Входная функция

Выделение входных и выходных параметров весьма важно при исследовании динамики процессов химической технологии. Используя эти понятия, можно сказать, что математическая модель, описывающая динамику технологического объекта, должна предсказывать, как будут меняться во времени выходные параметры при произвольном изменении во времени входных параметров (рис. 2.1). При этом любой технологический объект целесообразно интерпретировать как некоторый функциональный оператор, ставящий в соответствие каждому набору входных функций Ui t), U2 t),. .., Un(t) соответствующий набор выходных функций Vi t), V2(t).....Oft (О- в результате задача исследования динамики технологического процесса сводится к исследованию свойств функционального оператора, который задается математической моделью процесса. Поэтому прежде чем рассматривать методы исследования динамических свойств процессов [c.39]

Интегральные операторы вида (2.1.8) играют большую роль в теории функциональных операторов, представляя собой универсальную форму записи линейных операторов. Часто задача исследования свойств оператора некоторого объекта решается с помощью представления этого оператора в форме (2.1.8) и дальнейшего изучения свойств функции Q t,x), которая является важной характеристикой всякого технологического объекта, поскольку знание ядра интегрального оператора Q( , т) позволяет по любой входной функции объекта u(t) с помощью соотношения (2.1.8) определить соответствующую выходную функцию у( ). [c.43]

Когда коэффициенты уравнения До,. .., а,г постоянны, можно получить явное аналитическое выражение, определяющее правило действия оператора на входную функцию u(t) для этого достаточно решить уравнение (2.1.14) с граничными условиями (2.1.16). 44 [c.44]

Приведенный пример показывает, что функциональный оператор объекта, математическая модель которого включает систему уравнений в частных производных, является многомерным оператором. Если система состоит из п уравнений первого порядка, то в математическую модель должно входить п граничных условий, которые содержат п входных функций. Таким образом, пространство задания оператора U будет пространством -мерных вектор-функций. Это обстоятельство существенно усложняет исследование функционального оператора. Поскольку все методы исследования, излагаемые далее, относятся только к одномерным операторам, возникает необходимость сведения задачи исследования многомерного оператора объекта к задаче исследования одномерных операторов. [c.46]

Из определения линейного оператора можно получить два простых следствия. Во-первых, если входная функция u t) представлена в виде суммы u t) = u t) + 2(0. то выходная функция v t) линейного объекта может быть записана как сумма реакций объекта на каждую составляющую щ, входной. функции, т. е. v(t) =Vi t) +V2(t), где Vl t) =Aui(t), V2(t) =Au2 t). Во-вторых, если произвести увеличение входной функции u t) в а раз, то при этом и выходная функция увеличится в а раз, т. е. A au t)) = [c.49]

Замена в начальных условиях = 0 на t = x вполне естественна, так как условия (2.2.29) по существу задают значения выходной функции v(t) и ее производных в момент начала действия входной функции. Поскольку v t—т) есть реакция объекта на входное воздействие u(t — т), появившееся с момента = т, то условия (2.2.29) должны выполняться для v t — т) именно в момент t — T, что и выражено в (2.2.30). [c.55]

Равенство (2.2.42) дает простейший пример интегрального представления вида (2.2.33) для входной функции u t) причем здесь функция s(x) совпадает с и(т), а параметрическая система функций есть набор 6-функций b t — т), каждая из которых смещена по времени на величину параметра т по отношению к функции б(/). В соответствии с интегральным принципом суперпозиции действие любого линейного оператора А на входную функцию u t) записывается в виде (2.2.34), т. е. в данном случае [c.60]

Таким образом, для определения правила действия оператора А на любую функцию (/) (т. е. для определения реакции объекта на любое входное возмущение) достаточно знать действие этого оператора на 8 t — т). Функция G t,x), характеризующая оператор Л (соответственно, и технологический объект, описываемый оператором Л), называется весовой, или импульсной переходной, функцией. Для любого линейного объекта выходная функция v t) определяется по входной функции u t) и весовой функции по формуле (2.2.43). Физический смысл весовой функции состоит в том, что G(t,x) определяет, какой вклад в значение выходной функции V в момент времени i дает значение входной [c.60]

Частотная характеристика и параметрическая передаточная функция. Рассмотрим теперь еще один вид параметрического семейства функций P t,x), с помощью которого любую входную функцию u t) можно представить в интегральном виде (2.2.33). Известно, что любую функцию u t), если она является абсолютно интегрируемой, т. е. если для нее выполнено условие [c.61]

