Прямое произведение

Следствие 8.8.4. Движение позиционной линейной системы, заданной с помощью произвольных лагранжевых координат, есть прямое произведение движений п одномерных систем по главным направлениям. [c.575]

Из неравенства Корна, справедливого для каждого из тел Q , следует эквивалентность нормы (5.384) использованной выше норме прямого произведения. Положим [c.295]

Пусть У 1/ —прямое произведение гильбертова пространства самого на себя функционал а (и, v), заданный на 1/ К, называется билинейным (билинейная форма), если он является линейным функционалом по каждому аргументу в отдельности. Если в определении билинейной формы положить u=v, то функционал а и, и) можно считать заданным на V в этом случае а и. и) называют квадратичным функционалом на V. [c.326]

Очевидно также, что она является абелевой. Поскольку трансляционная решетка бесконечна, трансляционная группа имеет бесконечный порядок. Однако введением циклических граничных условий (Борна—Кармана) ее можно преобразовать в группу конечного порядка, но с достаточно большим порядком — Л/1Л/2Л/3 Неприводимые представления группы Т (п) записываются в виде прямого произведения неприводимых представлений групп T( j3j) являющихся циклическими с порядком Nj. Для них [c.150]

Теорема. Для типичного семейства векторных полей множество особых точек полей семейства образует гладкое подмногообразие в прямом произведении фазового пространства на пространство параметров. [c.15]

Локальным семейством векторных полей (и Xq, о) называется росток поля V в точке (j q, eq) прямого произведения фазового пространства и пространства параметров представителями таких ростков являются семейства векторных полей". [c.16]

Получим трехмерные многообразия и К , гомеоморфные друг другу и прямому произведению двумерного диска на 5 ), и векторные поля и соответственно. Легко проверяется, что [c.114]

Работа динамы при бесконечно малом перемещении. Мы расг смотрим ортогональную проекцию на линию действия силы бесконечно малого перемещения какой-либо точки тела, лежащей на этой прямой. Произведение самой силы на эту проекцию мы назовем работою силы при бесконечно малом перемещении. С точностью до бесконечно малых второго порядка не имеет значения, какую именно точку мы рассматриваем на линии действия силы. Другое определение для работы силы, равносильное этому, следующее. Работа силы на бесконечно малом перемещении есть произведение перемещения произвольной точки, находящейся на линии действия силы, на ортогональную проекцию силы на направление перемещения. Согласно каждому из этих двух определений работа равна / 5 os 6, где F есть сила, 85 — перемещение, а О — угол между их направлениями. [c.48]

Используем теперь тот факт, что Н есть интеграл уравнений движения. Перейдем от переменных Qi, q ,. . ., рг, Рз-> Рп переменным Н, Q2, дз,. . ., Р2, Рз1 Рп и возьмем в качестве Uq произведение пространств 2п — 2)-мерной области Дд пространства (дг> Яз > Яп Р2 Рз, ч Рп) и интервала (Hq — 8, Hq + 8) переменной Н. Область Aq является малой окрестностью точки а , з,. . ., а , Рз> Рзт > Рп)> а есть значение Н в точке А. Но Н сохраняет постоянное значение вдоль траектории, откуда следует, что U является прямым произведением 2п — 2)-мер-ной области А пространства (дг, , Pz, Рз, > Рп) и интервала (Яо — б, Hq б) переменной Н. Интеграл (22.17.1) равен [c.452]

С точки зрения теории групп G изоморфна прямому произведению k экземпляров группы целых чисел Z. Отложим обоснование этого утверждения, чтобы поскорее получить тор. [c.250]

Пусть соответствие Г обладает всеми свойствами, перечисленными ниже. Область отправления X соответствия Г представляет собой прямое произведение непересекающихся и не связанных между собой какими-либо соответствиями множеств Х , Х .....Х , [c.178]

Прямым произведением групп G, и паз. множество пар g ), где agG , с опре- [c.541]

Прямое произведение. Пусть f x) и g[y) — локально интегрируемые ф-ции в пространствах К" и соответственно. Ф-ция /(х) х у(у) локально интегрируема в она определяет регулярную О. ф. [c.376]

Локально Р, устроено как прямое произведение В X Е,т. е. для каждой точки х В должны существовать окрестность V, х z В п гомеоморфизм ф, так го [c.283]

