Модель Лоренца

Как уже отмечалось, Лоренц применил свою модель бинарной смеси для описания движения электронов в металлах. При этом, вычисляя коэффициенты электро- и теплопроводности на основе полученного для этой модели кинетического уравнения (8.58), он использовал в качестве /о(у) максвелловское распределение (8.65). Оно было единственно разумным в 1905 г., но оно же в первую очередь явилось причиной непригодности модели Лоренца к электронному газу в металлах, так как электронный газ в металлах вплоть до 10 сильно вырожден. [c.157]

Шильников Л. П., Теория бифуркаций и модель Лоренца. В кн. [173]i (русский перевод), 1980, 317—335 [c.214]

Если учитывается только упругое рассеяние электронов на примесях (так называемая модель Лоренца) результат кинетической теории воспроизводится для набора, состоящего из, ..., Добавление моментов более высокого порядка не влияет на проводимость. [c.404]

Заключительный 8 главы 2 посвящен исследованию механизма взрывной кристаллизации в аморфных пленках. Наше рассмотрение основывается на результатах экспериментов с ультрадисперсными порошками германия (п. 8.1). Использование модели Лоренца в п. 8.2 позволяет найти [c.10]

Теоретические работы по изучению влияния среды на интенсивность ИК-полос поглощения можно разделить на две группы. В работах первой группы действие среды на спектры оценивается путем учета изменения напряженности эффективного поля, действующего на молекулу (диэлектрический эффект, или эффект светового поля, см. 20). Изменение интенсивности полос, обусловленное этим фактором, рассчитывалось многими исследователями исходя из моделей Лоренца и Онзагера. В работах второй группы изменение интенсивности полос при переходе вещества из газовой фазы в конденсированную связывается с влиянием вандерваальсовских (или специфических) сил на спектроскопические параметры молекул. При решении этой задачи необходимо знать функции дипольных моментов я(г) и поляризуемостей а (г) отдельных связей молекул в среде или функцию дипольного момента молекулы ц, а также их производные по колебательным координатам. Расчет величин .i(r) и а (г) проводится преимущественно с использованием модели Онзагера. [c.141]

Согласно положениям синергетики (гл. 13), которая исследует закономерности, общие для различных научных дисциплин, возможны далеко идущие аналогии в поведении совершенно различных систем независимо от природы их составных частей. Эти аналогии становятся особенно отчетливыми в тех случаях, когда качественно меняется макроскопическое поведение системы. В физике лазеров примером таких качественных изменений может служить возникновение лазерной генерации с ростом параметра накачки и возникновение детерминированного хаоса . В гидродинамике известен не только переход к турбулентности, который описывается моделью Лоренца. И теоретические и экспериментальные исследования показывают, что здесь может проявиться целая иерархия различных неустойчивостей, прежде чем будет достигнуто хаотическое состояние. [c.211]

В общем случае для возникновения хаотического поведения в данной модели требуется, чтобы константы к и у были одного порядка величины. В модели Лоренца же (у = 0) требуется выполнение условия к + VII Кроме того, возможность получения хаотической картины сохраняется даже при существенно разнящихся значениях величин у и уц. [c.230]

Обзор разных моделей возникновения стохастичности в системах типа модели Лоренца и близких к ним содержится в работах [197, 198]. [c.250]

Систему уравнений (359) принято называть моделью Лоренца. Ее самое простое рещение имеет вид X = У = Z = 0. Оно описывает распределение температур в покоящейся жидкости. Но у системы (359) имеется еще одно стационарное рещение [c.319]

