Дайсона уравнение

Полная В. ч. входит в систему Дайсона уравнений. [c.262]

Дайсона уравнение 5, 17, 160 Диаграммный метод 5, 17, 160, 217 Дисперсия 86, 144, 264, 298 [c.310]

Рис. 6.2. Уравнение Дайсона для одночастичной термодинамической функции Грина

Вместе с формулой (6.1.67) уравнение Дайсона позволяет записать точную одночастичную функцию Грина в виде [c.25]

У равнения Дайсона. К задаче о вычислении функций Г рина и корреляционных функций можно подойти с разных сторон. Например, дифференцируя их по временным аргументам и используя затем уравнения движения для операторов поля, можно получить так называемую цепочку уравнений Мартина-Швингера [124], которая аналогична цепочке уравнений для приведенных матриц плотности, рассмотренной в главе 4 первого тома. Расцепляя на каком-то шаге цепочку Мартина-Швингера с помощью аппроксимаций для высших функций, можно получить приближенные замкнутые уравнения для одночастичных функций Грина и корреляционных функций (см., например, [49]). Другой путь состоит в том, чтобы записать гамильтониан в виде Я = Я + Я, где Я описывает свободные частицы, и перейти в представление взаимодействия, разложив функции Грина и корреляционные функции в ряды по Я. Для суммирования бесконечных последовательностей членов теории возмущений удается построить диаграммную технику [19] (см. также [55]). В настоящее время хорошо изучена связь аппроксимаций высших функций в цепочке Мартина-Швингера с суммированием диаграмм определенных типов, поэтому выбор подхода, во многом, дело вкуса. Поскольку метод уравнений движения более удобен для исследования общих свойств временных функций Грина, именно им мы и воспользуемся ). [c.43]

Как мы увидим дальше, для существования обратной функции начальный статистический оператор ( ц) должен удовлетворять довольно жестким требованиям. К этому важному моменту мы вернемся позже, а пока просто предположим, что уравнения (6.3.28) имеют единственное решение G (1710 Тогда уравнения движения (6.3.26) можно записать как уравнения Дайсона [c.46]

Используя лишь уравнения Дайсона (6.3.29) и (6.3.30), можно показать, что элементы массового оператора обладают теми же свойствами симметрии относительно комплексного сопряжения, что и элементы гриновской функции G(l,l ) (см. задачу 6.11) [c.47]

Хотя сами ПО себе формулы (6.3.31) являются всего лишь соотношениями между массовым оператором и гриновскими функциями, достоинство уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30) состоит в том, что многие важные величины в кинетических уравнениях, включая интегралы столкновений, удается выразить через элементы массового оператора 11(1,1 ). Таким образом, найдя некоторое приближенное выражение для двухчастичной гриновской функции через одночастичные, из формулы (6.3.31) можно найти соответствующее приближение для элементов массового оператора, а затем и для интеграла столкновений. В сущности, это и есть обычный способ вывода кинетических уравнений в технике временных функций Грина. [c.47]

Обобщенное кинетическое уравнение. Мы теперь кратко обсудим схему вывода кинетического уравнения из уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Как уже отмечалось, нас интересует главным образом уравнение для корреляционной функции <(1,1 ). Каждое из уравнений Дайсона, однако, есть на самом деле система связанных уравнений. Поэтому мы должны рассмотреть уравнения для всех функций (6.3.7) - (6.3.10). [c.47]

Вспоминая определение (6.3.22) дельта-функции на контуре С и правила интегрирования (6.3.20), нетрудно записать уравнение Дайсона (6.3.29) как матричное уравнение [c.47]

Итак, с помощью соотношений (6.3.37) и (6.3.38) мы можем исключить функции Е и Е в уравнении Дайсона (6.3.34). После простых преобразований, которые мы оставим читателю в качестве упражнения, приходим к системе уравнений [c.48]

Совершенно аналогичным способом из сопряженного уравнения Дайсона (6.3.30) получается система уравнений [c.48]

Ключевым моментом в методе функций Грина является то, что одночастичная функция G(l,l ) удовлетворяет уравнению Дайсона на контуре Келдыша-Швингера С. В большинстве практических приложений вопрос о существовании уравнения Дайсона просто не рассматривается. Между тем, это совсем не тривиальный факт. Дело в том, что мы можем записать уравнения движения для G(l,l ) в форме уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30) только тогда, когда на контуре С существует единственная обратная функция G (l,l ). В диаграммной технике [19, 54, 55] вывод уравнения Дайсона основан на теореме Вика, с помощью которой каждый член ряда теории возмущений для G(l, 1 ) выражается через произведение свободных гриновских функций. [c.58]