В Р. можно определить обратное к р непрерывное отображение з В — Е, такое, что рз х) = х для любой точки х В. Отображение а наз. сечением в Р, пространства Е. Сечением прямого произведения В X Е служат графики ф-ций В - Е, х, х(т)). [c.283]

Пример. Множество всех касательных векторов к двумерной поверхности Л/ образует двумерное векторное Р. (касательное Р.) 1 = ГЛ/. Векторное поле на № определяет сечение в Р. ГД/ . Классич. теорема Пуанкаре утверждает, что единственное замкнутое многообразие Л/ , допускающее гладкое касательное поле без особенностей на Л/ , — тор Г . Нетрудно доказать, что теорема Пуанкаре включает следующее утверждение только касательное Р, к Г есть прямое произведение. [c.284]

Определение 3.6.2. Фазовое пространство есть прямое произведение Q X Qт координатного множества и множества скоростей. Тем самым фазовое пространство всегда четномерно. [c.188]

Очевидно, po (v) — норма в L no отношению к этой норме Н , а следовательно, и V являются предгильбертовыми. Квадратичная форма р (и) — полунорма на V, так как еу( у ) = 0, где у —сме-ш,ение тела как абсолютно жесткого. Пространство Y, определенное формулой (5.381), конечномерно, поскольку оно представляет собой прямое произведение конечномерных пространств вида [c.295]

ПОЛЯ djdt на прямом произведении /XQ, /= /е[0, 1] , с помощью склейки V. точек (О, а<в) и (1, ш). Фазовый поток на подмножестве 2 евклидова пространства топологически эквивалентен надстройке над схемой Бернулли, если существует гомеоморфизм переводящий исходное поле в Х . [c.113]

Замечание. Подмножество S похоже на прямое произведение канторова совершенного множества на окружность. [c.113]

Построим сначала вспомогательное семейство векторных полей в прямом произведении IXD отрезка 2 на (п—1)-мерный шар х 1, x6R" . Рассмотрим гладкое векторное поле в Z), равное нулю в некоторой окрестности границы D, имеющее гладкий инвариантный (п—2)-мерный тор с положительным показателем притяжения поле v на торе диффео-морфно постоянному полю, задающему условно периодическую обмотку. Отсюда следует, что показатель сближения траекторий поля на торе равен нулю и все траектории на торе — неблуждающие. [c.154]

Разложением Клебша—Гордина называется правило, позволяющее эффективно выразить систему инвариантов представления, которое является прямым произведением двух представлений той же группы, через инварианты этих представлений. [c.911]

Уточнение 2. Строго говоря, многообразие положений в задаче о круговом маятнике является окружностью S. Поэтому надо учесть, что точки q- -2nn, р) отвечают одному и тому же состоянию (это условно обозначается записью mod 2я). Чтобы получить взаимно-однозначное соответствие между состояниями маятника и точками фазового портрета, надо отождествить точки плоскости R (p, q), у которых координата отличается на2я/г. При этом полосы 2я <(7< 2л (л+1) как бы наложатся друг на друга, а правая и левая границы у каждой из них склеются (так же, как при изготовлении цилиндра из прямоугольного листа бумаги). В результате получим цилиндр — прямое произведение S XR окружности S на прямую R. Как итог отождествлений он обозначается так R XS = R2/2nZ (цилиндр есть результат факторизации плоскости R2=R XR по группе сдвигов на 2пп в одном из сомножителей). [c.232]

Продолжение примечания с предыдущей страницы. Движение лиувиллевой системы (рис. 49) в проекции на каждую координатную ось имеет такой же колебательный характер, как движение в потенциальной яме (рис. 41). Таким образом, лиувиллева система сводится к двум системам с одной степенью свободы (но эти системы зависят, вообще говоря, от полной энергии исходной системы как от параметра, так что здесь нет такого тривиального распадения системы на одномерные, какое наблюдается при линеаризации после перехода к нормальным координатам иначе говоря, лиувнллева система в общем случае не является прямым произведением одномерных). Наконец, представление Пуансо (см. рис. 66) тоже можно рассматривать как сведение случая Эйлера к (ненатуральной) гамильтоновой системе с одной степенью свободы (см. рис. 74), [c.286]