Вернемся опять к полной модели Лоренца (359). У нее имеется три стационарных рещения при г > 1, и только два из них (360) устойчивы при небольшой надкритичности. Но что произойдет, если увеличивать параметр г, не ограничиваясь небольшими его значениями Первый вопрос — устойчиво ли равновесие (360) — можно опять рассмотреть с помощью линейного приближения вблизи равновесия. Соответствующий анализ показывает, что существует второе критическое значение га, выше которого происходит вторая бифуркация. Но это еще не все. Оказывается, система уравнений (359) имеет много различных мод движения. Самая удивительная из них была обнаружена самим Лоренцем при значениях параметров г = 28, <т = 10, ==8/3. Это решение получило название "странный аттрактор". Лоренц обнаружил, что система X, К, Z) совершает сложное хаотическое движение, похожее на "танец" вокруг двух неустойчивых фокусов. Стартуя с любой точки с небольшими X, , Z, система переходит на неустойчивый фокус, вокруг которого она начинает описывать витки с амплитудой, возрастающей со временем, т.е. пробегает траекторию по раскручивающейся спирали. После некоторого количества таких витков система внезапно устремляется ко второму фокусу, вокруг которого она снова описывает витки по раскручивающейся спирали. После нескольких витков, система снова перепрыгивает на первую спираль, чтобы приблизительно повторить то же самое движение. Однако никакой периодичности в таком движении нет и времена, в течение которых система находится вблизи одного из фокусов, и число витков на каждой из спиралей кажутся совершенно случайными. Хаотическое движение появляется в совершенно детерминированной динамической системе с тремя координатами X, V, Z. [c.322]

Оказывается, что конвекция в модели Лоренца выражает основные общие черты диссипативных нелинейных процессов в приближении небольшого числа параметров порядка. А именно, с ростом неравновесности (т.е. разности Гщ — То) сначала, при некотором критическом значении этого управляющего параметра, появляются сами собой новые ненулевые параметры порядка (в данном случае Т и v). По мере дальнейшего роста надкритичности эти параметры возрастают, т.е. развивается стационарная бифуркация (360) с соответствующим возрастанием скорости диссипации, т.е. Se. Затем, при дальнейшем возрастании надкритичности - То, наступает вторая бифуркация, так что параметры порядка X, Y, Z становятся динамическими переменными сложной нелинейной системы (359). При дальнейшем возрастании Гт — То г — 1 в рамках системы (359) различные моды могут сменять друг друга. А в реальной физической системе могут появляться новые параметры порядка, описывающие более высокие гармоники движения жидкости. По мере роста числа гармоник движение становится все более и более сложным для простоты его называют просто турбулентным. Такое турбулентное движение вместе с теплопереносом от нагревателя к холодильнику представляет собой сложный сценарий приближения к равновесию в сильно неравновесной системе. [c.324]

Для этого обратимся снова к модели Лоренца вычисления диэлектрической проницаемости среды. [c.73]

Вычислим (бо) для простейших моделей разреженных сред и выразим через е(о ) поглощательные и отражательные характеристики этих сред. Наш анализ начнем с классической модели Лоренца диэлектрической среды. [c.130]

В модели Лоренца вычисление е(о ) связывается с поляризуемостью отдельной молекулы (атома, элементарной кристаллической ячейки). Дпя молекул, лишенных собственного постоянного дипольного момента, наведенный монохроматическим полем световой волны дипольный момент [c.130]

ШЛ. Рассчитайте нелинейную часть дипольного момента одноэлектронного атома в модели Лоренца на частотах 2со и Эи при облучении этого атома плоской волной с частотой J. [c.204]

Д.1.2. Расчет сечения поглощения (усиления) в классической модели Лоренца. Понятие вынужденного излучения строго вводится в квантовой теории излучения. Однако основные характеристики перехода, определяющие скорость и сечение вьшужденного излучения, могут быть легко рас- [c.294]

В модели Лоренца рассматривается достаточно разреженный газ свободных гармонических электронных осцилляторов, находящихся в электромагнитном поле световой волны напряженностью [c.295]

Чтобы изучить процесс приближения к равновесию и проблему возврата, рассмотрим снова модель Лоренца (задача 27.8). Как мы уже видели, эта модель характеризуется равновесным распределением (27.8.2). Разделим теперь фазовое пространство на 2т + 1 ячеек равного объема, которые нумеруются числами от —т до +т. Каждой ячейке соответствует элемент телесного угла [c.612]

Не все из перечисленных свойств легко увидеть из одного при.мера. Сейчас мы рассмотрим первый пример странного аттрактора— модель Лоренца [283]. В 7.4 мы снова вернемся к этому примеру для того, чтобы изучить физическую систему, из которой он возникает. В 7.1 рассмотрены другие примеры, позволяющие шире взглянуть на различные явления, связанные с хаотическим движением в диссипативных системах. [c.76]

