнение (44.10), мы найдём уравнение пучка траекторий [c.480]

Равенство (44.10) является также уравнением пучка траекторий, проходящих через начало координат, но только с другим переменным параметром 6]. [c.480]

Радиальная составляющая напряжённости электрич. поля на границе осесимметричного пучка прямо пропорциональна току пучка и обратно пропорциональна радиусу его сечення и скорости электронов пучка. Это создает силу, направленную от оси, стремящуюся расширить пучок. Расталкивающая сила тем больше, чем больше ток, меньше скорость и радиус пучка. Теоретически в осесимметричных пучках траектории электронов не могут пересечь ось, а сечение пучка нельзя свести в точку, т. к. при уменьшении сечения расталкивающая сила неограниченно возрастает. [c.582]

В прямолинейном полете случайные возмущения могут изменить величину угла атаки. Это приведет к изменению подъемной силы и перегрузки Пу — траектория начнет искривляться. [c.301]

Перейдем теперь к определению энтропии и размерности стохастического аттрактора. Прежде всего введем понятие топологической энтропии [380]. Топологическая энтропия динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями, определяется следующим образом. Предположим, что мы можем различать точки фазового пространства, отстоящие друг от друга на расстояние, превышающее некоторую величину е > 0. Рассмотрим пучок траекторий, выходящих из окрестности начальной точки радиуса е, т. е. в начальный момент не различимых. Число различимых траекторий в некоторый момент времени t обозначим N e, t). Топологической энтропией называется величина [c.229]

Мерой механического движения в принципе Гамильтона является функционал 8ц, называемый действием по Гамильтону. Чтобы выявить экстремальные свойства действия 8н для реально происходящих движений, нужно выбрать пучок (множество) близких траекторий в пространстве конфигураций и произвести для них вычисления функционала 8ц. Выбор пучка траекторий сравнения играет важную роль для понимания сути принципа Гамильтона. Рассмотрим сначала понятие вариации функции. [c.124]

Пучок траекторий сравнения будем выбирать так, чтобы на всех траекториях интеграл энергии (24) сохранялся. Траектории сравнения, удовлетво- [c.133]

Сделаем еще несколько сопоставлений вариационного принципа Гамильтона (65я = 0) и принципа наименьшего действия (40). Хотя в нашем изложении оба принципа относятся к механическим системам, имеющим потенциал, но пучки траекторий сравнения, охватывающие истинную траекторию в пространстве конфигураций, выбираются различным образом. Синхронная или 6-вариация соответствует виртуальным (возможным) перемещениям системы, т е. таким перемещениям, которые система может иметь в данный момент 1 — фиксировано), не нарушая связей (дозволяемых связями). Если наложенные на систему связи явно зависят от времени, то действительное бесконечно малое перемещение не принадлежит к числу виртуальных и, следовательно, могут быть такие траектории сравнения в пространстве конфигураций, на которых (Г-Ь У) =полной энергии системы не будет постоянным. Соответственные точки действительной траектории системы и траекторий сравнения проходятся в одинаковые моменты времени, но полные энергии в этих точках в общем случае не равны между собой. [c.137]

Теперь в соответствии со сделанным выше замечанием найдем минимум расстояния вершины (лТд, пучка траекторий до параболы безопасности (14.19), т. е. минимум величины [c.752]

Будем говорить, что они разделяют траектории пучка на высокие и пологие . Любая точка области, ограниченной кривыми и А может быть соединена пологой траекторией с началом пучка — действие по Лагранжу по этим траекториям минимально. Вместе с тем, через каждую точку области, ограниченной параболой безопасности и кривой проходит высокая траектория пучка траекторий, ортогональная ветви 2 Действие по куску этой траектории, содержащему сопряженный началу кинетический фокус, не будет минимальным. [c.754]

Кроме идеальной фокусировки при х — 2яН, Н, узкий пучок траекторий пересекается еще в одной точке, где 0С5 ще-ствляется фокусировка первого порядка. Если начальные скорости удовлетворяют условию г ,, = сЕ/Н, то для направлений, близких к 8 = О, фокусировка первого порядкЕ. по скоростям осуществляется в точке х — яЯ , с дисперсией по скоростям в направлении оси оу (фильтр скоростей Вина). [c.142]

