Условия в бесконечности при движении функции Эри

При составлении уравнений рассматриваемой задачи возникает известная трудность, вызванная тем, что все материальные точки подчиняются уравнению движения одного и того же вида. Когда цепь имеет конечную длину, необходимо предположить существование дополнительных граничных сил. Когда же ее длина бесконечна, такие функции, как V, будут расходиться, если не принять периодических граничных условий при этом необходимо считать, что длина занимает только один период. В дальнейшем будет предполагаться, что задача решается при одном из этих предположений. [c.118]

Изучим далее случай, когда 17о = оо при х 0 (О, а) и (7о = О при X (О, а), т.е. случай движения частицы в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины. По условию задачи частица не проникает за пределы потенциальной ямы (с бесконечно высокими стенками ), и поэтому вероятность ее обнаружения (а также и волновая функция) вне ямы равна нулю. Следовательно, граничные условия на 0-функцию имеют вид [c.479]

Таким образом, в случае безвихревого движения функция тока г з может быть найдена как решение уравнения Лапласа (3.11), удовлетворяющее граничным условиям на бесконечности н на поверхности тела [c.133]

Если бесконечный интервал времени включен в рассмотрение, то часто ставится условие ограниченности исследуемых функций при t —> <Х). Когда же это условие не соблюдается, говорят о неустойчивости движения среды. [c.419]

На интервале (О, а) потенциальную энергию можно принять равной нулю, а вне этого интервала она обращается в бесконечность. Вследствие этого частица при своем движении не может выйти за пределы (О, а), или, как говорят, она находится в потенциальной яме. Поскольку вероятность нахождения частицы вне потенциальной бесконечно глубокой ямы равна нулю, волновая функция Р вне интервала (О, а) равна нулю. Так как она непрерывна, то равна нулю в точках X = а, X = Q. Таким образом, для Ч (.v) получаем следующие граничные условия [c.165]

Таким образом, любые бесконечно малые непрерывные функции би будут возможными перемещениями, если они не нарушают кинематических краевых условий. В механике одним из основополагающих принципов является принцип возможных перемещений Лагранжа, который служит эквивалентом уравнений механики — уравнений равновесия в статике и уравнений движения в динамике. [c.188]

Таких условий для 5х 5у 5z имеется Зп — /, где / есть число степеней свободы при бесконечно малом движении (ср. стр. 71). В случае голономных связей являются частными производными по Жд, одной и той же функции координат. [c.84]

Резюме. Задача о нахождении точки, в которой некоторая функция имеет относительный максимум или минимум, приводит к необходимости исследования бесконечно малой окрестности этой точки. Это исследование должно показать, что функция обладает стационарным значением в рассматриваемой точке. Хотя это утверждение само по себе без дополнительных условий и не может гарантировать наличия экстремума, для общих задач динамики его достаточно задачи движения требуют лишь нахождения стационарных значений, а не обязательно минимумов некоторого определенного интеграла. [c.60]

Наконец, обе функции ф(г ) и v t), определенные таким образом, удовлетворяют системе (28 ) при t = t они принимают заданные значения 9 = — а, v = v и обе остаются правильными при возрастании t от до бесконечности. Так как, далее, во всем этом интервале существует условие v w Q, обеспечивающее возможность применения теоремы единственности (помимо теоремы существования интеграла для системы (28") (п. 17), то таким образом движение снаряда охарактеризовано однозначно. В частности, мы получили при этом следующие результаты 1) касательная к траектории (ориентированная в сторону движения) вращается всегда в одном и том же направлении, стремясь стать в вертикальное положение при t— o 2) скорость допускает отличный от нуля минимум. [c.105]

