Метрическое пространство

Большинство идей, которые используются для анализа и решения уравнений и системы уравнений, связано с методом итераций. Для изложения существа метода и доказательства необходимых теорем используем понятие метрического пространства, и только затем применим все изложенное к тем частным случаям, которые возникают при решении различных видов систем уравнений. [c.67]

Это множество будем называть метрическим пространством, если каждой паре его элементов х , ставится в соответствие действительное число р (Xi, х ), удовлетворяющее двум аксиомам [c.67]

Введенное таким образом число р xi, х ) называется расстоянием между элементами Xi и Х2- Аксиомы метрического пространства влекут за собой многие следствия, из которых приведем следующие. [c.67]

Приведем некоторые важные для дальнейшего примеры полных метрических пространств. [c.68]

Эти четыре примера полных метрических пространств исчерпывают все случаи, с которыми в дальнейшем придется встречаться при решении уравнений и систем трансцендентных уравнений. [c.69]

Пусть оператор Т определен на всем полном метрическом пространстве / , ограничен, и его постоянная Липшица L < 1. Будем называть его сжимающим оператором. Для него справедливы следующие утверждения. [c.69]

Рассмотрим теперь метод итераций для решения систем линейных уравнений. Общая теория этого метода была изложена в 2.2. Метрическое пространство, в котором решается задача, образовано п-мерными векторами х = х , х ,. .., Хп) с метрикой [c.90]

Итак, оператор Т действует на всем метрическом пространстве п ограничен. Если L < 1, то метод итераций решения системы (2.45) будет сходиться при любом начальном приближении. При этом будут справедливы оценки ошибок и другие результаты, полученные в 2.2. Остается выяснить, всегда ли можно привести систему [c.91]

Ламинарный подслой 46 Метрическое пространство 67 [c.312]

Резюме. В то время как производящая функция канонического преобразования является чисто математическим понятием, Гамильтон ввел главную функцию , тесно связанную с интегралом действия. В его геометрической интерпретации эта функция имеет ясный смысл. Она задает расстояние между двумя точками в соответствующим образом определенном метрическом пространстве, являясь при этом функцией координат этих двух точек. Главная функция Гамильтона является производящей функцией того частного канонического преобразования, которое связывает два состояния фазовой жидкости, принадлежащие двум различным моментам времени, причем связывает их непосредственно, без помощи какой-либо промежуточной внешней точки. [c.263]

С ТОЙ же самой ситуацией, которая существует в оптике при изучении распространения света в оптически однородной среде. Оптические лучи являются прямыми линиями, т. е. кратчайшими линиями. Элементарные волны в построении Гюйгенса представляют собой сферы, причем не только в бесконечно малых, но п в конечных областях. Огибающие этих сфер, т. е. волновые поверхности, являются параллельными поверхностями, а оптические лучи—либо траектории механической системы — ортогональными траекториями для этого семейства параллельных поверхностей. Все это остается справедливым для произвольных оптических или механических систем при условии, что мы оперируем соответствующим образом определенным метрическим пространством. [c.329]

Пространство С —со, +со) является полным метрическим пространством [31]. [c.231]

Пусть X — метрическое пространство с метрикой I = i, к, б = (6j, 62,.. ., причем hi > 0. Отображение х I X [c.64]

Пусть Ф — iV-мерное метрическое пространство манипуляционной системы М с метрикой Хф, Л — метрическое пространство с метрикой цд, nf — метрическое пространство с т-метрикой jj, . Система М удовлетворяет условию Липшица с константами Z/J,. .., Ln, если для Vj = 1,.. ., iV Яб > 0 такое, что для Ф1 = ((pi, Ф1,. . ., ф1,. . фГ) и Уф2 = (ф , ф ,. . ., . . . [c.65]

Пусть an (л=1, 2...)—некоторая бесконечная последовательность элементов метрического пространства R. Элемент а называется пределом последовательности ап), если Umd(an, а) = 0. Метрическое пространство R [c.205]

Метрическое пространство R называется компактным, если любая бесконечная последовательность точек R содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из R, [c.205]

Каждое нормированное векторное пространство является метрическим пространством с метрикой [c.207]