В каждой такой фуппе содержатся пучки траекторий для различных начальных условий. Так, например, для стальной модели на рис. 1.1, 1.4, 1.7 (Л=0,1 0 0,2, соответственно) показаны пучки интегральных траекторий, отвечающих следующим начальным условиям <Ро =0 -0,5" -Г -1,5 [c.59]

Интегрирование в действительности производится по некоторому узкому пучку траекторий. [c.212]

Соображения, иллюстрирующие причину возникновения стохастичности в нерассеивающем биллиарде, проще всего понять на примере биллиарда типа стадион [161]. Узкий пучок траекторий попадает на участок дуги [c.244]

Если теперь выбрать пучок траекторий, вокруг которого производится интегрирование, как это показано на рис. 1.2, то полный путь интегрирования будет состоять из двух частей [c.30]

КО если присутствуют три или более уравнений первого порядка, то пучки траекторий могут разбегаться и запутываться, создавая то, что мы теперь называем хаотическим движением. [c.32]

Таким образом, при прохождении резонанса loi = lj2 орбита I t) отличается от орбиты усредненного движения на величину порядка д/б. Можно также заметить, что пучок траекторий различающих- [c.104]

Рассмотрим пучок траекторий, выходящих из 7 в (2п + 1)-мер-ное пространстве (р, д, ) . Кривые 7 и Ау — проекции в пространство (р, д) двух замкнутых кривых 7 и А7, образованных началь- [c.228]

Теорема 1.7. Пусть на фокусирующую компоненту Г (ЗQ, имеющую постоянную кривизну (т. е. являющуюся дугой окружности), падает пучок траекторий, отвечающий кривой ус=Л11 с нулевой кривизной (рис. 12), и пусть он испытывает серию из п подряд идущих отражений от Г. Тогда для любого хбу и для любого т, [c.189]

Для наглядности будем говорить о трехмерном пространстве состояний и представлять себе аттрактор расположенным внутри двумерного тора. Рассмотрим пучок траекторий на пути к аттрактору (ими описываются переходные режимы движения жидкости, ведущие к установлению стационарной турбулентности). В поперечном сечении пучка траектории (точнее —их следы) заполняют определенную площадь проследим за изменением величины и формы этой площади вдоль пучка. Учтем, что элемент объема в окрестности седловой траектории в одном из (поперечных) направлений растягивается, а в другом — сжимается ввиду диссипативности системы сжатие сильнее, чем растяжение— объемы должны уменьшаться. По ходу траекторий эти направления должны меняться — в противном случае траектории ушли бы слишком далеко (что означало бы слишком большое изменение скорости жидкости). Все это приведет к тому, что сечение пучка уменьшится по площади и приобретет сплющенную, и в то же время изогнутую форму. Но этот процесс должен происходить не только с сечением пучка в целом, но и с каждым элементом его площади. В результате сечение пучка разбивается на систему влол<енпых друг в друга полос, разделенных пустотами С течением времени (т. е. вдоль пучка траекторий) число полос быстро возрастает, а их ширины убывают. Возникающий в пределе t- oo аттрактор представляет собой несчетное множество бесконечного числа не касающихся друг друга слоев — поверхностей, на которых располагаются седлов1ле траектории (своими притягивающими направлениями обращенные наружу аттрактора). Своими боковыми сторонами и своими концами эти слои сложным образом соединяются друг с другом каждая из принадлежащих аттрактору траекторий блуждает по всем слоям и по прошествии достаточно большого гцзсмеии пройдет достаточно близко к любой точке аттрактора (свойство эргодичности). Общий объем слоев и общая площадь их сечений равны нулю. [c.166]

Найдём урапнение соответственного пучка траекторий. 1-1з формулы (44.8) видно, что егли траектория проходит через начало координат, то постоянная b связана с координатами у, г некоторой ее точки следующим уравнением,- [c.480]