Таким образом, уравнение Дайсона на контуре С существует, когда эволюция начинается из состояния, в котором отсутствуют многочастичные корреляции. На первый взгляд кажется, что это обстоятельство не является столь уж важным, поскольку многочастичная система забывает детали своего начального состояния и, после перехода к пределу к любому конечному моменту времени t все корреляции восстанавливаются за счет микроскопической динамики. Покажем, однако, что эти соображения неверны, и для учета долгоживущих корреляций в методе временных функций Грина нужно, по существу, рассматривать всю эволюцию системы. [c.59]

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

Формула (6.4.22) имеет структуру, удобную для диаграммной техники, так как при усреднении со статистическим оператором (6.4.23) можно применить теорему Вика. Используя диаграммное представление для G (1,1 ) и производя блочное суммирование диаграмм, можно вывести уравнение Дайсона ) и тем самым конструктивно доказать, что на расширенном контуре С существует обратная функция G (l,l ). Впрочем, для доказательства существования обратной функции не обязательно обращаться к теории возмущений и диаграммной технике. Добавляя на рис. 6.7 участок с термодинамической эволюцией операторов, мы фактически добиваемся того, что усреднение в конечной точке выполняется со статистическим оператором ( о) который удовлетворяет условию ослабления корреляций. Как уже отмечалось, это гарантирует существование функции G (l,l ). [c.67]

Как и в обычном методе временных функций Грина, уравнение Дайсона можно формально получить из уравнения движения для G(l,l ). Явный вид уравнений движения зависит от гамильтониана взаимодействия Я и корреляционной части оператора энтропии S. Для определенности будем считать, что Н описывает парное взаимодействие между частицами и дается вторым членом в формуле (6.3.15), а S возьмем в виде (6.4.5). Тогда на контуре Келдыша-Швингера операторы поля частиц удовлетворяют уравнениям (6.3.24) и (6.3.25). Аналогичные уравнения на участке записываются как [c.67]

Прямой диаграммный вывод уравнения Дайсона для G(l,l ) приводится в работе Вагнера [168]. [c.67]

Поэтому мы можем записать (6.4.34) в виде уравнений Дайсона [c.69]

Уравнения (6.4.36) и (6.4.37) имеют компактный вид, но на самом деле каждое из них — довольно сложная система связанных уравнений. Чтобы выяснить, какие новые черты вносят в теорию начальные корреляции, рассмотрим уравнения Дайсона для отдельных компонент смешанной гриновской функции G(l,l ). [c.69]

Уравнения Дайсона для временных функций Грина. [c.69]

Уравнение Дайсона для термодинамической функции [c.71]

Грина. Вернемся к матричному уравнению Дайсона (6.4.36) и возьмем значения обоих аргументов (1) = (1 ) = г[,х[) на участке контура С . Тогда мы [c.71]

Нам осталось рассмотреть уравнения для перекрестных гриновских функций Q , которые учитывают влияние начальных корреляций на временную эволюцию. Полагая в уравнении Дайсона (6.4.36) I е С, V е получим [c.71]

Здесь нелинейные по корреляторам С о, 5 о члены собраны в слагаемых Е о, Ео, во втором равенстве (1,262) учтена связь (1.259), а в (1,263) опущены слагаемые, содержащие б оД 0 первые слагаемые в определениях величин Е (4), Е(<) исчезают в отсутствие памяти. Подставляя фурье-образы равенств (1.261), (1.263) в уравнение Дайсона (1.254), получаем в а -представлении [c.103]

ДАЙСОНА УРАВНЕНИЯ в квантовой теории — уравнения движения для квантовой системы с бесконечным числом степеней свободы (напр., системы квантовых полей), записанные не для операторных полевых ф-ций, а для пропагаторов (одночастичных Грина функций) И вершинных функций. Д. у. представляют собой бесконечную цепочку зацепляющихся нелинейных интегральных ур-ний, аналогичную цепочке ур-ний для корреляционных функций (мпогоча-стичпьгх функций распределения) статистич. механики. Они могут быть получены либо из Швингера уравнений, либо графич. путём — суммированием вкладов Фейнмана диаграмм. [c.555]

Формализм производящих функционалов в КТП является аналогом соответствующего формализма ста-тистич, физики. Он позволяет получить для полных ф-ций Грина и вершинных ф-ций ур-ния в функциональных производных — Швингера уравнения, из к-рых в свою очередь можно получить бесконечную цепочку интегродифференц. ур-ний — Дайсона уравнений. Последние подобны цепочке ур-ний для корреляц. ф-цяй статистич. физики. [c.304]

