Ландау — Хопфа модель

Ландау — Хопфа модель 212 Лоренцева модель турбулентности 206 [c.345]

В разное время появилось несколько вселявших энтузиазм моделей, которые претендовали на объяснение механизмов возникновения турбулентности в нелинейных средах, однако сравнительно быстро выяснилась их недостаточность. Наиболее долгоживущей оказалась модель Ландау-Хопфа, представляющая возникновение турбулентности как длинную цепочку последовательных неустойчивостей, в результате которых возбуждаются все новые и новые степени свободы и движение наконец становится очень сложным и запутанным. [c.494]

Первоначальная картина возникновения турбулентности, предложенная Ландау, была основана на представлении об иерархии неустойчивостей. При увеличении некоторого параметра, например числа Рейнольдса или числа Рэлея, нелинейные колебания жидкости теряют устойчивость и появляются все новые и новые независимые частоты движения СО1, со2, СО3. . . . При этом должно наблюдаться квазипериодическое движение с одной, двумя, тремя и т. д. основными частотами. Таким образом, мы приходим к последовательности бифуркаций Хопфа, т. е. к движению по поверхности некоторого тора возрастающей размерности. Движение выглядит все более и более сложным, однако непрерывный спектр и хаотическое движение возникают лишь при бесконечном числе бифуркаций. Модель Ландау представлена схематически в табл. 7.2. [c.479]

Хотя в экспериментах и наблюдается до четырех [158] независимых частот, резкий переход к непрерывному спектру не согласуется с моделью Ландау ). Помимо этого, теоретически было показано (см. работу [112]), что последовательность бифуркаций Хопфа, как и само квазипериодическое движение, не являются типичными. Судя по рассмотренным выше примерам резкого ) возникновения непрерывного спектра, связанного с образованием странного аттрактора, можно ожидать, что именно такой механизм [c.479]

С ростом некоторого характерного управляющего параметра (например, мощности накачки лазера) возбуждается все большее число гармоник с частотами oj, Og. гидродинамике этот путь перехода к турбулентности называют моделью Ландау— Хопфа. В лазерах аналогичную картину можно наблюдать, если все больше и больше несвязанных мод вступает в генерацию и при этом не происходит синхронизации частот. Согласно первоначальной модели Ландау—Хопфа, турбулентное состояние в гидродинамике характеризуется бесконечны.м числом гармоник, частоты которых взаимно иррациональны. Эта идея была отвергнута, поскольку эксперимент показал, что после возбуждения колебаний на двух или трех частотах в гидродинамике уже возникает хаос. В лазерах, однако, наблюдалось большее количество несвязанных мод. Поэтохму нужно отметить один специальный термин. [c.212]

В соответствии с моделью Ландау-Хопфа турбулентность при увеличении числа Рейнольдса возникает в результате цепочки последовательных бифуркаций, благодаря которым устанавливается квазипериодическое движение ( ) = F(a li,. .., где функция Р имеет период 2тг по каждому аргументу, а — это несоизмеримые частоты. Первые бифуркации из этой цепочки очень просты вначале устойчивое состояние равновесия превращается в неустойчивое и одновременно в его окрестности рождается устойчивый предельный цикл (так появляется 1), затем возникшее периодическое движение теряет устойчивость и в окрестности исчезнувшего устойчивого цикла появляется двумерное многообразие — тор, частота обмотки которого несоизмерима с основной частотой (так появляется 2), после чего это двухпериодическое движение становится неустойчивым и рождается трехмерный тор (возникает шз и т. д. При большом N реализация такого квазипериоди-ческого процесса действительно выглядит случайной, в частности, его автокорреляционная функция быстро спадает (как 1/л/]У), а время до ее следующего максимума (период возврата Пуанкаре) есть Т ехр(аТУ), где а и 1 [3]. [c.495]

Перефразируя известные слова Пуанкаре о периодических решениях, можно сказать, что бифуркации, как факелы, освещают путь от исследованных динамических систем к неисследованным. Эту роль теории бифуркаций использовали Л. Д. Ландау и позже Э. Хопф, предложившие эвристическое описание перехода от ламинарного течения к турбулентному при возрастании числа Рейнольдса. В сценарии Ландау этот переход осуществлялся через бифуркации торов все возрастающей размерности. После того, как зоопарк динамических систем и их бифуркаций необозримо разросся, появилась масса работ, описывающих, в основном на физическом уровне строгости, переход от регулярного (ламинарного) движения к хаотическому (турбулентному). С помощью исследования цепочки бифуркаций объяснено хаотическое поведение трехмодовой модели Лоренца конвективного движения это объяснение не вошло в настоящий обзор, поскольку в него, по соображениям объема, [c.9]

Рюэль и Тэкенс [355 ] предложили другой механизм возникновения турбулентности, согласно которому сначала происходят две последовательные бифуркации Хопфа, как и в модели Ландау, однако затем нелинейность разрушает трехчастотное движение и образуется странный аттрактор (табл. 7.2). По первоначальной гипотезе требовалась размерность потока не менее четырех. Предположение о неустойчивости трехчастотного аттрактора в типичном случае было позднее доказано, а лшнимальная размерность сокращена до трех [317] ). [c.480]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...