Так как обе функции, и и 5, содержат h п а, то, казалось бы, естественно ожидать, что путем выбора начальных условий всегда можно получить как периодические, так и апериодические движения. Такая гипотеза, однако, оказывается несостоятельной. Мы знаем, что существуют системы, которые всегда совершают периодические движения, и системы, которые никогда не движутся периодически. Оба типа систем встречаются в теории малых колебаний. Если отношение периодов есть число рациональное, то траектория системы всегда периодична, каковы бы ни были начальные условия если же это отношение есть число иррациональное, то траектория никогда не является периодической (исключая, разумеется, тот случай, когда система совершает главные колебания). Другой достаточно ясный пример — это ньютоновская орбита, которая всегда периодична, каковы бы ни были величина и направление начальной скорости планеты (если, конечно, начальная скорость не превышает того значения, которое она имела бы при движении из бесконечности в начальную точку под действием притяжения к центру). В 18.8 мы вернемся к этому вопросу и выясним причину встречаюш ейся здесь особенности. [c.308]

Первое условие свидетельствует о том, что в момент времени окончился (S — 1)-й режим движения, которому в системе уравнений (8.12) соответствуют матрицы В, С и вектор-функция S у, у), соотнесенные множеству Б ( ). Второе условие означает, что в момент времени начался -й режим, которому соответствуют матрицы В, С и вектор-функция S (у, у), соотнесенные множеству (W-В качестве примера рассмотрим систему с нелинейным соединением на участке между массами У, / +1, свойства которого обусловлены односторонним ограничением (типа вилки с бесконечно большим зазором, рис. 77). Система уравнений движения вне зазора характеризуется матрицами В , и вектор-функцией 5 , движение в зазоре — матрицами С и вектор-функцией S° = О, т. е. [c.232]

Неавтономные системы. В этом случае функции Ляпунова так же, как и правые части уравнений возмущенного движения (22), явно зависят от времени. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости ие меняется, но в условия теорем об асимптотической устойчивости и неустойчивости вводится дополнительное требование о существовании бесконечно малого высшего предела функции V (t, х). [c.38]

Если задаться видом функции д х ), то, вычисляя интеграл (72), получим потенциал скоростей возмущений, а дифференцирование по г и а позволит вычислить и проекции скорости У( и ЕД Наоборот, задаваясь формой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному потенциалу продольного обтекания тела однородным потоком с заданной скоростью на бесконечности и написав условие непроницаемости поверхности тела, по.пучить интегральное уравнение, в котором д (х ) будет неизвестной функцией. Заменяя потенциал скоростей на функцию тока. Карман ) разработал метод приближенного интегрирования соответствующего интегрального уравнения, основанный на замене интеграла конечной суммой. Однако метод Кармана не был достаточно общим и, кроме того, требовал решения в каждом отдельном случае системы большого числа линейных алгебраических уравнений, что делало его на практике слишком трудоемким. [c.299]

В исследованиях, описанных выше, предполагалось, что движение п тел регулярно, т. е. происходит без соударений и удаления на бесконечность. Между тем изучение особых траекторий динамических задач вообще и задачи п тел в частности имеет очень большое значение для определения условий, при которых данное движение будет устойчивым или неустойчивым. Могущественные методы качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений, созданные А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре, позволяют проникнуть в природу механического движения и исследовать особенности интегралов дифференциальных уравнений, описывающих это движение. Потребность в качественных методах исследования вызвана тем, что многочисленные и очень важные задачи механики, математического анализа, геометрии, математической физики и прикладных наук приводят к дифференциальным уравнениям, не интегрирующимся в конечном виде. Таким образом, возникает необходимость в разработке методов изучения свойств функций непосредственно по дифференциальным уравнениям, их определяющим. Вот почему доказательство теорем существования, изучение критических точек, особых траекторий и устойчивости решений составляли и составляют фундамент исследований ряда крупных отечественных и зарубежных ученых [c.111]

