Звезда волнового вектора

Последним шагом является разбиение на смежные классы по к). Далее неприводимые представления группы к) используются для определения неприводимых представлений группы . Неприводимые представления группы характеризуются звездой волнового вектора к и индексом т допустимого представления Это построение определяет также структуру неприводимого векторного пространства, в котором задано представление [c.50]

При определении допустимых неприводимых представлений группы (к) в зависимости от структуры и размерности звезды волнового вектора к (32.10) следует различать два главных случая. В первом случае к содержит др независимых неэквивалентных волновых векторов [c.99]

Наша первая задача — выделить набор всех волновых векторов внутри и на поверхности первой зоны Бриллюэна, необходимых для построения звезды волнового вектора, а затем — полных неприводимых представлений. Первая зона Бриллюэна для группы показана на фиг. 3. [c.105]

Звезда волнового вектора k 114 Зеебека эффект 224 Зинера эффект 98 Зоны Бриллюэна 78 [c.414]

Х, примененное к каноническому волновому вектору к, дает независимый волновой вектор. В этом случае звезда к имеет столько лучей, сколько преобразований поворота в группе 5Р, поэтому 5 = др, к называется звездой общего типа . Во втором случае, когда < др, звезду к называют звездой специального типа он будет рассмотрен в следующих параграфах. [c.99]

Рассмотрим теперь случай, когда звезда к содержит 5 различных волновых векторов, а порядок группы 5(5, как и раньше, равен 1к. Представителей смежных классов будем обозначать в соответствии с обозначениями в (36.1) и (36.2). Далее, чтобы избежать громоздких выражений, рассмотрим частный случай, когда [c.118]

Необходимо построить первую зону Бриллюэна согласно рецепту, содержащемуся в 23. Первая зона Бриллюэна является геометрическим местом всех волновых векторов к, определяющих полный набор неэквивалентных неприводимых представлений группы трансляций 5. Для каждого волнового вектора к в первой зоне Бриллюэна определим звезду к, действуя [c.120]

Таким способом N волновых векторов зоны оказываются сгруппированными в различные несвязанные звезды. Каждая звезда характеризуется заданием ее канонического вектора к. После того как для данной звезды указан канонический вектор к, он считается фиксированным. [c.121]

Коэффициенты ( к к к") являются коэффициентами приведения для волнового вектора они равны целым числам. С помощью этих коэффициентов утверждение о том, что ( - О векторов выражаются через сумму по полным звездам, можно записать в виде [c.143]

Соотнощение (56.4) можно также понимать как условие сохранения размерности, так как суммирование выполняется по всем звездам к". Поскольку сложение волновых векторов коммутативно, имеем [c.143]

Это волновой вектор звезды (й -1г ф ). Осуществляя такое построение, мы получим таблицу, в каждой строке которой [c.143]

Можно отметить, что, определяя коэффициенты приведения к к 1 к") для волнового вектора, мы фактически выполняем разложение тех диагональных матриц представления прямого произведения, которые соответствуют элементам группы 5 . Матрицы (53.9) уже являются диагональными, и наше построение сводится к такой перегруппировке диагональных элементов, чтобы все векторы, входящие в одну звезду, оказались собранными вместе. [c.144]

Возможно, полезно заметить также, что случай совпадающих звезд к и к не вносит ничего нового. В этом случае мы должны рассматривать обычное прямое произведение представления само на себя. Соответствующие коэффициенты приведения для волнового вектора можно получить аналогично (56.10) [c.144]

Используя теперь соотношение для размерности представлений, выражаемые в (57.3) правилами отбора для волновых векторов, можно считать известной полную размерность всех представлений, соответствующих звезде к" они возникают при разложении произведения вида [c.153]

Метод подгруппы основан на рассмотрении определенной звезды к", возникающей в результате разложения, и, более того, на рассмотрении отдельного волнового вектора звезды к". Пусть звезда к" задана каноническим вектором к". Спрашивается какое значение т" возникает при выполнении приведения для данного к", если заданы соответствующие части двух представлений и являющихся сомножителями [c.161]

Рассмотрим далее группы <В к ) и <В к"), соответствующие волновым векторам к и к" соответственно из звезд к и к". Запишем [c.162]

Обратим внимание на принятые в (62.2) — (62.5) обозначения, а также сравним эти соотношения с (36.1) и (36.2). Пусть к и й —любые два волновых вектора, принадлежащие соответственно звездам к и к, причем [c.162]

Вообще говоря, векторы к и й, не являются каноническими волновыми векторами своих звезд в слу е, когда вектор к" является таким вектором.) Рассмотрим далее всю совокупность независимых векторов ка и ка> сумма которых приводит к за-ланному к . Эти векторы можно получить, действуя на данный вектор кд из (62.1) всеми поворотами из группы к"). Тогда [c.162]

Очевидно, поскольку X", согласно (62.7), принимает значения 1,. .., к", мы получим 1ь"1пк кд различных векторов. Из (62.8) следует, что каждому такому волновому вектору звезды к должен соответствовать волновой вектор звезды к ] тогда имеем [c.163]