Модель Лоренца интенсивно исследовалась во многих работах (см. литературу в работе [180]). Значения параметров а и Ь обычно фиксированы (ст =10, Ь = 8/3), и поведение системы исследуется в зависимости от г. Перечислим некоторые элементарные свойства модели Лоренца [252, 283, 411]. [c.77]

Здесь X — амплитуда конвективного движения, Y — разность температур между восходящими и нисходящими потоками, а Z — отклонение вертикального профиля температуры от линейного. Подставляя (7.4.11) в уравнение (7.4.7), приходим к модели Лоренца [c.477]

Модель Лоренца и ее странный аттрактор уже рассматривались в 1.5 и выше в этой главе. Здесь же нас интересует вопрос в какой мере эта модель представляет поведение жидкости в задаче Рэлея—Бенара На первый взгляд обе системы очень далеки друг от друга, поскольку модель Лоренца является чрезвычайно упрощенной с ее всего лишь тремя людами для двух функций состояния жидкости 1 ) и 0. Увеличение числа мод до пяти, семи и даже четырнадцати сохраняет некоторые черты поведения модели, включая и образование странного аттрактора. Однако переход к хаотическому движению может происходить при этом через разные последовательности бифуркаций [98 [ (дополнительную библиографию см. в работе [180]). Более того, численное моделирование двумерной конвекции, согласно (7.4.7), показывает отсутствие турбулентного движения ). В этом состоит существенное отличие от трехмерной конвекции Рэлея—Бенара, в которой турбулентность наблюдается экспериментально. [c.477]

Численное моделирование квадратичного отображения подтверждает такое поведение [112]. Оно существует и для модели Лоренца в некотором интервале параметров [293 ]. Подобный переход к турбулентности наблюдался во многих экспериментах, включая конвекцию Рэлея—Бенара [273 ] и так называемую химическую турбулентность [352] (см. также дополнение А). Однако в этих случаях перемежаемость связана с переходом между [c.484]

Перефразируя известные слова Пуанкаре о периодических решениях, можно сказать, что бифуркации, как факелы, освещают путь от исследованных динамических систем к неисследованным. Эту роль теории бифуркаций использовали Л. Д. Ландау и позже Э. Хопф, предложившие эвристическое описание перехода от ламинарного течения к турбулентному при возрастании числа Рейнольдса. В сценарии Ландау этот переход осуществлялся через бифуркации торов все возрастающей размерности. После того, как зоопарк динамических систем и их бифуркаций необозримо разросся, появилась масса работ, описывающих, в основном на физическом уровне строгости, переход от регулярного (ламинарного) движения к хаотическому (турбулентному). С помощью исследования цепочки бифуркаций объяснено хаотическое поведение трехмодовой модели Лоренца конвективного движения это объяснение не вошло в настоящий обзор, поскольку в него, по соображениям объема, [c.9]

В модели Лоренца — Максвелла усреднение микрополя Иминро произведённое с учётом вклада со стороны индуциров. полей, приводит к ур-ниям (9) и соответственно = В. Однако обычно параметры сред [c.35]

Для случая, когда в той же ситуации движется бесконечное множество частиц, доказано, что соответствующий поток является К-системой. Природа стохастичности этой системы иная, чем у идеального газа. В самом деле, в отличие от модели Лоренца, в движении отд. частицы идеального газа нет никакой стохастичности и, т. к. частицы друг с другом не взаимодействуют, стохастичность всей системы выглядит парадоксально, по крайней мере, она не согласуется с общепринятым представлением, что в основе этого свойства должна лежать нетривиальность взаимодействия. В случае же идеального газа причиной стохастичности служат бесконечность числа частиц и их неразличимость—при отказе от любого из этих условий стохастичность исчезает (впрочем, неразличимость частиц, вследствие к-рой координата и скорость отд. частицы не являются ф-циями на фазовом пространстве, можно считать суррогатом взаимодействия). [c.635]