Развитая картина приводит к естественной интерпретации экспериментальных данных, изложенных в п. 7.1. Так, детерминированные мартенситные превращения отвечают узким пучкам траекторий, соединяющих точки А, М на рис. 54. Эти пучки имеют вид изогнутых сигар с заострениями на концах А, М, окрестность которых отвечает грубым деталям макроструктуры, а тонким — средняя часть пучка. Поэтому можно сделать вывод, что детерминированность перестройки грубой макроструктуры должна быть выражена в ббльшей степени, чем микроструктурная память. Это и наблюдается на опыте. Явление фазового наклепа связано с деформацией пучка в ходе циклического изменения внешних параметров. [c.193]

В рамках представлений, развитых в п. 7.3, это означает, что в случае небольших напряжений при прямом мартенситном превращении система сначала разветвляется по горизонтальному дереву Кейли (см. рис. 54), узлы которого отвечают неориентированным мартенситным кристаллам. Их последующая ориентация отражается сужением пучка траекторий за счет срастания ветвей вертикального дерева. Характер зависимостей е(р), приведенных на рис. 58, воспроизводится, если при прямом (обратном) мартенситном превращении разветвление (срастание) ветвей пучка происходит в начале процесса (для малых р — при прямом и больших р — при обратном мартенситном превращении). Рост внешнего напряжения, ориентирующего кристаллы, сужает ширину пучка в обоих направлениях. Наличие эффекта памяти формы означает, что при любых изменениях внешних условий система эволюционирует по пучкам траекторий, стягивающимся к начальной точке двумерного дерева Кейли, отвечающей исходной форме образца (очевидно, такая точка должна лежать вблизи одной из вершин дерева). Обратимость в движении атомов отвечает совпадению пучков траекторий прямого и обратного мартенситного превращения в наиболее широкой области в правом нижнем углу дерева на рис. 54. [c.201]

Одпако дело осложняется тем, что, поскольку на плоскости (х, у) точка (ж = 1, у = — Ке) особая, через нее может проходить не од-па, а целыт пучок траекторий, имеющих ограниченную производную, удовлетворяющую соотношению (23). Требование аналитичности решения выделяет, вообще говоря, единственную траекторию, по в данном случае требуется лишь ограниченность производной. Этому условию могут удовлетворять не только аналитические, но и особые решения, если особенность проявляется лишь в более высоких производных. Покажем, что в рассматриваемой задаче реализуется именно такая ситуация. [c.107]

При осуществлении полной вариации, когда учитывается изменение времени 1, можно всегда требовать, чтобы движения по истинной траектории и траектории сравнения выполнялись при 7-1-1/=сопз1, т, е пучок траекторий сравнения можно физически реализовать. Время движения вдоль изоэнергетических траекторий между соответственно выбранными конфигурациями может и не сохраняться, так как требование изоэнергетичности может в ряде случаев приводить к ускорению или замедлению движения по траекториям сравнения в пространстве конфигураций (координаты действительной и варьированных траекторий различны, следовательно, в общем случае будут различны и скорости). При полной вариации или Д-вариации время варьируется и на концах траекторий сравнения (т. е. МФО при 1=1 А, г = й), но полные вариации обобщенных координат в конечных точках пучка траекторий сравнения равны нулю. [c.137]

Геометрическое место кинетических фокусов, сопряженных началу рассматриваемого пучка траекторий, представляет сопряженную этому началу фокальную поверхность. Так, в примере движения материальной точки в поле силы тяжести этой поверхностью служила парабола безопасности (14.19), а в случае эллиптического кеплерова движения — эллипс (16.35). От расположения этой фокальной поверхности относительно начала пучка зависит протяженность примыкающей к нему достаточно малой области , о которой выше говорилось. Ее граница определяется той поверхностью семейства Л = onst, на которой расположен ближайший к началу кинетический фокус. Нет нужды доказывать, что действие по Лагранжу на траектории, соединяющей начальное положение с конечным, расположенным за кинетическим фокусом, не является минимумом, так как доказательство свелось бы к дословному повторению сказанного в п. 12.3 и иллюстрируемого рис. 89. [c.750]