Таким образом, введены уже две разновидности общего интегрального представления (2.2.34) для правила действия оператора линейного объекта. Одно из них [(2.2.43) или (2.2.46)] основывается на представлении (2.2.42) входной функции с помощью параметрического семейства 6 t — т), а второе [(2.2.51) или (2.2.56)] —на представлении (2.2.49), (2.2.50) с помощью параметрического семейства экспонент (разложение в интеграл Фурье). Существенным отличием представления (2.2.51) от разложения с использованием весовой функции состоит в том, что для определения с помощью (2.2.51) результата действия оператора А на входную функцию u t) необходимо предварительно получить разложение u t) в интеграл Фурье. Поэтому представление оператора с помощью частотной характеристики удобно лишь в тех случаях, когда входная функция достаточно просто разлагается в интеграл Фурье. [c.64]

Представление линейного оператора A в интегральной форме (2.2.67) отличается от его представления в форме (2.2.56) с частотной характеристикой тем, что для построения (2.2.67) не требовалось особой операции нахождения интегрального представления для исходной входной функции u t). В данном случае функция s(t) д I представления (2.2.33) получается простым дифференцированием u(t). [c.67]

Пусть на вход стационарного линейного объекта подается в момент времени t = х входное воздействие в виде S-функции (единичный импульс) Ut( =S( — т) Выходная функция объекта Vx(i) определяется весовой функцией Vx(t) =Aur t) =G t,x). Поскольку оператор А является однородным, временной сдвиг — т не изменяет правила действия оператора. Согласно (2.2.25), должно быть G t,x) =Vx i) =v t — т), где v t) соответствует несмещенной входной функции u t) =8(t), т.е. v t) = [c.68]

Такой вид наиболее удобен при теоретическом исследовании. Функция g i) является ядром интегрального оператора. Однако для определения результата действия оператора А на произвольную входную функцию u t) соотношение (2.2.77а) мало пригодно поскольку интеграл в правой части при сложном виде (0 и u t) вычислить не удается. Чаще всего для определения выходной функции v t) используется передаточная функция W p). Метод определения у (О состоит в следующем. По таблицам преобразований Лапласа ищется изображение й(р), затем строится функция u. p)W(p) и по тем же таблицам находится оригинал этой функции, который и дает выходную функцию v t). Хотя часто отыскание прямого и обратного преобразования Лапласа представляет собой трудную задачу, указанный метод наиболее эффективен для определения выходной функции объектов по известной входной функции. [c.72]

Пусть входная функция объекта есть вектор-функция u t) = = ui( ),. .., Un t) , выходная функция есть вектор-функция [c.75]

Экспериментальное исследование нелинейных объектов также связано с рядом трудностей. Для нелинейных операторов не выполняется ни дискретный принцип суперпозиции (2.2.1), ни интегральный принцип суперпозиции (2.2.33), (2.2.34). Поэтому если имеется многомерный нелинейный оператор с несколькими входными параметрами, то, определив реакцию объекта на изменение отдельных параметров, нельзя предсказать поведение объекта при одновременном изменении всех параметров. Напомним, что для линейного оператора такое предсказание всегда возможно, и это является основой исследования линейного многомерного оператора путем его замены эквивалентной системой одномерных операторов, описывающих отдельные каналы связи в объекте. Кроме того, при исследовании нелинейных объектов нельзя ограничиться изучением реакции объекта на одно какое-нибудь стандартное воздействие. Знание отклика объекта на входное воздействие одного вида недостаточно для предсказания поведения объекта при воздействии произвольного вида. Действительно, поскольку для нелинейного объекта не выполнен принцип суперпозиции, то представление входной функции в интегральном виде (2.2.33) не дает возможности утверждать о возможности аналогичного интегрального представления (2.2.34) для выходной функции. Это означает, что для нелинейного оператора невозможно ввести характеристические функции, которые определяли бы все свойства оператора. [c.77]

Выделение функции 7 " -"""(/), представляющей собой результат действия исходного оператора А на нулевую входную функцию, позволяет свести нелинейный оператор А к линейному оператору А. [c.79]

Перейдем к рассмотрению нелинейных операторов, задаваемых с помощью нелинейных дифференциальных уравнений. В этом случае уже невозможно свести нелинейный оператор к эквивалентному линейному, т. е. нельзя написать соотношение, аналогичное (2.3.6), с помощью которого можно было бы точно выразить любую выходную функцию нелинейного оператора с помощью соответствующей выходной функции некоторого линейного оператора. Процедура линеаризации дает лишь приближенное выражение выходных функций нелинейного оператора с помощью выходных функций линейного оператора, причем даже такое приближенное выражение справедливо далеко не для всех входных функций u(i). Для реальных технологических объектов, как правило, линеаризованный оператор эквивалентен исходному на входных функциях, значения которых не слишком сильно отклоняются от значения соответствующего параметра в некотором стационарном режиме работы объекта. Таким образом, линеаризованный оператор позволяет описывать поведение технологического объекта в условиях, когда вхо,п,ные параметры меняются лишь в незначительных пределах. [c.79]