В 3 главы 1 синергетический подход используется для описания термодинамических (п. 3.1) и кинетических (п. 3.2) переходов. При описании первых в качестве параметра превращения используется плотность сохраняющейся величины, а во втором случае — сопряженный ей поток. Наше рассмотрение основывается на уравнении непрерывности и соотношении Онзагера, обобщение которых на нестационарный случай приводит к системе Лоренца. В этой связи можно предполагать, что развитый формализм представляет синергетическое обобщение физической кинетики. В п. 3.3 показано, каким образом уравнения Лоренца следуют из полевого подхода. Важная особенность сильно неравновесных систем состоит в том, что их поведение определяется как одиночными возбуждениями фермиевского типа, так и коллективными — бозевско-го. Поэтому последовательная микроскопическая теория таких систем должна носить суперсимметричный характер. Соответствующая техника изложена в 4 главы 1, где сначала (п.4.1) проведена микроскопическая интерпретация модели Лоренца. Показано, что она отвечает простейшему выбору гамильтониана бозон-фермионной системы. В п. 4.2 представлен суперсиммефичный лафанжев формализм, позволяющий воспроизвести уравнения Лоренца, в которых роль управляющего параметра ифает энтропия (см. также Приложение В). Использование корреляционной техники в п. 4.3 позволяет самосогласованным образом описать эффекты памяти и потери эргодичности в процессе самоорганизации. Получены [c.8]

В модели Лоренца (первой классической модели) не учитываются характеристики растворенных молекул дипольный момент, поляризуемость, размеры и др. Поэтому эффективное поле определяется только макроскопическим параметром растворителя е. В этом ограниченность модели. Выводы ее иногда используются для расчета спектроскопических характеристик бездипольных молекул в неполярных растворителях. Тем не менее идеи Лоренца явились исходными для всех более поздних методов определения < эФФ- [c.91]

Эффективное поле в модели Онзагера определяется не только обобщенным макроскопическим параметром растворителя е, но и микрохарактеристиками растворенных молекул ц и а, что увеличивает ее возможности по сравнению с моделью Лоренца и обеспечивает достаточно широкое распространение не только в спектроскопии, но и в физике конденсированного состояния вообще. [c.92]

Расчет поправок Л(v) и учет их при сравнении спектров жидкостей и паров проводился многими авторами с использованием моделей Лоренца и Онзагера (см., например, [18, 19]). Сначала величины Л(v) рассчитывались без учета спектральных зависимостей. Так, например, для слабопоглощающих растворов изотропно поляризующихся молекул поправочный множитель (расчет проводился с использованием модели Лоренца) имеет вид [c.102]

Заголовок главы 8 таков Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос и пути возникновения хаоса . Математической основой в данном случае служит полученная в предыдущей главе система динамических уравнений для самопульсирующего лазера. Вводятся популярная в работах по синергетике модель Лоренца и сопутствующий ей странный аттрактор устанавливается соответствие лазерных уравнений и уравнений гидродинамики, описывающих конвекцию в ячейке Бенара. Основная часть главы отведена вопросам хаотизации характеристик лазерного излучения, экспериментальным иллюстрациям процессов удвоения периода, перемежаемости, перехода в пичковый режим и т. п. Читателю, желающему изучить этот круг вопросов более подробно и основательно, следует обратиться к уже цитированным монографиям Г. Хакена [1, 2], а также к статьям советских авторов [25, 26], [c.7]

Хаотическое поведение здесь не связано с моделью Лоренца, так как в случае, когда г/ = О, при выбранных нами параметрах стационарное состояние лазера является устойчивым. Однако можно взять управляющие параметры, которые будут лежать внутри области неустойчивости Лоренца [она определяется условием (1 + ч + V) + 2С) <2х (2С—1)1. В этом случае наблюдаются автопульсации большой амплитуды с признаками нерегулярного поведения даже при малых значениях амплитуды инжектируемого поля. Кроме того, в отличие от предыдущего случая здесь нет каскада удвоения периода при выходе из области хаоса вместо этого наблюдается прерывистое поведение такого типа, как показано на рис. 8.14. Если у возрастает и дальше, мы приходим к простым осцилляциям, после которых пойдет та же последовательность режимов, что и в предыдущем случае (т. е. дышащий режим и пички). [c.230]

