Стохастичность локальная

Приведенные примеры можно продолжить им полностью посвящена последняя глава. А сейчас постараемся дать общий ответ, в чем причина стохастического поведения рассмотренных систем, каковы основные общие условия его возникновения. Как уже отмечалось, при устойчивости генерация стохастичности невозможна. Это обусловлено тем, что при устойчивости установившимися движениями могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. В этих случаях даже при случайности начального условия в дальнейшем со временем случайность исчезает, так как плотность вероятностей в пределе при оо обращается в нуль всюду вне состояния равновесия или вне замкнутой кривой, отвечающей периодическому движению. В случае периодического движения некоторый след от случайности начального условия все же остается в виде случайности фазы периодических колебаний. Но при этом вероятностное описание этой фазы зависит от распределения вероятностей начального условия и им определяется. Таким образом, для генерации стохастичности необходима локальная неустойчивость при общей ограниченности движений, лри некотором глобальном сжатии или, во всяком случае, отсутствии расширения. [c.73]

Свойства динамической системы, например наличие в ней диссипации энергии, также можно связывать со свойством сжимаемости. Такого рода связи тоже достаточно прочно ощущаются. Совершенно иная ситуация возникает, как только наряду со сжатием появляется растяжение. Именно с такими не только сжимающими, но и растягивающими отображениями неразрывно связана стохастичность в динамических системах. Как уже говорилось, стохастичность — следствие глобального сжатия при локальной неустойчивости. [c.125]

Цели, которые преследуются в этой и следующей главах, иные. Именно в них будет заложена информация, которая позволяет составить общее представление о картине возникновения стохастичности в гамильтоновых системах. Изучение этого вопроса начинается с анализа локальной неустойчивости нелинейных колебаний. Это естественно для гамильтоновых систем в случае финитного движения. [c.74]

Рис. 4.1. Переход от локальной к глобальной стохастичности с ростом возмущения (1/ц ).

Для вычисления границы стохастичности используем в качестве модели стандартное отображение (3.1.22). Это позволит нам аналогично Чирикову и Грину исследовать переход к стохастичности в терминах параметра стохастичности К- Мы уже видели в п. 3.16, что стандартное отображение локально аппроксимирует более общие нелинейные отображения. Покажем прежде всего, что это распространяется и на отображение Улама, и на сепаратрисное отображение. [c.249]

В табл. 4.2 сравниваются различные критерии перехода от локальной к глобальной стохастичности для стандартного отображения. Критерии расположены в порядке возрастания их эффективности. Поскольку не существует полной аналитической теории перехода к стохастичности, то чем эффективнее критерий, тем более существен в нем элемент численного анализа, необходимого для получения критического значения К- Поэтому все критерии представлены также через более физическую характеристику — число вращения о = lQй для целого резонанса ), которое легко определяется как численно, так и аналитически. Тот факт, что переход к глобальной стохастичности почти точно совпадает с о = 1/6, может помочь более глубокому пониманию этого явления. Для стандартного отображения критерий ао = 1/6 приводит с помощью (4.1.31) к критическому значению параметра перекрытия [c.288]

Моделирование несущей способности оболочек из композитов. Содержание процесса постановки любой задачи оптимизации состоит в моделировании проектной ситуации и построении модели оптимизации, т. е. включает определение локальных критериев эффективности, формулировку модели проекта и ограничений на варьируемые параметры, а также их последующую формализацию в качестве элементов оптимизационной модели. Формализация модели проектной ситуации означает математически строгое определение связей между параметрами модели проекта и показателями его функциональности и экономичности, выражаемых посредством функциональных зависимостей или соотношений. В задачах оптимизации несущих конструкций функциональные зависимости между параметрами проекта детерминируются расчетными моделями оптимизируемых конструкций и их предельных состояний, подлежащих учету по проектной ситуации, а в случае конструкций из композитов, кроме того, моделями композиционного материала. Упомянутые модели конструкции, ее предельных состояний и материала синтезируются в модели расчета несущей способности конструкции, свойства которой непосредственно определяют размерность частных моделей оптимизации М , а также их качественный характер одно- или многоэкстре-мальность, стохастичность или детерминированность. Таким образом, моделирование несущей способности является одним из важнейших этапов постановки задач оптимизации несущих конструкций, на котором в значительной мере определяются свойства соответствующих оптимизационных моделей, существенные для выбора средств и методов их численной реализации, а также анализа и интерпретации получаемых оптимальных рещений. [c.175]

В основе возникновения стохастических и хаотических движений лежат гомоклинические структуры, именно они порождают сочетание неустойчивости, локального разбегания и общего сжатия. Вместе с тем переход от устойчивости к неустойчивости требует исчезновения устойчивых состояний равновесия и устойчивых периодических движений или достаточно большого увеличения их иериодов, точнее, длин соответствующих фазовых кривых. Устойчивые периодические движения и состояния равновесия могут потерять устойчивость или исчезнуть лишь несколькими вполне определенными способами. В этом смысле можно говорить о различных путях перехода к хаосу и стохастичности. Эти возможные пути были описаны в 1 этой главы. Позволим себе их вкратце перечислить. [c.214]