Приступим теперь к выводу уравнений движения для приведенных матриц плотности. Мы будем исходить из квантового уравнения Лиувилля (4.1.3), в котором бесконечно малый источник определяет граничное условие для неравновесного статистического оператора ). Как было показано в главе 3, выбор квазиравновесного распределения Qq t) является определяющим при решении цепочки уравнений для классических функций распределения. Мы пока отложим обсуждение вопроса о выборе Qq t) в квантовом случае, ограничившись лишь замечанием, что квазиравновесный статистический оператор должен удовлетворять условию самосогласования для одночастичной матрицы плотности [c.267]

Функция /, определяемая соотношением (6.3), где Т постоянно, р задается формулой (6.14), а V — формулой (6.8), должна, конечно, удовлетворять граничным условиям. Это налагает дальнейшие ограничения при реальных граничных условиях единственным возможным решением будет поступательное движение с постоянной скоростью, а вращение газа как твердого тела допустимо, только если газ находится в сосуде цилиндрической формы бесконечной длины с осью, параллельной вектору со ). [c.76]

И V суть функции XVI у. Если в начальный момент и, у, т удовлетворяют тому же условию, и следовательно, 5 = = О, то по прошествии бесконечно малого времени йЬ, по уравнениям (4), сР, = 0, д,т[ = 0, а сР, есть некоторая функция X и /, откуда, на основании сказанного об определении йи, йь, йу), придем к заключению, что йго = 0, а йи и сЬ) суть функции жиг/. Таким образом, переходя от одного момента времени к другому, убедимся, что во все время движения го = 0, а и и V суть функции ж и /. От уравнений (4) у нас остается только третье, которое будет иметь вид [c.261]

К первой группе относятся законы, согласно которым скорость толкателя как функция времени или угла поворота кулачка имеет разрыв. Ускорение в этот момент времени, а следовательно, и сила инерции звена становятся теоретически равными бесконечности, что и вызывает жестк1п 1 удар. Звенья механизма подвергаются деформации и интенсивному изнашиванию. Примером является линейный закон (постоянной скорости). Этим законом пользуются, когда по условию синтеза требуется постоянная скорость движения выходного звена. [c.54]

Как и выше, можно утверждать, что изображающая точка остается во время движения на поверхности К = /г, но в этом случае нельзя утверждать, что, уменьшая к до нудя, мы приблизим изображающую точку к началу координат, которому соответствует положение равновесия. Действительно, точки нулевой поверхности функции К = Я могут быть удаленными на конечное или даже бесконечно большое расстояние от начала координат. Следовательно, в случае отсутствия минимума функции П нельзя утверждать, что существует закая область б(е) начальных значений координат и скоростей точек системы, из которой следует выбирать начальные условия, чтобы заставить изображающую точку при дальнейшем движении оставаться в некоторой области А(т1) вблизи начала координат и стремиться к началу координат, если к нему стягивать область б(е). [c.227]

Для понимания природы этого особого интеграла существенно, однако, что он может быть получен из общего интеграла путем своеобразного предельного перехода, тесно связанного с физическим смыслом характеристик как лннии расгтространения мплых возмущений. Представим себе, что область плоскости v, w, li которой функция x(v,w) отлична от нуля, стягивается к очень узкой в (пределе — к бесконечно узкой) полосе вдоль одной из характеристик. Производные от в поперечных к характеристике направлениях пробегают при этом значения в очень шнро-ко.м (в пределе — бесконечном) интервале, поскольку очень быстро убывает в этих направлениях. Такого рода решения уравнений движения заведомо должны существовать. Действительно, рассмагриваемые как возмущение в плоскости V, ш они удовлетворяют условиям геометрической акустики и, как должно быть для таких возмущений, расположены вдоль характеристики. [c.555]

Фактически искомое решение уравнений движения относится лишь к области г позади ударной волиы, и к достаточно малым временам t (при которых R <С Ro). Но формально получаемое решение охватывает все пространство r R — от поверхности разрыва до бесконечности, и все времена t 0 при этом переменная I пробегает все значения от 1 до оо. Соответственно, граничные условия для функций G, V, Z должны быть поставлены при = 1 и g = оо. [c.564]