Генерация гармоник, суммарных и разностных частот уже была рассмотрена на классической основе в ч. I. При этом восприимчивости были определены на основе осцилляторной модели Лоренца — Друде для атомной системы. Теперь мы вычислим восприимчивости квантовомеханически, что позволит получить лучшее согласие с доступными экспериментальному определению параметрами. Классическая трактовка поля излучения оправдывается во многих случаях, в особенности если речь идет о сильных когерентных полях. [c.336]

Как отмечалось в п. 2.6.2 (см. также [21]), в модели Лоренца вычисление 6(0 ) связьшается с поляризуемостью Р(со) отдельной молекулы (атома) элементарной кристаллической ячейки. Выше, в 2.5 была вычислена поляризуемость отдельного атома в квантовой картине. Для молекул, лишенных собственного постоянного дипольного момента, наведенный полем световой волны дипольный момент есть [c.132]

Появление странных аттракторов в трехмерных потоках, таких, как модель Лоренца, указывает на один из возможных механизмов возникновения гидродинамической турбулентности. Это стимулировало исключительно точные экспериментальные измерения вблизи перехода от ламинарного к турбулентному течению в реальных жидкостях. Модель Лоренца была получена фактически из задачи о конвекции Рэлея—Бенара в подогреваелюм снизу слое жидкости с учетом только трех мод движения. Хаотическое движение в трехмерной модели Лоренца представляет возможную картину турбулентности и в некоторых реальных гидродинамических системах, которая оказывается проще, чем первоначальные представления Ландау [251 I. Динамика диссипативных систем рассматривается в гл. 7, включая одномерные и двумерные отображения, а также гидродинамические приложения. [c.20]

Недавно был предложен еще один метод проверки динамической системы на интегрируемость, использующий так называемое свойство Пенлеве. Последнее означает, что все подвижные особенности решения в плоскости комплексного времени являются только простыми полюсами. Подвижными называются особенности, зависящие от начальных условий. Абловиц и др. [4] показали, что существует тесная связь между уравнениями в частных производных, имеющими солитонные (интегрируемые ) решения, и соответствующими им обыкновенными дифференциальными уравнениями, обладающими свойством Пенлеве. Сегур [366] продолжил эти исследования и показал, что модель Лоренца для диссипативной системы (см. 1.5), обладающая в общем случае хаотическим по- [c.57]

Наименьшая размерность фазового пространства, в котором возможен странный аттрактор, равна трем, как в модели Лоренца, описанной в 1.5. Еще более простая система была рассмотрена Рёслером [350], и мы опишем ее ниже. Интересные свойства двумерного отображения со странным аттрактором будут рассмотрены на примере отображения Хенона [187]. [c.416]

Модель Рюэля—Тэкенса исследовалась численно на примере простого двумерного отображения [100]. Были обнаружены переходы от устойчивого фокуса к предельному циклу, затем к двухчастотному движению и, наконец, к странному аттрактору. В этой связи важно отметить, что в отличие от модели Лоренца с тремя модами в модели конвекции Рэлея—Бенара, использующей 14 мод, также обнаружен квазипериодический аттрактор на некоторой двумерной поверхности в 14-мерном фазовом пространстве [98]. [c.480]

Нет лучщего примера теории, новые модели и парадигмы которой обещают значительные перемены в естественнонаучном и математическом мышлении, чем нелинейная динамика, испытывающая сейчас революционные изменения. Двумя главными парадигмами здесь являются аттрактор Лоренца (см. уравнения (1.3.9)) и логистическое уравнение (1.3.6). Эти два примера заключают в себе многие особенности хаотической динамики, такие, как разбегающиеся траектории, субгармонические бифуркации, удвоение периода, отображения Пуанкаре и фрактальные размерности. Как для освоения теории линейных колебаний необходимо изучить все тонкости модели из массы с пружиной, без которых нельзя понять колебания сложных систем, так же и каждому, кто ищет свой путь в современной нелинейной динамике, не обойтись без понимания явлений, скрытых в модели Лоренца и логистическом уравнении. Другие, менее яркие парадигмы также важны для понимания и развития теории динамических систем. Среди них вынужденные движения осциллятора Ван дер Поля (уравнение (1.2.5)), модели осциллятора [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...