В связи с попытками объяснить в рамках квантовой теории поля (КТП) скейлинг Бьёркена с нач. 1970-х гг. обсуждалась возможность того, что Дайсона уравнения в КТП допускают масштабно-инвариантное решение. Для перенормируемой КТП этот вопрос оказывается связанным с поведением эффективного заряда при — —I. оо, к-рое определяется видом т. н. ф-ции [c.61]

В квантовой теории поля динамич. информация содержится, напр., и Грина функциях. Для их вычисления используют разл. приближения, чаще всего — расчеты по теория возмущений. Альтернативный подход основан на интегродифференциальных Дайсона уравнениях, являющихся Р. с. ур-ние для двухточечной ф-ции Грина содержит четырёхточечную и т. д. Как и ур-ния Боголюбова, эту систему удаётся решать, лишь оборвав цепочку (место обрыва выбирается обычно из физ. сообращевин и определяет получаемое приближение). [c.326]

В разд. III, Б было указано, что для определения ф(х) следует в принципе разрешить бесконечную цепочку уравнений, которая содержит всю статистическую информацию о поле е (х). В настоящем разделе мы хотим показать, что , (х) = = (Эф (х)/(3л , формально удовлетворяет интегродифференци-альному уравнению, обычно называемому уравнением Дайсона. Ядро интегрального члена этого уравнения является функцией от всей статистической информации, содержащейся в поле е (х). Поскольку вся статистическая информация входит только в ядро, это уравнение можно использовать феноменологически при отсутствии детальной информации относительно поля е (х). Интегродифференциальное уравнение имеет совершенно иной характер, чем обыкновенное дифференциальное уравнение мы покажем необходимость такого уравнения вблизи точек быстрого изменения функций источников и вблизи границ. [c.260]

Чтобы вывести уравнение Дайсона для ( , (х) , удобно записать уравнение (6) в операторной форме. (Подробности приведены у Берана и Мак-Коя [6] см. также работы Бурре [10], Фриша [19] и Брауна [И].) [c.260]

Как и в теории равновесных функций Грина, удобно ввести неприводимую собственно энергетическую часть или массовый оператор Массовый оператор представляет собой сумму всех диаграмм для J] p,iziy), которые не могут быть разделены на две части, соединенные только одной -линией. Соотношение между массовым оператором и точной функцией Грина ) изображено на рис. 6.2. Оно соответствует уравнению Дайсона [c.25]

Как и в любой технике гриновских функций, одной из важных задач является вывод уравнения Дайсона для одночастичной временной функции Грина. Анализ уравнений движения показывает, однако, что ряды теории возмущений содержат все четыре функции (6.3.7) - (6.3.10) (см., например, [55]). Поэтому уравнение Дайсона, если оно существует, должно иметь матричную структуру. Элегантный подход к этой проблеме был намечен Швингером [152] и затем развит Келдышем [19]. Идея состоит в том, чтобы объединить функции (6.3.7) - (6.3.10) в одну матричную функцию Грина G(l,l ), определенную на контуре (7, который изображен на рис. 6.6. Этот контур идет вдоль оси времени от tQ до и возвращается в точку т. е. на второй ветви точка с меньшим значением времени расположена дальше от начала контура, чем точка с большим значением времени. Значение на контуре С берется таким, чтобы оно превышало значения всех временных аргументов в функциях Грина и корреляционных функциях ). Введем теперь упорядочение операторов вдоль контура Келдыша-Швингера. На ветви оно совпадает с хронологическим упорядочением а на ветви С — с антихронологическим упорядочением Т . Иными словами, при Т -упорядочении операторы с временными аргументами, лежащими на ветви (7 , всегда располагаются слева от операторов с аргументами на ветви С . [c.44]

Уравнение Дайсона на расширенном контуре. Теория возмущений для смешанных функций Грина строится примерно так же, как для временных и термодинамических функций. Естественно ввести, кроме представления Гайзен-берга (6.4.9), представление взаимодействия на контуре С . Записывая гамильтониан система в виде суммы Я = Я + Я, где Я — гамильтониан свободных частиц, определим операторы в представлении взаимодействия как [c.66]

Для получения уравнения, определяющего суперкоррелятор (1.235), следует умножить (1.230) на Ф(г ) и усреднить результат по распределению Р Ф в (1.218). В результате приходим к суперуравнению Дайсона [c.101]

Цри подстановке в уравнения Дайсона (1.253), (1.254) нам понадобится частотное представление этих выражений, содержащее свертки. Эту трудность можно обойти, используя флуктуационно-диссипационную теорему [39, 61] [c.102]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...