На основании теоремы Ляпунова можно утверждать, что непоп-мущеннос движение х = О, у = О асимптотически устойчиво при малых начальных возмущениях. Однако теорему Барбашина Кра-совского об устойчивости движения в целом применить нельзя, так как условие (2.16) не выполнено. Действительно, при ж — оо и i/ == = а = onst функция V стремится к 1 + o , а не к бесконечности, как требует условие (2.16). [c.47]

В задачах о потенциальном движении несжимаемой жидкости потенциал скоростей всегда, независимо от краевых условий на поверхности тела и от условий в бесконечности, является гармонической функцией. Пусть скорость жидкости в бесконечности конечна, отлична от нуля и переменна по времени, т. е. мы имеем дело с порывистым движением жидкости на далеких от тела расстояниях. Возьмем подвижную систему координат я, движущуюся поступательно с переменной скоростью Гпост и)> равной скорости набегающего потока. [c.209]

Сравнивая (7.25) и (7.36) и граничные условия (7.26) и (7.37), видим, что математические задачи об определении функции напряжений при кручении цилиндрического стержня и скорости течения ламинарного установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости в бесконечно длинной трубе, поперечное сечение которой одинаково с поперечным сечением стержня, под действием постоянного перепада давлений dpldz совпадают, когда [c.372]

Функция ф тесно связана с положениями равновесия системы, так как условие, выражающее, что для известных определенных значений X, (л, v,. . . система находится в положении равновесия, совпадает с условием, выражающим, что для тех же самых значений дифференциал 9 равен нулю. Таким образом вообще для каждого положения равновесия эта функция является максимумом или минимумом. Если в действительности имеет место максимум, то равновесие — устойчивое это значит, что если точки системы бесконечно мало сместить из их положений равновесия и каждой из них сообщить необходимую начальную скорость, то в течение всего движения смещеаия различных точек системы по отношению к положению равновесия всегда будут находиться между некоторыми определенными и очень малыми пределами. [c.537]

Если силы, действуюш ие на машинный агрегат, заданы как функции определенных кинематических параметров, то закон его движения, являясь решением соответствуюш,его дифференциального уравнения движения, однозначно определяется нача. [ьными условиями. Но начальные условия в известных границах можно выбирать произвольно, и, следовательно, мы имеем дело с бесконечной совокупностью возможных движений машинного агрегата, из которых на практике в каждом конкретном случае реализуется лишь одно, вполне определенное движение. [c.5]

Очень похожее решение задачи о движении двух близко расположенных сфер дал Вакия [33]. В качестве системы координат он выбирал ту же систему, что и на рис. 6.2.1, так что результат выражается в виде, подобном полученному выше при решении двух задач о движении сфер вдоль и перпендикулярно их линии центров. Применяемый им метод решения несколько отличен от использованного здесь. Хотя также применяется разложение по сферическим гармоникам, гармоники для второй сферы выражаются непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы, после чего из граничных условий на первой сфере а получается одна система соотношений, связывающих определяющие коэффициенты. Таким же образом по граничным условиям на сфере Ъ получается другая система соотношений. Исключая из этих двух систем одну совокупность констант, можно получить бесконечную систему уравнений для другой совокупности констант, определяющих соответствующие гармонические функции. Эту бесконечную систему уравнений Вакия решает методом последовательных приближений, и поэтому расчетная часть у него такая же, как и здесь. Полученные им результаты согласуются с результатами Факсена для двух сфер, движущихся одна за другой, а также с приведенными выше данными для движения сфер как вдоль линии центров, так и в перпендикулярном направлении. [c.307]