Существует теорема (т. н. теорема Райферти [1]), серьёзно ограничивающая возможности объединения внутренних и пространственно-временных симметрий. Согласно этой теореме, нет физически удовлетворит, способа нетривиально объединить группы Ли (L) конечного ранга, относящиеся к В. с., и группу Пуанкаре (Р) пространственно-временной симметрии. Единств, способ объединения указанных групп — прямое произведение L( P, когда преобразования соответствующих симметрий действуют независимо. [c.291]

Всякая связная коммутативная одномерная F. изоморфна либо R, либо Т (связной наз. Г., любые два элеА1бнта к-рой можно соединить непрерывной кривой, целиком принадлежащей Г.). Всякая связная коммута тивная ГЛ изоморфна прямому произведению таких Г., т. е. (Т —m-мерный тор). Дискретную Г. [c.542]

Простые группы. Эю класс Г., наиб, далёкий от класса коммутативных Г. Группа О наз. простой, если она не содержит инвариантных подгрупп, отличных от самой Г. и единичной подгруппы. Примером простых Г. яиляются Г. PSU (я) проективной унитарной симметрии. Прямое произведение простых Г. иногда наз. полунростой группой (полупро-стая Г. характеризуется отсутствием абелевых инвариантных подгрупп). Описание всех простых Г Л известно (см. Ли алгебра), а описание всех конечных простых Г. близится к завершению. [c.542]

Неприводимые представления Л. г. (точнее, её подгруппы L+) полностью характеризуются собств. значениями /I, ii операторов j, g. Для конечномерных представлений удобнее трёхмерная реализация (2) алгебры Ли. Вследствие её расщепления представление jjOk h) д г. строится как прямое произведение пред- [c.607]

Электронные спектры. Чисто электронные М. с. возникают при изменении электронной энергии молекул, если при этом не меняются колебат. и вращат. энергии. Электронные М. с. наблюдаются как в поглощении (спектрыпоглощения), таки в испускании (спектры люминесценции). При электронных переходах обычно изменяется электрич. дипольный момент молекулы. Электрич. дипольный переход между электронными состояниями молекулы типа симметрии Г и Г" (см. Симметрия молекул) разрешён, если прямое произведение Г X Г" содержит тип симметрии, но крайней мере одной из компонент вектора дипольного момента d. В спектрах поглощения обычно наблюдают переходы из основного (лолносимметричного) электронного состояния в возбуждённые электронные состояния. Очевидно, что для осуществления такого перехода типы симметрии возбуждённого состояния и Дипольного момента должны совпадать. Т. к. электрич. дипольный момент не зависит от спина, то при электронном переходе спин должен сохраняться, т. е. разрешены только переходы между состояниями с одинаковой мультиилетностью (интер-комбинац. запрет). Это правило, однако, нарушается [c.201]

Напр., в квантовых системах с группой симметрии в собств. ф-ции ф гамильтониана можно классифицировать по неприводимымП. г 6. Теория П. г. позволяет в этом случае установить т. н. правила отбора при рассмотрении процессов перехода из одного состояния в другое. Если процесс перехода задаётся оператором 0 , соответствующим неприводимому П. г. В С, 7,), то переход из яек-рого состояния соответствующего неприводимому П. г. В)(6, 7 ), может осуществляться лишь в те конечные состояния ф.,, представление к-рых Ву содержится в разложении прямого произведения = 2 гПуВу. [c.102]

Матричные элементы оператора С, приводящего прямое произведение >1 к бпочнодиагональному виду [т. е, ( >1 >а)С- = где В — не- [c.102]

Каждый из наборов этих операций составляет отдельную группу, а каждая группа симметрии гамильтониана представляет собой прямое произведение всех этих групп. При решении конкретных задач используют не все перечисленные группы. Группа (а) используется только в связи с Паули принципом, согласно к-рому волновая ф-ция электрона антисимметрична относительно любой перестановки электронов группа (б) отражает закон сохранения для полного угл. момента молекулы группа (в) для изолнров. молекулы несущественна, т. к, трансляции молекулы не влияют на волновые ф-ции, описывающие ввутр. состояние молекулы инвариантность гамильтониана относительно групп (г) и (д) показывает, что он может содержать только чётные степени угл. моментов и пространственных декартовых координат частиц. [c.515]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...