Состояние конструкции может быть отображено в л-мерном линейном метрическом пространстве L с помощью векторов [c.168]

Элемент Y метрического пространства Е называется пределом бесконечной последовательности элементов е Е, если [c.262]

Всякое множество Z), лежащее в метрическом пространстве Е и рассматриваемое с теми же расстояниями между элементами, что и в Е, является метрическим пространством и называется подпространством пространства [c.17]

Элемент х. метрического пространства Е называется пределом последовательности элементов Xi, Х2, Хп,. .. из Е, если p(Xn,J )- -0 при л- оо. В этом случае,. х,г- х. [c.17]

Множество D, содержащееся в метрическом пространстве Е, называется компактным, если из любой бесконечной последовательности точек Xn D можно выделить частичную [c.17]

Перечислите аксиомы метрического пространства. [c.32]

Теорема. 1.6 (принцип сжатых отображений). Если оператор сжатия отображает полное метрическое пространство в само себя, то он имеет единственную неподвижную точку х, которая может быть получена методом последовательных приближений при любой начальной точке Хо. [c.56]

В работе подсчитывалось количество масштабных клеток, покрывавших структурный элемент. Искомая размерность Dp находилась с точностью 0.01 и характеризовала зололнение структурным элементом объемлющего метрического пространства в виде совокупности 1К зультатоп измерений как единого множества. [c.219]

В метрическом пространстве можно определить шар с центром в точке Xf, и радиусом р как множество точек х, удовлетворяющих неравенству р (х, л о) < ро ввести понятие е-окрестности точки л о Р (х, Ха) е и вообще воспользоваться терминологией (е, б), с помощью которой в математическом анализе строится теория пределов. В частности, вводится понятие предельной точки множества. как точки, в любой е-окрестности которой содержатся точки множества. Предельная точка множества может принадле [c.67]

Книга првдставляег собой сокрвмвиный курс математического анализа, написонный известным американским ученым. По стилю и содержанию она отличается от имеющихся традиционных курсов. Помимо обычно включаемого материала, книга содержит основы теории метрических пространств, теорию интегрирования дифференциальных форм на поверхностях, теорию интеграла и т. д. [c.160]

Пусть X ж Y — топологические пространства. Понятие непрерывной кривой т в Z вводится по аналогии с метрическим пространством [4, стр. 234—238]. Слабо обратной для кривой т будем называть любую кривую т, идущую из конца в начало т. Пусть / — непрерывное отображение Z в F. Непрерывной цепью (в пространстве Y, если X задано) называется пара (т, /), где / есть, строго говоря, сужение отображения / на след кривой т. Такую цепь будем обозначать еще через h т (поскольку / задано раз навсегда). След кривой т в X называется внутренним следом цепи h т, след кривой /т в F — внешним следом цепи h т. Цепь hTj называется обратной (слабо обратной) для цепи ссЬт, если кривая Ti является обратной (слабо обратной) для кривой т. Цепь h т называется конкатенацией цепей h и h Тг, если кривая т является конкатенацией (или суммой) кривых и Та [4, стр. 237]. Множество всех непрерывных цепей в Y обозначим через h (F). [c.61]

Аналогично можно определить т-метрику для любой манипуляционной системы с метрическим пространством R. В качестве h возьмем множество непрерывных цепей, т. е. движений механизма Afg, а в качестве hp — подмножество непрерывных цепей, состоящих из допустимых конфигураций. Очевидно, что задача для из п. 2 является частным случаем манипуляционной задачи из п. 3. [c.62]

Пусть Ф и nf — метрические пространства манипуляционной системы М с метриками р,ф и Хс- Отображение т / Ф задает б-кривую (в Ф). Пара отображений (т, /) задает (б, е)-цепь это означает, что внутренний след цепи является 6-кривой в пространстве Ф, а внепший след является е-кривой в пространстве nf. Обозначив = /т (1),.. ., = /т (к), (6, е)-цепь можно обозначить через h ( j,. . ., с ) или просто h ( j, с ) (6, е)-цепь h ( j, /t) называется допустимой, если для Vi fx i) е nfp. [c.65]