Зададим теперь следующий вопрос. Пусть выбран некоторый другой волновой вектор звезды к", отличный от того, с которого начиналось наше рассмотрение. Какая связь существует, между получаемыми при этом коэффициентами приведения для подгруппы и коэффициентами из (63.2) Рассмотрим выбранный волновой вектор Л" к", входящий, очевидно, в звезду к . Тогда, если к и Л, представляют собой пару волновых векторов, удовлетворяющих (62.6), то [c.165]

Второй случай соответствует звезде специального типа, и при его рассмотрении проявляются новые особенности неприводимых представлений пространственных групп. Рассмотрение звезды специального типа приводит к понятию пространственной группы волнового вектора , ( ), и к задаче о неприводимых представлениях группы к). Допустимые неприводимые представления группы (й) индуцируют неприводимые представления группы . Построив неприводимые представления группы , мы проверим для них соотношения полноты и ортонормкровац-дорти. [c.79]

Таким методом можно получить все неприводимые представления симморфной группы для заданной звезды и выбранного канонического волнового вектора этой звезды. Соответственно определяются неприводимые векторные пространства [c.119]

До сих пор метод полной группы успешно применялся для получения полного набора коэффициентов для ряда различных симморфных и несимморфных групп. Следует отметить, лто он использовался также для анализа значительно более сложных случаев, чем те, к которым применялся метод подгруппы. Чтобы понимать в равной степени и теорию конечных групп, и общую теорию пространственных групп в целом, необходимо полностью разобраться в методе полной группы, и только тогда применять в специальных случаях метод подгруппы, соблюдая во избежание ошибок известную осторожность. В 53—60 обсуждается структура представлений прямого произведения, полученных вычислением обычного и симметризованного прямого произведения неприводимых представлений пространственной группы. Затем излагается основной принцип построения правил отбора для волновых векторов и звезд. Используя эти правила, можно определить все коэффициенты приведения и тем самым осуществить приведение. [c.134]

Часто коэффициенты приведения для волнового вектора можно получить прямой проверкой. Это, в частности, удобно для звезд высокой симметрии. В остальных случаях оказывается полезным систематическое перечисление членов в (56.2). Таким образом, можно составить прямоугольную таблицу, строки которой соответствуют лучам звезды к, а столбцы — лучам к. Выпищем лучи звезды вектора к [c.143]

Роль коэффициентов приведения для волновых векторов и правил отбора для волновых векторов состоит в том, что они выделяют только те звезды, которые возникают при нахождении прямого произведения представлений. Другими словами, при разложении произведения следует лищь найти [c.146]

Коэффициенты приведения для волнового вектора, или коэффициенты приведения для звезд, аналогичны коэффициентам приведения для рядов Клебща — Гордана. Действительно, ряд [c.146]

ПО отношению к полной пространственной группе , а также гомоморфизм остальных представлений, входящих в соотношение приведения Достоинство этого метода (в случаях, когда возможно его применение) состоит в том, что он допускает проверку коэффициентов с помощью соотношения ортонормированности. Как и в случае более пр0С10Г0 метода малой группы, состоящего в определении неприводимых представлений группы (3 к) по неприводимым представлениям группы П(Л), оказывается, что метод группы приведения полезен в случае звезд высокой симметрии, т. е. канонических волновых векторов высокой симметрии. [c.152]

Следуя работе Фреи [70], будем различать три класса волновых векторов k и звезд k [c.256]

Рассмотрим теперь волновые векторы класса II. В этом случае —к относится к звезде к, но не квивалентно й. Поэтому в отличие от предыдущего случая не очевидно, что для определения типа представлен-ий достаточно прямо использовать таблицы характеров малой группы к) или П(й). Однако мы можем показать, что и в этом случае с помощью только этих таблиц можно сделать определенное заключение. Но сначала мы напомним общие принципы, по которым устанавливается соотношение между группой и представлениями в точках к и —к. Рассмотрим представитель смежного класса для которого [c.258]

В (96.35) векторы k и —k являются эквивалентными волновыми векторами в (96.36) k и —k не эквивалентны, но относятся к одной и той же звезде. Так как в этих случаях звезда уже содержит —к, то козвезда совпадает со звездой. В (96.37) ни один из этих случаев не реализуется и козвезда содержит удвоенное число волновых векторов по сравнению оо звездой за счет того, что отрицательные волновые векторы все тоже входят в звезду. [c.269]

Прежде чем перейти к анализу этого нiибoлe важного случая, рассмотрим сначала структуру звезды. Для волновых векторов класса П из (96.36) звезда к уже содержит вектор —к, но к и неэквивалентны. Тогда унитарную пространственную [c.270]

В случае волновых векторов, относящихся к классам I и II, для которых к и —к либо эквивалентны, либо относятся к одной и той же звезде, представляется естественным расширить ф(й) за счет добавления некоторых антиунитарных элементов. Рассмотрим теперь расширенную группу [c.281]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...