В методе однородных решений более полно используется информация о волновых движениях в нормальных модах. В рамках этого метода общее решение задачи (1.1) при нулевых значениях функций g (xi) и (xi) строится в виде бесконечной суммы волн в слое Zi /гс вещественными, мнимыми и комплексными постоянными распространения. При этом, естественно, принимаются во внимание волны, распространяющиеся в обоих направлениях. Нераспростра-няющиеся волны выбираются так, чтобы соответствующие характеристики напряженно-деформированного состояния убывали от поверхностей Xi= а В таком решении содержится бесконечный набор произвольных комплексных коэффициентов, подбором которых можно выполнить граничные условия на поверхностях = = а. Предположение о равенстве нулю функций g (xi) и % (xi), конечно, не является существенным ограничением. [c.159]

В высп1ей степени суш,ественные результаты удалось получить Н.Е. Кочину в работе Определение точного вида волн конечной амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины , доложенной Всероссийскому съезду математиков в Москве в 1927 г. (см. Труды съезда ). Здесь речь идет о движении двух тяжелых несжимаемых жидкостей различной плотности, наложенных одна на другую, причем сверху и снизу эти жидкости ограничены горизонтальными плоскостями. Рассматривается безвихревое движение, в котором линия раздела жидкостей обладает некоторым периодом в горизонтальном направлении и перемегцается без изменения формы с постоянной горизонтальной скоростью. Н.Е. Кочин вводит комплексное переменное и сводит вопрос к нахождению двух функций, голоморфных в некоторых областях и удовлетворяюгцих определенным условиям. Действительные и мнимые части этих двух функций определяются в форме бесконечных рядов, сходимость которых доказывается методом мажорантных функций. Уравнения профиля волны автор дает также в виде бесконечного ряда. Регаение для бесконечных глубин обеих жидкостей получается как частный случай. [c.140]

Легко также выяснить причину невынолнения теоремы о неявных функциях в том случае, когда линии данного семейства касаются линий направляющего семейства. Предположим для простоты, что изобара замкнута и перемещается, не меняя формы, и что направляющее семейство состоит из прямых, параллельных оси абсцисс. Если изобара имеет составляющую движения, параллельную оси ординат, то точка касания через бесконечно малое время или совершенно сойдет с данной прямой направляющего семейства, или разделится на две точки. Этот факт и приводит к нарушению условий теоремы о неявных функциях. [c.193]

Мы знаем, однако, что в равновесной системе при определенных условиях может существовать неоднородное распределение. Типичным примером является твердая фаза, в которой движение атомов представляет собой преимущественно небольшие колебания относительно равновесных положений, образующих бесконечную регулярную решетку. В таких ситуациях одночастичная фушщия распределения становится периодической функцией qi и обладает симметрией кристаллической решетки. Статистическую теорию перехода в состояние с новой симметрией ни в коей мере нельзя считать в настоящее время полностью разработанной. [c.256]

Пусть т) и Y)" —показатели вероятности для двух независимых ансамблей, каждый из которых находится в статистическом равновесии. Тогда Tj -f-Yj" будет показателем ансамбля, получающегося путем комбинирования каждой из систем первого ансамбля с каждой из систем второго. Этот третий ансамбль, очевидно, также будет находиться в статистическом равновесии, и фазовая функция г/должна являться постоянной движения. Если теперь к комбишфованным системам прилагаются бесконечно малые силы, а yj -f- yj" или какая-нибудь бесконечно мало отличающаяся от нее функция остается все же постоянной движения, то объяснение этого должно заключаться в природе приложенных сил или, если действие последних не полностью определено, в условиях, которым они подчинены. Так, в только что рассмотренном случае т/Y является функцией энергии комбинированной системы, и приложенные бесконечно малые силы подчинены закону сохранения энергии. [c.47]

Г. Схоутен и Д. Кортевег дали полную классификацию траекторий Ю7 центрального движения в четырех частных случаях Б. Н. Фрадлйн рассмотрел более общий закон центральной силы / (г), допускающий для функции г / (г) в интервале О <[ г оо конечное или бесконечное (без точек сгущения) множество экстремальных значений, и доказал ряд теорем, указывающих характер необходимых и достаточных условий для появления того или иного типа. Он исследовал также особые траектории соударения и бесконечного удаления в общей задаче двух тел. [c.107]