Начальное условие для определения функции v t) из этого уравнения по входным функциям u it) будет иметь вид [c.81]

Рассмотренный пример иллюстрирует общую идею линеаризации, которая заключается в выделении некоторого стационарного режима работы объекта. При этом считается, что все переходные процессы в объекте закончились и на выходе установилось стационарное значение выходного параметра. Если скачок значения выходной функции от нуля до стационарного значения произошел в некоторый конечный момент времени (о, то теоретически переходной процесс в объекте нельзя считать закончившимся поэтому необходимо предполагать, что стационарное входное воздействие подается бесконечно долго, т. е. момент времени to отодвинут в —00. Исходный нелинейный оператор заменяется эквивалентным нелинейным оператором, входными функциями которого являются малые отклонения входного воздействия от начального стационарного значения. Разлагая все нелинейные функции параметров, входящие в дифференциальные уравнения, по степеням отклонений этих параметров от их стационарного значения и отбрасывая все члены разложения, содержащие степени отклонений выше первой, получим линейные дифференциальные уравнения, задающие линейный оператор. Этот оператор и является результатом линеаризации. При входных параметрах, мало отклоняющихся от их значений в выбранном стационарном режиме, выходные функции исходного оператора приближенно выражаются через выходные функции построенного линейного оператора. [c.81]

Уравнение (3.1.3) с начальным условием (3.1.4) может быть решено с произвольной правой частью, т. е. при любом b(t) и при любой входной функции u(t). Это решение имеет вид [4] [c.83]

Перейдем теперь к изложению метода получения параметрической передаточной функции для объектов с сосредоточенными параметрами. Будем рассматривать общий случай, когда объект описывается уравнением (3.1.1) с начальными условиями (3.1.2). Согласно (2.2.57), параметрическая передаточная функция F(t,p) представляет собой коэффициент, на который умножается входная функция u(t) = еР при прохождении через рассматриваемый линейный объект, т. е. выходная функция при u t) = ер будет иметь вид < [c.89]

Лапласа от этой входной функции будет таким [c.92]

Подставив в это соотношение v x,p) в виде (3.2.19), найдем соотношение, выражающее преобразование Лапласа от выходной функции через преобразование Лапласа от входной функции [c.100]

Найденную передаточную функцию удобно использовать для исследования действия функционального оператора объекта на различные входные функции. В рассматриваемом случае можно выразить правило действия оператора на произвольную u(t). Действительно, соотношение (3.2.20) можно представить в виде [c.100]

С учетом известного свойства преобразования Лапласа (см. приложение) S ( ( — о)) = й(р)е- Р, выходная функция, соответствующая входной функции u t), имеет вид [c.100]

Как видим, для стационарных объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, процедура определения передаточной функции U (p) имеет достаточно простой вид и в приведенном примере позволяет до конца решить задачу исследования функционального оператора объекта. Из свойства (2.2.77) следует, что для определения передаточной функции достаточно получить выражение преобразования Лапласа вых(р) выходной функции через й р) — преобразование Лапласа входной функции. Чтобы найти такое выражение Увых(р) через й(р) достаточно применить преобразование Лапласа к уравнению и граничным условиям математической модели, затем решить получившееся обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции х, р) — преобразования Лапласа от внутреннего параметра v x, t), и подставить в решение х = I. [c.101]

Уравнение (3.2.16), полученное из исходного уравнения (3.2.13) в результате применения преобразования Лапласа, легко решается, и передаточная функция (3.2.21) имеет очень простой вид, что позволяет полностью описать действие оператора на произвольную входную функцию и без труда найти весовую и переходную функции. В том случае, когда исходное уравнение, с помощью которого задается оператор объекта, является более сложным, чем (3.2.13), новых принципиальных трудностей в определении [c.101]

Входными параметрами для рассматриваемого теплообменника являются температура жидкости 7 вх(0 и температура среды 7 с(/). Отметим, что поскольку тепловая емкость среды имеет конечное значение, то в процессе теплообмена между жидкостью и средой температура 7 с(0 может меняться. Однако будем считать тепловую емкость среды в кожухе настолько большей, что можно пренебрегать зависимостью температуры этой среды от процесса переноса теплоты в аппарате. Только в этом случае можно полагать, что T (i) задается независимо, т. е. является входной функцией. Выходным параметром является температура жидкости в точке х = 1, соответствующей выходу из теплообменника [c.115]