П. 1.1. Метрические пространства. Множество R элементов (чисел, функций и т. п.) называется метрическим пространством, если для каждой упорядоченной пары элементов в1бЛ и однозначно определена действительная неотрицательная функция d(01,02) (расстояние между Oi и С2> метрика),удовлетворяющая трем аксиомам метрики [c.205]

Выделен важный подкласс хаусдорфовых пространств, в к-рых любые две точки можно окружить непересекающимися открытыми подмножествами (неха-усдорфовы пространства, как правило, не возникают в приложениях). В частности, хаусдорфовыми являются метрические пространства, в к-рых Т. определяется метрикой неотрицательной ф-цией р(л, v), задающей расстояние между любыми двумя точками. v, у пространства [требуется, чтобы p(,v, >-) = 0 только при у = х р(> , х)=р( с, > ) р х, z) gp x, у) + р у, г)—неравенство треугольника]. Т. в метрич. пространстве определяется базой из открытых шаров pUo. л)<е. Класс компактных пространств X определяется след, условием из любого покрытия пространства X бесконечным числом открытых подмножеств можно выделить конечное число подмножеств, также покрывающих X. Непрерывные ф-ции на компактном связном пространстве обладают многими свойствами ф-ций, непрерывных на отрезке (ограниченность и др.). В евклидовом пространстве компактными будут замкнутые ограниченные подмножества. [c.143]

Распространение теории Ляпунова на распределение (континуальные) системы стало возможным поале того, как она была сформулирована в терминах функционального анализа. Это позволило обобщить на весьма широкий класс метрических пространств многие понятия, теоремы и методы, данные Ляпуновым и его последователями для конечномерного евклидова пространства. [c.460]

Последовательность элемштов F, метрического пространства Е называется фундаментальной (сходящейся в себе), если она удовлетворяет критерию О.Коишг. для любого б > О существует номер N=N e) такой, что для любых номеров n>N i любых натуральных т выполняется неравенство Y + - < б. [c.262]

Множество элемштов А, содержащееся в метрическом пространстве Е, называется компактным множеством, если из любой бесконечной последовательности элементов К е можно выделить частичную последовательность, сходящуюся в к некоторому пределу. Если таким свойством обладает все пространство Е, то оно назьшается компактным пространством. Компактное множество ограничою по расстоянию. [c.262]

Метрическое пространство назьшается полным, если в нем всякая фундамштальная последовательность имеет предел. Полное нормированное пространство Н, в котором норма определена скалярным про-изведшием, назьшается гильб товым пространством. Примером гильбертова пространства может служить пространство элементов которого вьшолняется свойство (П2.7). [c.263]

Рассмотрение метрических пространств позволяет дать определение близости элементов множеств , последовательности этих элементов, лредельно1 о перехода, полноты пространства, т,,е. ввести основные топологические Понятия. Понятие скалярного произведения позволяет построить аппарат гильбертовых пространств — осястюи рабочий инструмент современной вычислительной математики. [c.16]

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА. Множество Е называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов X и у поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число р(х, у), называемое расстоянием между X я у н удовлетворяющее следующим условиям (аксиомы метрического пространства [1] 1) р(л , у)=0 тогда и только тогда, когда д —г/ 2) р(л, у) —р(у, х) аксиома симметрии) 3) для любых трех, элементов /и 2i p( i , у) (х, 2)+ р(г, I/) (аксиома шреугольнйка). [c.17]

При зтод говорят, что в лростравстве введена метрика. Элементы метрического пространства обычно называются его точками. [c.17]

Последовательность хп элементов метрического пространства Е называется сходящейся в себе или фундаментальной последовательностью, есдш она удовлетворяет критерию Конш, т, . для любого числа е>0 айдется такое число Л е, что р (х ,д т)<8 при и,. [c.17]

Применяя определение полноты, данное для ироизволь- -ного метрического пространства, будем называть нормированное пространство полным (пространством Банаха), если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел. [c.21]

Даны метрические пространства X и Y и оператор А, определенный на множестве )д пространства X с множеством значений в пространстве Y. Трёбуется решить уравнение [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...