Для исследования оптимальных движений механических систем со свободными (или управляющими, регулируемыми) функциями имеются мощные математические методы, составляющие в наши дни основу вариационного исчисления или, более широко, функционального анализа. Создание реальной конструкции (ракеты, самолета, автопилота) тесно связано с изучением экстремальных свойств функций многих переменных и функционалов. Мудрый Леонард Эйлер писал в одной из своих работ ...так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума . Анализ содержания научных статей по динамике полета, опубликованных за последние 20—25 лет, убеждает нас в том, что методы вариационного исчисления не только позволяют выделять из бесконечного разнообразия возможных движений, определяемых дифференциальными уравнениями механики, более узкие классы движений, для которых некоторые (обычно интегральные) характеристики будут оптимальными в ряде случаев они дают возможность детального аналитического исследования, так как для некоторых экстремальных режимов уравнения движения интегрируются в конечном виде. Опорные аналитические решения для оптимальных движений можно находить во многих трудных задачах, когда системы исходных уравнений являются нелинейными. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач Зо-пускают интеграцию в квадратурах. Мы уверены в том, что семейства аналитических решений нелинейных уравнений механики в конечном виде внутренне тесно связаны с условиями оптимальности и в задачах динамики ракет и самолетов играют роль невозмущенных движений, аналогичных кеплеровым движениям в задачах небесной механики . [c.35]

В ряде статей и выступлений мы указывали, что в области динамики полета летательных аппаратов имеется мощный и плодотворный математический аппарат для исследования нелинейных задач нестационарных движений это вариационное исчисление или, более широко, функциональный анализ. Исследование процессов почти всегда связано с изучением экстремальных свойств функций или функционалов. Методы вариационного исчисления и функционального анализа не только позволяют выделять из бесконечного разнообразия движений, определяемых системами алгебраических и дифференциальных уравнений, более узкие классы движений, для которых заданные интегральные характеристики будут оптимальными, но в ряде случаев дают возможность детального аналитического исследования, так как для экстремальных режимов нелинейные дифференциальные уравнения довольно часто интегрируются в конечном виде. Опорные аналитические решения нелинейных уравнений в конечном виде, по-видимому, тесно связаны с условиями оптималь ности и играют в задачах динамики полета роль невозмущенных [c.224]

Если задаться видом функции q (z ), то, вычисляя интеграл (70), получим потенциал скоростей, а дифференцирование по г и г позволит вычислить и проекции скорости w,., и v . Наоборот, задаваясь формой обтекаемого тела, можно, переходя от потенциала скоростей возмущенного движения к полному потенциалу продольного обтекания тела однородным потоком с заданвой скоростью на бесконечности и написав условие непроницаемости поверхности тела, получить интегральное уравнение, в котором q z ) будет неизвестной функцией. Заменяя потенциал скоростей иа функцию тОка, Карман разработал метод приближенного интегрирования соответствующего инте-1рального уравнения, основанный на замене интеграла конечной суммой. [c.433]

Задача о составлении потенциала скоростей возмущенного движения 9 сводится, таким образом, к определению гармонических, убывающих в бесконечности до нуля функций <в , каждая из которых, кроме того, удовлетворяет своему граничному условию (80) на поверхности о. Функции имеют простой физический смысл. Как это следует из (80), функции Ра и з в каждый данный момент времени представляют потенциалы скоростей того возмущенного движения жидкости, которое возникает при поступательном движении рассматриваемого тела с единичной скоростью, параллельной, соответственно, осям Ох, Оу нли Ог функции срд и аналогично представляют потенциалы возм5 щений от чисто вращательных движений тела также с единичными угловыми скоростями вокруг осей Ох, Оу н Ог. [c.438]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...