В дальнейшем, когда речь идег о конкретном виде функциональной зависимости некоторого входного или выходного параметра от времени, будем также использовать термины входная функция и выходная функция. [c.39]

В данном примере выходным параметром системы служит текущая температура нагреваемого тела T t). С помощью уравнения (2.1.12) и начального условия (2.1.13) задается функциональный оператор А, ставящий в соответствие каждой входной функции Тви () выходную функцию Т(t) = AT (t). В рассматриваемом процессе теплообмена, который описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (2.1.12), различие между температурой нагревателя Твх(0 как входным параметром и температурой нагреваемого тела Т(t) как выходны,м параметром носит условный характер. Фактически при таком описании пренебрегают реальным распределением всех параметров по пространственной координате, поэтому здесь неприменимы понятия вход и выход, если понимать их в строгом простаатотвенном смысле. Разница между 7 вх(<) и Т ( ) = Гвых(0 состоит в том, что 7 вх(0 может произвольно меняться во времени, а Т (t) зависит от выбора [c.44]

Функциональный оператор А теплообменника ставит в соответствие каждому набору входных функций 7" вх( ), T2 (t), Wi(t), Ш2( ) набор выходных функций (Г1аь1х(0. 2вых(<) , получаемых по формулам (2.1.19) из решений Ti(x, t), l (x, 1) уравнений (2.1.16) с начальными и граничными условиями (2.1.17), [c.46]

Линеаризацией нелинейного оператора А называется его замена некоторым линейным оператором А, таким, что на определенном множестве М входных функций u(t) каждую выходную функцию v(t) =Au(i) оператора можно приближенно выразить с помощью соответствующей выходной функции v (t) =A u t) линейного оператора А. Обычно А можно заменить линейным оператором Л несколькими различными способами. В зависимости от выбора множества М и требуемой степени точности выражения выходных фукций линейного оператора этот оператор будет иметь различный вид. [c.78]

Из сравнения начальных условий (2.3 2) и (2.3.4) следует, что начальное условие для (2.3.5) будет нулевым T i) (=о = 0. Таким образом, оператор А, определяющий переход от Ген (О к T t) будет линейным. Очевидно, А эквивалентен А, поскольку действие А на произвольную входную функцию 7 вх(0 можно записать в виде AT (t) = ЛТвх(0+ [c.79]

Таким образом, выяснено, как определяется весовая функция оператора, задаваемого уравнением (3.1.11). Рассмотрим теперь процедуру, с помощью которой можно найти весовую функцию для оператора А, задаваемого с помощью общего уравнения (3.1.1). Оператор А можно представить как произведение двух операторов А =AiA2 (см. раздел 2.1). Оператор Ai действует на входную функцию u[t) по правилу [c.87]

Весовая функция оператора A=AiAs по определению есть выходная функция этого оператора, которая получается при действии А на входную функцию u t)=8(t — х). Входная функция оператора А является одновременно входной для оператора Ау. Поэтому при u t)=6 t — т) выходной функцией оператора Ai будет весовая функция этого оператора, т. е. q t) = Gi(t,x). Выходная функция q t) оператора Л] является входной для второго оператора Л2. Для определения выходной функции оператора Л осталось определить, как действует оператор Лз на функцию q t) = G2 t,x). Результат действия оператора на произвольную [c.87]

Поскольку функции Wuip) и Wii p) из-за их сложного вида неудобны для исследования действия функционального оператора объекта на различные входные функции Uux(0 (и, кроме того, трудно непосредственно осуществить обратное преобразование Лапласа, необходимое для отыскания весовой и передаточной функции), часто после получения точного аналитического выражения для передаточных функций используют различные методы, позволяющие найти приближенные выражения для двух других характеристических функций. [c.107]

Во второй главе было установлено, что для линейных стационарных объектов отношение преобразования Лапласа от выходной функции к преобразованию Лапласа от одной из входных функций при нулевых остальных входных функциях не зависит от конкретного вида рассматриваемой входной функции [соотношение (2.2.77)]. Это свойство позволяло считать указанное отношение (передаточную функцию) универсальной характеристикой объекта. В рассматриваемом случае объект является нелинейным, поэтому отношения Тйых (р)/ Гвх р) при Тс р)— о и Твых р)/Тс р) при fex(p) = 0 зависят от конкретного вида входных функций 7вх(р) или f (p), и вводить передаточные функции по каналам 7 вх(0 вых(0, Гс(0 вых(0 не имеет смысла. Действительно, [c.117]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...