Принципиальное значение соотношения (5.12) в тол1, что установлена связь между статистическими свойствами системы (йс) и ее чисто динамической характеристикой йо- Иными словами, можно узнать, когда регулярное (например, условно-периодическое) движение системы разрушится и движение станет пе-релшшивающимся. Для этого необходимо выяснить условие, при котором в динамической системе возникает локальная неустойчивость (5.9). Такое условие мы будем в дальнейшем называть условием стохастической неустойчивости или, короче, условием стохастичности. Максимальной неустойчивости соответствует разрушение всех интегралов движения, кроме полной энергии системы. Анализ, проведенный Н. С. Крыловым, показал, что именно стохастическая неустойчивость обеспечивает равномерное перемешивание начальной фазовой ячейки с любой требуемой точностью на поверхности неразрушенных однозначных интегралов движения и приводит к конечному времени релаксации на этой поверхности, ( ам характер релаксации именно тот, который типичен в статистической механике (ком. 8). [c.30]

Параметр перекрытия резонансов К был введен в 1959 г. Чириковым [74], который высказал гипотезу о том, что при условии (2.10) движение системы запутывается сложным образом в резонансах и должно быть похожим на стохастическое. Ипаче, при выполнении (2.9) движение должно быть устойчивым в соответствии с теоремой KAM, а прн 1 развивается локальная неустойчивость. Впоследствии критерий перекрытия резонансов, как критерий стохастичности, был подтвержден разнообразными численными и непосредственно экспериментальным анализами (ком. 2). [c.82]

Тот факт, что возмущение приводит к очень сложной картине разрушения сепаратрисы (к так называемой гомоклинической структуре, которая рассмотрена в этой главе), был отмечен еще Пуанкаре. Исследование этой структуры было связано с оггоеделенными трудностями, и первая оценка пгарины области разрушения была получена Мельниковым [82]. Соображения о том, что разрушение в окрестности сепаратрисы носит стохастический характер, были высказаны впервые в работе [83]. В ней же было показано, что имеется локальная неустойчивость внутри слоя, называемого стохастическим, что движение частицы внутри слоя носит диффузионный характер и что для оценки ширины слоя может быть использован критерий стохастичности. Этот подход, подтвержденный численным анализом [83],позволил оце- [c.101]

В этом месте нам легко перейти к трудностям анализа задач квантовой механики, где понятие траектории отсутствует, и поэтому обычное понятие локальной неустойчивости теряет смысл. Вместе с ним исчезает и возможность применения мощных методов, развитых в классической динамике (по крайней мере, в их существующей форме). В связи с этим исследование возможности существования стохастичности в квантовой механике приводит к необходимости более тонкого понимания некоторых основных припципов квантовомеханического описания. Остановимся па некоторых из нпх. [c.158]

В работе [137] произведен численный расчет магнитного поля левитрона, возмущенного с помощью наклона кольцевого проводника. Для резонанса т = п = 1 (1 = 2я) получено прекрасное согласие с аналитическим выражением (6.4.12), если только возмущение не превышает порог глобальной стохастичности. Для относительно больших возмущений наблюдалось образование вторичных резонансов, как и предсказывает теория в 2.4 и 4.3. На рис. 6.22, а показано теоретическое (сплошная линия) и найденное численно сечение резонансной магнитной поверхности для невозмущенного I = 2л. Локальное число вращения в центре резонанса а = 1/(5,6), и поэтому вторичные резонансы не видны. На рис. 6.22, б возмущение увеличено, так что а = 1/4 (вторичный резонанс на четвертой гармонике). Результаты численного счета (кружки) теперь уже не ложатся на теоретическую кривую, а соответствующая магнитная линия оказывается стохастической. [c.390]

Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в pa ютpeнa модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе. [c.453]

Стационарное хаотическое движение. Нужно подчеркнуть, что условие пересечения сепаратрис (7.3.38) является локальным критерием стохастичности и применимо только вблизи невозмущенной сепаратрисы. Поэтому такой критерий ничего не говорит о появлении странного аттрактора, который представляет стационарное хаотическое движение в большой области фазового пространства. Уравнение Дюффинга без диссипации (б = 0) является гамильтоновым и всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Мы знаем, что хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. Однако при б>0 все инвариантные кривые разрушаются и траектория, хаотическая вблизи сепаратрисы, может уйти далеко от нее и захватиться устойчивым фокусом или предельным циклом. Такое поведение наблюдал Холмс [195] при аналоговом моделировании уравнения Дюффинга ). Поэтому единственное, что можно ожидать при выполнении условия пересечения сепаратрис (7.3.38), — это нерегулярное блуждание траектории в течение некоторого времени, пока она не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный. [c.463]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...