В случае плотного пучка частиц, когда нельзя пренебречь пространственным зарядом самого пучка, траектории остаются неизменными, если сохраняется первеанс [c.63]

ПИЮ с однородным магнитным полем в 1/(1 — п) раз большей дисперсией, что обусловливает его использование в М.-с. с большой разрешающей си- юй [131. Ионы с массой Мц — ЩНЦ Шц при соответствующем начальном направлении движутся по осевой окружности Л о. Ионы большей массы описывают окружности с большим R и попадают в более слабое поле, а ноны меньшей массы попадают в область более сильного поля, отчего разделение пучков по массам возрастает. Пучки траекторий, близких к окружности радиуса R , фокусируются (в первом приближении) после поворота в поле на угол ф = = л/]/ 1 — п в радиальном направлении и на угол фг = я/ в осевом нанравлении. При п = 0,5 фж = Ф21 и изображение становится стигматическим. Ширина изображения щели источника равна ширипо [c.140]

Теперь проследим за тем, почему нельзя, как заметил Больцман в ответе Лошмидту, повернуть все частицы в обратном направлении и тем самым заставить систему перейти из состояния более вероятного в состояние менее вероятное. Рассмотрим выходящий из малой области А пучок траекторий. Рассмотрим также через некоторое, не слишком большое время область Д До и те траектории, которые, выйдя из А , попадают в область А. Будем считать, что А есть л асштаб огрубления в фазовом пространстве. Это означает, что индивидуальный характер траекторий внутри А для нас потерян. Поэтому внутри области А мы не можем отличить те траектории, которые совершили путь Ао А, от траекторий, идущих по другим путям. Следовательно, мы не можем повернуть траектории системы, вышедшие из Ао, в обратную сторону. Точнее, мы не можем повернуть только те траектории, которые вышли из Ао. Мы поворачиваем все траектории, находящиеся в А, т. е. огромное число других траекторий. Именно в этом месте и начинает работать свойство перел1ешивания системы, которое необходимо для последнего утверждения. [c.39]

Интуитивно ясно, что рассматривавшиеся в предыдущих параграфах стохастические системы являются перемешивающимися (в пределах стохастической компоненты движения). Однако это очень трудно строго доказать в конкретных случаях. Синаю [377 ] удалось сделать это для системы твердых шариков (см. п. 1.4а). Доказательство основано на рассеянии пучка траекторий при столкновении шариков (см. рис. 1.15, а). Хотя этот частный результат и не доказывает наше предположение о перемешивании для типичной системы, близкой к интегрируемой, однако он оправдывает подобные элширические обобщения, получаемые методом численного моделирования. [c.300]

Понятие потока описывает пучок траекторий в фазовом пространстве, который начинается на множестве близких начальных условий. Для тех, кто занимается колебаниями в инженерных системах, наиболее близок пример потока, связанный с непрерывным движением частицы. Однако определенную качественную и количественную информацию о системе можно получить, анализируя эволюцию параметров системы на дискретно выбранных моментах времени. В частности, в этой книге мы обсудим, как получить разностные эволюционные уравнения для непрерывно эволюционирующих систем с помощью сечения Пуанкаре. Отображения Пуанкаре иногда помогают отличить друг от друга движения качественно различающихся типов, например периодические, квазипериодические и хаотические. В некоторых задачах не только время принимает дискретные значения, но и информация о параметрах системы оказывается ограниченной конечным набором значений или категорий, как, например, красный или синий, нуль или единица. Например, в задаче с парой потенциальных ям (см. рис. 1.2, б) нас может интересовать только, в какой яме находится частица, правой (К) или левой (Ь). Тогда траектория может описываться последовательностью символов ЬККЬКЬЬЬК,. ... Периодическая орбита может иметь вид ЬКЬК. .. или ЬЬКЬЬК. ... На современном новом этапе развития нелинейной динамики для описания эволюции физических систем применяются модели всех трех типов (см. обсуждение символической динамики в [26] или [211]). [c.33]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...